走积分在几何中的应用
一、定积分的微元法
二、平面图形的面积
三、旋转体的体积
—、定积分
用定积分表示一个量，如几何量.物理量或其他的量，一般分四步考虑，我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.
第一步分割：将区间［偽刃任意分为n个子区间|七“,兀］= 2,…，旳），其中心二a9 x,= b?
第二步取近似：在子区间［￡?1，七］上，任取一点不，作小曲边梯形面积44,的近似值,
AA Z ?/(^)2Lr,?(i=l,2,...n)
第三步求和：曲边梯形面积A
1=1
第四步取极限：n-> oo, 2 = max{2\x r} -> 0,
A = \im^ f(^i)Ax i =￡/(xXlr.
/=!
第二步取近似时其形式/(^Ar-,与第四步积分( f(x)dx中的被积分式f (x)dx具有类同的形武，如果把第二步中的$用X替代，W 用dx替代，那么它就是第四步积分中的被积分式，基于此，我们把上述四步简化为三步：
第一步选取积分变量，例如选取兀，并确定其范围，例如XG ［a9b］9在其上任取一个子区间记作［x, x + dx］.
第二步取所求量I在子区间［x9 x + dx］上的部分量M的近似值
△/ ? f (x)dx9
第三步取定积分I = ［7(x)dr?
▲
几点说明： (1)取近似值时，得到的 是形如r (“)dx 的近似值，
并且要求A/ - / (x)dx 是dx 的高
阶无穷小量，关于
常能满足.
(2)满足(1)的要求后，/(x)dx 是所求量I 的微分, 所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即
61 = f(x)dx f
df 称为量f 的微元.
上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微 元法.
r
二.平面图形的面积
计算由区间⑷⑵上的两条连续曲线y = /(x)与〉,=g(x), 以及两条直线与所围成的平面图形的面积。
y
O a xx + (lx X
由微元法，取x 为积分变量, 其变化范
为区间［a 9 b ］,在 区间⑷刃的任意一个小区间
|x,x+dx ］上，相应的面积可 以用X 点处的函? 【值
后一个要求在实际问丿 中常
以dx为底的矩形面积近似代替(如图)，从
而得到面积元素
clA = [f(x)-g(x)]dx
所以，所求平面图形的面积A为
A=￡l/(x)-g(x)ldx.
例1计算由曲线y = ^2及直线y = x所
▲
例2求出抛物线护=2x与直线y =兀-4所
围成的平面图形的面积.
解作草图，如图，求抛物线与直线的交点,
如果选择y作积分变量，ye [- 2,4],任取一个子区间[”，+d.y ] u [-2,4], 则在[j,j + dy]上的面积微元是
V2
dA = (x2-x1)dj= (y+4)-— dy, y
于是°+4)-二dy
■2 2
=1&
如果选择X为积分变量,
ej
ESI
(2-2)
那么它的表达式就比上式复杂.
x
y2 = 2x
y +3
V
▲
所围成的平面图形的面积.
解由上述公式知
n
一(sin x-cos x)dx + J ：(sinx-cosx)dr =
[cosx 4-sinxj|^ +[—cosx —sinx]|;
4
= 2(72-1)?
A = (：(cos x —sinxXLr + J^(sinx — cosxXix ?
4
例 3 求y = sinx, y = cosx,
sinx —a )s x VLx.
