二叉树的性质及应用研究
摘要：课堂上学习可以知道，二叉树可以简单明了的表示很多繁琐的信息数据。同时，二叉树在有很多方面有具体的应用。通过搜集各方面的资料发现，越来越多的领域开始选择使用二叉树模型。本文针对二叉树的性质和二叉树在学习，生活，网络等方面的应用进行了一定的研究，以便于人们对二叉树更好的了解和使用。
关键词：二叉树；树；性质；应用
Study On The Application Of The Binary Tree Abstract: Through learning in the classroom we can know, binary tree can be simple and clear to show many complicated data. At the same time, binary tree have specific applications in many aspects. In this paper, the nature of the binary tree and binary tree in learning, living, network reseach, to facilitate the people of the binary tree better understand and use.
Key words: Binary tree;Tree;Nature;Application.
0引言
在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆。二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。逻辑上二叉树有五种基本形态：空二叉树，只有一个根结点的二叉树，右子树为空的二叉树，左子树为空的二叉树，完全二叉树；本文根据二叉树的性质形态，研究了二叉树在各个领域的应用实例，并且展望了二叉树在更多领域的应用。
1简介
在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆或是二叉排序树。二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2的i -1次方个结点；深度为k的二叉树至多有2^(k) -1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数(即叶子结点数)为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译源程序时，可用树表示源程序的语法结构。又如在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一。一切具有层次关系的问题都可用树来描述。
1.1树结构的特点
它的每一个结点都可以有不止一个直接后继，除根结点外的所有结点都有且只有一个直接前驱。以下具体地给出树的定义及树的数据结构表示。
2树
2.1树的定义
2.1.1树是由一个或多个结点组成的有限集合
(1)必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；
(2)剩下的结点被分成n>=0个互不相交的集合T1、T2、......Tn，而且，这些集合的每一个又都是树。树T1、T2、......Tn被称作根的子树(Subtree)。
2.1.2树的递归定义如下：
(1)至少有一个结点（称为根）
(2)其它是互不相交的子树
2.2树的度
也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.3树的深度
组成该树各结点的最大层次；
2.4森林
指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；
2.5有序树
指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
2.6树的表示
树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。如上图可写成如下形式：
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
3二叉树
3.1基本形态
二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：
(1)空二叉树——(a)；
(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；
(3)只有左子树——(c)；
(4)只有右子树——(d)；
(5)完全二叉树——(e)
注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
3.2重要概念
(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树,。
(3)深度——二叉树的层数，就是高度。
3.3性质
(1)在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；
(2)深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
(3)对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
(4)具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；
如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。
h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
