当前位置:文档之家› 等差数列典型例题(含答案)

等差数列典型例题(含答案)

等差数列典型例题(含答案)
等差数列典型例题(含答案)

等差数列试题精选

一、选择题:(每小题5分,计50分)

1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=则432,3,1S a a ==( ) (A )12 (B )10 (C )8 (D )6

2.已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( )

A .8

B .7

C .6

D .5

4.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d=( ) A .7 B. 6 C. 3 D. 2 5.等差数列{}n a 中,已知3

1

a 1=

,4a a 52=+,33a n =,则n 为( ) (A )48 (B )49 (C )50 (D )51

6.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若

==5

935,95S S

a a 则( ) A .1 B .-1 C .2 D .

2

1 8.已知等差数列{a n }满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )

A .α1+α101>0

B .α2+α100<0

C .α3+α99=0

D .α51=51 9.如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A )1a 8a >45a a (B )8a 1a <45a a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和

为390,则这个数列有( )

(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项 二、填空题:(每小题5分,计20分)

11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足,则

=+++1721a a a _____________.

12.已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________

13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分)

14.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a (Ⅰ)求通项n a ; (Ⅱ)若S n =242,求n.

15.已知数列{}n a 是一个等差数列,且21a =,55a =-。 (1)求{}n a 的通项n a ;(2)求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

16.设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知77=S ,

7515=S ,n T 为数列?

??

??

?n S n 的前n 项和,求n T 。

等差数列试题精选参考答案

二、填空题:(每小题5分,计20分)

11. 153 12. __15__ 13. 2

n 5n 2--

三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分) 14.解:(Ⅰ)由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组

??

?=+=+.

5019,

30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n

(Ⅱ)由242,2

)

1(1=-+

=n n S d n n na S 得方程 .24222

)

1(12=?-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n 15.解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由已知条件,得11

1

45a d a d +=??+=-?,

解出13a =,2d =-.

所以1(1)25n a a n d n =+-=-+. (Ⅱ)21(1)

42

n n n S na d n n -=+

=-+24(2)n =--. 所以2n =时,n S 取到最大值4.

16.解:设等差数列{}n a 的公差为d ,则 ()d n n na S n 12

11-+=

∵ 77=S ,7515=S ,

∴ ???=+=+, 7510515,

72171

1d a d a 即

??

?=+=+, 57,

131

1d a d a 解得 21-=a ,1=d 。

()()121

21211-+-=-+=n d n a n S n , ∵ 2

1

11=-++n S n S n n ,

∴ 数列??????n S n 是等差数列,其首项为2-,公差为21

∴ n n T n 4

94

1

2-=。

等差数列及其性质 典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中, (1) 已知81248,168S S ==,求1,a 和d (2) 已知6510,5a S ==,求8a 和8S 变式训练: 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知 102030,50a a ==. (1)求通项公式{}n a ; (2)若242n S =,求n . 热点考向二:等差数列的判定与证明. 例2:在数列{}n a 中,11a =,1114n n a a +=- ,221 n n b a = -,其中* .n N ∈ (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (2)求证:在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈,都有 1n n a a +>. (3 )设n b n c =,试问数列{n c }中是否存在三项,使它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由. 跟踪训练:已知数列{n a }中,13 5 a = ,数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈,数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- (1)求证数列{n b }是等差数列; (2)求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三:等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若120a =,并且1015S S =,求当n 取何值时,n S 最大,并求出最大值; (2)若10a <,912S S =,则该数列前多少项的和最小? 跟踪训练3:设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知 .0,0,1213123<>=S S a (I )求公差d 的取值范围; (II )指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点列(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =3 a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得 T n +都成立。求证:c 的最大值为 2 9。

等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d =2,a n =11, S n =35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7, S 15=75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45 n +3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10=4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4

6、已知等差数列{a n}中,a23+a28+2a3a8=9,且a n<0,则S10为() A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9, S6=36.则a7+a8+a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是() A.3 B.-3 C.-2 D.-1 10、设{a n}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+…+a99=______. 11、在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.

澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程,不积跬步无以至千里,不积小流无以 成江海,在学习中一定要持之以恒,相信自己,你一定可以获得成功! 高中数学 一、定义 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) 2.等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a -1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义:若a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项 看来,73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1:在等差数列{}n a 中,若m+n=p+q ,则,q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二.例题讲解。 一.基本问题 例1:在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明:

等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n .

小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1,3,5,7,10,13,16……5,8,11,14,17,20…… 1,5,9,13,17,21,23…90,80,70,60,50,……20,10 二、求等差数列3,8,13,18,……的第30项是多少 三、求等差数列8,14,20,26,……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6,9,12,15,……中第99项是几 4、求等差数列46,52,58……172共有多少项 5、求等差数列245,238,231,224,……中,105是第几项 6、求等差数列0,4,8,12,……中,第31项是几在这个数列中,2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数,最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8,第3项是13,这1个等差数列的第10项是多少 1、计算:100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会,见面的时候如果每人都和其他同学握手一次,那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4

第四章 数列 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.正解:(1)a n =3n -2; (2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n -1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解: ①当1=n 时,1 11==S a 当2≥n 时,3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合,∴34-=n a n ②当1=n 时,3 11==S a 当2≥n 时,n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。 正解:由题意:??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 =120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25-5n ,求数列{}||n a 的前n 项和; 正解: ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前n 项和的公式吗? [例7]已知:n n a -+=12lg 1024 (3010.02lg =)+∈N n (1) 问前多少项之和为

等差数列基础习题选(附有详细解答) 一.选择题(共26小题) 1.已知等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为() A.B.1C.D.﹣1 2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5,则此数列是() A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列 C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列 3.在等差数列{a n}中,a1=13,a3=12,若a n=2,则n等于() A.23 B.24 C.25 D.26 4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,则公差d=() A.一1 B.2C.3D.一2 5.两个数1与5的等差中项是() A.1B.3C.2D. 6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5 7.(2012?福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为() A.1B.2C.3D.4 8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()A.0B.8C.3D.11 A.25 B.24 C.20 D.19 A.5B.3C.﹣1 D.1 A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8<a4+a5D.a1a8=a4a5 12.(2004?福建)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=() A.1B.﹣1 C.2D. A.﹣1 B.1C.3D.7

14.在等差数列{a n}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于() A.B.C.D. 15.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为() A.6B.7C.8D.9 16.已知数列{a n}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为() A.30 B.35 C.36 D.24 17.(2012?营口)等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是A.5B.6C.5或6 D.6或7 A.58 B.88 C.143 D.176 A.﹣1 B.0C.1D.2 2 A.6B.7C.8D.9 2 A.4或5 B.5或6 C.4D.5 A.12 B.10 C.8D.4 A.230 B.140 C.115 D.95 A.5B.25 C.50 D.100 25.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于() A.1B.2C.3D.4 A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项 二.填空题(共4小题)

等差数列典型例题 类型一:直接利用等差数列的定义、公式求解 例1.(1)求等差数列3,7,11,……的第11项. (2)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是, 说明理由. 思路点拨:(1)根据所给数列的前2项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项;(2)题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项,关键是要看是否存在一正整数n 值,使得n a 等于这一数. 总结升华: 1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ,写出通项公式n a . 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三: 【变式1】求等差数列8,5,2…的第21项 【变式2】-20是不是等差数列0,7 2 -,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 【变式3】求集合* {|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数,并求这些元素的和 类型二:根据公式列方程(组)求解 例2.已知等差数列{}n a 中,1533a =,45153a =,试问217是否为此数列的项?若是,说明是第几项?若不是,说明理由。 思路点拨:由于在条件中已知两项的值(两个等式),所以在求解方法上,可以考虑运用方程思想求解基本量首项1a 和公差d ,也可以利用性质求d ,再就是考虑运用等差数列的几何意义。 总结升华: 1. 等差数列的关键是首项1a 与公差d ;五个基本量1a 、n 、d 、n a 、n S 中,已知三个基本量便可求出其余两个量; 2.列方程(组)求等差数列的首项1a 和公差d ,再求出n a 、n S ,是数列中的基本方法. 举一反三: 【变式1】等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54? 【变式2】等差数列{}n a 中, 4d =, 18n a =, 48n S =,求1a 的值. 【变式3】已知等差数列{}n a ,354a =,73 4 a =-,则15a = 。 类型三:等差数列的判断与证明 例3.已知数列{}n a 的前n 项和为2 43n S n n =+,求证:数列{}n a 为等差数列.

