2021届安徽省淮南市高三第一次模拟考试
数学（理）试题
一、单选题
1．若集合{}
|21A x x =-≤，|
B x y ?==
??，则A B =（ ） A ．[]1,2- B ．(]
2,3 C ．[)1,2
D ．[)1,3
【答案】C
【解析】先求出集合A ，集合B 中元素的范围，然后求交集即可. 【详解】
解：由已知{}
{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤，
{}||2
B x y x x ?
===
，
[)1,2A B ∴?=，
故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，是基础题. 2．已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a i
z i
+=+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】
()()()()()()111=1112
a i i a a i
a i z i i i +-++-+=
=++-为纯虚数. 则
110,022
a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．
3．已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论． 【详解】
,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==.
所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】
本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ?的顶点()4,0A ，
()0,2B ，且AC BC =，则ABC ?的欧拉线方程为（ ）
A ．230x y -+=
B ．230x y +-=
C ．230x y --=
D ．230x y --=
【答案】D
【解析】由于AC BC =，可得：ABC ?的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ?的欧拉线的方程． 【详解】
因为AC BC =，可得：ABC ?的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上
()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1) 201
042
AB k -=
=--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 5．淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆
大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ） A ．960 B ．1080 C ．1560 D ．3024
【答案】B
【解析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可. 【详解】
解：一盆菊花都没有的摆法种数为45120A =，只有一盆菊花的摆法种数为134
454960C C A =，
则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080+=， 故选：B. 【点睛】
本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题. 6．函数()2
1ln 12
f x x x =
--的大致图象为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()2
1ln 12
f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案. 【详解】 因为()()()2
1ln 12
f x x x f x -=
----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()2
1ln 12
f x x x =
--. 此时211
()x f x x x x
='-=-，
当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.
在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11
(1)1122
f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C 【点睛】
本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.
7．在ABC ?中，3AB =，5AC = ，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ?的外心，则AN AO ?的值为（ ） A ．17 B ．10
C ．
172
D ．
596
【答案】D
【解析】将AN 用向量AB 和AC 表示出来，再代入AN AO ?得，12
33
AN AO AB AO AC AO ?=?+?，求出AB AO ?,AC AO ?代入即可得出答案. 【详解】
取AB 的中点E ，连接OE ，
因为O 为ABC ?的外心，,0OE AB AB OE ∴⊥∴?=，
2
2,3BN NC BN BC =∴=
， 2212
()3333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+，
2119||222AO AB AB EO AB AB ??
∴?=+?== ???
，
同理可得21||25
2
2AO AC AC ?=
=，
12121925933333232526AN AO AB AC AO AB AO AC AO ??
∴?=+?=?+?=?+?= ???
故选：D. 【点睛】
本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.
8．已知12n
x ??- ???
的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是（ ）
A ．
7
2
B ．
358
C ．7
D ．70
【答案】C
【解析】令1x =，可得8n =，将8
12x ??- ???
展开式中的奇数项求出来，观察大小即可得答案. 【详解】
解：令1x =得，1112256n
??-= ???，8n ∴=，
8
12x ??∴- ???
的展开式通项公式为182r
r r x T C +??=- ???，
要求展开式中项的系数的最大值则r 必为偶数，
024
224418
385835
1,7,2228x x x T C T C x T C x ??????∴=-==-==-= ? ? ???????
，
68
6688789871,,2162256
x x T C x T C x ????=-==-= ? ?
???? 故选：C. 【点睛】
本题考查二次项定理的应用，其中赋值法求出n 很关键，是基础题.
9．已知双曲线22
214x y b
-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，
若1ABF ?是等腰三角形，且120A ∠=?．则1ABF ?的周长为（ ）
A
8+ B
．)
4
1
C
8+ D
．)
2
2
【答案】A
【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】
双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；
设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，
1ABF 由正弦定理有:
11||||
sin120sin 30BF AF =??
,即11|||BF AF =
所以8)m =
+，解得：12
3
m =
， 所以1ABF ?的周长为：
11||||||AF BF AB ++=2(4)81628m ++=+=+故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 10．已知4
x π
=
是函数()()sin f x x ω?=+（03ω<<，0?π<<）的一个零点，将()f x 的图象向右
平移
12
π
个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．32,2412k k ππππ??
-
++????，k Z ∈
B ．544,12343k k ππππ??
-
++????
，k Z ∈ C ．52,2124k k ππππ??
-
++????