A
n
也可以先 作出该平面图 形的草图，如图, 则直接可得
教学题目： 选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体，PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程
积分?b a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形 的面积。 当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a 定积分的几何应用例题与习题 、曲线 的极坐标方程 1 cos ,(0 ), 求该曲线在 所对应的点处的切线 的 1 4 L 2 直角坐标方程，并求曲线 、切线 L 与x 轴所围图形的面积。 2、设直线 y ax 与抛物线 y x 2 所围成的面积为 S 1,它们与直线 x 1所围成的 面积为 S 2 ,并且 a 1 (1)试确定 a 的值，使 S 1 S 2达到最小，并求出最小值； （2）求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 、设 平面上有正方形 D ( x, y) 0 x 1,0 y 1 及直线 L : x y t (t 0) 3 xoy x 若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下部分的面积 ,试求 S(t )dt (x 0) 4、 求由曲线 x sin ( 0) 与 轴所围图形绕 轴旋转所得旋转体的体积 y e x x x x V x 5、求由曲线 x a cos 3 t 与直线 y=x 及 y 轴所围成的图形 y asin 3 t ( a 0, 4 t 2 ) 绕 x 轴旋转所得立体的全表面积。 ( S=( 11 2 ) a 2 ) 5 40 6. 曲线 y e x e x 与直线 x 0, x t(t 0)及 y 0围成一曲边梯形，该曲边梯 2 形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V (t), 侧面积为 S(t)，在 x t 处的底面积为 F (t ) 求 S(t) 的值； 计算极限 S(t ) (1) (2) lim V (t) t F (t ) S(t ) 2, lim S(t ) 1 V (t ) F (t) t 7、求由摆线 x= a(t sin t) ,y= 的一拱 (0 t 2 ) 与横轴所围成的平面图形的面积， a(1 cost) 及该平面图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积。 （1）A 3 a 2 , (2)V x 5 2 a 3 , (3)V y 6 3 a 3 8、设平面图形 由 x 2 y 2 2 x 及 y 所确定，求图形 绕直线 x 2 旋转一周所得 A x A 旋转体的体积。 2 V 2 2 3 定积分的几何应用例题与习题 11cos ,(0),2 4 L π π ρθθθΓ=+≤≤ = Γ、曲线的极坐标方程求该曲线在所对应的点处的切线的 直角坐标方程，并求曲线、切线L 与x 轴所围图形的面积。212122,1,1 (1)2y ax y x S x S a a S S x ===<+、设直线与抛物线所围成的面积为它们与直线所围成的 面积为并且试确定的值，使达到最小，并求出最小值； （）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。 {}0 3(,)01,01:(0) (),()(0) x xoy D x y x y L x y t t S t D l S t dt x =≤≤≤≤+=≥≥?、设平面上有正方形及直线若表示正方形位于直线左下部分的面积试求 4 、0)x y e x x -=≥求由曲线与轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V 3 3 2cos (0,)42sin 11)5x a t a t y a t a πππ?=?>≤≤?=??5、求由曲线与直线y=x 及y 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得立体的全表面积。(S=( 6.0,(0)02 (),()() ()()(1)(2)lim () ()()() 2,lim 1 () ()x x t t e e y x x t t y x V t S t x t F t S t S t V t F t S t S t V t F t -→+∞→+∞+===>=====曲线与直线及围成一曲边梯形，该曲边梯 形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为侧面积为，在处的底面积为求的值；计算极限22333 (sin )(1cos )3, (2)5, (3)6x y a t t a t a V a V a ππππ--≤≤===7、求由摆线x=,y=的一拱(0t 2)与横轴所围成的平面图形的面积，及该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。（1）A 222 222 23 A x y x y x A x V ππ+≤≥== -8、设平面图形由及所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。 1.7.1定积分在几何中的应用 学习目标： 1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。 学习方法： 情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？ 问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？ 情境二：利用定积分求平面图形的面积 例1． 计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图） 问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？ 问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决） 解：解方程组?????==2 2x y x y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x y O A B C D 2 x y =x y =2 1 1 -1 -1 4 x y O 8 4 2 2 ∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ? = 1 dx x ?-1 2 1031 0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究： 例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题． 问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？ 问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？ 问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分） 问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去 思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差） 2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。 情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积. 定积分在几何学上的应用 ( 比赛课教案 ) 教学题目： 选修 2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微 积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1.