(7)设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i。
3二叉树的应用
3.1二叉树在学习上的应用
3.1.1二叉树平面坐标网及其应用
平面坐标系是把平面上的点映射为一对有序实数，坐标系是形数结合的桥梁。在图形，图像处理中，要处理的点数很多，能都有效的表示点就成为能否有效地处理图形图像的基本问题。数学上普遍使用切分方法，把一个复杂的几何对象近似表示成简单的几何对象的几何，集合中简单的几何对象位置就由其特征点（或点集）的坐标决定。把复杂的几何对象近似的表示成一些矩形或者正方形，然后我们可以用二叉树来表示切分得到的一系列矩形或者正方形的位置关系，从而更简单的研究一个复杂的几何对象。
3.2二叉树在网络中的应用
3.2.1二叉树多类SVM在网络入侵检测中的应用[1]
入侵检测作为网络安全领域的关键技术，如何迅速，有效地发现各种攻击企图，攻击行为或者攻击结果，对保证网络系统资源的安全起到了至关重要的作用。支持向量机（SVM）是一种建立在统计学习理论基础上发展起来的机器学习方法。传统的SVM算法仅仅对两类问题进行分割，但在实际应用中分类问题可能会多于两类样本，如何有效地将两类问题推广到多类问题，目前已有一些卓有成效的方法，但是在解决了多类问题分类之后如何消除不可分区域并提高测试分类的精度成为一个新的研究问题，于是有人提出了一种基于二叉树结构
的多分类器融合方案，融合过程尽可能考虑到类别之前的区分度，从而建立一颗相对优化的二叉树SVM的多类分类算法，并把改进后的多类SVM应用于入侵检测中以提高系统性能。
二叉树多类SVM 用于入侵检测的步骤：设计一个二叉树需要选择一个合适的树结构, 即合理安排；树的结点和分支,必须在决策结点,以近似最优的方法将多类样本分为两组,使两组样本的聚类中心距离最大,且每组样本数据分歧最小(即“误差累积”,现象减少到最小),使上层中两个子类之间的可分性尽可能强。各类之间可分性越好,则分类器的分类性能越好。可见,结点分类器的类划分方案在很大程度上影响着二叉树SVM分类器的分类性能。我们用类中心之间的距离来度量类与类之间可分性与先聚类再分类法结合进行,具体改进的算法设计如下。给定具有k类c1,c2,…,ck的数据集D,假定为训练集中ci类的所有样本,表示集合的样本数,二叉树多类SVM模型的构造算法如下：Step1:计算每个类的类中心,i=1,2,…,k和任意两个类i,j之间的距离；Step2：计算类i与其他类的距离最小值,i=1,2,…,k；Step3：计算与其它类别距离最远的类编号,最远距离为；Step4：根据Step2中计算出的l i,合并l i中最小的两个类为一类,直到聚为两类为止,用Step1中的公式计算这两类之间的类距离；Step5：如果则转入Step6，否则转入Step8；Step6：分割出类别p为叶节点, 并把类别p的数据赋予标号+1,剩余的所有类别数据赋予标号-1,训练一个SVM作为二义树结构的一个中间节点；Step7：在分割出p类数据后余下的训练集中,重复计算和,并进行下一次比较,直到余下数据集只有一个类别则转入Step10；Step8：把聚为两类的数据分割为c1和c2两个子集,并对c1赋予标号+1,c2赋予标号-1,训练一个SVM作为中间节点；Step9：对子集c1和c2分别重复计算和,直到两个子集中的数据类别数都只有一类,则设该类标号为叶节点并转入Step10；Step10：训练终止,所有叶节点和中间节点组合构成优二叉树结构。
4总结
二叉树应用相当的广泛，学习上我们在不断的探索，生活中可以帮助我们设计通风除尘的机器，在网络中还能帮我们检测入侵的病毒，在投资决策中还能帮我们判断项目的价值，真是功能强大！也许，二叉树还可以应用于学校企业的电路网设计，也可以用来记录我们平常的消费情况等等。相信在今后的生活中，二叉树的应用还会越来越广泛！
参考文献
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二叉树的5个性质 1、在二叉树的第k 层上，最多有2k-1(k ≥1)个结点 证明：在二叉树的第i 层上最多有2 i-1 个节点 1层 1个 20 2层 2个 21 3层 4个 22 ..... i 层 2 i-1个 2、二叉树中如果深度为k,那么最多有2k -1个节点 证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。因此利用性质1可得，深度为k 的二叉树的结点数至多为： 20+21+…+2k-1=2k -1 故命题正确。 3、在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n 0，度为2的结点数为n 2，则n o =n 2+1。 . 证明：n 0=n 2+1 n 0表示度数为0的节点 n 2表示度数为2的节点 推导过程 根据两个公式 1）. n=n 0+n 1+n 2 n 表示二叉树中的节点总个数,n 1表示度数为1的节点个数 2）. n-1=2n 2+n 1 通过观察二叉树我们可知，除了根节点之外，其余的任何节点都有一个入口分支（或其他节点都有一个入口分支），那么节点的总分支数等于节点个数减一，度数为2的节点有2个出口分支，度数为一的有1个出口分支，度数为0的节点没有出口分支 所以总的分支个数为 2n 2+n 1，因此有n=2n 2+n 1+1, 3）.比较n=n 0+n 1+n 2和n=2n 2+n 1+1两式，可得n 0=n 2+1。 5.在完全二叉树中，具有n 个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]+1是向下取整。 证明： 根据性质 2: 假设深度为k 的满二叉树的节点个数一定为2k -1，那么n=2k -1推得满二叉树的深度数为k=log 2(n+1);——深度为m 的二叉树最多有2k -1个节点，即是满二叉树的情形。 设完全二叉树是具有n 个节点的二叉树，若按层序编号那么其编号与同样深度的满二叉() 11122111n m m n a q S q --===---() 11111220n k k n a a q k ---==?=≥
