一、选择题
1. （2019江苏省无锡市，7，3）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A.内角和为360°
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
【答案】C
【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C．
【知识点】矩形的性质；菱形的性质
2. (2019山东泰安,12题,4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,
连接PB,则PB的最小值是
A.2
B.4
C.2
D.
第12题图
【答案】D
【思路分析】首先分析点P的运动轨迹,得到点P在△DEC的中位线上运动,点B到线段MN距离最短,即垂线段最短,过点B作MN的垂线,垂足为M,根据勾股定理可求出BM的长度.
【解题过程】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP
取到最小值,在Rt△BCP中,BP
【知识点】三角形中位线,正方形的性质,勾股定理
3. （2019四川省眉山市，11，3分）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC 交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是
A．1 B．7
4C．2 D．12
5
【答案】B
【思路分析】连接CE，利用EO垂直平分AC，可得AE=CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE的长即
可.
【解题过程】解：连接CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA ，AD=BC=8，DC=AB=6，∵
EF ⊥AC ，OA=OC ，∴AE=CE ，在Rt △DEC 中，DE 2+DC 2=CE 2，即DE 2+36=（8-DE ）2，解得：x=7
4
，故选
B.
【知识点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理
4. （2019四川攀枝花，6，3分）下列说法错误的是（ ）
A ．平行四边形的对边相等
B ．对角线相等的四边形是矩形
C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D ．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 【答案】B
【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B ．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；菱形的判定；轴对称图形；中心对称图形
5. （2019四川攀枝花，10，3分）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE ＝4，EC ＝8，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。连接AG ，现在有如下四个结论：①∠EAG ＝45°；②FG ＝FC ；③FC ∥AG ；④S △GFC ＝14．其中结论正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由题易知AD ＝AB ＝AF ，则Rt △ADG ≌Rt △AFG （HL ）． ∴GD ＝GF ，∠DAG ＝∠GAF ． 又∵∠FAE ＝∠EAB ，
∴∠EAG ＝∠GAF ＋∠FAE ＝12（∠BAF ＋∠FAD ）＝1
2
∠BAD ＝45°，所以①正确；
设GF ＝x ，则GD ＝GF ＝x ．
又∵BE ＝4，CE ＝8，∴DC ＝BC ＝12，EF ＝BE ＝4． ∴CG ＝12－x , EG ＝4＋x ．
在Rt △ECG 中，由勾股定理可得82＋（12－x ）2＝（4＋x ）2 ，解得x ＝6. ∴FG ＝DG ＝CG ＝6，又∠FGC ≠60°,∴△FGC 不是等边三角形，所以②错误； 连接DF ，由①可知△AFG 和△ADC 是对称型全等三角形，则FD ⊥AG ． 又∵FG ＝DG ＝GC ，
∴△DFC 为直角三角形，∴FD ⊥CF ，∴FC ∥AG ，∴③成立；
D A
∵EC ＝8,∴S △ECG ＝1
2
EC ·CG ＝24，
又∵
FCG ECG
S S
＝
FG EG ＝3
5
， ∴S △FCG ＝35S △ECG ＝72
5
.
∴④错误，
故正确结论为①③,选B ．
【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等高不同底的三角形面积比
6.（2019浙江省金华市，10，3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，
展开铺平后得到图⑤，其中FM 、GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FM
GF
的值是（ ）
1 C.12
【答案】A ．
【解析】连接EG ,FH 交于点O ,由折叠得△OGF 是等腰直角三角形，OF
GF ．∵正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，∴（OF ＋FM ）2
＝GF ＋14GF ＝54
GF 2，
GF ＋FM
GF ，∴FM
GF
GF ，
∴
FM GF
.故选A ．
【知识点】正方形；折叠；直接开平方法 ；等腰直角三角形的性质；特殊角的锐角三角函数值
7. (2019浙江台州,8题,4分) 如图,有两张矩形纸片ABCD 和EFGH,AB ＝EF ＝2cm,BC ＝FG ＝8cm,把纸片ABCD
交叉叠放在纸片EFGH 上,使重叠部分为平行四边形时,且点D 与点G 重合,当两张纸片交叉所成的角α最小
D A
时,tan α等于( )
A.14
B.12
C.
817
D.
815
【答案】D 【解析】当点B 与点E 重合时,重叠部分为平行四边形且α最小,∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM ＝x,∴EM ＝MD ＝8－x,EF ＝2,在Rt △EFM 中,EF 2+FM 2＝EM 2,即22+x 2＝(8－x)2,解之得:x ＝154,∴tan α＝EF FM ＝8
15
,故选D.
