第四章 平面问题的极坐标解答
典型例题讲解
例4-1 如图所示,矩形薄板在四边受纯剪切力作用,切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔, 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图
【解】(1)根据材料力学公式,求极值应力和量大正应力的方位角
max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得
max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为
max 0max 0tan 10
4
y
q
q τασσπ
α=-
=-
=-→--=-
q
q
x
若在该纯剪切的矩形薄板中,沿与板边成
方向截取矩形ABCD ,则在其边界
上便承受集度为q 的拉力和压力,如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉,另一对边受压的板等效。
(2)取极坐标系如图。由
2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫
=--⎪
⎪
⎪⎪
=-+⎬
⎪⎪
=--+⎪
⎪⎭
得矩形薄板ABCD 内的应力分量为
()()()
22
224
422
22cos 2(1)(13)
cos 2(13)
sin 2(1)(13)
ρφρφ
a a σq φa ρρa σq φ
b ρa a τq φ
c ρρ
=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径,而孔边最大与最小正应力由式(b ),在 处得到
4
4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa
ϕ=-+=-
当 , 时,孔边最小正应力为
,
当
时,孔边最大正应力为
。
分析:矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法,求解薄板的各种较复杂的平面应力(应变)问题。
习题全解
4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程,指出哪些项是相似的,哪些项是极坐标中特有的?并说明产生这些项的原因。
【解】 (1)极坐标,直角坐标中的平衡微分方程
10210f f ρρϕρϕ
ρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρ
ρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00
yx
x x y xy y
f x
y f y x τσστ∂⎧∂++=⎪
∂∂⎪⎨
∂⎪++=⎪∂∂⎩
将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较,第一式中,前两项与直角坐标相似;而
项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生
的,
是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
第二式中,前两项也与直角坐标相似;而
是由于正 面面积大于负 面上的面
记而产生的;
是由于正负 面上的切应力 在通过微分体中心的 方向有投
影而引起的。由于 ,仍可将这两个切应力只作为一个未知函数处理。
(2)极坐标,直角坐标中的几何方程
11u u u u u u ρρρϕϕ
ρϕϕ
ρϕερερρϕγρϕρρ∂⎧
=⎪∂⎪⎪∂⎪=+⎨∂⎪⎪∂∂=+-⎪∂∂⎪⎩
x y
xy
u x v
y v u x y εεγ⎧∂=
⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎩
将极坐标中的几何方程与直角坐标的几何方程相比较,第二式中的第一项
是在极坐标中才有的,表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变;第三式
中的
是由于环向位移而引起的环向钱段的转角,这项也是在极坐标中才有的。
(3)极坐标,直角坐标中的物理方程
1()1()
12(1)E E G E ρρϕϕϕρρϕρϕ
ρϕεσνσεσνσνγττ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
+⎪==⎪⎩
()()()1121x x y y y x xy xy E E E
εσμσεσμσμγτ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪⎪+=⎪⎩
极坐标中的物理方程与直角坐标的物理方程是相似的。 4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。 【解】 参看图,位移矢量是服从几何加减 运算法则的。
位移矢量为d ,它在 和 坐标系中的分量分别表示为 和 ,所以
cos sin sin cos u u u u ρϕ
ϕυϕ
ϕυϕ=+⎧⎪⎨
=-+⎪⎩ 写成矩阵形式
cos sin sin cos u u u ρϕϕϕϕ
ϕυ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 解4-2图
所以
cos sin sin cos u u u ρϕϕϕυϕϕ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦⎣⎦ 若写成一般形式,则位移分量的变换关系为
cos sin sin cos u u u v u u ρϕρϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨
=+⎪⎩
或 cos sin sin cos u u v u u v ρϕϕϕ
