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高一数学竞赛培训教材有讲解和答案

高一数学竞赛培训教材

有讲解和答案

SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

高中思维训练班《高一数学》

第1讲-----集合与函数(上)

『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代

1.定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ,若A={y | y=x 2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M △N =（M-N)∪(N-M ），求A △B

2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=},,3,2,1{n ,则所有子集的元素之和是 .

3.已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4

321a a a a <<<,并且都是正整

数.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.

*4. 函数???<+≥-=1000

)),5((10003)(n n f f n n n f ，求)84(f (本讲重点迭代法)

5. 练习:定义:*

,)))((()(N n x f f f x f n n ∈=

个

.已知)(x f 是一次函数.当10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．(本讲重点迭代法)

*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。求f(x) (本讲重点顺序拼凑法) 『课后作业』:

7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=

且当n ＞1时有

)(1n f )

1(1

-n f =2(n ＋1)。求f(n) (n ∈

N +)(本讲重点顺序拼凑法)

9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和

10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集

作业答案:,n 2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或x>1/m 答案:

1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x ＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A △B={x|-3≤x＜0或x ＞3}

2. 【解】〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈?,显然

},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在

集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现1

-n 次,即对所有的i 求和,可得).(2

∑=-=n

i n n i S

集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2

)

1(2)21(211+?=+++--n n n n n =.2)1(1-?+?n n n

3. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴2

11a a =,又N a ∈1,所以.11=a 又1041=+a a ,可得94=a ,并且42

2a a =或.423a a =

若92

2=a ,即32=a ,则有

,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若

3=a ,即

3=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.

综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 5【解】

解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则

n 次

f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)

f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)

依次类推有：f 10(x)=a 10

x ＋b(a 9

＋a 8

＋…＋a ＋1)=a 10

x ＋a

a b --1)

1(10

由题设知：

a 10

=1024 且a

a b --1)

1(10=1023

∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3

∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －3 8. 解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1

再依次令x=1，2，…，n －1，有 f(2)=f(1)＋2 f(3)=f(2)＋3 ……

f(n －1)=f(n －2)＋(n －1) f(n)=f(n －1)＋n

依次代入，得

f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=

)

1(+n n ∴f(x)=

)

1(+x x (x ∈N +)

高中思维训练班《高一数学》

第2讲-----函数(下)

『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题

*1例 f(x)在x>0上为增函数,且)()()(y f x f y

f -=.求:

(1))1(f 的值.

(2)若1)6(=f ,解不等式2)1

()3(<-+x

f x f

2例 f(x)对任意实数x 与y 都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2 (1)求证:f(x)在R 上是增函数

(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3

3练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.

(1) 求f(1)和f(1/9)的值

(2) 证明f(x)在x>1上是增函数

(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x 的取值范围 4例几个关于周期的常见的规律:

5练习:f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________ (2) = 0

(x) = f(x+4)

(x)的图象关于直线x=0对称 (x+2) = f(-x) 『课后作业』:

6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y). (1)证明f(x)在x>0上为增函数

(2)若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2

*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－

)

x (f 1)

x (f 1+-,求证f(x)是周期函数

7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)

*8. 已知f(1)=

且当n ＞1时有

)(1n f )

1(1

-n f =2(n ＋1)。求f(n) (n ∈

N +)(本讲重点顺序拼凑法)

9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和

10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集

作业答案:6. 0

7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=

且当n ＞1时有

)(1n f )

1(1

-n f =2(n ＋1)。求f(n) (n ∈

N +)(本讲重点顺序拼凑法)

9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和

10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集

『上讲课后作业回顾』:化学

5.有4.0克+2价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得氯化物的质量为9.5克，通过计算指出该金属的名称。(差量法)

6.取100克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液( 十字交叉法)

高中思维训练班《高一数学》第3讲-----函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题

『本讲要点』:函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解『重点掌握』:凑f(x)法计算函数的周期

『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数

1例已知f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x+1）= - f （x ）（1）证明：f （x ）是周期函数，并求最小正周期

（2）当x ∈[0,1）时，f （x ）=x ，求在 [-1,0）上的解析式（T=2 ，已求好）（f （x ）=-x -1 ，已求好）

**2例f(x)图像满足下列条件，试证明f(x)为周期函数（1）关于x=a, x=b 对称. （2）关于(a,0), (b,0)对称. （3）关

于(a,0), x=b 对称.

