半连续动力系统Word_文档[1]

害虫治理与半连续动力系统几何理论

陈兰荪1) ,2)

1) 中国科学院数学与系统科学研究院 2) 福建师范大学闽南科技学院

===========================

一， 引言：

应用数学模型的方法耒研究生物种群管理决策，我们早在文献1)-4)中可以看到，特别是关于投放农药灭害虫的模型，最为经典最为简单的模型是以下阶段结构模型：

dx ay bx x dt α=-- , dy cx dy y dt

β=-- (1)

其中x ，y 分别表示害虫的幼虫和成虫的密度，b 表示幼虫的自然死亡率和单位时间由幼虫成长成成虫的成长率之和，c 表在单位时间由幼虫成长为成虫的成长率， 表示成虫的自然死亡率；α 表示喷洒农药对幼虫的杀死率， β 表示喷洒农药对成虫的杀死率.

系统(1)当 时的定性相图有两种可能：

(a)

(b)

b c a d

> 情况(a)说明当害虫的出生率大于死亡率时，害虫无限增长，反之(b)说明当害虫的出生率小于死亡率时害虫自动减少趋向于零，这种情况无需控制，对于情况(a)我们应用模型(1)选择适当的α 和

β使系统由(a)转变成(b)完成了控制，具体的：

选择α 和β使 即可达到上述目的，使害虫趋向灭绝.

以上理论分析，是把投放农药看成是连续行为，然而在实际中投放农药是分批进行，也就是说杀

害虫是一种脉冲行为，我们建立了灭害虫的脉冲微分方程模型：

(2)

其中： 0αβ==b c

a d

<()dx

ay bx x ay b x dt

αα=--=-+()dy

cx dy y cx d y

dt

ββ=--=-+b c a d α

β

+>+dx

ay bx dt

=-dy

cx dy dt

=-{

t k τ≠1,2,3k =x x α?=-t k τ=y y β?=-()()x x t x t +?=-()()

y y t y t +

?=-

若无脉冲 时微分方程的平衡点(0,0)

为不稳定 可以选取参数： ,

或

为微分方程的正特征根,使周期脉冲微分方程的平衡态(0,0) 为渐近稳定,害虫灭绝。 然而这样的研究结果，仍然得不到实际害虫管理人员的认同，他们在实际害虫管理工作中，并不是按照某周期时刻进行投放农药，而实际中是观察害虫发展到一定程度时才投放农药，例如在农田、森林中设置“监视器”耒时刻观察到害虫发展的“状态”，根据这个“状态”,的大小耒决定是否投放农药，为此我们又建立了数学模型：

(3)

这就是害虫数量发展的”状态脉冲反馈控制害虫的数学模型”,这是一个十分简单的模型，我们要通过这个模型研究害虫的可控性，研究通过控制后害虫的密度水平，以及在某些经济目标下的最优控制策略。

二，定义

定义1 ：为了研究一些更一般的情况，我们进一步考虑”状态脉冲微分方程”:

(4)

这里:

和 为 2R 平面上的直线或曲线

称为脉冲集 称为的相集

我把由”状态脉冲微分方程” (4) 所定义的解映射所构成的“动力学系统”称为“半连续动力系统”，记为：(,,,)f M ?Ω, 我们规定系统的映射初始点p 不能在脉冲集上， {}2,p R M x y ∈Ω=- ? 为连续映射, ,

称为脉冲映射 定义2 ：由脉冲微分方程(4)定义的半连续动力系统映射；

为 自身映射包括两个部份: 1)

微分方程:

(5) 初值为p 的Poincare 映射

若

则半连续动力系统初值为p 的映射为：

如下图：

0τ=α

β11e λτα->-11e λτ

β->-10λ>dx

ay bx dt =-dy

cx dy dt =-{

*

y y

y y =(,)dx f x y dt

=(,),dy g x y dt ={}(,),x y M x y ?{}(,),x y M x y ∈(,)x x y α?=(,)

y x y β?={

{},M x y {},N x y (,)x y {}

,M x y {},N x y ()M N ?

=?f （p,t)

Ω→Ω(,)dx

f x y dt =(,),dy

g x y dt

=π（p,t)

{}f ,0

M x y =（p,t)f π

（p,t)=（p,t)

2) 若存在时刻 有 脉冲映射

且 则半连续动力系统初值为p 的映射为： 如下图(a)所示

(a) (b)

3) 在上述2)的情况下，若 存在时间2T 有：{}f ,M x y ∈122（p ,T )=q 则:

12f )(,)))(,)f p t f p t πππ+=++1112（p,t)=(p,T (p,T (p ,T

如上图(b)所示.

