直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理
直线一级倒立摆系统的组成
本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被控制量是摆的偏角和小台车的位移。系统的构成示意如图1所示。
图1系统示意图
应用牛顿力学方法建立系统的数学模型
在以上假设的前提下，来分析系统的运动情况。采用隔离的办法，首先分析倒立摆系统的受力情况。
一、小台车的受力分析
设小台车的质量为[]M kg ，[]f N 为由电机提供的x 方向的驱动力，[]w f N 为系统的外部干扰作用力，2[]kg m ξ?为小车和轨道的摩擦系数，[/]K Nm s 为电动机动特性影响因数，则根据小车水平方向所受的合力，可得如下方程： ()()w F Mx f f f K x ξ=+--+ （1） 其中[]F f N 表示摆的水平运动对台车的作用力，其方向与驱动力[]f N 的方向相反。
二、摆杆的受力分析
以小台车与摆的节点为坐标原点，取坐标系如图1。那么，摆的运动由水平方向，铅直方向以及旋转方向的运动来构成。记摆的质心距节点的距离为[]L m , 摆的质量为[]m kg ，摆的偏移角为?，那么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为：
● 水平方向 sin []x L m ?+
● 铅直方向 cos []L m ?
● 旋转方向 []rad ?
且各个方向的运动方程可以表示为：
2
2[sin ]H d f m x L dt
?=+ （2） 2
2[cos ]V d f mg m L dt
?-= （3） sin cos V H J Lf Lf ?η???+=- （4）
其中[]H f N 和[]V f N 分别表示作用在节点上的沿水平方向和铅直方向的反作用力。记转动惯量为2/3J mL =，摩擦系数为η，则由(2)和(3) 求得[]H f N 和[]V f N ，并代入(4)，得
2()cos sin J mL mL x mLg ??η??++=-+ （5）
由于摆的水平方向的推力F f 等于摆的水平运动作用在台车上的阻力H f , 即
F H f f = （6）
将（2）式中的H f 代入（1）式，得到小台车的运动方程为：
2()()(cos )(sin )()w M m x K x mL mL f f ξ????++++-=+ （7）
由（5）式和（7）式可得出倒立摆系统的数学模型为如下方程组：
22()()(cos )(sin )()()cos sin w M m x K x mL mL f f J mL mL x mLg ξ??????η??
?++++-=+??++=-+?? （8）
直线一级倒立摆系统的结构参数
台车的质量(M ) 0.445[kg ]
摆的质量(m)0.210[kg]
重力加速度(g) 9.8[2
m s]
/
质心距节点的距离(L) 0.305[m]
台车与轨道的摩擦系数（ξ） 0.925 2
?
[]
kg m
摆节点处的摩擦系数（η） 0.06[//]
N rad s 电动机动特性影响因数（K） 7.877[/]
Nm s
控制工程与仿真课程设计报告 报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准 评分项目权重评价内容评价结果项目得分 内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整 70-50分 设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整 50-30分 设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整 0-30分 语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确 10-15分语言基本通顺， 标点符号基本正 确 5-10分 语言不通顺，有 错别字，标点符 号混乱 5分以下 格式15 报告格式较正 确，排版较规范 美观 10-15分 报告格式基本正 确，排版不规范 5-10分 报告格式不正 确，排版混乱 5分以下总分
直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。
图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。
图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =
题目最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用
目录 摘要 (1) 前言 (3) 1倒立摆的研究 (3) 1.1 倒立摆的研究背景 (4) 1.2倒立摆的控制方法 (3) 2 二级倒立摆系统控制机理 (6) 2.1系统描述 (6) 2.2 二级倒立摆系统强迫运动的描述 (8) 2.3 二级倒立摆系统的控制规律 (8) 3直线二级倒立摆的建模 (9) 3．1 建模条件 (10) 3.2 利用力学建模 (11) 3.3利用拉格朗日方程建模 (14) 4 最优控制器的设计与调节 (18) 4.1 最优控制理论概述 (18) 4.2 应用软件MATLAB的简介 (21) 4.3LQR控制器的设计与调节 (22) 4.3.1 LQR控制器的设计 (22) 4.3.2 加入增益的LQR控制器的调节 (27) 4.4连续系统的离散化仿真设计 (28) 5 最优控制法与极点配置法的比较 (31) 5.1 极点配置法的基本原理 (31) 5.2 配置极点并与最优控制法比较 (33) 6总结 (38) 致谢 (39) 参考文献 (40) 附录 (41)
最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用 摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性而难以控制, 也因此成为自动控制实验中验证控制策略优劣的极好的实验装置。本文介绍了直线二级倒立摆的控制机理，详细的分析了直线二级倒立摆的建模过程。并且对最优控制理论和MATLAB做了简单的介绍，针对系统设计了最优控制器，并与极点配置法进行了比较。结果表明最优控制器对于二级倒立摆系统有着很好的控制能力。 关键词：二级倒立摆；LQR；极点配置；MATLAB The application of Optimal Control on Double Inverted Pendulum Student：QIN Kai-yang Supervisor：Y AN Juan-juan (College of Electrical Engineering &Information Technology, China Three Gorges University) Abstract：Inverted pendulum system is difficult to control because of its instability. It becomes the wonderful experiment device to verify how about the control strategy in automatic control experiment. The text introduced the mechanism of the double inverted pendulum. It simply introduced optimal control theory and the software of Matlab. The double inverted pendulum is modeled and the controller is designed by using optimal control theory. The simulating results show that quadratic optimal control has the ability to control the representative nonlinear instability system. Key words：Double Inverted Pendulum；LQR；MATLAB；Pole Configuration
西南科技大学 自动化专业方向设计报告 设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制 姓名： 学号: 班级： 指导教师： 起止日期：
方向设计任务书 学生班级：学生姓名：学号： 设计名称： 起止日期：指导教师： 方向设计学生日志
