八年级数学试卷(勾股定理)
一、选择题(将正确答案代号填入下表中,每小题 3分,共 36 分) 1.以下列数组为边长的三角形,恰好是直角三角形的是(
)
A .4,6,8
B .4,8,10
C .6,8,10
D . 8, 10,12 2.已知命题:等边三角
形是等腰三角形.则下列说法正确的是(
)
A .该命题为假命题
B .该命题为真命题
C .该命题的逆命题为真命题
D .该命题没有逆命题
3.一个圆柱形铁桶的底面半径为 12cm ,高为 32cm ,则桶内所能容下的木棒最
长为( )
A .20cm
B .50cm
C .40cm
D .45cm
4.等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为( )
A .4
B .
C .2
D .3 5.如图,将三边长分别为 3,4,5的△ ABC 沿最
长边翻转 180°成△ABC 1,则 CC 1
6.如图,正方形网格中的△ ABC ,若小方格边长为 1,则△ ABC 的形状为( )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .以上答案都不对
D .
7.如图,△ ABC和△ DCE都是边长为 4 的等边三角形,点B、C、E在同一条直
8.长方形的一边长为4,对角线与长方形另外一条边相差2,则长方形的面积为()
A.8 B.4 C.6 D.12
9.在直角三角形中,如果有一个角是30°,这个直角三角形的三边之比最有可
能的是()
A.3:4:5 B.1:1:C.5:12:13 D.1:: 2
10.设a、b 是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab 的值是()
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
11.如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过
点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为()
A.4 dm B.2 dm C.2 dm D.4 dm
12.如图,在 6 个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图从 A 点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有()
A.1 种B.2 种C.3 种D.4 种
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.把答案填在题中横线上)13.如果三角形的三边分别为
,,2,那么这个三角形的最大角的度数为.14.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点 E 在边DC 上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E 的坐标为.
15.如图,以Rt△ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜边
AB=a,则图中阴影部分的面积为.
16.如图所示,在△ ABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点P 从点
A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答应写出计算过程)17.在
cm2.
3 秒时,△ BPQ 的面积
为
Rt△ABC中,∠ C=90°.
(1)已知c=25,b=15,求a;
(2)已知a= ,∠ A=60°,求b、c.
18.如图,已知在△ ABC中,CD⊥AB于D,BD=9,BC=15,
AC=20.(1)求CD的长;
(2)求AB 的长;
(3)判断△ ABC的形状.
19.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC 的中点 D 重合,折痕为MN,求线段BN的长.
20.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面 3 尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺,请问水深多少?
21.如图,△ ABC,△ AED 是两个大小一样的三角形,已知∠ ADE=90°,
AE=5,
22.在△ ABC中,AB=2 ,AC=4,BC=2,以AB为边向△ ABC外作△ ABD,使△ ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
23.在△ ABC中,a=m2﹣n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m、n 都是正整数;且m
> n,试判断△ ABC是否为直角三角形?
24.长方形OABC绕顶点C(0,5)逆时针方向旋转,当旋转到CO′A′位B 置′时,边O′A交′边AB于D,且A′D=,2 AD=4.
(1)求BC长;
(2)求阴影部分的面积.
八年级数学试卷(勾股定理)
参考答案与试题解析
一、选择题(将正确答案代号填入下表中,每小题3分,共36 分)1.以下列数组为边长的三角形,恰好是直角三角形的是()
A.4,6,8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12 【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.
【解答】解:A、∵ 42+62≠82,∴该三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,故错误;
B、∵42+82≠102,∴该三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,故错误;
C、∵62+82=102,∴该三角形符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形,故正确;
D、∵82+102≠122,∴该三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,
故错误;故选C.
2.已知命题:等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是()
A.该命题为假命题B.该命题为真命题
C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题
【考点】命题与定理.
【分析】首先判断该命题的正误,然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项.
【解答】解:等边三角形是等腰三角形,正确,为真命题;其逆命题为等腰三角形是等边三角形,错误,为假命题,故选B.
3.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm,高为32cm,则桶内所能容下的木棒最
长为()
A.20cm B.50cm C.40cm D.45cm
【考点】勾股定理的应用.