4) 重复上面的考虑若 类推有 f )(,

)k f p t π+∑1k k K=1

（p ,t)=(p ,T 三，半连续动力系统的性质

由上定义的半连续动力系统(,,,,)f M ?Ω其映射满足性质： 1) ; 2) 关于连续动力系统的性质：

对p 和t 均连续；

π（p,t)

1T {}

f ,M x y ∈11（p,T )=q 111()((,))q f p T p N

??==∈{}f ,0M x y =1（p ,t)1f )(,)p t ππ+1（p,t)=(p,T {}f ,0M x y ≠1（p ,t){}f ,0

M x y ≠1（p ,t)

(,0)f p p =12(()(,)f f f p t t =+12p,t ),t π（p,t)

半连续动力系统的映射 在脉冲时刻不具有对时间t 的连续性,

但有性质：

3) 对初始值p 具有连续性. 四, 半连续动力系统的周期解

1) 如果微分方程系统(5)的周期解0Γ ，不与脉集 相交，0Γ 也为半连续动力系统(4)的周期

解。

2)

阶１周期解:

若相集N 中存在－点p,且存在 使得：

而且脉冲映射

则 称为阶１周期解，其周期为 如下图所示：

则轨道：轨线 直线1=Γ称为阶1环, 孤立阶1环为阶1极限环

阶1周期解的轨道稳定性：

定义：记Γ为阶1周期解( 阶1环 ) Γ称为是轨道稳定的，如果对于任何0ε>在相集上存点

p 的δ邻域(,)p δ,0δ>对于(,)p δ内任意一点1(,)p p δ∈以1p 为初始点半连续动力系统的轨线1(,)

f p t 存在T 当t T >时有：距离(1(,),)f p t ρεΓ<.

3)

阶2周期解与阶K 周期解: 设 且存在 有 而且脉冲映射 又有：

则轨道 称为阶2周期解，其周期 如下图所示:

(,)f p t (,)f p t {},M x y 1T {}f ,M x y ∈11（p,T )=q 11()((,))q f p T p N

??==∈1(,)f p T 1T 11pp q +1pq

p

1

q 1

p 1p N ∈1T 111(,)f p T q M =∈12()q p ?=222(,)f p T q =21

()q p ?=112(,)f p T T +12T T +

类似若存在 和 而

则轨道 称为阶K 周期解，其周期为 4)

状态脉冲微分方程的周期解举例

当 或 0y > (6)

当

如下图所示：

(a)

系统(6)若没有脉冲时，其解为一系列围绕原点O 的园,下图中 是半径为1的园，下图中 是半径为2的园， 和 都是系统(6)在没有脉冲时的周期解。 1) 阶1周期解的存在性：

1

p M N 2

p 2

q 1q p

∈i p N i T

1,2i k =(,)i i i f p T q M =∈1()i i q p N ?+=∈112(,)K f p T T T +++12K

T T T +++dx

y dt =-{

dy x dt

=x 0

≠x=0y 2

?=x=0y 0≤1

Γ2

Γ1

Γ1Γ2

Γ1Γ2Γ

(b) 一个脉冲的阶1环 (c) 两个脉冲的阶1环

在图(b)中a 为b 的相点,

ab 轨线+脉冲映射ba= 阶1周期解,

在图(c)中O 为b 的相点，a 为o 的相点,

acb 轨线+脉冲映射bo+脉冲映射oa = 阶1周期解(虽然脉冲两次，但只包一条轨线弧段，我们也定义为阶1周期解)

2) 阶2周期解的存在性：

(d)

在以上图(d)中 是阶1周期解,是半径为1的单位园,我们在y 轴上任取一点a ，设a 与

的距离为1δ<，a 点的座标为1δ+，过a 的园与负半轴交c ，c 点的座标为1δ--，c 点属于脉冲集，其脉冲的相点为f ，f 点的座标为1δ-,f 点不属于脉冲集，过f 的园与负半轴交d,d 点的座标为1δ-+, f 点属于脉冲集，其脉冲的相点为a,这样可见

abc 轨线+脉冲映射cf+def 轨线+脉冲映射da=阶2周期解,因 δ 是任意的,只要求01δ<<

因此我们知 附近充满阶2周期解

并且由“阶1周期解轨道稳定”的定义易知， 是轨道稳定的。但不是渐近稳定的。

我记：r k =的园为：k Γ 1,2,3k =

由上图左图易知： 因为从点+3经轨线到-3，再经脉冲到-1，-1属于脉冲集，再次脉冲到+1，+1再经轨线到-1，再脉冲到+1，停留在阶1周期解 上。同样的推理，我们将有：