【知识点】矩形,菱形,勾股定理,三角函数
8. (2019浙江台州,10题,4分)如图是用8块A 性瓷砖(白色四边形)和8块B 型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼
接而成的一个正方形图案,图案中A 型瓷砖的总面积与B 型瓷砖的总面积之比为( )
B3:2
第10题图 【答案】A
【思路分析】分割图形,选取一部分进行研究,利用正方形和等腰直角三角形的性质,分别计算白色和黑色部分的面
积,进行计算即可.
【解析】如图,是原图的1
8
,过点E 作EK ⊥AC,作EF ⊥BC,∴易证△AEK,△BEF 为等腰直角三角形,设AK 为x,则
EK ＝CF ＝DF ＝x,AE ＝BD
∴KC ＝EF
＝)x,
∴
))
211
=12=22
S EF DC x x x ?=??阴影
,
)
))
2111
1
=12=
222
2
S EF BD AC EK x x x x ?+?=?
+?
?空白,
∴
2
x S
S
空白阴影
故选A.
【知识点】正方形,等腰直角三角形
9.（2019重庆A卷，5，4）下列命题正确的是（）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A．
【解析】根据矩形的定义，易知选项A正确，另外，对角线互相平分且相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．
【知识点】四边形；矩形的判定
10.（2019安徽省，10，4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且12
AC=，点P在正方形的边上，则满足9
PE PF
+=的点P的个数是()
A．0B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，
点E，F将对角线AC三等分，且12
AC=，
FC=，
∴=，4
8
EC
点M与点F关于BC对称
∠=∠=?
ACB BCM
4
CF CM
∴==，45
90ACM ∴∠=?
EM ∴==则在线段BC 存在点N 到点E 和点F
的距离之和最小为9<
∴在线段BC 上点N 的左右两边各有一个点P 使9PE PF +=，
同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使9PE PF +=． 即共有8个点P 满足9PE PF +=，故选B ． 【知识点】正方形的性质
11. （2019四川南充，12，4分）如图，
ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )
A ．
1
2
B
C
1- D
1
【答案】D 【解析】解：四边形ABCD 是正方形，
AB AD BC CD ∴====，90DCB COD BOC ∠=∠=∠=?，OD OC =，
2BD ∴=，
1OD BO OC ∴===，
将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，
DE DC ∴=DF CE ⊥，
1OE ∴，90EDF FED ECO OEC ∠+∠=∠+∠=?，
ODM ECO ∴∠=∠，
在OEC ?与OMD ?中，90EOC DOC OD OC OCE ODM ∠=∠=???=??
∠=∠?????
，
()OEC OMD ASA ???，
1OM OE ∴==，
故选：D．
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定和性质，
12.（2019广东广州，9，3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，
若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）
A．4B．4C．10 D．8
【答案】A
【解析】解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，∠∠
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB4，
∴AC4；
故选：A．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
13.（2019山东菏泽，13，3分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、
MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）
A ．OM
AC B ．MB ＝MO C ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND
【答案】A
【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD
∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM ＝DN ， ∴OB ﹣BM ＝OD ﹣DN ，即OM ＝ON ， ∴四边形AMCN 是平行四边形， ∵OM
AC ， ∴MN ＝AC ，
∴四边形AMCN 是矩形，故选A ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
14. （2019四川宜宾，3，3分）如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，E 是DC 上一点，1DE =，将A D E ?绕着点A 顺时针旋转到与ABF ?重合，则(EF = )
A B C ．D ．【答案】D
【解析】解：由旋转变换的性质可知，ADE ABF ???，
∴正方形ABCD 的面积=四边形AECF 的面积25=，
5BC ∴=，1BF DE ==， 6FC ∴=，4CE =，
EF ∴=
故选：D ．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
15. （2019台湾省，11，3分）如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．根据图中标示长度与
角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】解：
过F 作FQ AD ⊥于Q ，则90FQE ∠=?， 四边形ABCD 是长方形，
90A B ∴∠=∠=?，8AB DC ==，//AD BC ，
∴四边形ABFQ 是矩形，
8AB FQ DC ∴===，
//AD BC ，
45QEF BFE ∴∠=∠=?， 8EQ FQ ∴==，
1
(208)62
AE CF ∴==?-=，
故选：C ．
【知识点】矩形的性质；梯形
16.（2019浙江嘉兴，9，3分）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC 的顶点(1,2)A ，(3,3)B ．作菱形OABC 关于y 轴的对称图形OA B C '''，再作图形OA B C '''关于点O 的中心对称图形OA B C ''''''，则点C 的对应点C ''的坐标是( )
A ．(2,1)-
B ．(1,2)-
C ．(2,1)-
D ．(2,1)--
【答案】A
【解析】解：点C 的坐标为(2,1)，
-，
∴点C'的坐标为(2,1)
-，
∴点C''的坐标的坐标为(2,1)
故选：A．
【知识点】菱形的判定与性质；作图
二、填空题
1. (2019山东泰安,18题,4分)如图,矩形ABCD中,AB＝,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿
EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是________.