*3练对函数f(x),当x ∈（-∞，+∞）时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x)为周期函数,并求出最小正周期 f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10

推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x 满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类似

4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问： f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数若是,求出它们的周期 f(x)的周期为2，--->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期为3，--->g(x+3n)=g(x)

2与3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)

f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为6的周期函数； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。

高中思维训练班《高一数学》

第4讲----- 函数的对称专题(下)

第5讲----- 对称与周期的关系

『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点1:两个函数的图象对称性

性质1：)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。性质2：)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。性质3：)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。性质4：)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。性质5：)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。

性质6：)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2

a x +=对称。知识点2:单个函数的对称性

性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2

a b x +=对称。

证明：

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（

a b

+，2c ）对称。证明：

性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2

b a

x -=对称。证明：

知识点3:对称性和周期性之间的联系

性质1：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-()a b ≠，求证：函数

()y f x =是周期函数。

证明：

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=()a b ≠时，函数

()y f x =是周期函数。（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，

2c ）、（b ，2

）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：

性质3：函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。证明：

推论：若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)

(x f 是周期函数，)(4a b -是它的一个周期证明：

性质4：若函数()f x 对定义域内的任意x 满足：()()f x a f x a +=-,则2a 为函数()f x 的周期。（若()f x 满足()()f x a f x a +=-则()f x 的图象以x a =为图象的对称轴，应注意二者的区别) 证明：

性质5：已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以

2a 为周期的函数证明：

『例题与习题』:

1例（2005高考·福建理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，

则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A ．3

B ．4

C ．5

D ．7

*2例 ()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =. 求?f (2008)的值。

3练函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

2f x f x +=

，若()15,f =-则()()5f f =_______________。解：由()()12f x f x +=

得()()

4()2f x f x f x +=

=+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11

5(5)(1)(12)5

f f f f f =-=-=

=--+

*4例若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，

-上是增函数，且)()2(x f x f -=+. ①求)(x f 的周期；

②证明)(x f 的图象关于点(2,0)k 中心对称;关于直线21x k =+轴对称, ()k Z ∈; ③讨论)(x f 在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知()(2)(22)(4)f x f x f x f x =-+=++=+，故周期4T =.

②设(,)P x y 是图象上任意一点,则()y f x =,且P 关于点(2,0)k 对称的点为

1(4,)P k x y --.P 关于直线21x k =+对称的点为2(42,)P k x y +-

∵(4)()()f k x f x f x y -=-=-=-,∴点1P 在图象上,图象关于点(2,0)k 对称. 又()f x 是奇函数,(2)()()f x f x f x +=-=- ∴(42)(2)()f k x f x f x y +-=-==

∴点2P 在图象上,图象关于直线21x k =+对称.

③设1212x x <<<，则2121x x -<-<-<-，210221x x <-<-<

∵()f x 在(1,0)-上递增, ∴12(2)(2)f x f x -<-……(*)

又(2)()()f x f x f x +=-=- ∴11(2)()f x f x -=,22(2)()f x f x -= . 所以：21()()f x f x < ，()f x 在(1,2)上是减函数.

5例已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数

()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函

数，且在2x =时函数取得最小值5-. （1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； **（3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.

解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，且在[1,1]-上是奇函数，∴

(1)(1)(51)(4)f f f f =--=--=-，∴(1)(4)0f f +=.

②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤.

③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，

又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤ 而2(1)2(12)53f =--=-，

∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，

从而10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-. ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+. 当69x <≤时，154x <-≤，

∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--

∴2

315,46

()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤?=?--<≤?. 『课后作业』:

6练已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ B ）

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数

所以(0)0f =，又(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数，()f x 的周期为4 所以(6)(2)(0)0f f f ==-=，选B

7练定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ A ）（第十二届高中数学希望杯第二题） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)

8练设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f ) = （B ） (A)

(B)

－

(C)

(D) －

解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 ∴f ) = f (8－ ) = f (－ ) = －f ) =－故选(B)

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第6讲-----归纳总结,作业回顾

物理**5例如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l 和2l ，它们的下端在C 点相连接并悬挂

一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上．A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且

12l l <。试求μ1和μ2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离

AB 。 \

物理6作业A 跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运动员和他身上装备的总重量为G 1，圆顶形降落伞伞面的重量为G 2，有12条相同的拉线（拉线重量不计）,均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖直方向都成30°角。则每根拉线上的张力大小为：(答案在本页最下边)