ϕϕ
=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
4-3在轴对称位移问题中,试导出按位移求解的基本方程。并证明
, 可以满足此基本方程。
【解】(1)设 , ,代入几何方程中,教材中式(4-2)得形变分量
,,0u u ρρ
ρϕρϕεεγρρ
∂=
=
=∂ (a )
将式(a )代入物理方程,教材中式(4-3)得用位移表示的应力分量
22110u u E u u E ρρρρρϕρϕσμμρρσμμρρτ⎧∂⎛⎫
=+⎪ ⎪-∂⎝⎭
⎪⎪∂⎛⎫
⎪=+⎨ ⎪-∂⎝⎭
⎪
⎪=⎪⎪⎩
(b ) 将(b )式代入平衡微分方程,教材中式(4-1),在轴对称问题中,平衡方程为
10210ρρϕρϕ
ϕρϕρϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ
∂ρρ-⎧++=⎪⎪
⎨
⎪++=⎪⎩ (c ) 式(c )中的第二式自然满足,第一式为
22222222221011011101u u d E d du u du u E E d d d u du du u du u u d d d d u d d u d d u d u u d ρρϕρϕρ
ρρρρρρρρ
ρρρρρρρρρ∂σ∂τσσμ∂ρρ∂ϕρρμρρ
μμρμρρμρρμμμμρρμμρρμμρρρρρρρ
ρρρρρ-⎡∂⎤
⎛⎫++=→+⎢⎥ ⎪-∂⎝⎭⎣⎦
⎡-⎤
⎛⎫⎛⎫++-+=→⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎛⎫+-++--=→ +++⎪⎝-⎭222
2010u d u du u d du d d ρ
ρρρ
ρρ
ρρρρρρ
-=→+
-= 上式即为求 的基本方程。
(2)将
, 代入式(d ),很显然满足方程。
4-4试导出轴对称位移问题中,按应力求解时的相容方程。
【解】(1)在轴对称的情况下, ,只有 , 为基本未知函数,且
它们仅为 的函数。几何方程,教材中式(4-2)的前二式成为
1u du d u u u ρρρρϕρϕ
ερρερρϕρ∂⎧
==⎪∂⎪
⎨
∂⎪=+=⎪∂⎩
(a ) 对式(a )中的第二式求导,得
1,d du u d dx ϕ
ρρερρρ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
(b ) 将式(a )中的 , 代入式(b ),得
()1
,d d ϕρ
ϕεε
ερ
ρ
=- (c )
(2)将物理方程,教材中式(4-3)、(4-4)中的用应力分量表示的形变分量代入式(c )中,就得到按应力求解时的相容方程,即
平面应力的相容方程:
()()()1
1111()()()11
()()1()1()()d d d d E E E d d d d ϕ
ρϕϕρρϕϕρϕρρϕρϕρϕϕρρϕεε
εσμσσμσσμσρρ
ρρσμσσσμσσμσσρρρ
μσμσσσρρ
⎛⎫⎡⎤
=-→
-=---→ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤⎡⎤-=-+-=+-→⎣⎦⎣⎦+-=- 平面应变的相容方程:
221()11()12(1)
E E E ρρϕϕϕρρϕρϕμμ
εσσμμμεσσμμγτ⎫-=-⎪
-⎪⎪-⎪
=-⎬-⎪
⎪+=⎪
⎪⎭
(4-4)
()()()2221
1111()()()1111111()()1()()11111()(11d d d d E E E d d d d ϕ
ρϕϕρρϕϕρϕρρϕρϕρϕρϕϕρρεμμμμμμ
εεσσσσσσρρρμρμμμμμσσσσσσσσσσρμρμρμρμμσσσρμρμ⎛⎫⎡⎤---=-→-=---→ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-=-→⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥----⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦-=--())()1d d ϕρϕϕρσσσμσμσρρ
-→-⎡⎤--=⎣⎦4-5试用一阶导数的坐标变换式,导出二阶导数的坐标变换式[教材§4-3中的(a ),(b ),(c )]
【解】一阶导数的坐标变换公式
1
()1()12(1)E E G E
ρρϕϕϕρρϕρϕρϕ
εσνσεσνσνγττ=
-=-+==(4-3)
sin cos cos sin x x x y y y ΦΦρΦϕΦϕ
Φ
ϕρϕρρϕΦΦρΦϕΦϕ
Φϕρϕρρϕ
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂ 二阶导数的变换可以由一阶导数得出
22
22
222222
sin sin ()(cos )(cos )sin sin sin cos (cos )(cos )
1cos s 11sin cos sin c 1s in o in cos 1sin cos s x x x ΦΦϕΦϕΦ
ϕϕρρϕρρϕ
ΦϕΦϕΦϕΦ
ϕϕϕρρρϕρϕρΦΦϕϕϕϕ
ρρϕρρρϕ
ΦΦϕϕ
ϕρΦϕϕρϕρϕρρϕ∂∂∂∂∂∂∂==--∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂+∂+∂22
2
2
222
22
22
2
222
2
222222
22222
221sin 11cos sin sin 1112s cos sin 11cos 12sin co si in cos 12sin s c n os 1ΦϕρρΦΦΦϕϕΦϕϕρρρρρΦΦΦϕϕρρρρΦϕΦϕϕρϕρρϕΦρΦΦΦϕϕρρϕΦϕϕρϕρρϕρρ∂+∂∂∂∂=++∂∂∂⎛⎫∂∂∂=++- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂=+∂-∂∂+∂∂∂∂∂+∂⎛⎫∂-+ ⎪∂∂⎝