第18题图
【答案】
【思路分析】连接CE,可得全等,CD＝CG,由折叠可知,FG＝FA,在Rt△FBC中,利用勾股定理求得FA的长,进而在Rt△AFE中,求得EF的长.
【解题过程】连接CE,∵点E是AD的中点,∴AE＝ED＝EG,∠EGC＝∠D,∴△EGC≌△EDC,∴GC＝AB＝,
设AF＝GF＝x,∴FB＝－x,在Rt△FBC中,FB2+BC2＝FC2,即(－x)2+122＝(x+)2,解之,得:x＝
在Rt△AFE中,EF.
第18题答图
【知识点】折叠,全等三角形的判定,勾股定理,
2. （2019山东省潍坊市，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2．将∠A向内翻折，点A在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB= ．
【思路分析】由翻折可得∠AED =∠A ′ED =∠A ′EB =60°，从而可得∠ADE =∠A ′DE =∠A ′DC =30°，根据角平分线性质可知A ′C =A ′B ′=A ′B ，求出A ′C 的长度，解Rt △A ′CD ，得CD 的长即为AB ． 【解题过程】由翻折可得∠AED =∠A ′ED =∠A ′EB =60°， ∴∠ADE =∠A ′DE =∠A ′DC =30°． ∴A ′D 平分∠EDC ，
∵A ′B ′⊥DE ，A ′C ⊥DC ， ∴A ′C =A ′B ′． ∵A ′B ′=A ′B ∴A ′C =A ′B ， ∵BC =AD =2 ∴A ′C =1．
在Rt △A ′DC 中，
tan 30°=
'A C DC
∴DC
∴AB ．
【知识点】图形的翻折，轴对称，矩形，锐角三角比
3. （2019天津市，17，3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ，折叠该纸
片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE=5，则GE 的长为
【答案】
13
49 【解析】由正方形ABCD 可得Rt △ADE,由于AD=12,DE=5，由勾股定理可得AE=13。因为折叠可知，BF 垂直平分AG ，所以∠ABF=∠DAE,又因为AB=AD ，∠BAD=∠DAE=90°，可以证明△ABF ≌△DAE ，得出AF=DE=5，设BF,AE 交于点M ，根据sin ∠FAM=sin ∠EAD 可得AM=
1360，由于折叠可知MG=AM=13
60
，从而可求得GE=13-1360-1360=13
49
.
【知识点】折叠的性质；勾股定理；三角形全等；解直角三角形.
4. （2019浙江湖州，16，4）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方
形ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏
兔”造型（其中点Q 、R 分别与图2中的点E 、G 重合，点P 在边EH 上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是 ．
【答案】
【解析】如答图，延长ET 交GH 于点N ，延长GJ 交EF 于点M ，连接MN ，则M 、N 分别为EF 、GH 的中点．由图1可知AC ＝8，从而ET ＝2＝TK ＝KM ，TM ＝4，在Rt △ETM 中，由勾股定理，得EM
=从而EF ＝2EM
＝
【知识点】七巧板；正方形的性质；勾股定理；中心对称．
5. （2019四川南充，16，4分）如图，矩形ABCD ，60BAC ∠=?，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交
BC 于点E ，若1BE =，则矩形ABCD 的面积等于 ．
【答案】【解析】解：四边形ABCD 是矩形，
第16题答图
T L K J
N
M
E
F
G H
④
⑦
⑥
⑤
③②
① 图1 图2
第16题图
①
②
③
④
⑤⑥
⑦⑦
⑥⑤
④③②
①H
G
F E
R
Q P D
C
B
A
90B BAD ∴∠=∠=?， 60BAC ∠=?， 30ACB ∴∠=?，
由作图知，AE 是BAC ∠的平分线，
30BAE CAE ∴∠=∠=?， 30EAC ACE ∴∠=∠=?， AE CE ∴=，
过E 作EFAC 于F ，
1EF BE ∴==，
2AC CF ∴==
AB ∴=3BC =，
∴矩形ABCD 的面积33AB BC ==，
故答案为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；作图
6.（2019甘肃天水，17，4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为 ．
【答案】
．
【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，
∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处， ∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，
在Rt △ABF 中，∵BF 4， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1， 设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x 在Rt △ECF 中，∵CE 2
+FC 2
＝EF 2
， ∴x 2
+12
＝（3﹣x ）2
，解得x
，
∴EF ＝3﹣x
， ∴sin ∠EFC
． 故答案为：
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
7. （2019甘肃省，17，3分）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ?沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为 ．
【答案】
103
【解析】解：设CE x =，则6BE x =-由折叠性质可知，EF CE x ==，10DF CD AB ===， 在Rt DAF ?中，6AD =，10DF =，
8AF ∴=，
1082BF AB AF ∴=-=-=，
在Rt BEF ?中，222BE BF EF +=，即222(6)2x x -+=， 解得103
x =
， 故答案为
103
． 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
8. （2019江苏宿迁，18，6分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动
将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG 从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上 作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值 作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形， 则CM ＝MP +CP ＝HE
