数值分析试卷（Ｂ）
2008.12.16
班级：___ ____学号： 姓名： _____分数：___________
一、(10分)设21/31/41/221/31/41/221/31/41/221/31/41/221/31/22A --????---????---=??---????--??-??
，计算A 的行列式，逆矩阵，普半径与条件数．
解：先编写M 函数：
a=sparse([1:6],[1:6],2*ones,6,6);
b=sparse([1:5],[2:6],(-1/3)*ones,6,6);
c=sparse([1:4],[3:6],(-1/4)*ones,6,6);
d=sparse([2:6],[1:5],(-1/2)*ones,6,6);
m=a+b+c+d
end
调用函数：
在窗口命令中输入
>>A=full(m)
得：
A =
2.0000 -0.3333 -0.2500 0 0 0
-0.5000 2.0000 -0.3333 -0.2500 0 0
0 -0.5000 2.0000 -0.3333 -0.2500 0
0 0 -0.5000 2.0000 -0.3333 -0.2500
0 0 0 -0.5000 2.0000 -0.3333
0 0 0 0 -0.5000 2.0000
>> det(A)
ans =
49.4576
>> inv(A)
ans =
0.5278 0.1112 0.0931 0.0342 0.0192 0.0075
0.1393 0.5572 0.1358 0.1020 0.0388 0.0192
0.0368 0.1470 0.5635 0.1378 0.1020 0.0342
0.0097 0.0388 0.1486 0.5635 0.1358 0.0931
0.0025 0.0101 0.0388 0.1470 0.5572 0.1112
0.0006 0.0025 0.0097 0.0368 0.1393 0.5278
>> [cond(A),cond(A,1),cond(A,inf)]
ans =
2.4014
3.1489 3.1489
二、(10分) 证明方程0sin 1=--x x 在]1,0[上有根，写出牛顿迭代程序，并取初始值为10=)(x 求近
似根?x =（保留六位小数）．
解：
牛顿迭代程序为：
function x=nanewton(fname,dfname,x0,e,N)
if nargin<5,N=500;end
if nargin<4,e=1e-4;end
x=x0;x0=x+2*e;k=0;
while abs(x0-x)>e&k k=k+1; x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0); end if k==N,warning;end 在命令窗口中输入： >> fun=inline('1-x-sin(x)') fun = Inline function: fun(x) = 1-x-sin(x) >> dfun=inline(diff('1-x-sin(x)')) dfun = Inline function: dfun(x) = -1-cos(x) >> nanewton(fun,dfun,1,1e-6) 0.4537 0.5106 0.5110 0.5110 ans = 0.5110 三、（20分） 给定方程组 （ⅰ）;11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321?????? ????=????????????????????--x x x （ⅱ）????????????=????????????????????????----15900001.582012 1515260999999.2310 7104321x x x x . 要求： （1）用LU 分解和列主元高斯消去求解上述两个方程组．输出Ax b =中矩阵A 及向量b ，A LU =分解的L 与U ，计算det A 与解向量x ． （2）将方程组（ⅰ）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990.用列主元高斯消去法求解，输出向 量x 及det A ，并(1)中结果比较． （3）将方程组（ⅱ）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9.用列主元高斯消去法求解，输出 向量x 及det A ，并与（1）中结果比较． 解： （1）先编系数矩阵程序： A1=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34] b1=[1 1 1]' A2=[10 -7 0 1;-3 2.0999999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2] b2=[8 5.900001 5 1]' 在命令窗口中输入： >> [L,U,P]=lu(A1) L = 1.0000 0 0 0.3279 1.0000 0 0.4219 -0.2381 1.0000 U = 3.0100 6.0300 1.9900 0 -6.7873 8.6875 0 0 -0.0015 P = 0 0 1 0 1 0 >> [L,U,P]=lu(A2) L = 1.0000 0 0 0 0.5000 1.0000 0 0 -0.3000 -0.0000 1.0000 0 0.2000 0.9600 -0.8000 1.0000 U = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 0 0 6.0000 2.3000 0 0 0 5.0800 P = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 >> det(A1) ans = -0.0305 >> det(A2) ans = -762.0000 选列主元高斯消去法程序（nagauss2.m）： function x=nagauss2(a,b,flag) if nargin<3,flag=0;end n=length(b);a=[a,b]; for k=1:(n-1) [ap,p]=max(abs(a(k:n,k)));p=p+k-1; if p>k, t=a(k,:);a(k,:)=a(p,:);a(p,:)=t; end a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))-a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,end end x=zeros(n,1); x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(a(k,n+1)-a(k,(k+1):n)*x((k+1):n))/a(k,k); end 