全国计算机等级考试二级公共基础之树与二叉树 1.6 树与二叉树 1.6.1 树的基本概念 树是一种简单的非线性结构。在树这种结构中，所有元素之间的关系具有明显的层次关系。用图形表示树这种数据结构时，就象自然界中的倒长的树，这种结构就用“树”来命名。如图： 在树结构中，每个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称为树的根（如R）。 在树结构中，每一个结点可以有多个后件，它们都称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点（如W，Z，A ，L，B，N，O，T，H，X）。 在树结构中，一个结点拥有的后件个数称为结点的度（如R的度为4，KPQDEC 结点度均为2）。 树的结点是层次结构，一般按如下原则分层：根结点在第1层；同一个层所有结点的所有子结点都在下一层。树的最大层次称为树的深度。如上图中的树深度为4。R结点有4棵子树，KPQDEC结占各有两棵子树；叶子没有子树。 在计算机中，可以用树结构表示算术运算。在算术运算中，一个运算符可以有若干个运算对象。如取正（+）与取负（-）运算符只有一个运算对象，称为单目运算符；加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）、乘幂（**）有两个运算对象，称为双目运算符；三元函数f(x,y,z)为 f函数运算符，有三个运算对象，称为三目运算符。多元函数有多个运算对象称多目运算符。 用树表示算术表达式原则是： (1)表达式中的每一个运算符在树中对应一个结点，称为运算符结点
(2)运算符的每一个运算对象在树中为该运算结点的子树(在树中的顺序从 左到右) (3)运算对象中的单变量均为叶子结点 根据上面原则，可将表达式：a*(b+c/d)+c*h-g*f表示如下的树。 树在计算机中通常用多重链表表示，多重链表的每个结点描述了树中对应结点的信息，每个结点中的链域（指针域）个数随树中该结点的度而定。 1.6.2 二叉树及其基本性质 1. 什么是二叉树 二叉树是很有用的非线性结构。它与树结构很相似，树结构的所有术语都可用到二叉树这种结构上。 二叉树具有以下两个特点： （1）非空两叉树只有一个根结点 （2）每个结点最多有两棵子树，且分别称该结点的左子树与右子树。 也就是说，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，而且所有子树也均为二叉树。二叉树中的每一个结点可以有左子树没有右子树，也可以有右子树没有左子树，甚至左右子树都没有。
课程设计任务书 题目: 二叉排序树的建立及遍历的实现 初始条件： 理论：学习了《数据结构》课程，掌握了基本的数据结构和常用的算法； 实践：计算机技术系实验室提供计算机及软件开发环境。 要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、系统应具备的功能： （1）建立二叉排序树； （2）中序遍历二叉排序树并输出排序结果； 2、数据结构设计； 3、主要算法设计； 4、编程及上机实现； 5、撰写课程设计报告，包括： （1）设计题目； （2）摘要和关键字； （3）正文，包括引言、需求分析、数据结构设计、算法设计、程序实现及测试、设计体会等； （4）结束语； （5）参考文献。 时间安排：2007年7月2日－7日（第18周） 7月2日查阅资料 7月3日系统设计，数据结构设计，算法设计 7月4日-5日编程并上机调试7月6日撰写报告 7月7日验收程序，提交设计报告书。 指导教师签名： 2007年7月2日 系主任（或责任教师）签名： 2007年7月2日 排序二叉树的建立及其遍历的实现
摘要：我所设计的课题为排序二叉树的建立及其遍历的实现，它的主要功能是将输入的数据 组合成排序二叉树，并进行，先序，中序和后序遍历。设计该课题采用了C语言程序设计，简洁而方便，它主要运用了建立函数，调用函数，建立递归函数等等方面来进行设计。 关键字：排序二叉树，先序遍历，中序遍历，后序遍历 0．引言 我所设计的题目为排序二叉树的建立及其遍历的实现。排序二叉树或是一棵空树；或是具有以下性质的二叉树：（1）若它的左子树不空，则作子树上所有的结点的值均小于它的根结点的值；（2）若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；(3）它的左，右子树也分别为二叉排序树。对排序二叉树的建立需知道其定义及其通过插入结点来建立排序二叉树，遍历及其输出结果。 该设计根据输入的数据进行建立排序二叉树。对排序二叉树的遍历，其关键是运用递归 调用，这将极大的方便算法设计。 1．需求分析 建立排序二叉树，主要是需要建立节点用来存储输入的数据，需要建立函数用来创造排序二叉树，在函数内，需要进行数据比较决定数据放在左子树还是右子树。在遍历二叉树中，需要建立递归函数进行遍历。 该题目包含两方面的内容，一为排序二叉树的建立；二为排序二叉树的遍历，包括先序遍历，中序遍历和后序遍历。排序二叉树的建立主要运用了循环语句和递归语句进行，对遍历算法运用了递归语句来进行。 2．数据结构设计 本题目主要会用到建立结点，构造指针变量，插入结点函数和建立排序二叉树函数，求深度函数，以及先序遍历函数，中序遍历函数和后序遍历函数，还有一些常用的输入输出语句。对建立的函明确其作用，先理清函数内部的程序以及算法在将其应用到整个程序中，在建立排序二叉树时，主要用到建立节点函数，建立树函数，深度函数，在遍历树是，用到先序遍历函数，中序遍历函数和后序遍历函数。
#include