2n-1531Γ→

Γ→Γ→Γ

类似推理我们有：2n 642Γ→

Γ→Γ→Γ,类推知道2n Γ与2n-1Γ之间的解都走向 与 之间的阶2周期解。上图右图中的区域G(2,0r x ≤≤),G 是一个“正向不变集”，G 是一个“吸引

1

Γ1Γ1Γ1Γ1Γ1

Γ2

Γ3Γ4

Γ3

Γ2

Γ1

Γ31

Γ→Γ1Γ1Γ

2Γ

子”，G 是全局(x>0)吸引的吸引子. 五，基本定理与应用：

1) 定义：后继函数

我们假设脉冲集M 和相集N 均为直线，如下图所示，在相集N 上定义座标，例如定N 与X 轴的交点Q 的座标为0，N 上任意一点A 的座标定义为A 与Q 的距离，记为a,设由A 点出发的轨线与脉冲集交于一点C ，C 的脉冲相点为B 在相集N 上，座标为b ，我们定义点A 的后继点为B ，A 的后继函数为F(A)=b-a,

引理1：后继函数F(A)是连续的。

证明：如图所示，有Poincare 映射()A C M π→∈,()C B ?=

由于Poincare 映射对初值的连续性，对于任绐10ε>,存在0δ>,对于邻域 (,)U A δ 内必有在一点1(,)A U A δ∈,11()A C M π→∈只要1A A δ-<即有：11C C ε-<

再由于脉冲映射?的连续性，对任绐0ε>,B 的ε 邻域(,)U B ε内 任意一点1(,)B U B ε∈ 因为()C B ?=因此必存在C 的邻域(,)U C δ中存在点2C 其相点为2B 只要

21C C ε-<则有2B B ε-<因此我们有：

对任绐0ε>,B 的ε 邻域(,)U B ε内 任意一点1(,)B U B ε∈,必存在()0δε>, 使得在A 的δ 邻域 (,)U A δ 内必有在一点1(,)A U A δ∈使得1B 正是1A 的后继点, 也即若：1A A δ-<则有1B B ε-<. 2) 后继函数的应用：

定理1，有阶2周期解必有阶1周期解

证明：设有阶2周期解A 1A B 1B ,A 和B 在相集N 上，其座标分别为a 和b ，轨线弧A 1A 与脉冲集M 交于点1A ，B 为1A 的相点,轨线弧B 1B 与脉冲集M 交于点1B ,A 为1B 的相点,如下图所示：我们可以看到B 为A 的后继点，同时B 又是A 的后继点。

我考查A 和B 两点的后继函数有：

()0F A b a =-> ()0F B a b =-<

由解对初值的连续性和脉冲映的连续性，易知后继函数关于初值是连续的，因此知在A 与B 之间必存在一点C 使：()0F C =, (,)f c t 为阶1周期解.

定理2 ，(Bendixon 定理)

设存在一个单连通、有界闭区域ABCDA ，如下图所示,其边界AD 和BC 为系统(4)的无切弧，在其上系统(4)所确定的方向埸的朝向是指向区域ABCDA 的内部，如下图所示, 区域ABCDA 的内部与边界上都不存在半连续动力系统(4)的平衡点, 区域ABCDA 的一个边界CD 为系统(4)的脉冲集，其相应的相集包含在AB 之内, ()CD AB ??,AB 也为系统(4)的无切弧，在其上系统(4)所确定的方向埸的朝向是指向区域ABCDA 的内部，则在区域ABCDA 的内部至少存在一个半连续动力系统(4)的阶1周期解。

证明：记 ABCDA G =,其边界无切弧AD 记为1Γ,其边界无切弧BD 记为2Γ,考察以A 为初始

点系统(4)的轨线(,)f A t ,当t 增加时轨线(,)f A t 必进入区域G ，而且当t 继增大时，因为边界1Γ,

2Γ和相集AB 都无切弧，而且系统(4)的向量指向是由外指向G 的内部，又G 内不含平衡点，所

以当t 增大时(,)f A t 既不能通过1Γ，2Γ或相集AB 走出区域G 也不能仃留在G 内，所以(,)f A t 必与脉冲集CD 相交于一点A ,设A 的相点为1A ,必有1A AB ?，如果1A A =则为阶1周期解，如果1A A ≠,我们在相集上以A 为起点建立座标，没A 的座标0，其他点以其与A 点的距离为座标，设点的座标为10a >，这样A 的后继函数1()0F A a =>.

