割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2?14 4x 1+2x 2?18 x 1,x 2?0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9 x 1,x 2?0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1
最优解为：x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如： x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x 2和x 4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x 3,x 4?0，所以必有：
由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x 3+1/2x 4)?0 (3) 或 x 3+x 4?1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x 1+2x 2?11 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x 5，得： -1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题： Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9
一、本设计规范适用范围 二、轮胎设计依据的确认 1.目标市场、用户要求的确认 2.轮胎、轮辋设计标准、法规的确认 3.轮胎生产工装、模具及专用工器具、工艺条件的确认 4.轮胎预期成本的测算与分析 5.轮胎设计规格、花纹类别的确认 6.轮胎性能取向、性能指标的确认 7.轮胎试验条件的确认 8.轮胎专用内胎、气门嘴、垫带、硫化胶囊的配置 9.轮胎设计技术要求的确定 10.轮胎设计原则的确定 三、轮胎技术设计 1.新胎充气外缘尺寸的确定 2.轮胎模具型腔尺寸的确定 3.轮胎花纹的设计 4.轮胎花纹总图的绘制
5.轮胎字体排列图的绘制
四、轮胎施工设计 1.轮胎结构型式的确定 2.轮胎骨架材料规格的确定 3.轮胎各部位厚度的确定 4.轮胎成型参数（成型机头曲线、贴合鼓直径等）的确定 5.轮胎半成品部件的确定 6.轮胎材料分布图的绘制 7.轮胎生产专用工器具的确定 8.轮胎施工文件的编制 五、轮胎设计验证 六、轮胎设计文件的编制 七、轮胎设计更改
、本设计规范适用范围 半钢丝结构子午线轮胎（有内胎和无内胎子午线轮胎） 1.轿车子午线轮胎 2.公制、英制轻卡子午线轮胎 3.拖车、挂车子午线轮胎 4.农用子午线轮胎 二、轮胎设计依据的确认 1.目标市场、用户要求的确认 产品设计开发的优先原则：符合标准化、系列化、规范化、通用化的产品优先（采标产品优先原则）；优先满足具有市场普遍性的需求（少数服从多数原则）；优先采用国际先进标准及法规（先进标准覆盖落后标准原则）；优先满足原配胎市场的需求（高性能满足低性能原则）；优先满足国际市场的需求（高质量取代低质量原则）；优先满足高速级、高层级的需求（高指标涵盖低指标原则）；优先满足轻量化、节能、环保、跑气保用、智能型等高技术含量的产品需求（换代产品优先原则）。 另外，对客户（尤其是原配胎市场）的更具体、更细化的要求应尽量满足。如遇到客户的要求不合理，可以通过解释、引导、替代的方法加以解决，最终让客户满意。 2.轮胎、轮辋设计标准、法规的确认 对客户无特殊要求的轮胎，设计首先要满足企业产品标准，企业产品标准
轮胎使用与服务指导手册
为了您的经济利益和人身安全，使用轮胎时严禁超载。 车辆载运时必须按照轮胎允许负荷装载客、货，不得超过车辆规定的载重量。轮胎超载行驶会加剧轮胎的变形，变形部位也会增多，特别是胎侧弯曲变形增大，接地面积也随之增大，增加胎肩部位的磨损，胎体帘布易脱层，加速了轮胎的损坏。如果在行驶过程中遇到障碍物，即使很小的一个石块，也容易引起胎冠部位爆破，车辆超载越多，轮胎使用寿命越短。因此，必须掌握轮胎的负荷，使负荷尽可能平均分配在每个轮胎上。 载货汽车载荷分布示意图 正确的载货方法不正确的载货方法 第五条下列情况属使用不当问题 1.存放不当 1）与油类、易燃品、化学腐蚀品混放，造成轮胎发粘软化。 2）长期露天堆放、阳光直射、雨淋，引起轮胎老化。
3）堆放不当引起轮胎变形。 2、装配不当 1）轮胎装卸时叉车使用不当，叉坏轮胎胎圈或胎体。 2）轮胎安装时，用强力硬撬造成胎圈变形、损坏。 3）轮胎或轮辋装配不当，或轮辋变形、锈蚀造成磨趾口、烧趾口。 3.充气不当 1）气压过低，使轮胎变形大，胎温急剧升高，胎体变软，强度下降，造成胎面异常磨损，胎里帘线松散、断裂、冠空、肩空、脱层或胎体碾坏。 2）气压过高，使轮胎帘线受力增大，抗屈挠性能下降，造成磨冠、冠爆、胎面异常磨损。 3）气压高低不一，并装轮胎一条气压高，一条气压低，造成单胎超载损坏。 4、超载和负荷不均 1）轮胎超载，造成胎面异常磨损，胎冠或胎面爆破，肩空、胎里帘线松散、断裂，趾口爆、趾口折断。 2）负荷不均，造成胎面磨损不均。 5、使用和保养不当 1）车况不良（如车辆前束角、外倾角之间调整不当等）引起的轮胎偏磨、不规则磨损或随之发生的轮胎损伤。 2）轮胎未定期换位，轴距偏差过大，造成胎面异常磨损 3）斜交结构轮胎和子午结构轮胎混装，造成轮胎损坏。