∂∂⎭∂22sin cos 1ϕΦρϕρϕρ⎡⎤⎛⎫∂⎢⎥ ⎪∂⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎝
⎭⎣⎦∂(a )
22
22
22222cos cos 1sin cos ()s 11sin cos si in sin cos cos cos sin sin sin s 1co i c s s o n n y y y ΦΦϕΦϕΦϕϕρρϕρρϕΦϕΦϕΦϕΦϕϕϕρρρϕρΦϕϕρΦΦϕϕϕϕ
ρρΦϕρρϕρρρϕϕϕϕΦρ∂⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂∂==++ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪
⎪∂∂∂∂∂∂∂∂+⎝⎭⎝-+∂⎭∂=∂∂∂∂∂+22
2
2
222
22222
22
2
22
222
222
22222
22
1cos 1112sin cos 12sin c cos cos 11c sin sin 1sin cos 12sin cos os 1co 1i os s s n ΦϕρϕΦΦϕϕρρρϕΦΦϕρϕΦϕϕρϕΦϕϕρϕρρρΦϕϕρϕΦϕϕϕϕΦϕρΦϕρΦϕρϕρρΦϕ∂=∂∂=∂∂∂∂+∂⎛⎫∂+ ⎪∂⎝∂+∂∂∂++∂∂∂⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭+∂-∂∂-∂∂-∂⎭
=∂222112sin cos ϕΦΦϕρΦρρϕρϕρ⎡⎤⎛⎫∂+⎢⎥ ⎪∂⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎣
∂⎦∂(b )
2222222
2sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin 11cos co 1sin cos sin co 1sin s s x y x y ΦΦ
ϕΦϕΦϕϕρρϕρρϕΦϕΦϕΦϕΦϕ
ϕϕρρρΦΦϕϕϕϕϕρϕρρϕΦΦϕϕρϕρρϕϕ
ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂==-+ ⎪ ⎪
⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂=+-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭
∂∂=-+∂∂∂∂∂∂-()2222
2
2222222222222222
222
2
2
11cos 11cos 1sin 11sin si 1sin cos 11sin cos 11sin cos n ΦρϕΦϕρΦ
ϕϕρϕΦΦΦΦϕϕΦΦϕρρϕρϕϕρϕρρϕΦΦϕρϕΦϕϕρρρρϕΦΦΦϕϕρρρρρϕρ⎛⎫∂∂-+ ⎪∂∂∂⎝∂-∂⎛⎫∂∂∂=--+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂+∂⎛⎫∂∂-- ⎪∂∂∂⎭∂⎝⎭∂-+∂∂∂∂--+ ⎪∂=⎝-∂⎭∂∂()2222222
11sin co sin s 1cos ΦΦΦϕϕρρϕΦϕρρϕρρϕϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂-++⎢⎥ ⎛⎫ ⎪∂⎝
⎭⎡⎤⎛⎫∂∂=⎢⎥ ⎪∂∂⎪∂∂∂⎝⎭⎣
-⎣⎭⎦⎝⎦(c )
4-6 试由应力分量的坐标变换式
22cos sin sin 2x ρϕρϕσσϕσϕτϕ=+- ,
和二阶导数22y
Φ
∂∂的坐标变换式[教材§4-3中的式(b )],导出应力函数
Φ 表示应力分量 , , 的表达式[教材§4-3中的式(4-5)]。
【解】22x y
Φ
σ∂=∂,比较等式两边的系数可得教材中式(4-5),即
22222
2
cos sin sin 2cos sin sin 2x y ρϕρϕρϕρϕσσϕσϕτϕΦσϕσϕτϕ=+-→
∂=+-∂ 22222222
22
22
22222212sin cos sin 111cos s 11co s n s in i 2y y ΦΦϕΦΦϕρΦΦΦΦΦϕϕϕρρρϕρρρΦϕϕϕϕρρρρρϕ⎡⎤⎛⎫∂+→⎢⎥∂∂=∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=++--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝ ⎪∂⎝
++ ⎪∂⎭⎣⎝⎭∂⎭⎣⎦
⎦
22222
111()ρϕρϕ
ΦΦσρρρϕΦσρΦτρρϕ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪∂⎪
=⎨∂⎪⎪∂∂=-⎪∂∂⎪⎩
4-7实心圆盘在 的周界上受有均布压力q 的作用,试导出其解答。 【解】实心圆盘是轴对称的,可引用轴对称应力解答,教材中式(4-11),即
()22
221(12ln )232ln 20d A B C d d A B C d ρϕρϕϕρσρρρρ
σρρρττΦ⎫=
=+++⎪⎪
⎪Φ⎪
==-+++⎬⎪
⎪⎪
==⎪⎭
(a )
首先,在圆盘的周界( )上,有边界条件
,由此得
2(12ln )2r A
B r
C q r
ρσ==
+++=-, 其次,在圆盘的圆心,当 时式(a)中 , 的第一、第二项均趋于无限大,这是不可能的。按照有限值条件(即,除了应为集中点以外,弹性体上的应力应为有限值。),当 时,必须有A=B=O 。
把上述条件代入式(b )中,得
2
q
C =-
所以得应力的解答为
,
0.q ρϕρϕσστ==-=
4-8试考察应力函数3
cos36q a
Φρϕ=,能解决题4-8图所示弹性体的何种受力问题?