【分析】根据题意画出示意图,AC为圆桶底面直径,AC=24cm,CB=32cm,那么线段AB 的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度,在直角三角形ABC 中利用勾股定理即可求出AB,也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度.【解答】解:如图,AC为圆桶底面直径,
∴ AC=2× 12=24cm,CB=32cm,
∴线段AB 的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度,
∴ AB= = =40cm.
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm.
故选C.
4.等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为()
A.4 B.C.2 D.3
【考点】等边三角形的性质.
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点,即BD=CD,在直角三角形ABD中,已知AB、BD,根据勾股定理即可求得AD 的长,即可求三角形ABC的面积,即可解题.
【解答】解:∵等边三角形高线即中点,AB=2,
∴BD=CD=1,
在Rt△ABD中,AB=2,BD=1,
∴ AD= ,
∴ S△ABC= BC?AD= × 2× = ,故选B.
5.如图,将三边长分别为 3,4,5 的△ ABC 沿最长边翻转 180°成△ABC 1,则 CC 1
【考点】 翻折变换(折叠问题) ;勾股定理的逆定理.
【分析】首先设 AB 与 CC 1相较于点 D ,由△ABC 的三边分别为 3、4、5,且
32+42=52, 可得△ ABC 是直角三角形,即可求得 CD 的长,继而求得答案.
【解答】 解:设 AB 与 CC 1相较于点 D , ∵△ ABC 的三边分别为 3、4、5,且 32+42=52,
∴△ ABC 是直角三角形, 由折叠的性质可得: AB ⊥CD ,且 CD=C 1D ,
CD= =
∴ CD= = ,
∴ CC 1=2CD= .
6.如图,正方形网格中的△ ABC ,若小方格边长为 1,则△ ABC 的形状为(
)
D .
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理.
【分析】根据勾股定理求得△ ABC各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行判定,从而不难得到其形状.
【解答】解:∵正方形小方格边长为1,
∴ BC= =2 ,
AC= = ,
AB= = ,
在△ ABC中,
∵BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ ABC是直角三角形.
故选:A.
7.如图,△ ABC和△ DCE都是边长为 4 的等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,连接BD,则BD 的长为()
A.B.C.D.
【考点】勾股定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;等边三角形的性质.【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠ BDE=9°0,再进一步根据勾股定理进行求解.
【解答】解:∵△ ABC和△ DCE都是边长为 4 的等边三角形,
∴∠ DCE=∠CDE=6°0,BC=CD=4.
∴∠ BDC=∠CBD=3°0.
∴∠ BDE=9°0.
∴ BD= =4 .
故选:D.
8.长方形的一边长为4,对角线与长方形另外一条边相差2,则长方形的面积为()
A.8 B.4 C.6 D.12
【考点】矩形的性质.
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长,然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解.
【解答】解:∵如图,AB=4,AC=BC+2,
∴根据勾股定理得到:AB2+BC2=(BC+2)2,即16+BC2=(BC+2)2,
∴BC=3,
∴它的面积为4×3=12.
故选:D.
9.在直角三角形中,如果有一个角是30°,这个直角三角形的三边之比最有可能的是()
A.3:4:5 B.1:1:C.5:12:13 D.1:: 2
【考点】含30 度角的直角三角形.
【分析】设30°角所对的直角边为a,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度,再利用勾股定理求出另一条边的长度,然后即可求出比值.【解答】解:如图,设30°角所对的直角边BC=a,则AB=2BC=2a,
∴ AC= = a,
∴三边之比为a:a:2a=1::2.故选D.
10.设a、b 是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab 的值是()
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【考点】勾股定理.
【分析】由该三角形的周长为6,斜边长为 2.5可知a+b+2.5=6,再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab 的值.
【解答】解:∵三角形的周长为6,斜边长为 2.5,
∴ a+b+2.5=6,
∴ a+b=3.5,①
∵a、b 是直角三角形的两条直角边,∴a2+b2=2.52,②
由②得a2+b2=(a+b)2﹣2ab=2.52 ∴3.52﹣2ab=2.52
ab=3,故选D.
