【常考题】高中必修五数学上期中试题(附答案)(1)

【常考题】高中必修五数学上期中试题(附答案)(1)

一、选择题

1．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则

A ．111A

B

C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形

C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形

D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形

2．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1

B ．6

C ．7

D ．6或7

3．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11

x y

+的最小值是 A ．10

B ．12?

C ．14

D ．16

4．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A ．

33

23

B ．

53

23

C ．

3

23

D ．

83

23

5．在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则

a c

b

+的值为( ) A ．2

B 2

C 2

D ．4

6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7

B ．5

C ．5-

D ．7-

7．若ln 2ln 3ln 5

,,235

a b c =

==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<

D ．b a c <<

8．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13

- B ．-3或

13

C ．3或

13

D ．-3或13

-

9．若函数1

()(2)2

f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）

A ．3

B ．1

C ．1+

D ．4

10．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）

A ．()8,10

B ．(

C ．()

D ．

)

11．已知正项数列{}n a *(1)

()2

n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =

B ．2

n a n =

C ．2

n n

a =

D ．2

2

n n a =

12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3

x y

+的最大值为 A ．

13

B ．38

C ．

37

D ．1

二、填空题

13．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且

()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为______.

14．已知命题2

0001

:,02

p x R ax x ?∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.

15．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足

222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V ，则ab =__

16．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且8

7

1a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.

17．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得

1=，则

14

m n

+的最小值为__________．

18．设

是定义在上恒不为零的函数，对任意

，都有，若

，

，

，则数列

的前项和

的取值范围是__________．

19．已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ?的面积为

221

4

a b +-，则ABC ?面积的最大值为_____. 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥??

+≤??≥-?，则3z x y =-的最小值为__________．

三、解答题

21．在ABC V 中，3

B π

∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．

从①21

sin A =

， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π??+ ??

?.

(1)求A ；

(2)若△ABC 的面积S 32

，求sin C 的值． 23．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；

（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．

25．已知向量()

1

sin 2A =，m 与()

3sin 3A A =，

n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；

（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{1

2

n n b a +

}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和

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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角三角

形，由

，得21

2121

2

{2

2

A A

B B

C C πππ=

-=

-=

-，那么，2222

A B C π

++=，矛

盾，所以222A B C ?是钝角三角形，故选D.

2．B

解析：B 【解析】

试题分析：由等差数列

的性质，可得

，又，所以

，所以数列

的通项公式为

，令

，解得

，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得

取最小值时的为

，故选B ．

考点：等差数列的性质.

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】

∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴

()11119999110216y x y x

x y x y x y x y x y ??+=+?+=+++≥+?= ???

当且仅当9y x x y =时成立，即11,124

x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】

本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

如解析中图形，可在HAB ?中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ?中求出直角边

HO 即旗杆的高度，最后可得速度．

【详解】

如图，由题意45,105HAB HBA ∠=?∠=?，∴30AHB ∠=?，

在HAB ?中，

sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102

sin 45sin 30HB =

??

，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=?=，

10353

v =

=

/秒）． 故选B ． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．

5．A

解析：A 【解析】 【分析】

由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3

B π

=

，再由余弦定理，求得

()2

24b a c =+，即可求解，得到答案．

【详解】

在ABC ?中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =，

因为(0,)A π∈，则sin 0A >，

所以sin 0B B =

，即tan B =3

B π

=

，

由余弦定理得2

2

2

2

2

2

2

2

2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2

24b a c =+，解得2a c

b

+=，故选A ． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2

417

a a a =可得解.

【详解】

56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.

由等比数列性质可知

2274101478,1a a a a a a ==-==或22

7410147

1,8a a a a a a ====-

1107a a ∴+=-

故选D. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.

7．B

解析：B 【解析】 试题分析：因为

ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3

0,23623

--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5

0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.

8．C

解析：C 【解析】

很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(

)2

31113S a q q =++=，①

且：()21322a a a +=+，即()2

11122a q a a q +=+，②

①②联立可得：113a q =??=?或1

9

13a q =???=

??