【解】本题按逆解法求解。 (1)相容条件
把应力函数代入相容方程 ,显然是满足的。 (2)由应力函数求应力分量表达式
()22
3322222321111cos3cos366113cos33sin 3663cos3cos322cos3q q a a q q a a q q a a q
a
ρΦΦσρϕρϕρρρϕρρρϕρϕρϕρρϕρϕρϕρϕ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=+-∂=-=- 2232
22cos33cos3cos366q q q a a a
ϕΦσρϕρϕρϕρρρ∂∂∂⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 332113()cos3sin 366sin 3sin 32q q a a q q
a a
ρϕΦτρϕρϕρρϕρ
ρϕρρρϕρϕρ⎡⎤
⎛⎫∂∂∂
∂∂⎛⎫=-
=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭
∂⎛⎫=
= ⎪∂⎝⎭
求出边界上的面力
面上, ,
;
面上, , ;
面力分布如解4-8图所示,因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。
4-9半平面体表面上受有均布水平为q , 试用应力函数()2sin 2B C Φρϕϕ=+求解应力分量,如题4-9图所示。 【解】(1)相容条件
将应为函数φ代入相容方程 ,显然满足。
(2) 由Φ求应力分量表达式
2sin 222sin 222cos 2B C B C B C
ρϕρϕσϕϕ
σϕϕτϕ⎧=-+⎪
=+⎨⎪
=--⎩ (3)考察边界条件:注意本题有两个 面,即2
π
ϕ=±,分别为 面上,应力符号
以正面正向、负面负向为正。因此,有
()2
0ϕπ
ϕσ=±=,得C=0;
()
2
q ρϕπ
ϕτ==±=-,的
。
将各系数代入应力分量表达式,得
sin 2sin 2cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ
⎧=⎪
=-⎨⎪
=⎩ 4-10 试证应力函数2M
Φϕπ
=
能满足相容方程,并求出对应的应力分量。若在内半径为r ,外半径为R 且厚度为1的圆环中发生上述应力,试求出边界上的面力。 【解】(1)极坐标的相容条件
222222222211110Φρ
ρρρϕρρρρϕ⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂++++= ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 将应力函数2M
Φϕπ
=
代入,得 222
222
1102M ϕΦρ
ρρρϕπ⎛⎫∂∂∂++=∇= ⎪∂∂∂⎝⎭
11111
而 4220ΦΦ∇=∇∇=。 应力函数Φ满足相容条件。 (2)由应力函数求应力分量
22222
2110011()2M ρϕρϕ
ΦΦσρρρϕΦσρΦτρρϕρπ⎧∂∂=+=⎪∂∂⎪⎪∂⎪
==⎨∂⎪⎪∂∂=-=⎪∂∂⎪⎩
(3)内、外边界上对应的面力
在内边界 上, ,
; 在内边界 上,
,
。
4-11设上题所述的圆环在 处被固定,试求位移分量。 【解】本题为平面应力的情况,将应为分量210,
0,
2M
ρϕρϕσστρπ
===
代入极坐标中平面应力问题的物理方程,教材中式(4-3),得应变分量表达式
221()01()02(1)2(1)122E E M M E E G ρρϕϕ
ϕρρϕ
ρϕεσμσεσμσμμγτρππρ⎧=-=⎪⎪
⎪
=-=⎨⎪
++⎪===⎪⎩
再将应变分量代入几何方程,教材式(4-2)
()()()
11u a u u b u u u c ρ
ρρϕ
ϕρϕϕ
ρϕερ
ερρ∂ϕ
γρϕρρ
∂=
∂∂=+
∂∂=
+-∂∂ 根据边界条件,当 时,边界是固定的。由 ,得
0u ρρ
∂=∂,
所以 ()u u ρρϕ=。
当 时,对任意 角都有 ,即 ,由式(b )可知
0u ϕϕ
∂=∂,
因此 ()u u ϕϕρ=。 再由式(c ),可得
u u ϕϕ
ρϕγρρ
∂=
-∂
根据剪应力与剪应变之间的关系,得
()2
2u u M
d G ϕϕ
ρρ
πρ∂-=
∂
为求位移分量 ,必须求解式(d ),令 ,对式(d )进行代换,得
1
t
u u u t t t e ϕϕϕρ
ρ∂∂∂∂=
=∂∂∂∂, 将上式代入式(d ),得
212t t t
u u M t e e Ge ϕϕπ∂-=∂, 将上式化简,得
()2t
u M u e e t G
ϕϕπ-∂-=
∂
这是个一阶非其次线性微分方程,其标准格式为:()()dy
P x y Q x dx
+=。 先求对应的齐次方程通解。
()
111220ln t C C t u u t u u t u t u u t C u e C e C e ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ+∂-=→∂∂=→∂∂=∂→
=+→===
用常数变易法,把 换成u ,即令
()t
u ue f ϕ=
那么
t t du u e ue dt
ϕ'=+
代入所给的非其次方程,得
22233222221224t t t t
t t t t
t t t
t
t t
du M M u e ue e u e ue dt
G G
M u e ue e ue G
M u e e G M u e G
M M u e C e C G G
ϕϕπππππππ-------'=+=
+=+→'+=+→'=
→'=→
⎛⎫=-+=-+ ⎪
⎝⎭
再把上式代入式(f ),即得所求方程的通解为
23344t t t t t M M u ue e C e C e e G G ϕππ--⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭
将 代入
3344t t M M u C e e C G G ϕρππρ
-=-
=-
令 ,得
4M
u A G ϕρπρ
=-
根据边界条件,当 时,
,即
()
04r
M
u Ar Gr
ϕρπ==-
=, 所以 2
4M
A Gr
π=
由此得位移分量为
20,
444u M M M r u Gr G Gr r ρϕρρππρπρ=⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭
4-12 楔形体在两侧面上受有均布剪力q ,如题4-12图所示,试求其应力分量。
【解】(1)应用应力函数()2cos2sin 2A B C D Φρϕϕϕ=+++,进行求解。 由应力函数Φ得应力分量
()()22222
112cos 2sin 22cos 2sin 21()2sin 22cos 2A B C D A B C D A B C ρϕρϕ
ΦΦ
σϕϕϕρρρϕΦσϕϕϕρΦτϕϕρρϕ⎧∂∂=+=-+--⎪∂∂⎪⎪∂⎪
==+++⎨∂⎪⎪∂∂=-=--⎪∂∂⎪⎩
(2)考察边界条件:根据对称性,得
()()()()()()()
()
2
20;;0;.
