2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
C
采用列举法列举出A
B 中元素的即可.
由题意，A B 中的元素满足8
y x x y ≥??+=?，且*
,x y N ∈，
由82x y x +=≥，得4x ≤， 所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，
故A
B 中元素的个数为4.故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数1
13i
-的虚部是（ ） A. 310-
B. 110
-
C.
110
D.
310
D
利用复数的除法运算求出z 即可. 因为11313
13(13)(13)1010
i z i i i i +=
==+--+， 所以复数113z i =
-的虚部为
3
10
.故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4
1
1i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本
的标准差最大的一组是（ ）
A. 14230.1,0.4p p p p ====
B. 14230.4,0.1p p p p ====
C. 14230.2,0.3p p p p ====
D. 14230.3,0.2p p p p ====
B
计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A
x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
2
1 2.50.1
2 2.50.4
3 2.50.4
4 2.50.10.65A
s =-?+-?+-?+-?=；
对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B
x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
2
1 2.50.4
2 2.50.1
3 2.50.1
4 2.50.4 1.85B
s =-?+-?+-?+-?=；
对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C
x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
2
1 2.50.2
2 2.50.3
3 2.50.3
4 2.50.2 1.05C
s =-?+-?+-?+-?=；
对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D
x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
2
1 2.50.3
2 2.50.2
3 2.50.2
4 2.50.3 1.45D
s =-?+-?+-?+-?=.
因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.
本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)
()=
1e
t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，
标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
C
将t t *
=代入函数()()
0.23531t K
I t e
--=
+结合()0.95I t K *
=求得t
*
即可得解.
()()
0.23531t K I t e
--=
+，所以()(
)
0.2353
0.951t K I t K e
*
*
--=
=+，则
(
)0.2353
19t e
*-=，
所以，()0.23
53ln193t
*
-=≈，解得3
53660.23
t *≈
+≈.故选：C. 本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）
A. （1
4
，0） B. （
1
2
，0） C. （1，0） D. （2，0）
B
根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4
COx COx π
∠=∠=，从而可以确定出点D 的
坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
因为直线2x =与抛物线2
2(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4
DOx COx π
∠=∠=
，所以(2,2)C ，
代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2
，故选：B.
该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ?=-，则cos ,=+a a b （ ）
A. 3135
- B. 1935
-
C.
1735
D.
1935
D
计算出()a a b ?
+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.
5a =，6b =，6a b ?=-，()
2
25619a a b a a b ∴?+=+?=-=.
(
)
2
22
2257a b a b
a a
b b +=
+=+?+=-=，
因此，(
)1919
cos ,5735
a a b
a a
b a a b
?+<+>=
=
=??+.故选：D. 本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =2
3
，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A. 19
B. 13
C. 12
D.
2
3
A
根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=?，即可求得答案.
在
ABC 中，2
cos 3
C =，4AC =，3BC =
根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-??
2224322
433
AB =+-???
可得29AB = ，即3AB =
由
22299161
cos
22339
AB BC AC B AB BC +-+-===???
故1
cos 9
B =
.故选：A. 本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+42
B. 4+4
2 C. 6+2
3 D. 4+23
C
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：1
2222
ABC ADC CDB S S S ===??=△△△ 根据勾股定理可得：22AB AD DB ===
∴ADB △是边长为22
根据三角形面积公式可得：
2
11
sin60
222
ADB
S AB AD
=???=?=
△
∴
该几何体的表面积是：6
32=
?++故选：C.
本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
9.已知2tanθ–tan(θ+
π
4
)=7，则tanθ=（）
A. –2
B. –1
C. 1
D. 2
D
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
2tan tan7
4
π
θθ??
-+=
?
??
，
tan1
2tan7
1tan
θ
θ
θ
+
∴-=
-
，
令tan,1
t t
θ
=≠，则
1
27
1
t
t
t
+
-=
-
，整理得2440
t t
-+=，解得2
t=，即tan2
θ=.故选：D.