探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的 价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体， PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程 当 f(x) 0 时，积分 b y=f (x)、 f (x)dx 在几何上表示由x a a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 y f (x) O a b x O a b x y f (x) 当 f ( x) b f (x)dx 在几何上表示y f ( x)、x a、x b 与 x 轴 0时由积分 a b f ( x ) dx c f ( x ) dx b f ( x ) dx 。 所围成的曲边梯形面积的负值 a S a c 类型 1. 求由一条曲线 y=f(x) 和直线 x=a,x=b(a 1.7.1 定积分在几何中的应用 主讲：XXXX 卞志业 教学目标: 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 教学重难点: 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 教学过程: 一、复习回顾 1.微积分基本定理是什么？ 学生回答：若函数f(x)在区间[a,b]上连续， ，这就是微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。 2.定积分的几何意义是什么？ 学生回答： x=a 、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 需要注意的是：当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a 、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方。 ，那么并且)()(x f x F ='? -=b a a F b F dx x f )()()( 当f (x )≥0时，积分dx x f b a )(?在几何上表示由y =f (x )、 a b y f (x) ()b a S f x dx =?即：O x y x y O a b y f (x) ()b a S f x dx =-?即： 二、例题讲解 例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 【分析】从图像中可以看出：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1）， 面积Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ 1 1 2 xdx x dx =-? ? 【点评】 求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤： （1）画草图，求出曲线的交点坐标； （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积； （3）确定被积函数及积分区间； （4）计算定积分，求出面积。 例2计算由直线y 2x = 曲线y x 4,=-以及x 轴所围图形的面积S. 【分析】 1 2 332x ＝ 1 0331x -＝ ＝ 323 1-31 4 x y O 8 4 2 2 B x y 2=4 -=x y S 2 S 1 S 2 S 1 4 y O 8 4 2 2 A ? ? ? ?????-+= +=??442122844 21dx x dx x s s s Ａ： 4 42 1 28 21??-= -=? dx x s s s Ｂ： 教学题目： 选修 2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1.探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思 路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体， PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程 — b y=f (x) 、 x a 、 x b 与 x 轴所围成的曲边梯形 当 f(x) 0 时，积分 a f (x)dx 在几何上表示由 的面积。 y f (x) O a b x O a b x y f (x) 当 f ( x ) 0 时由 积分 b y f ( x ) 、x a 、x b 与 x 轴 f (x)dx 在几何上表示 a b c b f ( x ) dx 。 所围成的曲边梯形面积的负值 f ( x ) dx f ( x ) dx c a S a 类型 1. 求由一条曲线 y=f(x) 和直线 x=a,x=b(a 第5节 定积分的几何应用举例（考点） 定积分的应用就是要用定积分计算某个量A ： ()b a A f x dx =? 可见，量A 分布在区间[,]a b 上。在实际应用时，要求我们把[,]a b 和 ()f x 找出来。 [,]x a b ?∈，考虑 ()()x a A x f t dt =? ()A x 是A 在[,]a x 上的分布。 让x 有增量x ?使[,]x x a b +?∈。 ()()()A dA dx f x dx dx ?=+=+ A ?是A 在[][](),,x x x x x x +?+?或上的分布。 因此，用积分计算量A 的步骤如下： （1） 找到A 的分布区间[,]a b ； （2） ,[,]x x dx a b ?+∈，把A 在[][](),,x x dx x dx x ++或上的分布 量A ?计算成如下式子 ()()A f x dx dx ?=+即()dA f x dx = （3）算出定积分 ()b a A f x dx =? 以上步骤称为定积分应用的微元法。 5.1 平面图形的面积 5.1.1．直角坐标系中 连续曲线(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形的面积A 。 A 分布在[,]a b 区间上；,[,]x x dx a b ?+∈，在区间[,]x x dx +部分的面积()()()A f x g x dx dx ?=-+；所以 ()()b a A f x g x dx =-? 当()0,()0f x g x ≥≡时 ()b a A f x dx =? 【例5.1】 求由曲线e x y ，e x y 以及直线1x 围成的图形面积． 解、面积A 分布在[0,1]区间上；,[0,1]x x dx ?+∈， 在区间[,]x x dx +部分的面积()()x x A e e dx dx -?=-+；所以 ()1 1 1 2x x x x A e e dx e e e e ---??=-=+=+-?? ? 【例5.2】 求由曲线2 y x ， 20x y 所围成图形的面积A ． 解1 积； ,x x ?图5.1 y = 2 定积分的几何应用 定积分的几何应用 内容摘要 自十七世纪下半叶牛顿和莱布尼茨确定了微积分的基础以来，微积分已经经历了近四百年的发展，微积分不仅在数学领域，在现代科学各个领域都发挥了巨大的作用，微积分的思想更是达到了哲学的高度。可以预见，微积分在将来的应用会越来越广泛，越来越深入，但微积分由于其思想的复杂性、系统性，给使用者带来了不便，本文就微积分在数学几何领域的应用做了一些总结和创新，得出了在直角坐标系和极坐标系情况下，平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法，以方便相关领域的人士在工作和学习中参考使用。。 【关键词】定积分几何坐标系面积体积弧长 The application of definite integral geometry Abstract Since the second half of the seventeenth Century the Newtonian and Leibniz to determine the basis of calculus, calculus has experienced nearly four hundred years of development, not only in the field of mathematics calculus, in modern scientific fields have played an important role, the calculus idea is to achieve a high degree of philosophy. Can foreknow, calculus in the future will be more widely used, more and more deeply, but due to the complexity of ideas of calculus, system, users have inconvenience, the calculus in mathematics geometry application some summary and innovation, derived in Cartesian coordinate and polar coordinate conditions, planar graph area, the volume of body of rotation, smooth arc length of a curve and a rotating surface area method, so as to facilitate the related people in the working and learning reference. 