a q
b
c q
d ϕαρϕαϕαρϕαστστ
--====-
由式(a )得 ()2cos 2sin 20;A B C D e ϕϕϕ+++= 由式(b )得 ()2sin 22cos2;A B C q f ϕϕ--= 由式(c )得 ()2cos 2sin 20;A B C D g ϕϕϕ--+= 由式(d )得 ()2sin 2cos ;
A B C q e ϕϕ---=-
式(e )、(f )、(g )、(h )联立求解,得
,0,
,cot .sin 2
q
q
A B C D αα
=
===-
将以上各系数代入应力分量,得
cos 2cot sin cos 2cot sin sin 2sin q q q ρϕρϕ
ϕσαϕϕσαϕϕτα⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪
⎝⎭⎪
⎪⎛⎫⎪=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩
4-13 设有内半径为r ,外半径为R 的圆筒受内压力q ,试求内半径和外半径的改变,并求圆筒厚度的改变。
【解】本题为轴对称问题,只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下,取应力分量表达式,教材中式(4-11),由位移单值条件,B=0。
()2
2(12ln )232ln 20A
B C
A B C ρϕρϕϕρσρρσρρττ⎫
=
+++⎪⎪
⎪
=-+++⎬⎪
⎪⎪
==⎭
(4-11)
内外的应力边界条件要求
()()()
()
0,0;
,
0.
r
R
r
R
q ρϕρϕρρρ
ρρ
ρττσσ=======-=
由表达式可见,前两个关于 的条件是满足的,而后两个条件要求
22
220A
C q r
A C R ⎧+=-⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ 由上式解得
()
()
()22
2
2222
,
.2qr R qr A C a R r R r =-=--
把A 、B 、C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量,教材中式(4-12)
()()()()
222222222221[(1)2(1)(ln 1)(13)2(1)]cos sin 11(1)2(1)cos sin 2(1)(1)cos sin A
u B B C I K E qr R qr I K E R r R r qr R I K b E R r ρμμρρμρμρϕϕρ
μμρϕϕρμρμϕϕρ=
-++--+-+-++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪
⎪
⎢⎥⎢⎥=-+-+-++⎨⎬--⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩
⎭
⎡⎤
=-++++⎢⎥-⎣
⎦
()sin cos 0
u H I K c ϕρϕϕ=-+=
式(c)中的 , 取任何值等式都成立,所以各自由项的系数为零
H=I=K=O 。
所以,轴对称问题的径向位移式(b )为
()2222(1)(1)qr R u E R r ρμρμρ⎡⎤
=-++⎢⎥-⎣
⎦ 而圆筒是属于平面应变问题,故上式中2
,11E E μ
μμμ
→
→--代替,则有
()()()()22222222222222222
222(1)(1)(1)(1)1111(1)(1)11(1)(1)1111qr R u E R r qr R u E R r qr R E R r R q
E R r ρρμρμρμμρμμρμμμμρμμρμ
μ
ρμμ
ρμ⎡⎤
=-++→
⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤=-++⎢⎥
--⎛⎫⎣⎦- ⎪-⎝⎭-⎡⎤=-++⎢⎥---⎣⎦-++
--=⎛⎫
-
⎪-⎝⎭
此时内径改变为
()
()()()
()()()
()()()()()
22
22
2
22
222
2222
2
2222222
2
222222
2
2(1)(1)(1)(1)111111111(1)(1)11(1)11(1)111r r R r R qr u q
E
Er R R r r r qr r R E
R
r qr r r R R R E
R r qr r R r R E
R
r qr μ
μ
μ
μ
μ
μμμ
μ
μμμμμμμμμμμμμμμμμμ-++
-
++
-----==
⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪
-⎝⎭
⎝⎭
---+-+=
-----+-+=
----+-+-=
---=
()()()()()
()222222
222222(1)111R r R r E
R r qr R r E R r μμμμμμϖ-++----⎛⎫
+=+ ⎪
--⎝⎭
外径改变为
()22
222
222(1)(1)121111R R R qr rR
u q
E
R r
ER R r μ
μ
μμμ
μ-++
---==
⋅
-⎛⎫
-
⎪-⎝⎭
圆环厚度的改变为
()211R r qr R r u u E R r μμ
ϖ
--⎛⎫
-=-+
⎪+-⎝⎭
。 4-14 设有一刚体,具有半径为R 的圆柱形孔道,孔道内放置外半径为R 而内半径为r 的圆筒,圆筒受内压力为q ,试求圆筒的应为。
【解】 本题为轴对称问题,故环向位移 ,另外还要考虑位移的单值条件,有
(1)应力分量
引用轴对称应力解答,教材中式(4-11)。
()2
2(12ln )232ln 20A
B C
A B C ρϕρϕϕρσρρσρρττ⎫=
+++⎪⎪
⎪
=-+++⎬⎪
⎪⎪
==⎭
(4-11)
取圆筒解答中的系数为A 、B 、C ,刚体解答中的系数为A '、B '、C ',由多连体中的位移单值条件,有
(a ) ′ 。 (b )
现在,取圆筒的应力表达式为
()2222A
C c A
C ρϕσρσρ⎫
=
+⎪⎪
⎬
⎪
=-+⎪⎭
刚体的应力表达式
【2-9】【解答】图2-17: 上(y =0) 左(x =0) 右(x =b ) l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式(2-15)得 ①在主要边界上x=0,x=b 上精确满足应力边界条件: ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上,能精确满足下列应力边界条件:() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上,能精确满足下列位移边界条件: ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板厚=1δ时,可求得固定端约束反力分别为: 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面,故应力分量与面力分量同号,则有: ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2,y=h/2上,应精确满足公式(2-15) l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q