，

综上可得：公比q =3或13

. 本题选择C 选项.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

将函数()y f x =的解析式配凑为()()1

222

f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.

【详解】

当2x >时，20x ->，则()()

11

22222

f x x x x x =+=-++≥-- 4=， 当且仅当()1

222

x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】

本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】

由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个

角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222

222

1313a a

?+>?+>?， 由于0

a >

，解得a <

本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一

般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：

A 为锐角cos 0A ?>；A 为直角cos 0A ?=；A 为钝角cos 0A ?<. 11．

B 解析：B 【解析】 【分析】

()()

1122

n n n n +-=

-

的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】

(1)(1)

,(2)22

n n n n n n +-=

-=≥

1=

，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.

【点睛】

给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再

求n a . 应用关系式11,1

{,2

n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出

结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

12．A

解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3

x y

+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。 【详解】

因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得

14

1y x

+= 求

3x y +的最大值，即求

333

x y x y

+=+ 的最小值 所以1413333x y x y y x ??

????+?=+?+ ?

? ???????

4143333

x y y x =

+++

1433

≥+ 3≥，当且仅当

433x y y x

=时取等号 所以

3x y +的最大值为1

3

所以选A 【点睛】

本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题

13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要

【解析】 【分析】 根据正弦定理将

()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为

()()()a b a b c b c +-=-，即2

2

2

b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，

再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1

sin 2

ABC S bc A ?=求解. 【详解】 根据正弦定理

()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为

()()()a b a b c b c +-=-，化简得2

22b

c a bc +-=

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=

sin ==

A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=

所以1sin 42?=

=≤=ABC S bc A

则ABC ?

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题

解析：1,2??

+∞ ???

【解析】 【分析】

根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】

因为命题2

0001:,02p x R ax x ?∈++

≤是假命题，所以21

,02

x R ax x ?∈++>为真 所以01

1202a a a >?∴>?-

【点睛】

本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛

解析：4 【解析】 【分析】

由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】

222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，

∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，

∴由余弦定理可得，2221cos 222

a b c ab C ab ab +-===，

可得sin 2

C ==

，

ABC QV 1sin 2

4

ab C ab ==

， ∴解得4ab =，故答案为4．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三

角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

16．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档

解析：14 【解析】 【分析】

等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由

8

7

1a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．

【详解】

由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，

再由8

7

1a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】

本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

17．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：

116

【解析】 【分析】

由7652a a a =+求得2q =1=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14

m n

+的最小值. 【详解】

设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+,

可得到6

662

a a q a q

=+, 由于0n a >,所以2

1q q

=+

,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.

由于存在两项,m n a a 使得122m n a a a ?=，

所以,2

18m n a a a ?=,

112211188m n m n a q a q a q --+-?=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.

当1,4m n ==时,

14

2m n

+=; 当2,3m n ==时，14116

m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=; 当4,1m n ==时,14174

m n +=; 综上可得 14

m n +的最小值为116

, 故答案为

116

. 【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

18．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：

【解析】

试题分析：由题意，对任意实数

，都有

，则令

可得 ，即，即数列是以

为首项，

以为公比的等比数列，故

考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质

19．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛 21

+ 【解析】 【分析】

结合已知条件，结合余弦定理求得π

4

C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】

由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221

cos 2a b C ab +-=②，由

①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故2212

cos 22

a b C ab +-==

，化简2221ab a b =+-222121ab a b ab =+-≥-，化简得22

2

ab +≤所以三角形面积1122221

sin 22224

S ab C =≤?=. 故答案为21

4

. 【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.