直线二级倒立摆的建模与镇定控制 摘要（150-250字） 倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。 本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。 关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制
Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment. In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control
倒立摆 倒立摆百度文库解释： 倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 倒立摆系统简介 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 倒立摆分类
系统建模 系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则： 1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。 2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式； 3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。 小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制. 在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统,如下图所示: 图中F 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，φ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。 M 小车的质量 0.5Kg m 摆杆的质量 0.2Kg X φ F M 图1 直线一级倒立摆系统 θ
三级倒立摆 摘要：从刚体运动学角度分析了三级倒立摆系统的运动，运用状态空间法对三级倒立摆系统进行数学模型的建立;应用二次型最优控理论实现三级倒立摆控制；最后根据计算结果，通过Matlab程序仿真，得出上中下摆的角度和小车的位移曲线图。 关键词：倒立摆；最优控；仿真；MATLAB 三级倒立摆系统模型 一个典型的三级直线倒立摆系统主要由机电装置和控制装置两部分组成,机电装置的结构见图! 其主要由摆杆、电机、小车、导轨、传动齿轮、齿条及各种传感器等构成假设系统中的每一根摆杆都是匀质刚体， 图1所示的倒立摆系统的物理分析： 三级倒立摆受力分析图： 小车受力分析图 小车 图1 系统分析示意图
上摆受力分析 下摆牛顿定律及动力矩方程： 中摆受力分析： ) 丄摆受力分析： 注：—下，中，上摆质心到铰链处距离； –下，中摆的长度； 上，中，下摆偏离竖直方向的角度； 下，中，上摆质量; 其动力学方程如下⑴： M()=F(⑴ M()= F()=
N()= G= 将此非线性模型在系统的平衡点r====0,处线性化得到系统的状态方程: ⑵ , 其中： 将参数带入方程计算： A= B= C=D= 控制器设计 根据由图⑴所示的倒立摆系统模型的推导可知，该系统在一定的前提下，可以转变为线性系统#对于线性系统的控制，需要经过系统的稳定性、能控性和能观性判断后才能选择其最优的控制策略#图!显示了式（$）所示的线性系统外控制器的设计过程 状态方程的重构过程，实质上就是本文从式⑴式转化为式⑵式的过程，在MATLAB中，可以用如下代码表示: ％系统状态方程的重构 ％状态变量 ()=( ,zeta) ％输出变量Y=X A=zeros(8,8); A(1:4,5:8)=eye(4,4); A(5:8,1:4)=M A(5:8,5:8)=M ％不用invese而用blackslash是由于blackslash有更好的错误检查机制并且少用时间和内存。 B=zeros(8,1); B(5:8)=M C=zeros(4,8) C(1:4,1:4)=eye(4,4); D=zeros(4,1); 系统的稳定性、能控性及能惯性判断 对于如式（2）式所示的线性定常系统而言，其稳定性可通过计算系统矩阵A 的特征值来确定(李雅普诺夫线性系统稳定判据)，如果特征值均处于[S]复平面左半平面，则系统稳定。
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 第1 页共11 页 倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远 动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有． 第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点， 另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点 距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其 上海电力学院课程设计报告 课名：自动控制原理应用实践 题目：倒立摆控制装置 院系：自动化工程学院 专业：测控技术与仪器 班级：2011151班 姓名：马玉林 学号：20112515 时间：2014年1月14日 倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 1.1 倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。 2 直线倒立摆数学模型的建立 直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 2倒立摆系统的模型建立 2.1 倒立摆特性 ●非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。 ●不确定性 模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。 ●耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 ●开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。 ●约束限制 由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。 2.2 一阶倒立摆数学模型 倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。 2.2.1 一级倒立摆物理模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示： 皮带轮 图2.1 单级倒立摆系统物理模型 2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值： 表2.1 一级倒立摆参数表 参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*m f 加到小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与竖直向上方向的夹角 通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程： 2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2) 22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θ θθθθθθθθθ+-? ?--????= ? ???----?????? (2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型 2.3.1 二级倒立摆物理模型 如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型 一级倒立摆物理建模和传递函数的推导 设定： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --=? ?? (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += (2) 即： θθθθsin cos 2 ?? ???