第五章整数规划练习 题答案
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。( ) 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。( ) 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。( ) 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42132 510425 1042 4003B 13752102641015406241515130450203057470574704646111 -???? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5 l m 44213421324324315415452352346464646=<===???? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ? ?? ? ? ? ???????0 3102340031 15406020303535?? ? ? ? ? ? ??? 31234311546233535??? ?? ? ?→ ?? ? ??? m=5=n ，得最优解。解矩阵*00 01000100X 00 0010100010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。
轮胎的基本知识 轮胎的生产和制造主要包括四大工序：混炼，压延，成型和硫化。按照生产工艺来划分主要分为两大类：子午线轮胎和斜交轮胎。这是按照帘线层交叉角度来划分的。子午线轮胎的帘线不是相互交叉排列的，而是与外胎断面接近平行，像地球子午线排列，帘线角度小，一般为0°，胎体帘线之间没有维系交点，所以习惯上成为子午线轮胎。斜交轮胎指的指胎体帘布层和缓冲层相邻层帘线交叉，且与胎面中心线呈小于90℃角排列的充气轮胎。 一、子午线轮胎： 子午线轮胎主要分为两个大类：全钢子午线轮胎和半钢子午线轮胎。 1.全钢子午线轮胎是指胎面和胎体用的都是钢丝连线，我们习惯上一般都将这些轮胎简称为TBR(Truck Bus Radial)。主要适用于载重卡车，公交车，大巴车等等。按照工艺主要分为两大类：有内胎的和无内胎的。 （1）有内胎全钢子午线轮胎。有内胎的全钢胎规格主要有以下这些： 12.00R24-20/12.00R20-18/11.00R20/16/10.00R20-16/9.00R20-16/8.25R20-16/8.2 5R16-16/7.50R16-14/7.00R16-14/6.50R16-10等等。这些规格一般都是指有内胎的轮胎，我们称之为“TT”(Tube Tyre)。规格和尺寸主要是上面这些，但是不同的而花纹设计，大大丰富了TBR产品的种类和花样，根据不同的环境和使用要求，进而衍生出了各种不同的花纹设计。导向轮花纹，驱动轮花纹，高速用花纹，矿山用花纹等等。对于轮胎的规格尺寸各个数字表示的意思：就拿12.00R20-18为例，12.00指的是轮胎的断面宽度，单位是英寸，R指的是子午线轮胎，是RADIAL的缩写，20指的是轮辋尺寸，该轮胎要装什么尺寸的轮辋，18指的是轮胎的层级，一般称之为“PR”（Ply Rating）。下面这个花纹就是高速用轮胎，全轮位。
题目：割平面法及其数值实现 院系：数理科学与工程学院应用数学系 专业：数学与应用数学 姓名学号：*** 1****** *** 1****** *** 1****** *** 1****** 指导教师：张世涛 日期：2015 年 6 月11 日
整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。 割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。 关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。 Abstract The integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming. Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved. Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.