类似地考察以B 点为初始点系统(4)的轨线(,)f B t 当t 增加时轨线(,)f B t 必进入区域G ，而且当t 继增大时终将必与脉冲集CD 相交于一点B ,设B 的相点为1B ,必有1B AB ?为果

1B B =，则(,)f B t 为阶1周期解，如果1B B ≠,，则B 点的后继函数：1()0F B b b =-<因为

后继函数的连续性，在A 与B 之间必至少存在一点C ，使：()0F C =因而在区域G 内存在阶1周期解：(,)f C t .证毕

2) Bendixon 定理应用例子

我们考虑脉冲状态反馈控制害虫防治系统(3)：

???

(3)

定理3，当αβ<(即农药对幼虫的杀伤率小于对成虫的杀伤率)时，半连续动力系统(3)至少存在

一个阶1周期解。

证明：我们考虑害增率较大的情况，也就是说害的出生率大于其自然死亡率，即 在这假设下系统(3)在相平面(x 、y)上的相图如下图所示：原点O 为鞍点，直线ocb 为鞍点分界线，线段ab 为脉冲集 上 的一部份，b,c 分别为分界线ocb 与脉冲集 和 相集

直线cd 的交点，a 为等倾线 0dx dt

=与脉冲集 的交点，在点作垂直于脉冲集

的直线ad 与相集交于一点d ，a 为a 的相点，b 为b 的相，由定理的假设αβ<易知b 在c 点的右边，又由0α> 易知a 在d 点的左边，由于cb 为轨线，由向量场的方向可知，由ab 、bc 、

dy

cx dy dt

=-*

y y <{{

x x

α?=-y y

β?=-*

y y =b c a d

<

*y y =*y y =*y y =*

y y =dx

ay bx dt =-

cd 和ad 四线段所围成的单连通区试G 为一个Bendixon 区域，cb 为轨线cd 和ad 为系统(3)的无切直线，方向场的方向都是由外指向G 的内部，由Bendixon 定理，在G 内至少存在一个系统(3)的阶1周期解，定理证毕。

(六) 半连续动力系统的阶1奇异环（同宿轨）

定义：所谓阶1奇异环是指阶1环上有奇点，( 阶1环上的Poincare 映射的α 极限集与ω 极

限集仅是同一奇点A.)

阶1奇异环的例子：

我们考虑状态脉冲系统： (1) 求(1) 通积分得

(2)

半连续动力系统的同宿轨 连续动力系统的同宿轨

系统(2)的解曲线如上左图所示：在(x ，y)平面上，O(0，0)为鞍点，直线ou 和ov 为两条鞍点分界线， 垂直线M 和N 分别为脉冲集和相集，其方程分别为；

M ： N ：()11x x α=-

b c a d

<*

y y =dx y dt =dy x dt

=1x x

α?=-y y

β?=-1

x x ={(x-y)(x+y)=C 1

x x <{

1

x x =1x x =x x

α?=-y y

β?=-1

x x =

易知对于任何给定 和 则M 和N 的位置是确定的，也就是说它们与两分界线的交点A 和B 的位置是确的，显然我们可以适当的选取 β ，使B 正好为A 的相点，这形成的三角形OAB 就是阶1周期解，其上有奇点O ，我们称之为阶1奇异环，因为轨线AO 以O 为 极限点，BO 以O 为 ω 极限点，因此我们称之为阶1同宿轨，与上面右图连续动力系统同宿环类似。

(七) 阶1同宿环分支

考虑扰动系统：

(3)