对（i）应用选列主元高斯消去法求的x： 在窗口命令中输入： >> x=nagauss2(A1,b1) a = 3.0100 6.0300 1.9900 1.0000 0 1.6158 -2.0696 0.5781 0 -6.7873 8.6875 0.6721 a = 3.0100 6.0300 1.9900 1.0000 0 -6.7873 8.6875 0.6721 0 0 -0.0015 0.7381 x = 1.0e+003 * 1.5926 -0.6319 -0.4936 对（ii）应用选列主元高斯消去法求的x： 在窗口命令中输入： >> x=nagauss2(A2,b2) a = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 8.0000 0 -0.0000 6.0000 2.3000 8.3000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 1.0000 0 2.4000 0 1.8000 -0.6000 a = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 8.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 1.0000 0 0 6.0000 2.3000 8.3000 0 0 -4.8000 3.2400 -1.5600 a = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 8.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 1.0000 0 0 6.0000 2.3000 8.3000 0 0 0 5.0800 5.0800 x = -0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 （2） 在窗口命令中输入： >> A3=[3.00 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.990 -4.81 9.34] b3=[1 1 1]' A3 = 3.0000 6.0300 1.9900 1.2700 4.1600 -1.2300 0.9900 -4.8100 9.3400 b3 = 1 1 1 >> det(A3) ans = -0.4070 >> x=nagauss2(A3,b3) a = 3.0000 6.0300 1.9900 1.0000 0 1.6073 -2.0724 0.5767 0 -6.7999 8.6833 0.6700 a = 3.0000 6.0300 1.9900 1.0000 0 -6.7999 8.6833 0.6700 0 0 -0.0200 0.7350 x = 119.5273 -47.1426 -36.8403 (3)在窗口命令中输入： >> A4=[10 -7 0 1;-3 2.1 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2] b4=[8 5.9 5 1]' A4 = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 -3.0000 2.1000 6.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 5.0000 -1.0000 2.0000 1.0000 0 2.0000 b4 = 8.0000 5.9000 5.0000 1.0000 >> det(A4) ans = -762.0000 >> x=nagauss2(A4,b4) a = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 8.0000 0 0 6.0000 2.3000 8.3000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 1.0000 0 2.4000 0 1.8000 -0.6000 a = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 8.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 1.0000 0 0 6.0000 2.3000 8.3000 0 0 -4.8000 3.2400 -1.5600 a = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 8.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 1.0000 0 0 6.0000 2.3000 8.3000 0 0 0 5.0800 5.0800 x = 0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 四、(15分) 考虑利用Gauss-Seidle 迭代法分别求解线性方程组 123921618182189x x x ????????????-=-????????????--??????和123921621891818x x x ????????????--=????????????--?????? ， （1）说明两者的收敛性；（2）并对收敛的迭代法写出计算程序，再由初始向量T X )0,0,0()0(=，计 算结果（保留六位小数）． 解： 先编写系数矩阵程序得M 函数： a1=[9 2 1;1 -8 1;2 -1 -8] b1=[6;-8;9] a2=[9 2 1;2 -1 -8;1 -8 1] b2=[6;9;-8] 运行后得： a1 = 9 2 1 1 -8 1 2 -1 -8 b1 = 6 -8 9 a2 = 9 2 1 2 -1 -8 1 -8 1 b2 = 6 9 -8 >> x=nags(a1,b1,[0,0,0]',1e-6) 0.6667 1.0833 -1.0938 0.5475 0.9317 -1.1046 0.5824 0.9347 -1.0963 0.5808 0.9356 -1.0968 0.5806 0.9355 -1.0968 0.5806 0.9355 -1.0968 0.5806 0.9355 -1.0968 x = 0.5806 0.9355 -1.0968 >> x=nags(a1,b1,[0,0,0]',1e-6) 五、(10分) 已知)(x f y 的观察数据表如下： （1）试构造六次插值多项式 6() P x，并求 6(1.2) P． （2）用最小二乘法求三次插值多项式 3() P x，并求 3(1.2) P． 