【Key words】Integral geometry coordinates area volume arc length 定积分在几何中的应 用 1．7定积分的简单应用1．7.1定积分在几何中的应用双基达标(限时20分钟) 1．由y＝1 x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为 ()． A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 解析画出曲线y＝1 x(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0， 则所求面积S为如图所示阴影部分面积． ＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A. 答案 A 2．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有 ()． A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 D 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为 ( )． A.163 B.83 C.43 D.23 解析 画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x ，则所求面积S 为图中阴影部分的面积． 解方程组????? y ＝2x ，y ＝x 2，得????? x ＝0，y ＝0或????? x ＝2， y ＝4. ∴A (2,4)，O (0,0)． ＝4－? ????83－0＝4 3.故选C. 答案 C 4．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 解析 由题意画草图： 答案 18 5．直线x ＝π2，x ＝3π 2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积________． 解析 由题意画草图： 由图形面积为 答案 2 6．求由曲线y ＝x 3及直线y ＝2x 所围成的图形面积． 解 由??? y ＝x 3，y ＝2x ， 解得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2. 交点为(－2，－22)，(0,0)，(2，22)． 所求面积S 为： 综合提高 (限时25分钟) 7．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为 ( )． 1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标： 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。 过程与方法目标： 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 情感、态度与价值观目标： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。 教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 教学过程： 一、复习回顾： 复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算 dx x ? --2 2 2 4 （２）．计算 s i n x d x π π -? 解：（1） 222 2 22 1 4?=-? -πdx x （2） 0sin =?- π πdx x 问题2：用定积分表示阴影部分面积 解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为 图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为 问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路 例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与 x y =2 所围图形的面积． 分析：找到图形----画图得到曲边形. 1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 3、计算定积分. 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组?? ???==22 x y x y 得到交点横坐标为 0=x 及1=x dx x f dx x f s b a b a ??-=)()(21dy y g b a ?)(1=s dy y g b a ? )(2 － PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏 定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。 定积分在几何上的应用教案(3) 目的要求 1．掌握定积分解决实际问题的基本思想方法：分割、近似代替、作和、求极限． 2．继续了解定积分表达式的几何意义，巩固运用定积分知识综合求解平面图形的面积和旋转体的体积． 内容分析 1．在数学中，应用可以分为不同的层次：①数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；②运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；③运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用．本章涉及的应用问题主要是第②种应用，即运用数学知识解决数学模型．为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本课时安排为一节习题课，并从中挑选了一些从实际问题抽象出来的数学模型．学生通过解决这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的． 2．本节课的重点是训练学生运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积，难点是如何将具体问题转化为求定积分的问题．教学中要充分注意数形结合，即在运算过程中适当加强几何直观，不但能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分．另外，在本节教学时，一定要控制教学内容的深度，决不能按高等学校的内容任意延伸． 教学过程 (一)内容提要 多媒体显示图形，学生口答下列公式(略)及注意事项． 1．各种情形下的平面图形的面积公式． 2．各种情形下的旋转体的体积公式． (二)例题示范 例1 过曲线y＝x2(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线 (1)切点A的坐标； (2)过切点A的切线l的方程； (3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：设点A的坐标为(a，a2)，过点A的切线与曲线y＝x2(x≥0)及x轴围成的图形如图1中的阴影部分． (1)由已知可得直线l的斜率为k＝y′|x＝a＝2a，故过切点A的切线l的方程为y－a2＝2a(x－a)， 即y＝2ax－a2． ∴切点A的坐标为(1，1)． (2)∵l的斜率k＝2， ∴l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1． 