-/2()y y h q σ==-,-/2()0yx y h τ==,/2()0y y h σ==,/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:负面上应力 与面力符号相反,有/20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小边界上,可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力: 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=⇒=--∑ 2 211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑ 由于x=l 为正面,应力分量与面力分量同号,故 /21/22/2 1/2/2/2 ()()22()h x x l N N h h x x l S h h xy x l S S h dy F q l F q lh ql ydy M M F l dy F ql F σστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪ ⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰ 【2-10】【解答】由于h l ?,OA 为小边界,故其上可用圣维南原理,写出三个积分的应力边界条件: (a)上端面OA 面上面力q b x f f y x = =,0 由于OA 面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有 ()()()0 00020000002 2120b b b y y y b b b y y y b yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪ ⎪⎛⎫=-=-= ⎨ ⎪⎝⎭⎪ ⎪=⎪⎩ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩)
第四章 平面问题的极坐标解答 典型例题讲解 例4-1 如图所示,矩形薄板在四边受纯剪切力作用,切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔, 试求孔边的最大和最小正应力。 例4-1图 【解】(1)根据材料力学公式,求极值应力和量大正应力的方位角α0 max min 2x y σσσσ+?=?? 其中0,,x y x q σστ===得 max min ,q q σσ==-。 最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0 max 0max 0tan 10 4 y q q τασσπ α=- =- =-→--=- q q x
若在该纯剪切的矩形薄板中,沿与板边成π 4 方向截取矩形ABCD ,则在其边界 上便承受集度为q 的拉力和压力,如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉,另一对边受压的板等效。 (2)取极坐标系如图。由 2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ? =--? ? ?? =-+? ?? =--+? ?? 得矩形薄板ABCD 内的应力分量为 ()()() 22 224 422 22cos 2(1)(13) cos 2(13) sin 2(1)(13) ρφρφ a a σq φa ρρa σq φ b ρa a τq φ c ρρ =--=-+=--+ 其中α为小孔的半径,而孔边最大与最小正应力由式(b ),在ρ=α处得到 4 4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa ?=-+=- 当φ=0,π时,孔边最小正应力为(σφ) min =?4q , 当φ=±π 2时,孔边最大正应力为(σφ)max =4q 。 分析:矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法,求解薄板的各种较复杂的平面应力(应变)问题。 习题全解 4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程,指出哪些项是相似的,哪些项是极坐标中特有的?并说明产生这些项的原因。
弹性力学简明教程 第一章绪论 1.弹性力学:又称为弹性理论,是固体力学的一个分支,其中研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2. 作用于物体的外力可以分为两种:一种是分布在物体表面的作用力,例如一个物体对另一物体作用的压力,象水压力等,称做面力;另一种是分布在物体体积内的力,象重力、磁力或运动物体的惯性力等,称为体力。 3.内力:物体本身不同部分之间相互作用的力。 4.弹性力学的基本假定:1假定物体处处连续;2假定物体是完全弹性的;3假定物体是均匀的;4假定物体是各向同性的;5假定位移和形变很小。(满足前四个为理想弹性体)第二章平面问题的基本理论 一、弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数,且均为 。 二、弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数,且均为。 三、平面应力问题:(1)等厚度的薄板;(2)体力作用于体内,平行于板的中面, 沿板厚不变;(3)面力作用于板边,平行于板的中面,沿板厚不变;(4)约束作用于板边,平行于板的中面,沿板厚不变。 四、平面应变问题:(1)很长的常截面柱体;(2)体力作用于体内,平行于横截面,沿柱体长度方向不变;(3)面力作用于柱面,平行于横截面,沿柱体长度方向不变;(4)约束作用于柱面,平行于横截面,沿柱体长度方向不变。 五、挡土墙和很长的管道、隧洞问题,是很接近于平面应变问题。 六、平衡微分方程: 七、边界条件--表示在边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系。(分为位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件) 八、圣维南原理:如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分量将著的改变,但远处所受的影响可以不计。 九、静力等效─指两者主矢量相同,对同一点主矩也相同; 十、圣维南原理表明,在小边界上进行面力的静力等效变换后,只影响近处(局部区域)的应力,对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 十一、圣维南原理推广:如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(主矢量及主矩都等于零),那么,这个面力就只会使近处产生显著的应力,而远处的应力可以不计。 十二、当体力呈常量(如重力、平衡移动时内慢性力)时,如果两个弹性体具有相同的边界形状并受到同样分布的外力,就不管这两个弹性体的材料是否相同,也不管它们是平面应力还是平面应变,应力分量ðx、ðy、τxy的分布是相同的(两种平面问题中的应力分量ðz,以及形变和位移,却不一定相同)。 第三章平面问题的直角坐标解答 一、逆解法:先设定各种形式、满足相容方程的应力函数Φ;并求出应力分量;然后在根据应力边界条件和弹性体的边界形状,看这些应力分量对应于边界上什么样的面力,从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。 二、半逆解法:就是针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量的函数形式。并从而推出应力函数的形式。然后代入相容方程求出应力函数的具体表达式,再由应力函数求得应力分量,并考察完这些应力分量能佛满足全部应力边界条件。如果所有的条件都能满足,自然得出 ()z y x f, , ()z y x f, ,