A 、

1831G B 、18)

(321G G + C 、1221G G + D 、6

1G 物理7作业如图2—7所示，AO 是质量为m 的均匀细杆，可绕O 轴在竖直平面内自动转动。细杆上的P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，AP 长度是杆长的14

，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于。(答案在本页最下边)

化学*5作业三氟化溴溶于水可发生如下反应： BrF 3 ＋ H 2O

?→? HBrO 3＋ Br 2＋ HF ＋ O 2↑

(1)其中发生自身氧化还原反应的物质是____________；

(2)当有 mol 水参加反应时，由水还原的BrF 3的物质的量为____________，由BrF 3还原的BrF 3的物质的量为____________；

(3)当有 mol 水作还原剂参加化学反应时，由水还原的BrF 3的物质的量为____________，由BrF 3还原的BrF 3的物质的量为____________；

(4)当有 mol 水未参加氧化还原反应时，由水还原的BrF 3的物质的量为____________，由BrF 3还原的BrF 3的物质的量为____________。

答案：(1)BrF 3 (2) mol mol (3) mol mol(或 mol) (4) mol

mol

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第6讲-----第一阶段考试(数学)

满分:150分时间:120分钟

姓名

分数

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题只有一项是符合要求的）

1、已知集合A={}

2,x y x x Z =∈，B={}

2,y y x x Z =∈，则A 与B 的关系是 A A B ? B B A ∈ C B A ? D

A B =Φ

2、设全集U ={1，2，3，4，5},{}1,2U A C B ?=，则集合U C A B ?的子集个数最多为

A. 3

B. 4

C. 7

D. 8 3、设A={|02x x ≤≤}, B={|02y y ≤≤}, 下列各图中能表示从集合A 到集合B 的映

射是

4、已知函数2()f x ax x c =--，且()0f x >的解集为（－2，1）则函数()y f x =-的图象为

5、设集合A=10,2??????, B=1,12??

????, 函数f(x)=()1

,221,,

x x A x x B ?+∈???-∈?若x 0A ∈, 且f [ f

(x 0)]A ∈,则x 0的取值范围是( )

A.10,4?? ???

B.11,42?? ???

C.11,42?? ???

D.30,8??????

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，

那么函数解析式为221y x =-，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．4个

7、函数12

y x x =++-是（）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．是奇函数

又是偶函数

8、已知 y = f ( x ) 是定义在R 上的偶函数, 且在( 0 , + ∞)上是减函数，如果

x 1 < 0 , x 2 > 0 ,

且| x 1 | < | x 2 | , 则有（）

A ．f (－x 1 ) + f (－x 2 ) > 0 B. f ( x 1 ) + f ( x 2 ) < 0 C. f (－x 1 ) －f (－x 2 ) > 0 D. f ( x 1 ) －f ( x 2 ) < 0

9、设函数{

2,0,()2,0.

x bx c x f x x ++≤=>若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程()f x x =的解的个数为

(A). 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （）

10、一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是

A ． 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本答题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 11、设f （x ）是定义在（0，+?）上的减函数，那么f （2）与f （a 2+2a+2）的大小关

系是___________________

12、满足条件｛0，1｝∪A={0,1}的所有集合A 的个数是个

13、已知1(0)

()1(0)x f x x ≥?=?

，则不等式(1)(1)5x x f x +++≤的解集是 14、如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()11f =，则:

()()()()()()()()()()

2345201112342010f f f f f f f f f f +++++=…______________

15、已知3

(9)(),(7)[(4)](9)x x f x f f f x x -≥?==?

16、（满分12分）设A={x ∈Z| }66≤≤-x ，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ??；（2）()A A C B C ??

17、（满分12分）若集合{}{}22|60,|0M x x x N x x x a =+-==++=，且N M ?，求实数a 的值。

18、（满分12分）设0)(,)8()(2>---+=x f ab a x b ax x f 不等式的解集是（－3，2）.

（1）求f （x ）；

（2）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数f （x ）的值域.

19、（满分12分）已知奇函数222(0)()0

(0)(0)x x x f x x x mx x ?-+>?