11.如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为()
A.4 dm B.2 dm C.2 dm D.4 dm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,
∴ AB=2dm,BC=BC′=2dm,
∴AC2=22+22=4+4=8,
∴ AC=2 dm,
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4 dm .
故选:A.
12.如图,在 6 个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图从 A 点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有()
A.1 种B.2 种C.3 种D.4 种
【考点】勾股定理的应用.
【分析】如图所示,找出从 A 点到B点的最短距离的走法即可.解答】解:根据题意得出最短路程如图所示,最短路程长为+1=2 +1,
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种,故选:C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.把答案填在题中横线上)
13.如果三角形的三边分别为,,2,那么这个三角形的最大角的度数为
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形可得答案.
【解答】解:∵()2+22=()2,
∴此三角形是直角三角形,
∴这个三角形的最大角的度数为90°,
故答案为:90°.
14.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点 E 在边DC 上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为(10,3).
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角△ AOF中,利用勾股定理来求OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8﹣x,CF=10﹣6=4,根据勾股定理列方程求出EC 可得点E的坐标.
【解答】解:∵四边形A0CD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10,DC=AB=8,
∵矩形沿AE折叠,使D落在BC上的点F处,
∴AD=AF=10,DE=EF,
在Rt△AOF中,OF= =6,
∴FC=10﹣6=4,
设EC=x,则DE=EF=8﹣x,
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,即(8﹣x)2=x2+42,解得x=3,
即EC 的长为3.
∴点 E 的坐标为(10,3),
15.如图,以Rt△ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜
边AB=a,
考点】勾股定理.
【分析】 根据勾股定理可得 AC 2+BC 2=AB 2,然后判断出阴影部分的面积
=2S △ABE , 再利用等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得
解.
解答】 解:∵△ ABC 是直角三角形, ∴AC 2+BC 2=AB 2,
∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形,
16.如图所示,在△ ABC 中,AB :BC :CA=3:4:5,且周长为 36cm ,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每
【分析】 首先设 AB 为 3xcm ,BC 为 4xcm ,AC 为 5xcm ,利用方程求出三角形的
三边,由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形.再求出 3 秒后的, BP ,
BQ 的长,利用三角形的面积公式计算求解.
【解答】 解:设 AB 为 3xcm ,BC 为 4xcm ,AC 为 5xcm , ∵周长为 36cm ,
AB+BC+AC=36cm ,
∴ 3x+4x+5x=36, 解得 x=3,
∴ AB=9cm ,BC=12cm , AC=15cm , ∵AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ ABC 是直角三角形,
过 3 秒时, BP=9﹣3×1=6(cm ), BQ=2×3=6(cm ), ∴S △PBQ = BP?BQ= ×( 9﹣3)×6=18(cm 2).
∴阴影部分的面积 =2S △ABE =2× ?a?( a ) = a 2.
3 秒时,△ BPQ 的面积为 18 cm 2 .
故答案为:
考点】 勾股定理的逆定理.
故答案为:18.
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答应写出计算过程)17.在Rt△ABC 中,∠ C=90°.
(1)已知c=25,b=15,求a;
(2)已知a= ,∠ A=60°,求b、c.
【考点】解直角三角形.
【分析】(1)根据勾股定理即可直接求出 a 的值;(2)根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c 的值.
【解答】解:(1)根据勾股定理可得:
a= =20;
(2)∵△ ABC为Rt△,∠ A=60°,
∴∠ B=30°,
∴ c=2b,
根据勾股定理可得:a2+b2=c2,即6+b2=(2b)2,
解得b= ,则c=2 .
18.如图,已知在△ ABC中,CD⊥AB于D,BD=9,BC=15,AC=20.(1)求
CD的长;
(2)求AB 的长;
(3)判断△ ABC的形状.
分析】(1)在Rt△BCD中,根据勾股定理求出CD的长;
2)在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD 的长,故可得出AB的长;(3)由勾股定理的逆定理即可得出结论.
【解答】(1)在△ BCD中,因为CD⊥AB,所以BD2+CD2=BC2.
所以CD2=BC2﹣BD2=152﹣92=144.