{ inorder(p->lchild); printf("%c ",p->data); inorder(p->rchild); } } void postorder(TREE *p) //后序遍历 { if (p!=NULL) { postorder(p->lchild); postorder(p->rchild); printf("%c ",p->data); } } void shu(TREE *p,int len) //数的形状{ if (p!=NULL) { shu(p->lchild,len+1); for (int i=1;i<=4*len;i++) { printf(" "); } printf("%c",p->data); printf("------\n"); shu(p->rchild,len+1); } } int shendu(TREE *p) //计算深度 { int l,r; if (p==NULL) { return 0; } l=shendu(p->lchild)+1; r=shendu(p->rchild)+1; if (l>=r) //左右子树比较return l; else
内蒙古科技大学 本科生课程设计说明书 题目：数据结构课程设计 ——二叉树的遍历和应用 学生姓名： 学号： 专业： 班级： 指导教师： 2013年5月29日
内蒙古科技大学课程设计说明书 内蒙古科技大学课程设计任务书 I
内蒙古科技大学课程设计说明书 目录 内蒙古科技大学课程设计任务书..............................................................错误！未定义书签。目录....................................................................................................................................II 第一章需求分析 (3) 1.1课程设计目的 (3) 1.2任务概述 (3) 1.3课程设计内容 (3) 第二章概要设计 (5) 2.1设计思想 (5) 2.2二叉树的遍历 (5) 2.3运行界面设计 (6) 第三章详细设计 (7) 3.1二叉树的生成 (7) 3.2二叉树的先序遍历 (7) 3.3 二叉树的中序遍历 (8) 3.4二叉树的后续遍历 (8) 3.5主程序的设计 (8) 第四章测试分析 (11) 4.1二叉树的建立 (11) 4.2二叉树的先序、中序、后序遍历 (11) 第五章课程设计总结 (12) 附录：程序代码 (13) 致谢 ···········································································································错误！未定义书签。 II
习题8(二叉树的定义和性质) 一、选择题 1、除个别结点外，其余结点只能有1个前驱结点，可有任意多个后继结点，这样的结构为( B )。 A）线性结构 B）树形结构 C）图形结构 D）拓扑结构 2、在下述结论中，正确的是( D )。 ①只有一个结点的二叉树的度为0 ②二叉树的度为2 ③二叉树的左右子树可任意交换 ④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树 A）①②③ B）②③④ C）②④ D）①④ 3、下列有关树的概念错误的是( B )。 A）一颗树中只有一个无前驱的结点 B）一颗树的度为树中各个结点的度数之和 C）一颗树中，每个结点的度数之和等于结点的总数减1 D）一颗树中每个结点的度数之和与边的条数相等4、对任一颗树，设它有n个结点，这n个结点的度数之和为d，下列关系式正确的是( D )。 A）d＝n B）d＝n－2 C）d＝n＋1 D）d＝n－1 5、下列说法中正确的是( D )。 A）二叉树中任何一个结点的度都为2 B）二叉树的度为2 C）任何一棵二叉树中至少有一个结点的度为2 D）一棵二叉树的度可以小于2 6、以二叉链表作为二叉树的存储结构，在具有n个结点的二叉链表中(n>0)，空链域的个数为( C )。 A）2n-1 B）n-1 C）n+1 D）2n+1 7、树最适合用来表示( C )。 A）有序数据元素 B）无序数据元素 C）元素之间具有分支层次关系的数据 D）元素之间无联系的数据8、由4个结点可以构造出多少种不同的二叉树( C )。 A）4 B）5 C）14 D）15 9、一个二叉树具有( A )种基本形态。 A）5 B）4 C）3 D）2 10、二叉树的第I层上最多含有结点数为( C )。 A）2I B）2I-1-1 C）2I-1 D）2I -1 11、深度为5的二叉树至多有( C )个结点. A）16 B）32 C）31 D）10 12、一个满二叉树，共有n个结点，其中m个为树叶，则( B )。 A）n= m+1 B）m=( n +1)/2 C）n =2 m D）n =2 m 13、深度为h的满m叉树的第k层有( A )个结点。(1= 数据结构实验报告 ———二叉树的建立及其遍历 一、实验目的 1、了解二叉树的建立的方法及其遍历的顺序，熟悉二叉树的三种遍历 2、检验输入的数据是否可以构成一颗二叉树 二、实验的描述和算法 1、实验描述 二叉树的建立首先要建立一个二叉链表的结构体，包含根节点和左右子树。因为耳熟的每一个左右子树又是一颗二叉树，所以可以用递归的方法来建立其左右子树。二叉树的遍历是一种把二叉树的每一个节点访问完并输出的过程，遍历时根结点与左右孩子的输出顺序构成了不同的遍历方法，这个过程需要按照不同的遍历的方法，先输出根结点还是先输出左右孩子，可以用选择语句实现。 2、算法 #include { scanf("%c",&e); if(e==' ') T=NULL; else { if(!