==??+

（1）求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出()y f x =的图象；（2）若函数f （x ）在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围. 20、（满分13分）某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的

利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）

（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系

式。

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。

21、（满分14分）若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=?，且当0x f ；

（1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数（3）当16

)4(=

f 时，解不等式4

1)5()3(2≤

-?-x f x f 参考答案

一、选择题：CDBDC BBCCB

二、填空题：11. f （2）> f （a 2+2a+2）； 12. 4 ； 13. (]2-∞，； 14. 2010 ； 15. 6 三、解答题：16、解：

{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------……………2分

（1）又{}3B C ?=()A B C ∴??={}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6------……6分（2）又{}1,2,3,4,5,6B C ?=得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C ?=------

()A A C B C ∴??{}6,5,4,3,2,1,0=------ ……………12分

17、解： A={-3, 2}

⑴ 当△<0，即1

4a >

时，B=φ ， B A ?成立 …………………4分 ⑵ 当△=0，即14a =时，B={1

2-}, B A ?不成立……………8分

⑶ 当△>0，即1

a <时，若B A ?成立则：B={-3, 2}

∴ a= -3x2=-6 ………………………………………12分 18、解：（1）由已知方程f （x ）=0的两根为－3和2（a <0）由韦达定理得

从而1833)(2+--=x x x f …………………………………………6分

（2）4318)41(3)(2+++-=x x x f =43

18)21(32++-x

而]1,0[∈x 对称轴,2

-=x 从而]1,0[)(在x f 上为减函数

所以，当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时

故所求函数)(x f 的值域为[12，18]…………………………12分 2()()2(f x x -=-+-

19、（1）当 x <0时，－x >0，

又f （x ）为奇函数，∴

2()()2f x f x x x -=-=--，∴ f （x ）＝x 2＋2x ，∴m ＝

2 ……………4分

y ＝f （x ）的图象如右所示

……………6分

（2）由（1）知f （x ）＝222(0)

(0)2(0)

x x x x x x x ?-+>?

=??+

，…8分由图象可知，()f x 在[－1，1]上单调递增，要使()f x 在[－1，|a |－2]上单

调递增，只需||21

||21a a ->-??-≤?

……………10分

解之得3113a a -≤<-<≤或

……………12分

20、（1）投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，

由题设()f x =1k x ?，()g x

=2k ，.

由图知1(1)4f =

∴114k =，又5(4)2g =∴254k = 从而()f x =1,(0)4x x ≥，()g x

(0)x ≥ ……………6分

（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元，设企业的利润为y 万元

Y=()f x +(10)g x -

=4x 010x ≤≤），

221051525

,(),(0444216

t t y t t t -==+=--+≤≤则当52t =

，max 4y ≈，此时25

104

x =-= ∴当A 产品投入万元，B 产品投入万元时，

企业获得最大利润约为4万元。 ……………12分

21、解：（1）2()()()0222

x x x

f x f f =+=≥

又若f(x 0)=0, 则f(x)=f(x- x 0+ x 0)=f(x-x 0)f(x 0)=0与已经矛盾，故 f(x)> 0 …………………………4分

（2）设12x x <则120x x -< 又 ∵)(x f 为非零函数

)()(1)

()

(2121x f x f x f x f >?>, )(x f 为减函数 …………………………9分（3）由

211(4)(2)1(2)164

f f f ==

?=，由（）原不等式转化为)2()53(2f x x f ≤-+-，结合（2）得：10222≤≤?≥-+x x x

故不等式的解集为{}10|≤≤x x ； …………………………14分

高中思维训练班《高一数学》

第8讲-----指数与对数(一)

『本讲要点』:利用对数增减性比较大小、对数方程

1.试比较20022003121121++与20032004121

121

++的大小

解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a ＞0，则有

2002

2003121121++ ÷2003

2004121121++ =()11211211

a a a a ??