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
10.若直线l与曲线y
x2+y2=
1
5
都相切，则l的方程为（）
A. y=2x+1
B. y=2x+
1
2
C. y=
1
2
x+1 D. y=
1
2
x+
1
2
D
根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
设直线l
在曲线y=
(0x，则00
x>，
函数y=
y'=，则直线l
的斜率k=，
设直线l
的方程为
)
y x x
=-
，即
x x
-+=，
由于直线l与圆22
1
5
x y
+=
相切，则=
两边平方并整理得2
00
5410
x x
--=，解得
1
x=，
1
5
x=-（舍），
则直线l 的方程为210x y -+=，即11
22
y x =
+.故选：D. 本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
11.设双曲线C ：22
22
1x y a b
-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，
P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2
C. 4
D. 8
A
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
5c
a =
，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121
||42
PF F PF F S P =
?=△，即12||8PF PF ?=， 12F P F P ⊥，()2
2
212||2PF PF c ∴+=，
()
2
2121224PF PF PF PF c ∴-+?=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a
A
由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，
结合5
4
58
<可得出45b <
，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出4
5
c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 由
题
意
可
知
a
、
b
、
()
0,1c ∈，
()2
2
2
528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ????
++??==?
，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b
=，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4
5
b <；
由13log 8c =，得138c =，由4
5
138
<，得4
51313
c
<，54c ∴>，可得45
c >
.
综上所述，a b c <<.故选：A. 本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能
力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥??
-≥??≤?
， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．
7
作出可行域，利用截距的几何意义解决. 不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x z
y =-
+，易知截距2
z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322
x z
y =-
+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =??=?，得1
2x y =??=?
，(1,2)A ，
所以max 31227z =?+?=.
故答案为：7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
14.262
()x x
+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
240
写出6
22x x ??+ ???二项式展开通项，即可求得常数项. 6
22x x ??+ ?
?
?
其二项式展开通项：
()
62612r
r r
r C x
x T -+??
?? ???
= 1226(2)r r r r x C x --?=?
1236(2)r r r C x -=?
当1230r
-=，解得4r =
∴6
22x x ??+ ?
?
?的展开式中常数项是：664422161516240C C ?=?=?=. 故答案为：240.
本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()n
a b +的展开通项公式
1C r n r r
r n T a
b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
2π 将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC
AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，
设内切圆的圆心为O ，
由于AM =1
22
S =
??=△ABC 设内切圆半径为r ，则：
ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111
222
AB r BC r AC r =??+??+??
()1
3322
r =?++?=
解得：2
r
，其体积：3433
V r π==.
故答案为：
. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1
sin sin x x
+
有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2
π
对称． ④f （x ）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________． ②③
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.
对于命题①，152622f π??=+=
???，152622f π??
-=--=- ???
，则66f f ππ????-≠ ? ?????
， 所以，函数
()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ?
?-=-+
=--=-+=- ?-?
?，
所以，函数
()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????
-=-+=+
? ???
????- ???
， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????
+=++=+
? ???
????+ ???
，则22f x f x ππ????
-=+ ? ?????
， 所以，函数
()f x 的图象关于直线2
x π=
对称，命题③正确；
对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1
sin 02sin f x x x
=+
<<， 命题④错误. 故答案为：②③.
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．
（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．
（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-?+.
（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=， 由数列
{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，
证明如下：
当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.
那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；
（2）由（1）可知，2
(21)2n
n n a n ?=+?
231325272(21)2(21)2n n n S n n -=?+?+?++-?++?，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=?+?+?+
+-?++?，②
由①-②得：()23162222(21)2n n n
S n +-=+?+++-+?
()21121262(21)212
n n n -+-=+?
-+??-1
(12)2
2n n +=-?-，
即1(21)22n n
S n +=-?+.
本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；
（3）根据表格中的数据完善22?列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. （1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为
21625
0.43100
++=，等级为2的概率为
510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为720
0.09100
++=；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045
350100
?+?+?=
（3）22?列联表如下：
()2
21003383722 5.820 3.84155457030
K ??-?=≈>???，
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．
（1）证明：点1C 在平面AEF 内；
（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．
（1）证明见解析；（2）
42
7
. （1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；
（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. （1）在棱1CC 上取点G ，使得11
2
C G
CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，
在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，
112C G CG =，12BF FB =，1122
33
CG CC BB BF ∴===且CG BF =，
所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF
DG =，
同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，
1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，
因此，点1C 在平面AEF 内；
（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系
1C xyz -，
则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，
()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，
设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =
，
由0
m AE m AF ??=???=??，得11110220y z x z --=??--=?取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-， 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =
，
由1100
n A E n A F ??=???=??，得22222020y z x z -+=??-+=?，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，
7
cos ,321
m n m n m n
?<>=
=
=??