(T=(BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) exit(OVERFLOW); T->data=e; T->lchild=CreateBiTree(T->lchild); T->rchild=CreateBiTree(T->rchild); } return T; } /************************前序遍历***********************/ char PreOrderTraverse(BiTree T,char (* Visit)(char e)) { if(T) { if(Visit(T->data)) if(PreOrderTraverse(T->lchild,Visit)) if(PreOrderTraverse(T->rchild,Visit)) return OK; return ERROR; } else return OK; } char Visit(char e) { printf("%5c",e); return OK; } main() { 目录 一．选题背景 (1) 二．问题描述 (1) 三．概要设计 (2) 3.1.创建二叉树 (2) 3.2.二叉树的非递归前序遍历示意图 (2) 3.3.二叉树的非递归中序遍历示意图 (2) 3.4.二叉树的后序非递归遍历示意图 (3) 四．详细设计 (3) 4.1创建二叉树 (3) 4.2二叉树的非递归前序遍历算法 (3) 4.3二叉树的非递归中序遍历算法 (4) 4.4二叉树的非递归后序遍历算法 (5) 五．测试数据与分析 (6) 六．源代码 (6) 总结 (10) 参考文献: (11) 一．选题背景 二叉树的链式存储结构是用指针建立二叉树中结点之间的关系。二叉链存储结构的每个结点包含三个域，分别是数据域，左孩子指针域，右孩子指针域。因此每个结点为 由二叉树的定义知可把其遍历设计成递归算法。共有前序遍历、中序遍历、后序遍历。可先用这三种遍历输出二叉树的结点。 然而所有递归算法都可以借助堆栈转换成为非递归算法。以前序遍历为例，它要求首先要访问根节点，然后前序遍历左子树和前序遍历右子树。特点在于所有未被访问的节点中，最后访问结点的左子树的根结点将最先被访问，这与堆栈的特点相吻合。因此可借助堆栈实现二叉树的非递归遍历。将输出结果与递归结果比较来检验正确性。。 二．问题描述 对任意给定的二叉树（顶点数自定）建立它的二叉链表存贮结构，并利用栈的五种基本运算（置空栈、进栈、出栈、取栈顶元素、判栈空）实现二叉树的先序、中序、后序三种遍历，输出三种遍历的结果。画出搜索顺序示意图。 三．概要设计 3.1.创建二叉树 3.2.二叉树的非递归前序遍历示意图 图3.2二叉树前序遍历示意图3.3.二叉树的非递归中序遍历示意图 图3.3二叉树中序遍历示意图 第六章树 第一部分：知识点 知识脉络： 重点：二叉树的性质、：I树的各种遍历方法及它g1所确定的序列问的关系、 二又树上的基本运算算法 的实现、二又树的线索化方法，构造赂夫曼树的方法。 难点：二叉树上各种算法，特别是遍历的非递归算法的设计。 一、二叉树的遍历的非递归算法 1.先序遍历 先将根结点入栈，然后只要栈不空，先出栈，然后沿着左子针依次访问沿途经过的子树根结点，同时将右指针进栈（以便递归访问左子树后访问右子树），如此重复，直至栈为空。 void PreOrderBiTree(BitTree T) { SqStack S; BitTree p; InitStack(&S); /* 初始化一个空栈*/ Push(&S,T); /* 根结点指针进栈*/ while(!EmptyStack(S)) /* 栈为空时算法结束*/ { Pop(S，&p); /* 弹栈，p指向(子树)根结点*/ while(p) { printf("%d ",p->data); /* 访问根结点*/ if(p->rchild) Push(S,p->rchild); /* 非空的右指针进栈*/ p=p->lchild; /* 沿着左指针访问，直到左指针为空*/ } } 2.中序遍历 先沿着左指针走到最左下的结点同时将沿途经过的（子树）根结点指针进栈。当走到空指针时，出栈得到一个结点并访问，然后跳到右子树上。如此重复，直到指针为空并且栈为空为止。 void InOrderBitree(BitTree T) { SqStack S; BitTree p; InitStack(&S); /* 初始化一个栈*/ p=T; /* p指向根结点*/ while(p||!EmptyStack(S)) /* 当p为空且栈为空时算法结束*/ { while(p) { Push(S,p); p=p->lchild; /* 沿左指针走，沿途经过的(子树)根结点指针进栈*/ } Pop(S，&p); printf("%d ",p->data); /*当左指针为空时弹栈并访问该结点(子树根结点) */ p=p->rchild; /* 向右跳一步到右子树上继续进行遍历过程*/ } } 3.后序遍历 void PostOrderBiTree(BitTree T) { SqStack S; BitTree p,q; InitStack(S); p=T;q=NULL; while(p||!EmptyStack(S)) { if(p!=q) { while(p) { Push(S,p); if(p->lchild) p=p->lchild; else p=p->rchild; } } if(S->top==S->base) break; GetTop(S,&q); if(q->rchild==p) { p=Pop(S); printf("%d ",p->data); } else p=q->rchild; } 数据结构课程设计 题目: 线索二叉树的生成及其遍历 学院： 班级： 学生姓名： 学生学号： 指导教师： 2012 年12月5日 课程设计任务书 摘要 针对以二叉链表作为存储结构时，只能找到结点的左、右孩子的信息，而得不到结点的前驱与后继信息，为了使这种信息只有在遍历的动态过程中才能得到。增设两个指针分别指示其前驱和后继，但会使得结构的存储密度降低；并且利用结点的空链域存放（线索链表），方便。