，k Z ∈
D ．344,43123k k ππ
ππ??-
+-+????
，k Z ∈
【答案】D
【解析】通过条件可得4
k π
ω?π+=，12
2
k π
π
ω?π-
+=
+，结合03ω<<，0?π<<可求出,ω?，
即可得3
5()sin 2
8f x x π??=+ ???，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，求出x 的范围即为函数()f x 的单
调递增区间.
【详解】 解：由已知sin 044f πω?π????
=+=
? ?????
，得4k πω?π+=，k Z ∈，
又03ω<<，0?π<<，
7
04
4π
ω?π∴<
+<，即704
k ππ<<，k Z ∈，
1k ∴=，4
π
ω?π∴+=①；
又sin sin 121212f x x x ?πππωωω?????
????-
=-+=-+ ? ? ????
???????
， 所得图象关于y 轴对称，sin 112πω???
∴-
+=± ???
， 12
2
k π
π
ω?π∴-
+=
+，k Z ∈，将①代入消去?得12
4
2
k ππ
ωπωπ
π-+-=+，k Z ∈，
3
3,032
k ωω∴=
-<<， 0k ∴=时，32
ω=
， 5
8
?π∴=，
3
5()sin 2
8f x x π??∴=+ ???，
令35222282k x k π
ππ
ππ-
+≤
+≤+，k Z ∈，
344
43123
k x k ππππ∴-+≤≤-+，k Z ∈，
故选：D. 【点睛】
本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题. 11．已知1x =是函数(
)3
2
*
12()1n n n f x a x a x a x n N
++=--+∈的极值点，数列{}n
a 满足1
1a
=，22a =，
22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则12
2320182019201820182018b b b b b b ??
++
+
=????
（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2018
D ．2019
【答案】A
【解析】利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可. 【详解】
解：2
12()32n n n f x a x a a x '++=--，1x =是函数(
)32
*
12()1n n n f x a x a x a x n N
++=--+∈的极值点，
可得：12203n n n a a a ++--=，
即()2
2
21121324312,1,2,2,,2
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -+++--=--=-=-=?-=，
累加可得1121
222,log log 2121112
n n n n n n b a n a +--+===-=+=+-，
1223201820192018201820181112018233420192020b b b b b b ??
++?+=++?+ ?????? 111111112018201820181009233420192020220202020????=-+-+?+-=-=- ? ?
????
， 则12
23201820192018201820182018100910082020b b b b b b ????
+++=-=??????
??. 故选：A. 【点睛】
本题考查数列递推式求通项公式，以及数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题. 12．己知()()()ln 1ln 1f x ax
x x x =++++与()2
g x x =的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范
围是（ ）
A
．1,22?- ??
B ．2
??
? ???
C ．1,12??
-
???
D ．(
【答案】C
【解析】依题意，方程ln 1ln 111x x a x x ++?
???++= ????
???有三个不相等的实根，令ln 1()x t x x +=
，利用导数研究函数()t x 的单调性及最值情况，再分类讨论得解. 【详解】
解：方程()()f x g x =即为()()2
ln 1ln 1ax x x x x ++++=，
则方程ln 1ln 111x x a x x ++????
++= ???????
有三个不相等的实根， 令ln 1()x t x x +=
得2
(1)10t a t a +++-=①，且2
ln ()x t x x
-'=， ∴函数()t x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减，
故max ()(1)1t x t ==，且t →+∞时，()0t x →，0t →时，()t x →-∞ ∴方程①的两个根12,t t 的情况是：
（i ）若1212,(0,1),t t t t ∈≠，则()f x 与()g x 的图象有四个不同的公共点，不合题意； （ii ）若1(0,1)t ∈且21t =或2
0t =，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，
令1t =，则1(1)10a a +++-=，12a ∴=-，此时另一根为(3
2
0,1)-?，舍去； 令0t =，则10a -=，
1a ，此时另一根为12(0,)-?，舍去；
（iii ）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，
令2
()(1)1h x t a t a =+++-，则(0)0(1)0
h h ?，解得1
12a -<<.
故选：C. 【点睛】
本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.
二、填空题 13．已知4
sin 65πα??+= ???，5,36
ππα??
∈ ???
，则cos α的值为______．
【解析】根据角的范围，先求出cos 6πα??
+ ???的值，然后用角变换66
ππαα??=+- ???可求解. 【详解】
由
5
,
36
ππ
α??
∈ ?
??