设二面角1A EF A --的平面角为θ
，则cos 7θ=
，sin 7
θ∴==
. 因此，二面角1A EF A --
的正弦值为
7
. 本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<
A ，
B 分别为
C 的左、右顶点．
（1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．
（1）22
1612525
x y +=；
（2）52. （1）因为22
2
:
1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ?△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. （1）
22
2
:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，
根据离心率4c e a ====， 解得54m =
或5
4
m =-(舍)， ∴C 的方程为：22
21
4255x y ?? ???+=，
即221612525
x y +=； （2）
点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，
过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图
||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=?，
又
90PBM QBN ∠+∠=?，90BQN QBN ∠+∠=?，
∴PBM BQN ∠=∠，
根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ?△△，
22
1612525
x y +=， ∴(5,0)B ，
∴651PM BN ==-=，
设P 点为(,)P P x y ，
可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入22
1612525x y +=，
可得：21612525
P x +=，
解得：3P x =或3P x =-，
∴P 点为(3,1)或(3,1)-，
①当P 点为(3,1)时， 故
532MB =-=，
PMB BNQ ?△△，
∴||||2MB NQ ==，
可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图
(5,0)A -,(6,2)Q ，
可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，
根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22
2311110
55125
211d
?-?+=
=
=
+， 根据两点间距离公式可得：()()2
2
652055AQ =
++-=，
∴APQ 面积为：1555522
??=；
②当P 点(3,1)-时，
故
5+38MB ==，
PMB BNQ ?△△，
∴||||8MB NQ ==，
可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图
(5,0)A -,(6,8)Q ，
可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，
根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：
d =
=
=
，
根据两点间距离公式可得：
AQ =
=，
∴APQ
面积为：15
22
=， 综上所述，APQ 面积为：
5
2
. 本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1
2
))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．
（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． （1）3
4
b =-
；（2）证明见解析 （1）利用导数的几何意义得到'
1()02
f =，解方程即可；
（2）由（1）可得'
2
311()32()()422f x x x x =-
=+-，易知()f x 在11(,)22-上单调递减，在1
(,)2-∞-，
1(,)2
+∞上单调递增，且111111
(1),(),(),(1)424244
f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.
（1）因为'2
()3f x x b =+，
由题意，'1()02f =，即2
1302b ???+= ???
则34
b =-
； （2）由（1）可得3
3
()4
f x x x c =-
+， '2311
()33()()422
f x x x x =-=+-，
令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'
()0f x <，得1122
x -<<，
所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1
(,)2-∞-，1(,)2
+∞上单调递增，
且111111(1),(),(),(1)424244
f c f c f c f c -=-
-=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，
即14c >
或14c <-. 当14
c >时，111111
(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，
又3
2
(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，
由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14
c <-
时，111111
(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，
又3
2
(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，
由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '， 即()
f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，
此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2
223x t t y t t ?=--?=-+?
（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求|
|AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
（1）2）3cos sin 120ρθ
ρθ-+=
（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB
的值；
（2）由,A B 的坐标得出直线
AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍）
，则26412y =++=，即(0,12)A . 令
0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.
AB ∴==
（2）由（1）可知120
30(4)
AB k -=
=--，
则直线
AB 的方程为
3(4)y x =+，即3120x y -+=.
由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线
AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.
本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题. [选修4—5：不等式选讲]（10分） 23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；
（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c
（1）证明见解析（2）证明见解析.
（1）由2222
()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()2
22322b c b c bc a a a bc
bc
+++=?=
=
，结合
基本不等式，即可得出证明. （1）
2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，
()222
12
ab bc ca a b c ∴++=-
++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222
12
0ab bc ca a b c ∴++=-
++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，
由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，
1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc
++++∴=?==≥=.