+ ?+??++=2

(12)(121)12(1)a a a +++=221214512

1122412a a a a ++>++ 故得：20022003121121++>20032004121121

*2.已知函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1,x>0)若x 1,x 2∈R +,试比较与

的大小

解：f (x 1)+f (x 2)=log a (x 1x 2) ∵x 1,x 2?R +,∴ (当且仅当x 1=x 2时，取

“=”号)，

当a >1时，有，∴

即 (当且仅当x 1=x 2时，取“=”号)

当a >1时，有，∴

即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)

*3例.设a、b分别是方程log2x + x – 5 = 0和2x + x – 5 = 0的根，求a + b及log

a + 2b

解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y =log2x的图象，再作直线y=x和y= -

x+5，由于y=2x和y=log

x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程

log

2x+x-5=0的根a就是直线y= -x+5与对数曲线y=log

x的交点A的横坐标，方程

2x+x-5=0的根b就是直线y=-x+5与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y= -x+5与y=x的交点为M，则点M的横坐标为,，

所以a+b=2x M=5 log2a+2b=2y M=5

4练.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值

解：易知f(x)的定义域为(0,+无穷)

因为y1=3+在(0,+￥)上是减函数，y2=log2x在(0,+￥)上是增函数，而当y1=y2，即

3+=log

2x时，x=4，所以由y

=3+和y2=log2x的图象可知

故当x=4时，得f(x)的最大值是2

5例.设y=log

1/2

[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要

a2x+2(ab)x-b2x+1＞1，

即a2x+2(ab)x-b2x＞0

→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0

→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0

→>

→∵

→.

1°当a＞b＞0时,a/b＞1,；

2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1,

3°当a=b＞0时，x∈R

6.解方程:

(1)x + log2(2x - 31) = 5

解：(1)原方程即：log

22x+log

(2x-31)=5

log

[2x(2x -31)]=5 (2x)2-31×2x = 32 解得：2x=32, ∴x=5

*(2) 2lg x×x lg2 - 3×x lg2-21+lg x + 4 = 0

(2)原方程即：(2lg x)2-5×2lg x+4 = 0 解得：x1=100,x2=1

*7.设a>0且a≠1,求证：方程a x+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内

解：设t=a x,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1) 由Delta = 4a2-4>0得a>1令f(t)= t2-2at+1 ,f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0

所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内

2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1

2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略 A．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分）

1．当整数m ＝_________时，代数式 13m 6 -的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且| abc |abc |c |c |b |b |a |a + ++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004 ＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2 +2=0｝的子集的个数是三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试

高中数学竞赛训练题(0530)

数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足：（1）()11=f ；（2）当10<x f ；（3）对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。则=??? ??31f _______。 6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ，则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最大值为_______。 7、对正整数n ，设n x 是关于x 的方程nx 3 +2x-n=0的实数根，记()[]()11>+=n x n a n n （符号表示不超过x 的最大整数），则()=++++20114321005 1a a a a _______。 8、在平面直角坐标系中，已知点集I={（x ，y ）|x 、y 为整数，且0≤x ≤5，0≤y ≤5}，则以集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。 9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+?? ? ??+=π。（1）设常数0>w ，若函数()wx f y =在区间??????- 32,2ππ上是增函数，求w 的取值范围；（2）集合??????≤≤=326ππx x A ，(){} 2<-=m x f x B ，若B B A =?，求实数m 的取值范围。

高中数学竞赛系列辅导材料集合

集合（一）内容综述：本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。要点讲解： §1．基本理论除了课内知识外，我们补充以下知识相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。 n阶集合的全部子集数目为。 A，B，C为三个集合，就有下面的定律。（1）分配律（2）零律

（3）排中律（4）吸收律（5）补交转换律（6）德·摩根律的相对形式例题分析：例1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为。

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是．解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是．解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是．（第6题图） A 1

高一数学竞赛培训讲义：最大公约数和最小公倍数(学生)

第三节最大公约数定义1 整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数．不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k )．由于每个非零整数的约数的个数是有限的，所以最大公约数是存在的，并且是正整数．如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果 (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）．显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2．定理1 下面的等式成立： (ⅰ) (a 1, a 2, , a k ) = (|a 1|, |a 2|, , |a k |)； (ⅱ) (a , 1) = 1，(a , 0) = |a |，(a , a ) = |a |； (ⅲ) (a , b ) = (b , a )； (ⅳ) 若p 是素数，a 是整数，则(p , a ) = 1或p ∣a ； (ⅴ) 若a = bq + r ，则(a , b ) = (b , r )．由定理1可知，在讨论(a 1, a 2, , a n )时，不妨假设a 1, a 2, , a n 是正整数，以后我们就维持这一假设．定理2 设a 1, a 2, , a k ∈Z ，记 A = { y ；y =∑=k i i i x a 1，x i ∈Z ，1 ≤ i ≤ k }．如果y 0是集合A 中最小的正数，则y 0 = (a 1, a 2, , a k )．