，+,
2
6
ππ
απ
??
∈ ?
??
所以2
cos1s
65
3
in
6
ππ
αα
????
+=--+=-
? ?
????
cos cos=cos cos+sin sin
666666
ππππππ
αααα
??
??????
=+-++
? ? ?
?
??????
??
3341433
525210
-
=-?+?=
故答案为：
433
-
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题.
14．若实数x，y满足
20
x y
x y
x y b
-≥
?
?
-≤
?
?+-≥
?
，且2
z x y
=+的最小值为1，则实数b的值为__________
【答案】
3
4
【解析】画出不等式组表示的可行域，根据目标函数得出取最优解时点的坐标，再根据分析列出含有参数b 的方程组，由最小值求出b的值.
【详解】
解：不等式组
20
x y
x y
x y b
-≥
?
?
-≤
?
?+-≥
?
表示的可行域如图所示：必有0
b>
20y x b
x y =-+??
-=?
， 323b x b y ?=??∴??=??
，
2,33b b B ??∴ ???
；
由图可得，当目标函数过点B 时，2z x y =+有最小值；
22133b b ∴?+=，
解得3
4
b =，
故答案为：3
4
. 【点睛】
本题考查了约束条件中含有参数的线性规划问题，解题时应先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），解出代入目标式，即可求出参数的值.
15．已知函数()ln
ex
f x e x =-，满足()220181009
2019201920192e e e f f f a b ??????+++=
+ ? ? ???????
（a ，b 均为正实数），则
14
a b
+的最小值为_____________ 【答案】
94
【解析】通过题目发现()()2f x f e x +-=，然后利用倒序相加法求出4a b +=，将
14
a b
+转化为()1144a b a b ??
+ ??+?
，展开，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】
解：2
()()()()ln
ln ln ln 2()ex e e x ex e e x f x f e x e e x e e x e x
x --??+-=+=?==??----??，
()1009220182201920192019e e e a b f f f ??
??
??
+=+++ ? ? ???????，
()1009201820172201920192019e e e a b f f f ??
????∴
+=+++ ? ? ???
?
?
??
，
两式相加得：()100922018a b +=?，4a b ∴+=，
()141141419554444
b a a b a b a b a b ?????∴+=+++≥+= ? ? ?????+=， 故答案为：94
. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，关键是要发现()()2f x f e x +-=以及倒序相加求和，难度不大.
16．设抛物线2
2y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，点O 是
坐标原点，则AOB ?的面积为____________ 【答案】
58
【解析】由题意不妨设直线AB 的方程为1
2
x ty =+
，联立直线与抛物线方程，然后结合4AF BF =可得4AF FB =，结合方程的根与系数关系及向量的坐标表示可求t ，然后根据1211
22
AOB
S y y =?-求面积即可. 【详解】
解：解：由题意不妨设直线AB 的方程为12
x ty =+
， 联立方程2122x ty y x
?
=+
???=?可得，2210y ty --=，
设()()1122,,,A x y B x y ， ∵4AF BF =，
4AF FB ∴=，
124y y ∴=-，
则2
12241y y y =-=-，
2214y ∴=
，即21
2y =， 12211515
52244128
AOB S y y y ∴=?-=?=?=，
故答案为：58
. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的关键是坐标关系的应用，属于中档试题.
三、解答题
17．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=?，3PB =，AB =ABC ?的面积．
【答案】（Ⅰ）60C =?；（Ⅱ）2
S =
【解析】cos sin sin A C C A =，可得答案.| （Ⅱ）由条件APC ?为等边三角形，则120APB ∠=?，由余弦定理得，
2222cos120AB AP BP PA PB =+-??，可得AP ，从而得到三角形的面积.
【详解】
cos sin C c A =cos sin sin A C C A =，
又A 是ABC ?内角，∴sin 0A ≠，∴tan C =∵0180C <
（Ⅱ）根据题意，APC ?为等边三角形，又120APB ∠=?．
在APB ?中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-??， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =．
∴ABC ?的面积1sin 602S CA CB =??=
【点睛】
本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.
18．已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()2
12n n b n n k +=++．
（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）若n
n n
b c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）3n
n a =．1n b n =+（2）525
443n n
n S +=
-? 【解析】（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列{}n a 的通项公式，根据条件中的递推式求出
123,,b b b ，利用它们成等差数列列方程求出k ，进而可得数列{}n b 的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n S . 【详解】
解：（1）由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3n n a ∴=.