20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为

解析：-10 【解析】

作出可行域如图所示：

由3z x y =-得33x z y =

-，平移直线33

x z

y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33

x z

y =-的截距最大，此时z 最小

由1

{

2

x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--?=-

故答案为10-

三、解答题

21．选择①，33h =；选择②，3h =；选择③，3

h =【解析】 【分析】 （1）选择①21

sin A =

，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；

（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin 3C C =，结合

22sin cos 1C C +=得21

sin 14

C =

，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合

2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】

（1）选择①21

sin 7

A =

，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：

sin sin a b A B

=， 7

213=2a =，

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，

221

2222

c c =+-??，解得1c =-（舍去）或3c =，

则BC 边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：

在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3

C C π

+

=，

整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，

由①②得sin C =

，

则BC 边上的高sin h b C ===

. （3）选择③2a c -=，解答如下：

在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，

3

B π

∠=

Q ，b =

227a c ac ∴+-=┄①，

又2a c -=┄②， 由①②解得1c =，

则BC 边上的高sin h c B =. 【点睛】

本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.

22．（1）56π；（2）14

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=

56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝4

c 2

得到b ＝

c ，

再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】

(1)因为asin B ＝－bsin

)3A π

+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3

A π

+（，

即sin A ＝－

12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33

， 因为A∈(0，π)，所以A ＝56

π

. (2)因为A ＝

56π，所以sin A ＝12，由S ＝34

c 2＝1

2bcsin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝sin 7

c A a =

. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

23．(1)1

,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·

2n ＋1. 【解析】 试题分析：

（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；

（2）求得1

2n n n n c a b n -==?，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简

整理即可得到所求的和. 试题解析：

(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得

解得d ＝1，q ＝2.

所以a n ＝1＋(n －1)×

1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝

－n·

2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 24．（1）6=BC 231015

-

【解析】 【分析】

（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得

6

AE AC BE BC ==

．可求6BE AE =，2615AE =（）．利用余弦定理可求

cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】

解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．

在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-?∠，

2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠．

即：212cos 4m m ADB +-∠=，①

212cos 1m m ADB ++∠=．②

由①+②，得：2

32

m =，

所以m =

BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：

,sin sin sin sin AE EC BE EC

ACE EAC BCE CBE

==∠∠∠∠，

由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC AC

BAC CBA

=∠∠，

所以

6

AE AC BE BC ==

．

所以BE =，

所以2

15

AE =（）．

又2

2

2

2

22121cos 2221

4

AB AC BC BAC AB AC +-

+-∠==

=-???，

所以sin BAC ∠=，

所以11211225420

ACE S AC AE sin BAC =??∠=???=

V （）． 【点睛】

本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（1）π

3A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】

分析：（1）由//m n u r

r

，得3

sin (sin )02

A A A ?-

=，利用三角恒等变换的公式，

求解πsin 216A ??

-

= ??

?

，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得22

4b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得

4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．

详解：（1）因为m//n,所以()

3

sin sin 02

A A A ?-=.

所以

1cos230222A A -+-=，即1

sin2cos2122

A A -=， 即 πsin 216A ??

-

= ??

?

. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ??

-∈- ???

，. 故ππ262A -

=，π

3

A =. （2）由余弦定理，得 22

4b c bc =+-

又1sin 24

ABC S bc A bc ?=

=， 而222424b c bc bc bc bc +≥?+≥?≤，（当且仅当b c =时等号成立）

所以1sin 42ABC S bc A ?=

=≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π

3

A =

，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 26．（1）1

232;2,122n n n n a b n n --==

-?（＝，，）；（2）213312442

n n T n n -=+-+. 【解析】 【分析】

(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可. 【详解】

（1）设等比数列{a n }的公比为q ．

由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．

所以公比2q =

==． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{1

2n n b a +

}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222

d b a b a ????????=+-+=+?-+?= ? ? ? ??

???????， 所以等差数列{1

2

n n b a +

}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ?

?+=++-=+-?= ??

?．

所以数列{b n }的通项公式为1231313

2222222

n n n n b n a n n --=-=-?=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．

由（1）知，23

22

n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{

3

2

n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()

33322124

n n A n n ??+ ???==+，()

1112122122n

n B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442

n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】

这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.