汽车依靠轮胎支承在路面上，而直接与路面接触的却是轮胎花纹。轮胎不仅承载、滚动，而且通过其花纹块与路面产生的磨擦力，成为汽车驱动、制动和转向的动力之源。 下面安福慧就轮胎花纹的作用以及影响花纹作用的因素等做一分析 花纹作用 简言之，轮胎花纹的主要作用就是增加胎面与路面间的磨擦力，以防止车轮打滑，这与鞋底花纹的作用如出一辙。轮胎花纹提高了胎面接地弹性，在胎面和路面间切向力(如驱动力、制动力和横向力)的作用下，花纹块能产生较大的切向弹性变形。切向力增加，切向变形随之增大，接触面的“磨擦作用”也就随之增强，进而抑制了胎面与路面打滑或打滑趋势。这在很大程度上消除了无花纹（光胎面）轮胎易打滑的弊病，使得与轮胎和路面间磨擦性能有关的汽车性能——动力性、制动性、转向操纵性和行驶安全性的正常发挥有了可靠的保障。有研究表明，产生胎面和路面间磨擦力的因素还包括有这两面间的粘着作用，分子引力作用以及路面小尺寸微凸体对胎面微切削作用等，但是，起主要作用的仍是花纹块的弹性变形。 轮胎花纹影响因素 影响花纹作用的因素较多，但起主要作用并与汽车使用有关的因素是花纹型式和花纹深度。 轮胎花纹型式 轮胎外表面有不同的花纹，常用的轮胎花纹主要有：普通花纹，包括横向花纹和纵向花纹两种，其中斜交轮胎采用的是横向花纹，子午线轮胎采用的是纵向花纹。纵向花纹适用于轿车和货车，横向花纹仅适用于货车；混合花纹，特点是花纹较粗、纵向为锯齿形或烟斗形花纹，两边为横向越野花纹，适用于各类汽车；越野花纹，特点是凹部深而宽，抓地性强，适用于越野车和矿山专用车等。 普通花纹 普通花纹适合于在硬路面上使用。它分为纵向花纹、横向花纹和纵横兼有花纹。 纵向花纹 纵向花纹的共同特点是胎面纵向连续，横向断开，因而胎面纵向刚度大，而横向刚度小，轮胎抗滑能力呈现出横强而纵弱。这种花纹轮胎的滚动阻力较小，散热性能好，但花纹沟槽易嵌入碎石子儿。综合起来看，这种型式花纹适合在比较清洁、良好的硬路面上行驶。例如，轿车、轻型和微型货车等多选择这种花纹。 横向花纹 横向花纹横向花纹共同特点是胎面横向连续，纵向断开，因而胎面横向刚度大，而纵向
割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2?14 4x1+2x2?18 x1,x2?0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有：Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x2?0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1
最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4?0，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)?0 (3) 或 x3+x4?1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x2?11 (5)
从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部 分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x5，得： -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 x i?0，且为整数，i=1,2,…,5 该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2： 表2
如何识别轮胎标记 轮胎是汽车的重要部件，在汽车轮胎上的标记有10余种，正确识别这些标记对 中型客车轮胎新品 轮胎的选配、使用、保养十分重要，对于保障行车安全和延长轮胎使用寿命具有重要意义。 轮胎规格 轮胎规格：规格是轮胎几何参数与物理性能的标志数据。轮胎规格常用一组数字表示，前一个数字表示轮胎断面宽度，后一个数字表示轮辋直径，均以英寸为单位。中间的字母或符号有特殊含义： 轮胎结构：R”表示子午胎，“D”、“一”表示斜交胎。 其他："XL"表示质地局部加强胎，"TG"表示工程牵引车和平地机轮胎（非公路用），"NHS"表示非公路使用轮胎。 层级 层级：层级是指轮胎橡胶层内帘布的公称层数，与实际帘布层数不完全一致，是轮胎强度的重要指标。层级用中文标志，如12层级；用英文标志，如″14P．R″即14层级。 帘线材料 帘线材料：有的轮胎单独标示，如“尼龙”（NYLON），一般标在层级之后；世有的轮胎厂家标注在规格之后，用汉语拼音的第一个字母表示，如－20N、－20G等，N表示尼龙、G表示钢丝、M表示棉线、R表示人造丝。 负荷及气压 负荷及气压：一般标示最大负荷及相应气压，负荷以“公斤”为单位，气压即轮胎胎压，单位为“千帕”。 轮辋规格 轮辋规格：表示与轮胎相配用的轮辋规格。便于实际使用，如“标准轮辋”。 平衡标志