同时为了记下遍历过程中访问结点的先后关系，附设一个指针pre始终指向刚刚访问过的结点，若指针p 指向当前访问的结点，则 pre指向它的前驱。由此得到中序遍历建立中序线索化链表的算法 本文通过建立二叉树，实现二叉树的中序线索化并实现中序线索二叉树的遍历。实现对已生成的二叉树进行中序线索化并利用中序线索实现对二叉树的遍历的效果。 关键词二叉树，中序线索二叉树，中序线索二叉树的遍历 目录 摘要 ............................................ 错误！未定义书签。第一章,需求分析................................. 错误！未定义书签。第二章,概要设计 (1) 第三章,详细设计 (2) 第四章,调试分析 (5) 第五章,用户使用说明 (5) 第六章,测试结果 (5) 第七章,绪论 (6) 第八章,附录参考文献 (7) 线索二叉树的生成及其遍历 第一章需求分析 以二叉链表作为存储结构时，只能找到结点的左、右孩子的信息，而得不到结点的前驱与后继信息，为了使这种信息只有在遍历的动态过程中才能得到。增设两个指针分别指示其前驱和后继，但会使得结构的存储密度降低；并且利用结点的空链域存放（线索链表），方便。同时为了记下遍历过程中访问结点的先后关系，附设一个指针pre始终指向刚刚访问过的结点，若指针p 指向当前访问的结点，则 pre指向它的前驱。由此得到中序遍历建立中序线索化链表的算法 本文通过建立二叉树，实现二叉树的中序线索化并实现中序线索二叉树的遍历。实现对已生成的二叉树进行中序线索化并利用中序线索实现对二叉树的遍历的效果。主要任务： 1.建立二叉树； 2.将二叉树进行中序线索化； 3.编写程序，运行并修改； 4.利用中序线索遍历二叉树 5.书写课程设计论文并将所编写的程序完善。 第二章概要设计 下面是建立中序二叉树的递归算法，其中pre为全局变量。 BiThrNodeType *pre; BiThrTree InOrderThr(BiThrTree T) { /*中序遍历二叉树T，并将其中序线索化，pre为全局变量*/ BiThrTree head; head=(BitThrNodeType *)malloc（sizeof（BiThrType））;/*设申请头结点成功*/ head->ltag=0;head->rtag=1;/*建立头结点*/ head->rchild=head;/*右指针回指*/ if(！T)head->lchild=head;/*若二叉树为空，则左指针回指*/ else{head->lchild=T;pre=head; InThreading(T);/*中序遍历进行中序线索化*/ pre->rchild=head; pre->rtag=1;/*最后一个结点线索化*/ head->rchild=pre; }; return head; } void InThreading(BiThrTree p) {/*通过中序遍历进行中序线索化*/ if(p) #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define STACK_INIT_SIZE 100 //栈存储空间初始分配量 #define STACKINCREMENT 10 //存储空间分配增量 //------二叉树的存储结构表示------// typedef struct BiTNode{ int data; struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree; //-----顺序栈的存储结构表示------// typedef struct{ BiTree *top; BiTree *base; int stacksize; }SqStack; //*************************************************** //构造一个空栈s SqStack *InitStack(); //创建一颗二叉树 BiTree CreatBiTree(); //判断栈空 int StackEmpty(SqStack *S); //插入元素e为新的栈顶元素 void Push(SqStack *S,BiTree p); //若栈不为空，则删除s栈顶的元素e，将e插入到链表L中void Pop(SqStack *S,BiTree *q); //非递归先序遍历二叉树 void PreOrderTraverse(BiTree L); //非递归中序遍历二叉树 void InOrderTraverse(BiTree L); //非递归后序遍历二叉树 void PostOrderTraverse(BiTree L); //递归后序遍历二叉树 void PostOrder(BiTree bt); //递归中序遍历二叉树 void InOrder(BiTree bt); //递归先序遍历二叉树 void PreOrder(BiTree bt); //*************************************************** 江南大学通信与控制工程学院标准实验报告 （实验）课程名称：计算机软件技术基础实验名称：二叉树的遍历和应用 班级：自动化 姓名：李玉书 学号：03 指导教师：卢先领 江南大学通信与控制学院 江南大学 实验报告 学生姓名：张晓蔚学号：0704090304 实验地点：信控机房实验时间：90分钟 一、实验室名称：信控学院计算中心 二、实验项目名称：二叉树的遍历和应用 三、实验学时：4学时 四、实验原理： 二叉树的遍历和应用 五、实验目的： 1、掌握二叉树的数据类型描述及特点。 2、掌握二叉树的存储结构（二叉链表）的建立算法。 3、掌握二叉链表上二叉树的基本运算的实现。 六、实验内容： 阅读后面的程序，并将其输入到计算机中，通过调试为下面的二叉树建立二叉链表，并用递归实现二叉树的先序、中序、后序三种遍历。 