()212n n b n n k +=++，132k b +∴=
，283k b += ，3154
k
b +=. 由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =，
()211n b n n ∴=+-=+；
（2）由（1）知，1
3
n n n n b n c a +=
=， 2231
333n n n S +∴=
++???+① 则23112313333
n n n S ++=++???+② ①-②可得23311221111525
333333623n n n n n S ++++=+++???+-=-?，
525443n n
n S +∴=-?.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解，考查错位相减法求和，是基础题.
19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：
（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：
0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，3
5
，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3
A 合格的概率分别为
45，12，2
3
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．
附：（1）相关系数n
i i
x y nx y
r -=
∑
（2）
8
1
347i i
i x y
==∑，8
2
1
1308i i x ==∑，8
21
93i i y ==∑
【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）
6
5
【解析】（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果； （2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ??
???
,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】
解：（1）由题意可知2361021131518
118
x +++++++=
=，
112 2.56 3.5 3.5 4.5
38
y +++++++=
=，
由公式0.98r =
=≈，
0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
1142255A P =?=，2412525A P =?=，3322
535
A P =?=，
由题意，235X
B ??
???
, ， ()26
355
E X ∴=?=.
【点睛】
本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.
20．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线
交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ?的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ?是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2
2198
x y ；（2）存在，
012m -
≤<或012
m <≤
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为13和2MNF ?的周长为12可得13412
c a a ?=
???=?，可求椭圆方程. （Ⅱ）AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-?,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】
（1）由题意可得13412c a a ?=???=?
，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为
2
2
198
x y .
（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点
(),0D m ，使得ADB ?为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,9
8y kx x y =+??
?+=?
?得
()2
2
8936360k x
kx ++-=，
故1223698k
x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00
216298
y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即2216
01981898
k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++
当0k >
时，89k k +
≥=
012m -≤<； 当k 0<
时，89k k +
≤-
012
m <≤ 综上：m
取值范围是012m -≤<
或012
m <≤
. 【点睛】
本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题. 21．已知函数()ln 1
x x a f x x
++=
，在区间[]1,2有极值．
（1）求a 的取值范围； （2）证明：()()
sin 1a x f x x
+>
．
【答案】（1）01a <<（2）见解析
【解析】（1）()f x 在区间[]1,2有极值转化为()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究()f x 在[1,2]上的单调性即可； （2）将证明()()
sin 1a x f x x
+>
转化为证明ln sin 1x x a x >-.先证ln 1x x ax >-，然后再证
1sin 1ax a x ->-，进而可得()()sin 1xf x a x >+.
【详解】
解：（1）由()1ln a f x x x +=+
得()()()22
1110x a a f x x x x x
-++'=-=>， 当11a +≤即0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,2]上单调递增，无极值； 当12a +≥即1a ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在[1,2]上单调递减，无极值；
当112a <+<即01a <<，由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得1x a <+，所以()f x 在[
)1,1a +上单调递减，在(]
1,2a +上单调递增，符合题意，
01a ∴<<；
（2）要证()()sin 1xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-， 先证：ln 1x x ax >-.设()ln 1g x x x ax =-+，则()1ln ln 1g x x a x a '=+-=+-，所以()f x 在(
)
1
0,a e -上单调递减，在(
)1
,a e -+∞上单调递增，
所以()()()1
1
11111a a a a g x g e
a e
ae e ----≥=--+=-，
因为01a <<，所以110a e -->，则()0g x >，即ln 1x x ax >-①，
再证：1sin 1ax a x ->-.设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥.所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即sin x x >.因为01a <<，所以1sin 1ax a x ->-②， 由①②可ln sin 1x x a x >-，所以()()sin 1xf x a x >+. 【点睛】
本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.
22．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()2
2
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ?的面积．
【答案】(1)cos 2ρθ=-,2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)
12
． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，
22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得
23240ρρ-+=得1222,2ρρ==， 所以2MN =，进而求得面积为12
.
试题解析：
（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=
（2）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=
得23240ρρ-+=得1222,2ρρ==， 所以2MN =
因为2C 的半径为1，则2C MN ?的面积为1121sin 4522
???= 【考点】坐标系与参数方程.
23． 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].
【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x ≤a ≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围
试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2
{1,2325,3
x x x x x -+≤<<-≥
当x ≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；
当x ≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.
所以f （x ）≥3的解集为{x|x ≤1或x ≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4|
|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.
当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|
（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|
－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数