平衡标志：用彩色橡胶制成标记形状，印在胎侧，表示轮胎此处最轻，组装时应正对气门嘴，以保证整个轮胎的平衡性。 滚动方向 滚动方向：轮胎上的花纹对行驶中的排水防滑特别关键，所以花纹不对称的越野车轮胎常用箭头标志装配滚动方向，以保证设计的附着力、防滑等性能。如果装错，则适得其反。 磨损极限标志 磨损极限标志：轮胎一侧用橡胶条、块标示轮胎的磨损极限，一旦轮胎磨损达到这一标志位置应及时更换，否则会因强度不够中途爆胎。 生产批号 生产批号：用一组数字及字母标志，表示轮胎的制造年月及数量。如“98N08B5820”表示1998年8月B组生产的第5820只轮胎。生产批号用于识别轮胎的新旧程度及存放时间。 商标 商标：商标是轮胎生产厂家的标志，包括商标文字及图案，一般比较突出和醒目，易于识别。大多与生产企业厂名相连标示。 其它标记 其它标记：如产品等级、生产许可证号及其它附属标志。可作为选用时参考资料和信息。 省油轮胎 轮胎标记一般都标志得比较规范，识别清楚后就可放心选购和使用了。 以下是一个常见的轮胎规格表示方法： 例：185/70R1486H 185：胎面宽（毫米） 70：扁平比（胎高÷胎宽） R：子午线结构 14：钢圈直径（寸） 86：载重指数（表示对应的最大载荷为530公斤） H：速度代号（表示最高安全极速是210公里/小时）
数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。 我们允许数学中国网站(https://www.doczj.com/doc/e914392369.html,)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为：1149 参赛队员(签名)： 队员1： 队员2： 队员3： 参赛队教练员(签名)： 参赛队伍组别：本科组
数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：1149 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
2014年第七届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛第一阶段论文 题目轮胎花纹特性 关键词力学分析、有限元、球面声源 摘要： 本文就轮胎花纹对摩擦力（抓地力）、排水性能、轮胎花纹的噪声的影响三方面对轮胎的性能进行分析比较。 对于摩擦力方面，我们发现轮胎花纹与车辆运行方向的夹角可能是影响抓地力的一个重要因素，于是我们将该模型放大，通过细致地分析其物理受力情况，从经典物理力学角度去解释轮胎在旱地上抓地力的问题，得出结论 花纹与水平线法线夹角越大，车的摩擦力越大，即抓地力越大，驱动力越强。 对于排水方面，我们发现如果过度地高速行驶，则会使轮胎发生完全浮与水层之上即滑水的情况，此时就会发生事故，而车胎花纹是可以调控的增加汽车发生事故最低速度的一大因素，对于分析轮胎花纹，我们采用有限元法，在借助有限元模拟软件的基础上得出结论 花纹与水平线法线夹角越大，滑水性越差，即排水效果越差，而由此也可得到纵纹轮胎排水性最佳。18cm的花纹沟的轮胎滑水性能最佳。 对于轮胎花纹对噪声的影响方面，我们主要从轮胎花纹的深度，宽度，角度（花纹和水平线法线的夹角，0度既是纵向花纹，90度既是横向花纹）来研究。因为声波是由与流体介质相接触的任何固体的振动或由直接作用在流体上的振动力、源的特性决定所产生声场的频率和特性。所以我们应用球面波源进行求解，利用简单声源的声压表达式（5.1）进行比较分析。 而后编程，通过曲线图得出在花纹沟宽度及其它情况完全不变的情况下，花纹深度增大将引起轮胎噪声增强。花纹深度及其它情况完全不变的情况下，花纹沟宽度增大将会使轮胎的噪声声压有所提高，但不明显。花纹沟角度每增大15°，轮胎的噪声声压将提高11O～130，即纵向花纹噪声最小。 参赛队号:1149 所选题目:A题参赛密码 （由组委会填写）