七、实验器材（设备、元器件）： 计算机 八、实验步骤： 1、输入示例程序 2、构建按序插入函数实现算法 3、用C语言实现该算法 4、与源程序合并，编译，调试 5、测试，查错，修改 6、生成可执行文件，通过综合测试，完成实验 九、实验数据及结果分析： 测试用例 初始数据：ABDH,,I,,EJ,,K,,CFL,,,G,, 测试结果 十、实验结论： 该程序可以完成线性表的常规功能，且增加了异常处理，在异常情况下，例如： 表空，删除结点号不合法或出界，删除数值未找到等，这些情况下都能作出处理。可以通过边界测试。 十一对本实验过程及方法、手段的改进建议： 对书中程序的几点错误做了改正，见源程序。 附：源程序 #include 树和二叉树的基本知识 树是一种非线性的数据结构，用它能很好地描述有分支和层次特性的数据集合。树型结构在现实世界中广泛存在，如把一个家族看作为一棵树，树中的结点为家族成员的姓名及相关信息，树中的关系为父子关系，即父亲是儿子的前驱，儿子是父亲的后继；把一个国家或一个地区的各级行政区划分看作为一棵树，树中的结点为行政区的名称及相关信息，树中的关系为上下级关系，如一个城市包含有若干个区，每个区又包含有若干个街道，每个街道又包含有若干个居委会；把一本书的结构看作是一棵树，树中的结点为书、章、节的名称及相关信息，树中的关系为包含关系。树在计算机领域中也有广泛应用，如在编译系统中，用树表示源程序的语法结构；在数据库系统中，树型结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。在许多算法中，常用树型结构描述问题的求解过程、所有解的状态和求解的对策等。 在树型结构中，二叉树是最常用的结构，它的分支个数确定，又可以为空，具有良好的递归特性，特别适宜于程序设计，因此我们常常将一般树型结构转换成二叉树进行处理。 第一节树 一、树的定义 一棵树（tree）是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中： 1．每个元素称为结点(node)； 2．有一个特定的结点，称为根结点或树根（root）； 3．除根结点外，其余结点被分成m（m>=0）个互不相交的有限集合T0,T1,T2,……T m-1，而每一个子集T i又都是一棵树（称为原树的子树subtree）。 图1 图1就是一棵典型的树结构。从树的定义可以看出： 1．树是递归定义的，这就决定了树的操作和应用大都是采用递归思想来解决； 2．一棵树中至少有1个结点，这个结点就是根结点，如上图中的结点1； 3．只有根结点没有前趋结点，其余每个结点都有唯一的一个前趋结点； 4．所有结点都可以有0或多个后继结点； 实验8 二叉树的遍历与应用 一、实验目的 1.进一步掌握指针变量的含义。 2.掌握二叉树的结构特征，理解并熟悉掌握创建二叉树和实现二叉树的三种遍历。 3.学会编写实现二叉树基本操作的递归算法，领会递归的实质。 二、实验要求 1. 给出程序设计的基本思想、原理和算法描述。 2. 源程序给出注释。 3. 保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析。 三、实验题目 1.编写算法，按层输出一棵顺序存储的二叉树所有结点的值。 /**********level.c************/ #include 树和二叉树 树形结构（非线性结构）：1）节点之间有分支；2）具有层次关系。 应用：自然界的树；人类社会的家谱和行政组织机构；计算机中的编译（用树表示源程序的语法结构）、数据库系统（用树组织信息）、算法分析（用树描述执行过程）。 定义：是n（n>=0）个节点的有限集。 若n=0,称为空树； 若n>0，则它满足如下两个条件； 1）有且仅有一个特定的称为根的节点； 2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。 树的其他表示方式： 还可以用广义表的形式表示（A(B(D))(C(E)(F))）。 树的基本术语： 根节点：非空树中无前驱节点的节点。 节点的度：节点拥有的子树数。 树的度：树内各节点的度的最大值。 叶子（终端节点）：度为0的节点 分支节点（非终端节点）：根节点以外的分支节点称为内部节点。 孩子、双亲：节点的子树的根称为该节点的孩子，该节点称为孩子的双亲。 兄弟节点： 节点的祖先：从根节点所经分支上的所有节点。 节点的子孙：以某节点为根的子树中的任一节点。 树的深度（高度）：树中最大层次（根节点为第一层）。 有序树：树中节点的各子树从左至右有次序（） 无序树：树中的节点没有次序。 森林：是m （m>=0）棵互不相交的树的集合。一棵树可以看成是一个特殊的森林。给森林中的各子树加上一个双亲节点，森林就变成了树（树一定是森林，森林不一定是树）。 二叉树的性质和存储结构 性质1、在二叉树的第i 层上至多有2^(i -1)个节点（i>=1）。至少1个 归纳基：当i=1时，只有一个根节点，2^(i -1)=2^0=1，命题成立。 归纳假设：设对所有的j （1<=j=1）。至少有k 个节点 由性质1可见，深度为k 的二叉树的最大节点数为 ∑ =-k i i 1 )1(^2=2^k -1 性质3：对任何一棵二叉树T ，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则 n0=n2+1。 总边数为B ，B=n -1; B=n2*2+n1*1; n=n2*2+n1*1+1 总节点数为n ，n=n2*2+n1*1+1; 又 n0=n2+1 满二叉树 ·一棵深度为k 且有2^k -1个节点的二叉树称为满二叉树。 ·特点：1）每一层上的节点数都是最大节点数（即每层都满，不能空的）；2）叶子节点全部在最底层。 ·对满二叉树节点位置进行编号： ·编号规则：从根节点开始，自上而下，自左而右。 ·每一节点位置都有元素。 ·满二叉树在同样深度的二叉树中节点个数最多；满二叉树在同样深度的二叉树中叶子节点个数最多。 