高中数学竞赛介绍,尖子生请收好

高中数学竞赛介绍，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件： ?高考数学可以轻松应对； ?对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛； ?具备自主学习能力； ?高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。

因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。当然，这是后话。说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。

1. 全国高中数学联赛全国高中数学联赛旨在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的

兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及合作精神。 2.中国数学奥林匹克（CMO） CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍，为符合中国人的认知习惯），6个题满分为126分。颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前60名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。 3.国际数学奥林匹克（IMO）国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。正如专家们指出：IMO的重大意义之一是促进创造性的思维训练，对于科学技术迅速发展的今天，这种训练尤为重要。数学不仅要教会学生运算技巧，更重要的是培养学生有严密的思维逻辑，有灵活的分析和解决问题的方法。根据我的感觉，如果高考的数学难度有两星，那么高联的一试难度大概有三颗星，二试难度大概有四颗星；而CMO和IMO的难度大概在五颗星左右。因此，参加高中竞赛的确

2021届高一上学期数学竞赛试题

商洛中学2021届高一数学竞赛试题一、选择题（本大题共有6小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共30分） 1.设集合2 {|} M x x x ==，{|lg0} N x x =≤，则M N=（） A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(,1] -∞2.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（） A．1 B．2 C． 2-1 2 D． 2+1 2 2 3.()(1)()(0)()() 21 x F x f x x f x f x =+≠ - 是偶函数，且不恒等于零，则（） A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 4.函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为（） 5.设 0.2 log0.3 a=， 2 log0.3 b=，则( ) A．0 a b ab +<

江苏省姜堰中学高一上学期竞赛选拔赛试题(数学)

姜堰中学高一数学竞赛选拔赛试题命题人：凌彬审核人：高一数学备课组（满分150分时间1）班级___________ 学号___________ 姓名______________ 得分___________ 一、填空题（每小题7分，共70分） 1．若抛物线2 112 y x mx m = -+-与x 轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为__________ 答案：1x = 〖解〗：设抛物线与x 轴交于整点12(,0), (,0)x x 1212(, )x x Z x x ∈<、，则有下列恒等式成立： 21211 1()()22 x mx m x x x x -+-=--，取1x =代入消去m 得：12(1)(1)1x x --=-，故由整数性质得12 1111x x -=??-=-?，解之得1202x x =??=?；代入得1m =，从而对称轴方程为1x =． 2．某老师让四名学生每人各写一个实系数的一元二次方程，则所得的四个方程恰有两个无实数根的概率为__________ 答案： 38 〖解〗：列表可知，共有42即16种可能情况，其中有6种恰有两个无实数根，故概率为38 ． 3．π的前24位数字为3.141 592 653 589 793 238 462 64；记1224,, ,a a a 为该24个数字的任意一个排列，则 12342324()() ()a a a a a a +++一定是__________的倍数．答案：2 〖解〗：因为这24个数字中有13个奇数和11个偶数，而括号有12个，所以至少有一个括号中一定是两个奇数，因此和为偶数；这样12括号之积一定是偶数． 4．使424m m -+为完全平方数是自然数m 有__________个．答案：3 〖解〗：当0,1,2m =时，424m m -+都是完全平方数；当3m ≥时，224222(1)4()m m m m -<-+<，不可能是完全平方数；故只有3个． 5 ．代数式x 的最小值是__________ 〖解〗：设 (0)y x y => ，则y x +=，整理得：223240x yx y --+=（*）；方程（*）看成关于x 的方程，由于x 为实数，所以方程（*）一定有实根，从而22443(4)0y y ?=-?-+≥，解得23y ≥，而0y > ，所以y ≥． 6．在平面直角坐标系中，(0,3)(4,1)(,0)A B C m 、、，当ABC ?的周长最小时，m 的值是________ 答案：3 〖解〗：点B 关于x 轴的对称点是'(4,1)B -，直线'AB 与x 轴的交点即为所求的点C ，而直线'AB 的解析式是3y x =-+，故C 为(3,0)即3m =．

高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)

高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高一数学竞赛辅导——三角函数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是（） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2π 2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是（） A ．3 ,1π ?ω= = B ．3 ,1π ?ω- == C ．6,21π ?ω== D ．6 ,21π ?ω-== 4．函数]),0[)(26sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是（） A ． ]3,0[π B ．]65,3[ππ C ．]127,12[π π D ． ],65[ππ 5．在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 6．在△ABC 中，8b =，c =ABC S ?=，则A ∠等于（） A 、30 B 、60 C 、30或150 D 、60或120 7．函数y ＝－xcosx 的部分图象是 ( )