解： （1）在窗口命令中输入： >> xi=-1.0:0.5:2.0 y=[-4.672 -0.425 0.515 0.084 -0.474 0.594 4.582] xi = -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 y = -4.6720 -0.4250 0.5150 0.0840 -0.4740 0.5940 4.5820 >> p=polyfit(x,y,6) p = -0.1928 0.6095 -0.2203 1.3582 -2.6749 0.1314 0.5150 >> poly2sym([-0.1928 0.6095 -0.2203 1.3582 -2.6749 0.1314 0.5150]) ans = -241/1250*x^6+1219/2000*x^5-2203/10000*x^4+6791/5000*x^3-26749/10000*x^2+657/5000*x+103/200 >> fun=inline('-241/1250*x^6+1219/2000*x^5-2203/10000*x^4+6791/5000*x^3- 26749/10000*x^2+657/5000*x+103/200') fun = Inline function: fun(x) = -241/1250*x^6+1219/2000*x^5-2203/10000*x^4+6791/5000*x^3- 26749/10000*x^2+657/5000*x+103/200 >> fun(1.2) ans = -0.3481 （2） 程序为(nafit.m)： function p=nafit(x,y,m) A=zeros(m+1,m+1); for i=0:m for j=0:m A(i+1,j+1)=sum(x.^(i+j)); end b(i+1)=sum(x.^1.*y); end a=A\b'; p=fliplr(a'); 在窗口命令中： >> x=-1.0:0.5:2.0 y=[-4.672 -0.425 0.515 0.084 -0.474 0.594 4.582] x = -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 y = -4.6720 -0.4250 0.5150 0.0840 -0.4740 0.5940 4.5820 调用nafit 函数程序： 在窗口命令中输入： >> nafit(x,y,3) ans = -3.2239 2.7633 6.3326 0.6908 >> poly2sym([ -3.2239 2.7633 6.3326 0.6908]) ans = -32239/10000*x^3+27633/10000*x^2+31663/5000*x+1727/2500 >> fun=inline('-32239/10000*x^3+27633/10000*x^2+31663/5000*x+1727/2500') fun = Inline function: fun(x) = -32239/10000*x^3+27633/10000*x^2+31663/5000*x+1727/2500 >> fun(1.2) ans = 6.6982 六、(15分) 设矩阵732341213A -????=-????--?? （1）利用乘幂法求其最大特征值和相应的特征向量（初值(0)(0)111u v ????==??????）； （2）求出所有的特征值与特征向量． 解： 在窗口命令中输入： >> A=[7 3 -2;3 4 -1;-2 -1 3] A = 7 3 -2 3 4 -1 -2 -1 3 （1） （2）>> [V,D]=eig(A) V = 0.5774 -0.0988 -0.8105 -0.5774 0.6525 -0.4908 0.5774 0.7513 0.3197 D = 2.0000 0 0 0 2.3944 0 0 0 9.6056 七、(10分) 设计一个数值积分方法计算：x x I d 12?∞-= ． 解：程序： clear;n=100;r=2;e=1e-4; fun=inline('x.^(-2)'); t0=inf;t1=quadl(fun,1,n); while abs(t0-t1)>e t0=t1;n=n*r;t1=quadl(fun,1,n); end t1 >> t1 = 0.9999 八、 (10分) 对于常微分方程初值问题 ?? ???=≤≤++-='.31)0(,10,250502y x x x y y （1） 用改进欧拉法（取h = 0.05）及四阶R-K.方法（取h = 0.1）求它的数值解，并输出x i =1+0.1 i （i = 1，2，…，10）的数值解yi ． （2） 与精确解：50213x y e x -= +进行比较． 解： （1）欧拉法程序(naeuler2.m)： function[x,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end x=x';y=y'; 在窗口命令中输入： >> dyfun=inline('-50*y+50*x^2+2*x') dyfun = Inline function: dyfun(x,y) = -50*y+50*x^2+2*x >> [x,y]=naeuler2(dyfun,[0,1],1/3,0.05);[x,y] ans = 1.0e+003 * 0 0.0003 0.0001 0.0005 0.0001 0.0009 0.0002 0.0015 0.0002 0.0024 0.0003 0.0039 0.0003 0.0063 0.0004 0.0102 0.0004 0.0166 0.0004 0.0269 0.0005 0.0437 0.0006 0.0709 0.0006 0.1151 0.0006 0.1868 0.0007 0.3034 0.0008 0.4928 0.0008 0.8005 0.0008 1.3004 0.0009 2.1129 0.0010 3.4330 0.0010 5.5781 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分） 1、 已知x =0.004532是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746) f x d x f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________. 8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： ? 9 1dx x n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。 五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 六、（10分）方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时 迭代收斂。 