-+=ml ml x m N (3) 把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++?? ????θθθθsin cos )(2 (4) 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程: )cos (2 2 θl dt d m mg P =- (5) θθθθcos sin 2 ?? ?--=-ml ml mg P (6) 力矩平衡方程： ? ?=--θθθI Nl Pl cos sin (7) 此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程： θ θθcos sin )(2 ? ???-=++x ml mgl ml I (8) 设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2 =dt d θ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： { u ml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+? ?? ? ?? ???φφφ)()(2 (9) 假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换： { ) ()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10) 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= (11) 或 mgl s ml I mls s X s -+=Φ2 22)()()( (12) 令? ?=x v ，则有： mgl s ml I ml s V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到： 线控大作业 如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%， 调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。 要求：1、建立倒立摆系统的状态方程 2、定量分析,定性分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、极点配置 设计分析报告 1 系统建模 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。 图 一级倒立摆模型 其中： φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += 即： θθθθsin cos 2 ml ml x m N -+= 把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )cos (22 θl dt d m mg P =- θθθθ cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下： θ θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++ 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dt d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： 2(+)()I ml mgl mlx M m x bx ml u ????-=?++-=? 对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到 ?????=Φ-++=Φ-Φ+) ()()()()()()()()(22222s U s s m l s s bX s s X m M s s m lX s m gl s s m l I 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= 或 m g l s ml I mls s X s -+=Φ222 )()()( 如果令x v =，则有： 绪论 (1) 1倒立摆系统的建模 (2) 1.1倒立摆系统的特性分析 (2) 1.2二级倒立摆系统的数学建模 (3) 1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立4 1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (5) 2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计 (8) 2.1二级倒立摆性能分析 (8) 2.1.1稳定性分析 (8) 2.1.2能控性能观性分析 (9) 2.2线性二次型最优调节器原理 (11) 2.3加权阵Q和R的选择 (13) 3模糊控制的基本原理 (14) 3.1模糊理论的基本知识 (14) 3.1.1模糊控制概述 (14) 3.1.2模糊集合 (15) 3.1.3 模糊规则和模糊推理 (16) 3.1.4反模糊化 (17) 3.2模糊控制系统的设计 (17) 3.2.1模糊控制系统的组成及原理 (17) 3.2.2模糊控制器设计的基本方法与步骤 (19) 3.3二级倒立摆模糊控制器的设计 (20) 4二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (23) 4.1基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (24) 4.2基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (26) 4.2.1二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (26) 4.2.2量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (28) 4.3两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (29) 结束语 (30) 致 (31) 参考文献 (32) 附录 (33) 本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究 发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。 其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR 最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两 个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。 最后完成了二级倒立摆系统控制程序的设计和调试，实验取得较好的仿真控效果，并对实验结果进行了详细的分析。结论部分对本课题的意义、目的和工作内容进行总结。 关键词：二级倒立摆，最优控制，模糊控制 倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时 间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&& ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直 立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。 选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=?????? ? ???????-+?????????? ??? ? +- =???? ????????=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到： [][]0,0001,1010,01100 1000010000 1 0==-=? ? ??? ? ??? ???-=D C B A T倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料
20112515直线一级倒立摆机理建模
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