当且仅当b c =时，取等号，
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{} 5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A.? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902 cm B. 1292 cm C. 1322cm D. 1382 cm 4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数 x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移 4π个单位 B.向左平移4π 个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12 π 个单位 5. 在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为 ),(n m f ，则 =+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 6. 已知函数则且,3)3()2()1(0,)(2 3 ≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2018年6月1日15:00绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 理科数学（全国III 卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ∈R |x 2?2x ≥0}，B ={?1 2，1}，则(C R A )∩B =（ ） A. ? B. {?1 2 } C. {1} D. {?1 2 ，1} 2．设复数z = 1 1+i ，则z ?z =（ ） A. 1 2 B. √2 2 C. 1 2i D. √2 2i 3已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（） A. 31 B. 63 C. 16 D. 127 4．设,x y 满足约束条件202020x y x y x y -≥??+-≥??--≤? ，则2 2y x ++的最大值为（ ） A. 1 B. 45 C. 12 D. 23 5．函数f(x)=sin(ωx +φ)+1（ω>0，|φ|<π2 ）的最小正周期是π，若其图象向左平移π3 个单位后得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（ ） A.关于点(?π 12?，1)对称 B.关于直线x =π 12对称 C.关于点(?π 6?， 0)对称 D.关于直线x =π 3对称 6. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为12,A A ，…14,A ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知A(?3?,?0)，B(0?,?4)，点C 在圆(x ?m)2+y 2=1上运动， 若△ABC 的面积的最小值为5 2，则实数m 的值为 A. 1 2或11 2 B. ?11 2或?1 2 C. ?1 2或11 2 D. ?11 2或1 2
2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．
9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={}，，则 ▲ . 2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数与(0≤),zxxk 它们的图象有一个横坐 标为 的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分 别为，，若它们的侧面积相等，且，则 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系中,直线被圆 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的 取值围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数) zxxk 过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形中，已知，， 4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A 2)i 25(+=z z n x y cos =)2sin(?+=x y π?<3 π ?}{n a , 12=a 4682a a a +=6a 1S 2S 1V 2V 4 921=S S 2 1 V V xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)( 1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则() (A)k 1 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2 2014年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2 63 个单位长度向右平行移动 ． ＞＜C ＞ D． ＜ 5．（5分）（2014?四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（） 7．（5分）（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角， 8．（5分）（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（） ，[[，[ 9．（5分）（2014?四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f（﹣x）=﹣f（x）； ②f（）=2f（x） ③|f（x）|≥2|x| 10．（5分）（2014?四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014?四川）复数=_________． 12．（5分）（2014?四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x） =，则f（）=_________． 13．（5分）（2014?四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73） 14．（5分）（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是_________． 15．（5分）（2014?四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ） 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ?u u u v u u u v = A . -3 B. -2 C. 2 D. 3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A. B. C. D. 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A. {0,1} B. {1,0,2}- C. {1,0,1,2}- D. {1,0,1}- 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A. 34i -+ B. 34i -- C. 34i + D. 34i - 3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤?? +≤=+??≥-? 且的最大值和最小值分别为m 和n ，则 m n -= A.5 B.6 C.7 D.8 4．若实数k 满足09k <<，则曲线 221259x y k -=-与曲线22 1259 x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60?夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系 不确定 8．设集合(){}1 2 3 4 5 = ,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 小学 初中 高中 年级 O 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科)试题及参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位，则=+-2 )11( i i A. 1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7 )2(x a x +的展开式中 31 x 的系数是84，则实数=a A.2 B. 5 4 C. 1 D. 4 2 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ??,是“?=B A ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.根据如下样本数据 A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0> 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ．1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C {|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+ 2016年普通高等学校招生全统一考试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合{} 0342<+-=x x x A ，{} 032>-=x x B ，则=B A （A ）（3-，23- ） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（2 3 -，3） （2）设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 （4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的 时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ） 21 （C ）32 （D ）4 3 （5）已知方程132 2 2 2=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3） （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若 该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数x e x y -=2 2在[]22， -的图象大致为 （A ） （B ） （C ） （D ） （8）若1>>b a ，10<
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