所以CD=12.
(2)在△ ACD中,因为CD⊥AB,
所以CD2+AD2=AC2.
所以AD2=AC2﹣CD2=202﹣122=256.
所以AD=16.
所以AB=AD+BD=16+9=25.
(3)因为BC2+AC2=152+202=625,AB2=252=625,所以AB2=BC2+AC2.
所以△ ABC是直角三角形.
19.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC 的中点 D 重合,折痕为MN,求线段BN的长.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】如图,首先求出BD的长,根据勾股定理列出关于线段AN 的方程,问题即可解决.
【解答】解:如图,
∵点D为BC的中点,
∴ BD=CD= ;
由题意知:AN=DN(设为x),
则BN=9﹣x;由勾股定理得:x2=(9﹣x)2+32,
解得:x=5,
∴ BN=9﹣5=4,即BN 的长为 4 .
20.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面 3 尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺,请问水深多少?
考点】勾股定理的应用.
【分析】仔细分析该题,可画出草图,关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形,解此直角三角形即可
【解答】解:红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长.
Rt△ABC中,AB=h,AC=h+3,BC=6,
由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,即(h+3)2=h2+62,
∴h2+6h+9=h2+36,
6h=27,解得:h=4.5.答:水深 4.5 尺.
21.如图,△ ABC,△ AED 是两个大小一样的三角形,已知∠ ADE=90°,AE=5,AD=4,连接EB,求DE和EB的长.
【考点】勾股定理.
【分析】直接利用勾股定理得出DE 的长,再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE的长.
【解答】解:∵∠ ADE=9°0,AE=5,AD=4,
∴ DE= =3,
∵△ ABC,△ AED是两个大小一样的三角形,
∴AB=AE=5,
∴BD=1,
∴ BE= = = .
22.在△ ABC中,AB=2 ,AC=4,BC=2,以AB为边向△ ABC外作△ ABD,使△ ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
【考点】勾股定理的逆定理;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据题意中的△ ABD 为等腰直角三角形,显然应分为三种情况:∠
ABD=90°,∠ BAD=90°,∠ ADB=90°.然后巧妙构造辅助线,出现全等三角形和直角三角形,利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解.
【解答】解:∵ AC=4,BC=2,AB= ,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ ACB为直角三角形,∠ ACB=9°0.
分三种情况:
如图(1),过点D作DE⊥CB,垂足为点E.
∵DE⊥CB(已知)
∴∠ BED=∠ACB=9°0(垂直的定义),∴∠CAB+∠CBA=9°0(直角三角形两锐角互余),
∵△ ABD为等腰直角三角形(已知),
∴AB=BD,∠ ABD=9°0(等腰直角三角形的定义),
∴∠ CBA+∠DBE=9°0(平角的定义),
∴∠ CAB=∠EBD(同角的余角相等),
在△ ACB与△ BED中,∵∠ACB=∠BED,∠CAB=∠EBD,AB=BD(已证),
∴△ ACB≌△ BED(AAS),
∴ BE=AC=,4 DE=CB=(2 全等三角形对应边相等),∴CE=6(等量代换)根据勾股定理得:CD=2 ;如图(2),过点D作DE⊥CA,垂足为点
E.∵BC⊥CA(已知)
∴∠ AED=∠ACB=9°0(垂直的定义)
∴∠ EAD+∠EDA=9°0(直角三角形两锐角互余)
∵△ ABD为等腰直角三角形(已知)
∴ AB=AD,∠ BAD=9°0 (等腰直角三角形的定义)
∴∠ CAB+∠DAE=9°0(平角的定义)
∴∠ BAC=∠ADE(同角的余角相等)
在△ ACB与△ DEA中,
∵∠ ACB=∠DEA(已证)∠ CAB=∠EDA(已证)AB=DA(已证)
∴△ ACB≌△ DEA(AAS)
∴ DE=AC=,4 AE=BC=2(全等三角形对应边相等)∴CE=6(等量代换)根据勾股定理得:CD=2 ;如图(3),过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.∵∠ C=90°,
∴∠ CAB+∠CBA=9°0,