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体? 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。 非均匀的各向同性体如:混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体? 【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用? 【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时,它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计,使得弹性力学中的微分
1-1. 选择题 a. 下列材料中,D属于各向同性材料。 A. 竹材; B. 纤维增强复合材料; C. 玻璃钢; D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要; B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设; C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象; D. 弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务; B. 研究对象; C. 研究方法; D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律; B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关; C. 本构关系为非线性弹性关系; D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2-1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同; B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变; C. 3个主应力作用平面相互垂直; D. 不同截面的应力不同,因此应力矢量是不可确定的。 2-2. 梯形横截面墙体完全置于水中,如图所示。已知水的比重为 ,试写出墙体横截面边界',,’的面力边界条件。 2-3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁,如图所示。根据材料力学分析结果,该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2-4. 单位厚度的楔形体,材料比重为γ,楔形体左侧作用比重为γ1的液体,如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2-5. 已知球体的半径为r,材料的密度为ρ1,球体在密度为ρ1(ρ1>ρ1)的液体中漂浮,如图所示。试写出球体的面力边界条件。
《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2-1 是 2-2 是 2-3 按习题2-1分析。 2-4 按习题2-2分析。 2-5 在的条件中,将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。 2-6 同上题。在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量〔即更高阶微量〕上,可以略去不计。 2-7 应用的基本假定是:平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。 2-8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件;在小边界〔即次要边界〕上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2-9 在小边界OA边上,对于图2-15〔a〕、〔b〕问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。 2-10 参见本章小结。 2-11 参见本章小结。 2-12 参见本章小结。 2-13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足 〔1〕平衡微分方程, 〔2〕相容方程, 〔3〕应力边界条件〔假设>。 2-14 见教科书。 2-15 见教科书。 2-16 见教科书。 2-17 取 它们均满足平衡微分方程,相容方程与x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。 2-18 见教科书。 2-19 提示:求出任一点的位移分量和,与转动量,再令,便可得出。 第三章习题的提示与答案 3-1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解: 〔1〕校核相容条件是否满足, 〔2〕求应力, 〔3〕推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。 3-2 用逆解法求解。由于本题中l>>h,x=0,l属于次要边界〔小边界〕,可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3-3 见3-1例题。 3-4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后,并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是: 主要边界: 所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力;上边界有向下的法向面力q。
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体? 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。 非均匀的各向同性体如:混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体? 【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用? 【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时,它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计,使得弹性力学中的微分