第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A & B C D E 甲 9 4 6 8 5 \ 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 ' 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 ； 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 64 10 154062415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ?? ? 31234311546233 5 3 5? ?? ?? ? ?→ ?? ? ?? ? m=5=n ，得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101 00010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。
§3.2 G o m o r y 割平面法 1、G o m o r y 割平面法的基本思想 ??? ?? ??≥=为整数向量x x b Ax t s x c T 0..min （P ） ?????≥=0..min x b Ax t s x c T （P 0） 称（P 0）为（P ）的松弛问题。记（P ）和（P 0）的可行区域分别为D 和D 0 , 则 （1）0D D ?； （2）若（P 0）无可行解，则（P ）无可行解； （3）（P 0）的最优值是（P ）的最优值的一个下界； （4）若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。 基本思想： （1）用单纯形法求解松弛问题（P 0），若（P 0）的最优解 0x 是整数向量， 则 0x 是（P ）的最优解。计算结束。 (2) 若（P 0）的最优解 0x 不是整数向量，则对松弛问题（P 0）增加一个 线性约束条件（称它为割平面条件）， 新增加的约束条件将（P 0）的行区域D 0割掉一块，且这个非整数向量 0x 恰在被割掉的区域内，而原问题（P ）的任何一个可行解（格点）都没有被割去。记增加了割平面的问题为（P 1）， 称（P 1）为（P 0）的改进的松弛问题。 （3）用对偶单纯形法求解（P 1），若（P 1）的最优解 1x 是整数向量，则 1x 是（P ）的最优解。计算结束。否则转（2）
割平面的生成： 对给定的（P ）， 用单纯形法求解它的松弛问题（P 0），得到（P 0）的最优基 本可行解 0x ，设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=， m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量，记基变量的下标集合为 S ，非基变量的下标集合为 S 。则松弛问题（P 0）的最优单纯形表为 ∑∈=+S j j j z x z 0ξ m i b x a x S j i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈ （3.2.1） 为了使符号简便，令 000,,0z b a z x j j B ===ξ。如果 m i b i ,,1,0,Λ= 全 是整数，则 0x 是（P ）的最优解。计算结束。否则至少有一个 l b 不是整数 )0(m l ≤≤，设 l b 所对应的约束方程为 , ∑∈=+S j l j lj B b x a x l （3.2.2） 用 ][a 表示不超过实数 a 的最大整数，则 ,][, , ][l l l lj lj lj f b b S j f a a +=∈+= （3.2.3） 其中，lj f 是 lj a 的分数部分，有 S j f lj ∈<≤,10， l f 是 l b 的分数部分， 有 .10<≤l f 由于在（3.2.2）中的变量是非负的，因此有 ∑∑∈∈≤S j j lj S j j lj x a x a ][ （3.2.4） 所以由（3.2.2）得 , ][∑∈≤+S j l j lj B b x a x l （3.2.5） 因为在ILP 中 x 限制为整数向量，故（3.2.5）的左端为整数，所以右端用 l b 的整数部分去代替后，（3.2.5）式的不等式关系仍成立，即