EC ＝1
故答案为
．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
9.（2019江苏扬州，16，3分）如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN ．若7AB =，5BE =，则MN = ．
【答案】
13
2
【解析】解：连接CF ，
正方形ABCD 和正方形BEFG 中，7AB =，5BE =，
5GF GB ∴==，7BC =，
5712GC GB BC ∴=+=+=，
∴13CF ==．
M 、N 分别是DC 、DF 的中点，
113
22
MN CF ∴==．
故答案为：
13
2
． 【知识点】三角形中位线定理；勾股定理；正方形的性质
10. （2019山东菏泽，13，3分）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是 ．
【答案】【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ， ∵AE ＝CF ＝2，
∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ，即OE ＝OF ， ∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形， ∴DE ＝DF ＝BE ＝BF ，
∵AC ＝BD ＝8，OE ＝OF
2，
由勾股定理得：DE 2 ， ∴四边形BEDF 的周长＝4DE ＝4 8 ，
故答案为：
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
11. （2019山东青岛，13，3分）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若4AD cm =，则CF 的长为 cm ．
【答案】6-
【解析】解：设BF x =，则FG x =，4CF x =-．
在Rt ADE ?中，利用勾股定理可得AE =
根据折叠的性质可知4AG AB ==，所以4GE =．
在Rt GEF ?中，利用勾股定理可得222
4)EF x =+，
在Rt FCE ?中，利用勾股定理可得222(4)2EF x =-+，
所以2222
4)(4)2x x +=-+，
解得2x =．
则46FC x =-=-
故答案为6-
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
12. （2019四川成都，24，4分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝1，∠ABD ＝30°，
∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '， ∴A ′B ′＝AB ＝1，∠A ′B ′D ＝30°，
当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，
∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是矩形，
∠B′A′C＝30°，
∴B′C，A′C，
∴A'C+B'C的最小值为，
故答案为：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题；平移的性质
13.（2019四川资阳，15，4分）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，
过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．
【答案】
【解析】解：如图，作CH⊥AB于H．
由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，
∵CE′∥AB，
∴∠ACE′＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴DC＝DA，
∵AD＝DB，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠ACB＝90°，
∴AB5，
∵?AB?CH?AC?BC，
∴CH，
∴AH
， ∵CE ∥AB ，
∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°， ∵∠AHC ＝90°， ∴∠E ′CH ＝90°， ∴四边形AHCE ′是矩形， ∴CE ′＝AH
， 故答案为
．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
14. （2019浙江绍兴，14，5分）如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，30PAD ∠=?，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则ADE ∠的度数为 ．
【答案】15?或45?
【解析】解：四边形ABCD 是正方形，
AD AE ∴=，90DAE ∠=?，
180903060BAM ∴∠=?-?-?=?，AD AB =，
当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧时，由题意得，点E 与点B 重合，
45ADE ∴∠=?，
当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧时，由题意得，E A E M '='，
∴△AE M '为等边三角形，
60E AM ∴∠'=?，
36012090150DAE ∴∠'=?-?-?=?， AD AE ='，
15ADE ∴∠'=?，
故答案为：15?或45?．
【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定和性质
15. （2019浙江温州，15，5分）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知90AOB AOE ∠=∠=?，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则ABE ?的周长为 cm ．
【答案】12+．
【解析】解：如图所示，连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，2CI =， 三个菱形全等，
CO HO ∴=，AOH BOC ∠=∠，
又90AOB AOH BOH ∠=∠+∠=?，
90COH BOC BOH ∴∠=∠+∠=?，
即COH ?是等腰直角三角形，
45HCO CHO HOG COK ∴∠=∠=?=∠=∠， 90CKO ∴∠=?，即CK IO ⊥，
设CK OK x ==，则CO IO ==，IK x =-，
Rt CIK ?中，222)2x x -+=，
解得22x = 又1
2
BCOI S IO CK IC BO =?=
?菱形，
∴
21
22
BO =??，
2BO ∴=，
24BE BO ∴==，4AB AE ==+
ABE ∴?的周长42(412=++=+
故答案为：12+