变式题：过定点A(1，0)引抛物线y＝x2＋3的两条切线AP、AQ，试求： (1)抛物线与所引两条切线围成的平面图形的面积； (2)由两切点的连线与抛物线围成的图形绕x轴旋转一周产生的旋转体的体积． 略解：(1)先求得切点为P(－1，4)、Q(3，12)，故切线AP的方程为：2x＋y－2＝0；切线AQ的方程为：6x－y－6＝0． 过A点作AB⊥x轴，交抛物线于B(1，4)，则所求图形面积为 (3)直线PQ的方程为：y＝2x＋6， 说明： 例1 及变式题主要训练定积分在几何上的应用，综合考查了运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 例2 (1999年上海高考题)平地有一条水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米．(1)求水面宽；(2)如图2所示形状的几何体称为柱体．已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米？(3)若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？ 解：(1)如图2，建立直角坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2． (2)水的体积 走积分在几何中的应用 一、定积分的微元法 二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 —、定积分 用定积分表示一个量，如几何量.物理量或其他的量，一般分四步考虑，我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程. 第一步分割：将区间［偽刃任意分为n个子区间|七“,兀］= 2,…，旳），其中心二a9 x,= b? 第二步取近似：在子区间［￡?1，七］上，任取一点不，作小曲边梯形面积44,的近似值, AA Z ?/(^)2Lr,?(i=l,2,...n) 第三步求和：曲边梯形面积A 1=1 第四步取极限：n-> oo, 2 = max{2\x r} -> 0, A = \im^ f(^i)Ax i =￡/(xXlr. /=! 第二步取近似时其形式/(^Ar-,与第四步积分( f(x)dx中的被积分式f (x)dx具有类同的形武，如果把第二步中的$用X替代，W 用dx替代，那么它就是第四步积分中的被积分式，基于此，我们把上述四步简化为三步： 第一步选取积分变量，例如选取兀，并确定其范围，例如XG ［a9b］9在其上任取一个子区间记作［x, x + dx］. 第二步取所求量I在子区间［x9 x + dx］上的部分量M的近似值 △/ ? f (x)dx9 第三步取定积分I = ［7(x)dr? ▲ 几点说明： (1)取近似值时，得到的 是形如r (“)dx 的近似值， 并且要求A/ - / (x)dx 是dx 的高 阶无穷小量，关于 常能满足. (2)满足(1)的要求后，/(x)dx 是所求量I 的微分, 所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即 61 = f(x)dx f df 称为量f 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微 元法. r 二.平面图形的面积 计算由区间⑷⑵上的两条连续曲线y = /(x)与〉,=g(x), 以及两条直线与所围成的平面图形的面积。 y O a xx + (lx X 由微元法，取x 为积分变量, 其变化范 为区间［a 9 b ］,在 区间⑷刃的任意一个小区间 |x,x+dx ］上，相应的面积可 以用X 点处的函? 【值 后一个要求在实际问丿 中常 定积分在几何中的简单应用授课班级：高二（5）班授课人：石林红 一．教学目标 【知识与技能目标】通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。 【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。 二．教学重点 难点 【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 三．教学方法 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。 （一）复习引入： 1.复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 2.热身训练：计算 dx x ?-- 2 2 2 4２．计算?-2 2 sin π π dx x （二）．精讲点拨 1.几种典型的平面图形面积的计算： 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a 类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a 4.3.1 定积分在几何上的应用 教材： 《高等数学》第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2009 第四章第三节 定积分的应用 教学目的： 1. 理解掌握定积分的微元法； 2. 会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。 教学重点：定积分的微元法。 教学难点： 计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。 教学时数：3学时 教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。 部分例题： (1)求平面图形的面积 由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线2f x =和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为 2 2332 22112173333x f x dx ===-=? (2)求旋转体的体积 (I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a 2 V 2 3 1、曲线 的极坐标方程 1 cos ,(0 -),求该曲线在 2 直角坐标方程，并求曲线 、切线L 与x 轴所围图形的面积。 设直线y ax 与抛物线y 面积为5,并且a 1 (1) 试确定a 的值，使S —所对应的点处的切线L 的 4 2、 x 2所围成的面积为S-i ,它们与直线x 1所围成的 (2) 求该最小值所对应的平面图形绕 S 2达到最小，并求出最小值； x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 3、 设xoy 平面上有正方形D (x, y) 0 x 1,0 y 1及直线L: x y t(t 0) x 若S(t)表示正方形D 位于直线I 左下部分的面积， 试求S(t)dt(x 0) 0 4、 求由曲线y e % J|sinx|(x 0)与x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积 V 3 - x acos t 5、求由曲线 3 (a y asin t 0,4 绕X 轴旋转所得立体的全表面积。 t )与直线y=x 及y 轴所围成的图形 2 11 2 2、 (S=( ) a ) 5 40 x x - -—与直线x 0, x 2 形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t),侧面积为S(t),在x t 处的底面积为F(t) (1)求型的值;(2)计算极限 V(t) 抄 2,lim V(t) t 6.曲线y t(t 0)及y 0围成一曲边梯形，该曲边梯 S(t) F(t) S(t) F(t) 7、求由摆线x=a(t 及该平面图形分别绕 (1)A 3 a 2 , cost)的一拱(0 t 2 )与横轴所围成的平面图形的面积, sin t),y= a(1 x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积 ⑵V x o 5 2a 3 , (3)V y 6 3a 3 8、设平面图形 旋转体的体积。 2x 及y x 所确定，求图形A 绕直线x 2旋转一周所得定积分的几何应用例题与习题.doc
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