轮胎花纹深度尺如何用？(图) 2009-06-11 10:48:00 来源: 南方都市报(广州) 跟贴 0 条手机看新闻 轮胎花纹深度尺是通过测量轮胎的主花纹沟来得出结果。 轮胎花纹深度尺是通过测量轮胎的主花纹沟来得出结果。 车博士信箱 车主刘小姐问：最近，朋友送给我一个轮胎花纹深度尺，说是可以测量轮胎是否超出安全花纹深度，以便确定车的轮胎是否有必要换。究竟如何理解这个轮胎安全花纹深度？还有，这种轮胎花纹深度尺如何用呢？ 答：在日常用车中，轮胎什么时候应该更换，有很多车主都感到困惑。通过使用轮胎花纹深度尺，可以便捷地测出轮胎是否超出安全的花纹深度。一般来说，当轮胎磨耗到胎面花纹沟深仅剩1.6毫米时，就必须更换。这时纵贯胎面的“磨耗标记”胶条便会明显显露出来，表示应该马上更换轮胎。否则，行驶时轻则轮胎会出现打滑现象，延长制动距离；严重时，当轮胎在湿滑路面上行驶，易产生“浮滑现象”，造成方向盘及制动失灵，引发安全事故，同时也易引发爆胎事故。 如果你手上有一把轮胎花纹深度尺，可以将它的尖端，伸入轮胎胎面的同一横截面几个主花纹沟中，测量它的深度，得出一组数值，从中得出平均数。如果您经常高速行车，当测量轮胎剩余花纹沟深度低于3毫米时，就建议尽快更换。 在初次使用这种深度尺时，你可能会有些困惑，毕竟，这种深度尺有两组数字。首先，
你要认清楚，粗一点固定的标尺，是辅助测量尺；而细长可以移动的，就是主测量尺。当你看到主尺的探头与尺身处于同一平面时，辅助尺与主尺的“0”刻度对齐，此时就是深度尺“归零”状态； 实际测量时，可将辅助尺“0”刻度所处位置的左侧主尺刻度读为整数；辅助尺的哪一个刻度与主尺任一刻度对齐(或最接近对齐)，则作为小数点后读数。 举个例子，辅助尺的“0”刻度位于主尺“20mm”与“21mm”刻度之间，读为20mm。辅助尺的“2”刻度与主尺的某一刻度对齐，则读为0.2mm。主尺读数与辅助尺读数相加为总读数，即20.2mm。 自己进行实际测量时，要注意几个细节：应测量轮胎的主花纹沟；使深度尺垂直于胎面；主尺探头避开花纹沟内的磨损极限标志；如果是新胎，注意尺身避开胎面上突起的胶辫。 本报记者梁罗喆(技术支持：普利司通轮胎专家李巍) (本文来源：南方都市报 )
第章整数规划割平面法 This manuscript was revised on November 28, 2020
割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x214 4x1+2x218 x1,x20，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有：Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x20，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1
最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x40，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)0 (3) 或 x3+x41 (4)
这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x211 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x5，得： -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 x i 0，且为整数，i=1,2,…,5 该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2： 表2
第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A B C D E 甲 9 4 6 8 5 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 6410 1540 62 415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ???