二叉树的建立和遍历的实验报告 篇一：二叉树的建立及遍历实验报告 实验三：二叉树的建立及遍历 【实验目的】 （1）掌握利用先序序列建立二叉树的二叉链表的过程。 （2）掌握二叉树的先序、中序和后序遍历算法。 【实验内容】 1. 编写程序，实现二叉树的建立，并实现先序、中序和后序遍历。 如：输入先序序列abc###de###，则建立如下图所示的二叉树。 并显示其先序序列为：abcde 中序序列为：cbaed 后序序列为：cbeda 【实验步骤】 1.打开VC++。 2.建立工程：点File->New，选Project标签，在列表中选Win32 Console Application，再在右边的框里为工程起好名字，选好路径，点OK->finish。至此工程建立完毕。 3.创建源文件或头文件：点File->New，选File标签，在列表里选C++ Source File。给文件起好名字，选好路径，点OK。至此一个源文件就被添加到了你刚创建的工程之中。 4．写好代码 5．编译－＞链接－＞调试 #include #include #define OK 1 #define OVERFLOW -2 typedef int Status; typedef char TElemType; typedef struct BiTNode { TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; }BiTNode,*BiTree; Status CreateBiTree(BiTree &T) { TElemType ch; scanf("%c",&ch); if (ch=='#') T= NULL; else { if (!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) 实验二叉树遍历算法及应用 实验报告二叉树的遍历应用算法测试实验日期:______________ 学生姓 名:______________ 班级:_______________ 一、实习目的: 1、深入了解二叉树的存储结构及二叉树的遍历方法; 2、掌握二叉树的遍历算法及应用。 二、实习内容及要求 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 应用遍历思想，建立一棵如下图所示的二叉树，并能够完成如下操作: 1. 输出该二叉树的先序、中序、后序遍历序列; 2. 拷贝该树，生成一棵新树; 3. 将原树拆分成左右2棵树，并分别输出该二叉树左子树的遍历序列和右子树的遍历序列; 4. 利用遍历算法输出复制生成的树中结点总数、叶子总数、二叉树高度，并能够输出此二叉树中的叶子 结点。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 附加:应用二叉树的顺序存储结构，实现建树。 并设计一个算法，实现能够输入一棵树中的双亲结点，输出该双亲结点的所有孩子结点的算法。 三、数据结构设计 (请将数据结构设计填写在此部分。) 四、测试 分别给出以下三棵树的测试结果 二叉树的遍历实验报告 一、需求分析 在二叉树的应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的结点，或者对树中全部结点逐一进行某种处理，这就是二叉树的遍历问题。 对二叉树的数据结构进行定义，建立一棵二叉树，然后进行各种实验操作。 二叉树是一个非线性结构，遍历时要先明确遍历的规则，先访问根结点还时先访问子树，然后先访问左子树还是先访问有右子树，这些要事先定好，因为采用不同的遍历规则会产生不同的结果。本次实验要实现先序、中序、后序三种遍历。 基于二叉树的递归定义，以及遍历规则，本次实验也采用的是先序遍历的规则进行建树的以及用递归的方式进行二叉树的遍历。 二、系统总框图 三、各模块设计分析 （1）建立二叉树结构 建立二叉树时，要先明确是按哪一种遍历规则输入，该二叉树是按你所输入的遍历规则来建立的。本实验用的是先序遍历的规则进行建树。 二叉树用链表存储来实现，因此要先定义一个二叉树链表存储结构。因此要先定义一个结构体。此结构体的每个结点都是由数据域data 、左指针域Lchild 、右指针域Rchild 组成，两个指针域分别指向该结点的左、右孩子，若某结点没有左孩子或者右孩子时，对应的指针域就为空。最后，还需要一个链表的头指针指向根结点。 要注意的是，第一步的时候一定要先定义一个结束标志符号，例如空格键、＃等。当它遇到该标志时，就指向为空。 建立左右子树时，仍然是调用create （）函数，依此递归进行下去， 直到遇到结束标志时停止操作。 （2）输入二叉树元素 输入二叉树时，是按上面所确定的遍历规则输入的。最后，用一个返回值来表示所需要的结果。 （3）先序遍历二叉树 当二叉树为非空时，执行以下三个操作：访问根结点、先序遍历左子树、先序遍历右子树。 （4）中序遍历二叉树 当二叉树为非空时，程序执行以下三个操作：访问根结点、先序遍历左子树、先序遍历右子树。 （5）后序遍历二叉树 当二叉树为非空时，程序执行以下三个操作：访问根结点、先序遍历左子树、先序遍历右子树。 （6）主程序 需列出各个函数，然后进行函数调用。 四、各函数定义及说明 因为此二叉树是用链式存储结构存储的，所以定义一个结构体用以存储。 typedef struct BiTNode { char data; struct BiTNode *Lchild; struct BiTNode *Rchild;二叉树的建立及其遍历实验报告
二叉树遍历课程设计心得【模版】
二叉树
数据结构课程设计_线索二叉树的生成及其遍历
二叉树的建立及几种简单的遍历方法
实验四 二叉树的遍历和应用04
树和二叉树的基本知识
实验八：二叉树的遍历与应用
树和二叉树
二叉树的建立和遍历的实验报告doc
实验 二叉树遍历算法及应用
二叉树的遍历实验报告
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