8．在△ABC 中， cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 9．为了得到函数)6 2sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（） A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π 3 个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π 3 个单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中 240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15．1 12．1 9．1 11．9 14．9 11．9 8．9 12． 1 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（） A ．t y 6 sin 312π += B ．)6sin(312ππ ++=t y C ．t y 12 sin 312π += D ． )2 12sin(312π π++=t y 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分5，共25分．把答案填在横线上． 11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝． 12． ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值是． 13．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是．

高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质

函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.

即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷（第二轮考试时间60分钟，满分100分）班级姓名得分一、选择题（每题６分，36分） 1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是（）（A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 - --- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)10 7 3 ．某公司从2001年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是（）（A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年 4.若F( 11x x -+)=x 则下列等式正确的是（）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x +-（C ）F(x -1 )=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（） (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件 6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形 D C B A ''''。四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（） A ．9 B ．26 C ．34 D ．6 二、填空题（每题5分，25分） 7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是。 8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________. 9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。

2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则

2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{ x |x －a ≥1}，且A ∩ B ＝{x |x ≥3}，则实数 a 的值是．答案：2．解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{ x | x ≥a ＋1}．又A ∩ B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，解得a ＝2． 2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为．答案：3．解：由题意知，这三条直线中恰有两条平行时符合题意，故a ＝1或2，从而实数a 的值的和为3． 3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列的概率为．答案：121 ．解：满足条件的等比数列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．故所求概率P ＝4C 39＝1 21 ． 4．设a ，b ∈[1，2]，则 a 2＋b 2 ab 的最大值是．答案：52 ．解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )( a －2b )≤0，展开得a 2 ＋b 2 ≤5 2ab ，即a 2＋b 2ab ≤52 ．且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab 的最大值为 5 2 ． 5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂足为E ，则 (AD →·AE →)(CB →·CA → ) 的最大值是．答案：4 27 ．解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ，则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ， A B C D E

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟. 1.（本小题满分15分）设集合{} ()() { } 2 2 2 320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈，（1）若{}2A B =求a 的值；（2）若A B A =,求a 的取值范围；（3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围. 2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ? （2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =请说明理由.

已知函数4 4 4 )cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2 ,0[π ∈x 有最大值5，求实数m 的值．

已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．

已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<<x ；（2）如果21

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷（第一轮考试时间100分钟，满分100分）一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必

胜的策略 A ．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分） 1．当整数m ＝_________时，代数式 1 3m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2+2=0｝的子集的个数是三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.

如何学习数学竞赛

你知道数学竞赛怎么学点击：248次，时间：2016-11-12 14:08:55 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 1、学习进度方面要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 2、入门书单首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 3、提高书单 1）《奥赛小丛书》专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。 2）《奥赛经典》内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们；代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。 3）《命题人讲座》适合系统学习，冲刺冬令营，但没必要每本都做，挑其中较好的做便可。如《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《三角函数与复数》、《向量与立体几何》、《初等数论》。其中《初等数论》是目前数论方面非常系统、难度较高的一本书，很多学生读后也感觉受益匪浅。数论方面当然不能不提两位先生，一位是潘承彪教授，一位是余红兵教授，潘老师的《初等数论》是我们读书时的必读教材，也是大学里的教材，不仅仅局限于竞赛范畴；余老师关于数论的小册子《数学竞赛中的数论问题》，非常经典！另外华罗庚的《数论导引》则非常优秀，适合看完《初等数论》后再深化学习。此外非常值得推荐的是《哈代数论》，值得永世珍藏。 4）《数学竞赛研究教程(套装上下册)》本书是参加数学竞赛的教练员和选手的必备用书。国内数学竞赛研究方面的权威参考书。 5）关于几何《初等数学复习及研究平面几何》、《初等数学复习及研究立体几何》。有助于深化系统自己的几何基础。 6)关于组合推荐单樽老师的《组合几何》《趣味图论》，以上均为上面提到过的数学奥赛辅导丛书的书，那一个系列基本上都非常出色，适合永世珍藏。

2017高一数学竞赛试题

2017高一数学竞赛试题导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D.

5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.

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