普利司通技术说明 一、轮胎轮廓设计 （一）技术核心 1、动态平衡轮廓理论 普利司通轮胎轮廓设计的核心是动态平衡轮廓理论。传统的设计理论是自然平衡轮廓理论，这种理论让轮胎在静止充气状态达到受力最佳，但是当轮胎在使用即滚动状态下，由于离心力、负载的作用，轮廓会发生变化，静态平衡轮廓就不是最佳状态了。而动态平衡轮廓理论通过模拟轮胎滚动状态，使的轮胎轮廓在滚动状态下达到最佳状态。 动态平衡轮廓和静态平衡轮廓的轮胎形状差异（虚线为静态平衡轮廓） 这种最佳状态表现为： （1）钢丝带束层所受张力平均分配，从而使轮胎的胎面与地面接触更加充分，导致对地抓着力、抗湿滑性、滚动阻力、高速性能的大幅度上升。
传统理论设计的轮胎接地状态，胎面与地面接触不充分 动态平衡理论设计的轮胎接地状态，胎面与地面接触比较充分 （2）动态平衡轮廓的轮胎因为轮廓形状设计的合理，轮胎子口部位在充气压力的作用下向上抬起，减少了子口部位和轮辋的应力作用，耐久性能更好；传统设计理论的轮廓子口部位往往被充气压力压向轮辋，当子口部位不断曲挠变形的时候很容易损坏，耐久性能不佳。 2、BBB设计理论 BBB设计理论是在动态平衡轮廓理论基础上发展起来的，它的目的是在保持轮胎总体良好性能的基础上把轮廓缩小，从而达到有效降低轮胎成本、提升轮胎性价比的效果。 一般轮胎的直径和宽度都是按照国际标准值设计，如果小于标准值就会造成
轮胎体积偏小，负载能力和刚性不足，影响安全性和操作性能。但是BBB设计技术的应用可以使轮胎的直径和宽度都小于标准值（仍然在标准值的下限范围之内），它的原理就是通过特定程序的计算，得出轮胎轮廓的几个关键点，然后依据这几个点按照特定的方法绘制出轮廓，使的整个轮胎的胎肩和子口这两个轮胎最关键的部位处于最佳平衡状态，并且在轮胎的体积缩小的情况下仍然保证足够的刚性，满足车辆操纵的需求。 BBB设计使的轮胎比普通轮胎具有明显的成本优势，并且性能也犹有过之。 （二）技术优势 普利司通轮胎轮廓设计的两大支柱就是动态平衡轮廓理论和BBB设计理论，这两种理论综合运用，用最小的资源消耗达到最佳的性能，具有巨大的竞争优势： 1、在使用相同的骨架材料和胶料的情况下，普利司通技术的轮胎具有更好操纵性、 安全性、低滚阻、抗湿滑性。 2、在明显低于其它轮胎成本（可达10%）的情况下，可以实现相同甚至更好的轮 胎性能，并且因为重量低，可以更有效降低滚动阻力，实现节油环保。 二、花纹设计 （一）技术核心 1、花纹性能模拟技术 半钢子午胎规格种类繁多，并且绝大部分用于轿车，这就赋予它很强的时尚色彩，因此轮胎花纹也是千变万化，需要不断推陈出新。但是由于轮胎花纹对 轮胎的性能也有很大影响，很多花纹设计好看却性能很差，所以很多轮胎厂家 受困于轮胎花纹美学和性能的矛盾，不敢也无法在花纹图案方面大胆设计。 普利司通由于具有成熟的花纹模拟技术，即花纹设计方案没有变成轮胎实物之前就对其性能模拟，判断其优劣，并加以改进，使得花纹设计师可以大胆设 计多种方案加以筛选改进，最后投产的轮胎花纹既新颖美观又性能出众，缩短 了研发周期，提升了产品档次。