第四章 平面问题的极坐标解答 4-8】 实心圆盘在 r 的周界上受有均布压力 q 的作用,试导出其解答 解答】实心圆盘是轴对称的, 可引用轴对称应力解答, 教材中的式 ( 4-11), (b ) 其次,在圆盘的圆心,当 0 时,式( a )中 , 的第一、第二项均趋 于无限大,这是不可能的。按照有限值条件(即,除了应力集中点以外,弹性 体上的应力应为有限值。 ),当 =0 时,必须有 A B 0 。 把上述条件代入式( b )中,得 C q/ 2。 所以,得应力的解答为 -q 0 。 【 4-9 】 半 平 面 体 表 面 受 有 均 布 水 平 力 q , 试 用 应 力 函 数 Φ ρ2(B sin 2φ Cφ) 求解应力分量(图 4-15 )。 【解答】(1)相容条件: 将应力函数 代入相容方程 4 0,显然满足。 (2)由 求应力分量表达式 (a) A 2 B(1 2ln ) B(3 2ln ) 2C 2C 首先,在圆盘的周界( r )上, 有边界条件 =r q ,由此得 A 2 B(1 2ln ) 2C -q
=- 2B sin 2 2C 2B sin 2 2C 2B cos 2 C
上,应力符号以正面正向、负面负向为正。 因此, 有 ( ) 2 0, 得 C 0; ( ) 2 -q , 得 B q 2 将各系数代入应力分量表达式, 得 q sin 2 q sin 2 q cos 2 【4-14 】 设有内半径为 r 而外半径为 R 的圆筒受内压力 q ,试求内半径和外半径的改 变量,并求圆筒厚度的改变量。 【解答】本题为轴对称问题,只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力 q 的情 况下,取应力分量表达式,教材中式( 4-11 ),注意到 B =0。 内外的应力边界条件要求 ( ) r 0, ( ) R 0; ( ) r q, ( ) R 0 A r 2 2C q, A R 2 2C 0。 由上式解得 A qr 2R 2 2 C qr ( R 2 - r 2 ) 2(R 2 - r 2) (a) 把 A ,B ,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离,教材中式( 4-12 )。 (c) 式( c )中的 , 取任何值等式都成立,所以各自由项的系数为零 3)考察边界条件:注意本题有两个 面,即 2 ,分别为 面。在 面 由表达式可见,前两个关于 的条件是满足的,而后两个条件要求 (b) 2 qr 22 E(R 2 r 2 ) 2 R 2 I cos K sin u H I sin K cos 0。
电大《弹性力学》课程 (选修)形考作业3 第三章 平面问题的直角坐标解答 第四章 极坐标解答 一、 单项选择题(每题2分,共40分) 1.弹性力学一般是在已知弹性体几何尺寸并给定全部边界条件以及外力作用,求解弹性体内产生的( D )分量。 A 位移、内力、变形 B 位移、应力、几何 C 力学、物理、几何 D 位移、应力、应变 2.应力函数错误!未找到引用源。能解如下何种问题( A ) A B C D 3.应力函数错误!未找到引用源。能解如下何种问题( B ) A B 姓 名: 学 号: 得 分: 教师签名:
C D 4.应力函数错误!未找到引用源。能解如下何种问题( C ) A B C D 5.应力函数错误!未找到引用源。能解如下何种问题( D ) A B C D
6.设定不同形式、满足相容方程的应力函数Φ,并由平衡方程求得应力分量,然后根据应力边界条件和弹性体的边界形状,判断应力分量对应与边界上怎样的面力,这种方法属于( C ) A平面问题B空间问题 C逆解法D半逆解法 7.根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量的函数形式,从而推出应力函数的形式,代入相容方程求出应力函数的具体表达式,验证求出的应力分量是否满足全部的应力边界条件,这种方法属于( D ) A平面问题B空间问题 C逆解法D半逆解法 8.常体力情况下的体力分量错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。( A )坐标错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。而改变。 A不随B随 C合力D无法确定 9.对于长度错误!未找到引用源。与高度错误!未找到引用源。同等大小的深梁,材料力学的解答是( D ) A严格的B精确的 C有意义的D无意义的 10.在给定的荷载作用下处于平衡状态的弹性体,其内部各点的应力、应变的解是( B ) A不唯一的B唯一的 C无解的D无法确定 11.圆域、圆环域弹性体,使用( B )求解比较简便,这样可以使弹性体的边界线与坐标线一致。 A直角坐标B极坐标 C解析法D几何法 12.在极坐标中,沿错误!未找到引用源。增减方向称为(径向),把沿错误!未找到引用源。增减方向称为(环向) A径向、法向B切向、法向 C法向、切向D径向、环向 13.产生轴对称应力状态的条件是,弹性体的形状和( A )必须是轴对称的。A应力边界条件B内力分布情况 C表面平整度D局部接触面 14.平衡微分方程具有两个方程,( C )个未知数。 A 1 B 2
第四章 用极坐标解平面问题 4.1.极坐标中的平衡微分方程 工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。在这些情况下,用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂,由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致,因而使边界条件的描述更加简单,使问题更易于求解。 首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为ϕd 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体(图4.1)。圆弧截面称为ρ面。面的法向沿径向而且指向ρ增加方向,这一圆弧面称为正ρ面,反之称为负ρ面。极径截面称为ϕ面。面的法向沿环向而且指向ϕ增加方向,这一极径截面称为正ϕ面。反之称为负ϕ面。 ρ面上的正应力用ρσ表示,剪应力用ρϕτ表示。ϕ面 上的正应力用ϕσ表示,剪应力用ϕρτ表示。用ρf 表示体积力在径向的分量,用ϕf 表示体积力在环向的分量。应力的符 号规定与直角坐标下的规定完全相同:正面上指向正向(坐标增加的方向)的应力为正值应力,负面上指向负向(坐标 减小的方向)的应力亦为正值应力,反之,为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同,指向坐标轴正向(坐标增加的方向)的体积力为正值,反之,为负值。 直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说,我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。但是,为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解,我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。我们取一个微分单元体研究,各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。 负ρ面上的正应力为ρσ,剪应力为ρϕτ;正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ,所以 正ρ面的应力和负ρ面相比,应力产生了一个增量,分别为ρρ σ σρρd ∂∂+和ρρ ττρϕρϕd ∂∂+ 。 负ϕ面上的正应力为ϕσ,剪应力为 ϕρτ;正ϕ面的坐标比负ϕ面增加了ϕd ,所以正ϕ 面的应力和负ϕ面相比,应力产生了一个增量,分别为ϕϕ σσϕϕd ∂∂+ 和ϕϕττϕρϕρd ∂∂+ 。 y 图4.1极坐标下的应力符号 y ϕσϕ∂ϕϕρ∂ 图4.2单元体上的应力