七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的 代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分} 证明： A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量. 第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、 复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6a = 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以 当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后 三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.01 42332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2) 3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3)2(2) 2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－ 赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝??????????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120 年级专业学号姓 名 题号一2二三0四总分 分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。（改写为）19992001?） （ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、） （关，与常数项无关。 分）二、填空题（每空2分，共36_________. ________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1. 0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____. 则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, . 331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。312 ?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数. (k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6. ??)k(X . 生的向量序列收敛的充分必要条件是 AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵1 4?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。 ??x?yy?8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为 ?y(0)?1?___________________________. 三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分） 32?x01??3x?xf(x)?2)(1, 1.在区间为初值用牛顿迭代法求方程内的根，要求以0证明用牛顿法解此方程是收敛的；（1）,xx,计算结果（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算21位）。取到小数点后4 2 2.给定线性方程组 x?0.4x?0.4x?1?312?0.4x?x?0.8x?2?321?0.4x?0.8x?x?3?312（1）分别写出用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式； （2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。 数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ??????-=? ?????-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用 该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所 以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ρ(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 信02数值分析期末试卷 2005.6.20 班级：__________ 姓名：_________ 分数：___________ 一、填空题(每空2分，共10分) 1、计算正方形面积要使相对误差限为2%, 则边长L 时相对误差限为____． 2、设求积公式?∑≈=b a n i i i x f x x f 0 )(d )(ω是插值型的，其中n 为正整数， b x x x a n ≤<<<≤ 10，则其代数精度至少为____，至多为_____． 3、如果某方法的误差) (k X 满足关系式)1() (5.002-?? ????=k k X a X ，其中 ,2,1=k ，并且该方法是收敛的，那么a 的范围是______． 4、四阶Runge-Kutta 方法解常微分方程初值问题的局部截断误差是____． 二、(10分) 证明方程0sin 1=--x x 在]1,0[上有根，写出牛顿迭代公式， 并取初始值为10=)(x 求近似根?)(=2x （保留六位小数） 三、(20分) 求x x f += 11)(在]1,0[上的一次最佳一致逼近多项式和一次最佳 平方逼近多项式. 四、(12分) 考虑利用Gauss-Seidle 迭代法分别求解线性方程组 ??????????=????????????????????24210 1 014120321x x x 和???? ? ?????=????????????????? ???22410 1 120014 321x x x ， （1）说明两者的收敛性；（2）并对收敛的迭代法写出计算格式，再由 初始向量T X )0,0,0()0(=，计算=)(4X ？数值分析学期期末考试试题与答案(A)
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