轮胎花纹的有关分析 关 键 词 胎面花纹;接地压力;摩擦应力;三维建模；有限元模型 摘 要 轮胎胎面花纹是轮胎与路面相互作用的直接接触部位，它不仅对轮胎的抓地性有直接的影响，而且对汽车的性能也有极大的影响。因此我们通过一些数学模型来进行定性的分析。 就汽车花纹的的样式，我们通过查找文献知识得到，具体分为普通花纹、越野花纹、混合花纹、块状花纹、非对称花纹和定向花纹这6种，然后就这6种花纹情况下，我们采用控制变量法，来逐个分析花纹样式对汽车性能的影响，然后我们针对性的选择纵向花纹这种典型情况，进行了一个纵向花纹的三维建模，主要公式有2222)()()(r c z b y a x =-+-+-，。根据前面建立的坐标系可知是绕Y 轴旋转,旋转矩阵为:y T =θθ θθ cos 0sin 01 0sin 0cos - 我们对整个轮胎进行了三维建模，我们借助李兵提出的组合周向保角映射建模法和组合类保角映射簇建模法理论（是近期花纹轮胎建模技术的重要进展）[3]。本文根据组合类保角映射簇建模法的基本原理,利用12.00R20型轮胎子午面内二维胎面的外轮廓曲线为圆弧的特点,对组合类保角映射簇建模法进行了简化,使之成为合二次周向保角映射,实现了从曲面到平面的转换。紧接着，我们应用有限元分析法的思路，进行对轮胎花纹分析，轮胎由于充气和垂直载荷等作用，轮胎结构会产生较大的变形，轮胎几何结构的这种变形属于几何非线性问题。进下来我们对几何非线性问题进行了再次通过组合二次周向保角映射建模法，建立了轮胎的三维有限元模型。采用通用有限元软件ABAQUS,对该模型进行了静负荷工况及稳态滚动工况下的接地性能分析,并对稳态滚动工况下花纹沟闭合情况进行了初步研究。 由分析得出纵向花纹：这种型式花纹适合在比较清洁，良好的硬路面上行驶，轿车、小型货车等选用这种轮胎花纹。横向花纹：这种型式花纹适合于在一般硬路面上、牵引力比较大的中型和重型货车使用。纵横混合花纹：这种型式花纹的轮胎适应能力强，应用范围广泛，它既适用于不同的硬路面，也适宜安装于轿车和货车。
轮胎花纹知识讲解 轮胎，作为汽车上最重要也是最常规的部件之一，我想大家应该都不陌生，而在汽车爱好者中，自己爱车上所装备的轮胎品牌、型号等也是不少人茶余饭后的讨论热点。大家关心的无外乎就是抓地力、静音性以及排水性、耐用性等等。今天就和米其林工程师一起聊聊轮胎花纹设计的那些事儿，并主要抓地力、静音性以及排水性三者，在轮胎花纹设计中是如何寻求平衡的。
轮胎最重要的三大组成部分分别为：胎面、胎体和橡胶配方，其中自从子午线轮胎发明之后（什么是子午线轮胎，点击看这里）胎体结构和发展方向基本就确定了，目前乘用车所用的绝大部分轮胎基本结构大致相同，细节设计会有所差异，不过这与橡胶配方一样，都属于各个轮胎厂商的内部机密。而只有胎面花纹设计属于“公开信息”，因此本文中所提到的内容都只是针对轮胎花纹设计所展开的，至于橡胶配方和胎体结构不在本文介绍范围之内。 ■胎面花纹有什么作用 简单来说，胎面花纹最重要的三大作用是：1、提升抓地力；2、降低噪音； 3、增加排水性。不过这三者之间本身就是互相牵制甚至是冲突的，不可能达成所谓的“绝佳配比”。因此，轮胎厂商在胎面花纹设计时，就需要根据各款轮胎各自不同的产品定位，研发不同的花纹设计。下面我们就来说说，上述提到的三点，在轮胎上是如何体现的。至于橡胶配方和胎体结构本文暂不讨论。 1、提升抓地力 轮胎抓地力主要是通过胎面与地面的接触来实现的，米其林轮胎亚太区产品经理说，理论上光头胎的抓地力是最高的，但这概念仅限于干地，因为如果在湿滑路面，由于光头胎不具备排水性，会使车辆难以驾驭，影响安全性。因此，
我们在赛车比赛时，经常会看到一下雨，赛车就会纷纷驶入维修区更换雨胎。不过这对于我们日常用车来说是完全不现实的，因此在胎面花纹设计时就不得不寻求平衡点。