我们看到系统(3)为系统(2)的脉冲函数作了了小扰动，在未扰动时，脉冲集A 1A 线段的相集为B 1B 线段，Ａ的相点为B ，1A 的相点为1B ，扰动后脉冲集A 1A 线段的相集为1BB ，扰动后原阶1同宿环破裂，不再存在阶1同宿环但由向量场知道，如下右图，AOB 11B A A 构成一个Bendixon 区域G ，因为OA 和OB 是轨线，1AA 为脉冲集，11B A 和1B B 为无切线其上向量场的方向均由G 外指向G 内，G 内部无奇点，111()AA B B B B ?=?因此在G 内至少存在一个阶1周期解。事实上，由于系统(3)是一个简单的可解系统，对于任绐ε 扰动，所产生的非奇异阶1

周期解，可以求出相应的代数表达式。

(八) 脉冲环面动力系统

我们考虑状态脉冲系统：

设：

参数：0δ≥

r =

1x αα

(x-y)(x+y)=C x x

α?=-1

x x <(-)y y

βε?=-1

x x ={

sin x r θ=cos y r θ=

???

(7)

当0δ=时，系统(7)在

内为一系列园，O 为中心，当20δ>>时原点为不稳定焦点，我们考虑初始点1的园 , 系统(7)的轨线，，由于原点为不稳定焦点，这轨线必围绕r=1的园旋转最终要和r=2的园相交于一点N ，因为r=2是脉冲集，所以由N 又脉冲到r=1的单位园上一点1N ,由1N 起始的轨线又将围绕r=1的园旋转最终要和r=2的园相交于一点2N ,如此的程序会不断继续下去，结论会有两种可能(1)经过有限成了周期轨道, 1k K N N +=存在k 阶周期解，(2)这种程序会无限次的继续下去，成为遍厉现象，如下图计算结果：

具有环面动力系统的特性。但我还没有办法耒判定出现这两种情况的条件是什么？

dx

y x dt δ=-+dy x dt ={

2

r =<1

r ?=-0

θ?=2

r ==12

r Γ→=21

r Γ→=2r =21r Γ→=[0,40],0.7,(0) 1.5,(0)1

t r δθ∈===

参考文献：

1) Clark C W, Mathematical bioeconomics: the optimal management of renewable resources, New York:John Wiley & Sons,1976

2) Clark C W, Bioeconomic modeling and resource management, In:Levin S A,,Hallam,T G, Grose L J eds. Applied mathematical ecology. New York:Springer-Verlag,1989

3) Clark C W, Mathematical bioeconomics: the optimal management of renewable resources, New York:John Wiley & Sons,1990

4) Goh B S, Managenment and analysis of biological populations,Elsevier Scientific Publishing Company:Amsterlan,1980

5) Bonotto. E.M. Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems. J. Math. Anal. Appl. 332

(2007) 81–96

6)Bonotto.E. https://www.doczj.com/doc/e515766334.html,Salle's Theorems in impulsive semidynamical systems.cadernos de matem?atica 09, 157-168 october (2008).

7)Bonotto E.M. ,. Federson. M.Limit sets and the Poincaré–Bendixson Theorem in impulsive semidynamical systems. J. Differential Equations 244 (2008) 2334–2349

8)Bonotto E. M. Grulha. N. G. Jr. Lyapunov stability of closed sets in impulsive semidynamical systems (Preprint).

9) Bonotto E.M. Federson. M.Poisson stability for impulsive semidynamical systems. Nonlinear Analysis 71 (2009) 6148_6156

10) Bonotto E.M., Federson M.Topological conjugation and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems. J. Math. Anal. Appl. 326 (2007) 869–881

11 ) S.K. Kaul, Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems, J. Appl. Math.

Stochastic Anal. 7 (4) (1994) 509–523.

12) S.K. Kaul, On impulsive semidynamical systems, J. Math. Anal. Appl. 150 (1) (1990) 120–128.

13) K. Ciesielski, On semicontinuity in impulsive systems, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 52 (2004)

71–80.

14) K. Ciesielski, On stability in impulsive dynamical systems, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 52 (2004)

81–91.

15) Zeng G.Z., Chen L.S, Sun. L.H, Existence of periodic solution of order one of planar impulsive autonomous system., Journal of Computational and Applied Mathematics 186 (2006) 466–481

16) Lakshmikantham V., Bainov D.D. Simeonov,P.S.,Theory Of Impulsive Differential Equations,World Scientific,

Singapore,1989.

17) Simenov，P.S.and Bainov D.D. Orbital stability of the periodic solutions of autonomous systems with impulse effect，Int.J.Systems Sci.，19，No.12(1988)，2561-85