第四章 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相 同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ,若令A =2d ,B =a 1-2 d ,则n S =An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.

1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d __表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项 如果A =a +b 2,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d 2 n 2+????a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值.

一、等差数列选择题 1.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( ) A .24 B .23 C .17 D .16 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7 B .12 C .14 D .21 3.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤 B .6斤 C .9斤 D .12斤 4.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231 n n a n b n =+,则2121S T 的值为( ) A . 13 15 B . 2335 C . 1117 D . 49 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 6.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29 B .38 C .40 D .58 7.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+,*n N ∈,则 存在数列{}n b 和{}n c 使得( ) A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 C .· n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .· n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 8.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24 B .36 C .48 D .64 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且 77b a =,则3810b b b =( ) A .1 B .8 C .4 D .2 10.已知数列{}n a 满足25111,,25 a a a ==且 *121 2 1 0,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使

高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数? 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a 1=7,d =7,a n =98. 代入a n =a 1+(n -1)d 中,有 98=7+(n -1)·7 解得n =14 答 100以内有14个能被7整除的自然数. 【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a ,b ,b 使这五个数成等差数列,求此数列. 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知:a 1=-1,a 5=7 ∴7=-1+(5-1)d 解出d =2 所求数列为:-1,1,3,5,7. 【例3】 53122在等差数列-,-,-,-,…的相邻两项之间1 2 插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项. 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差-=,所以新数列的公差′ ,期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个? 解 设a n =3n ,b m =4m -3,n ,m ∈N 令,则=-=为使为整数,令=,a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n =4k -1(k ∈N),得{a n },{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n =12n -3(n ∈N). 则在[1000,2000]内{c n }的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3 ∴n =166-84+1=83 ∴共有83个数.

数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同 而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2 (212-+= ,若令A =2d ,B =a 1-2d ,则n S =An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。三、经典例题导讲 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式; [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=2 2 ② 12 ++=n n S n

数列 §4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2 (212-+=,若令A =2d ,B =a 1-2d ,则n S =An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式; [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n

2.3 等差数列经典题型 一、选择题 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于() A .n B .n 2 C .2n +1 D .2n -1 答案D 2.数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是() A .-2 B .-1 C .0 D .1 答案B 解析等差数列前n 项和S n 的形式为:S n =an 2+bn ,∴λ=-1. 3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5S 8,则下列结论错误的是() A .d <0 B .a 7=0 C .S 9>S 5 D .S 6与S 7均为S n 的最大值 答案C 解析由S 50.又S 6=S 7?a 7=0,所以d <0. 由S 7>S 8?a 8<0,因此,S 9-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9=2(a 7+a 8)<0即S 9

1、在等差数列{a n }中,a 1=-250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12>0,S 13<0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围; (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负的,回答下列各问:(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和31= n S n(n +1)(n +2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证 111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

高二数学 等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被 7个整除的自然数? 解?/ 100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中 a 1 =7, d = 7, a n = 98 - 代入 a n = a 〔 + (n - 1)d 中,有 98= 7+ (n - 1) ? 7 解得n = 14 答100以内有14个能被7整除的自然数. 【例2】 在—1与7之间顺次插入三个数 a , b , b 使这五个数成等差数列, 求此数列. 解 设这五个数组成的等差数列为 {a n } 由已知:a 〔 = — 1, = 7 ??? 7=— 1 + (5 — 1)d 解出 d = 2 所求数列为:—1 , 1, 3, 5, 7. 1 1 【例3】 在等差数列一5,— 3?,— 2,— ,…的相邻两项之间 插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项. 3 3 23 a n 5 (n 1) n 4 4 4 即a n =3 23 n 4 4 【例 4】 在[1000 , 2000]内能被 解 设 a n =3n , b m = 4m — 3, n , m € N 令a n = b m ,则 3n = 4m — 3 n = 一3 为使 n 为整数,令 m = 3k , 3 得n = 4k — 1(k € N),得{a n } , {b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n = 12n —3(n € N). 则在[1000 , 2000]内{c n }的项为 84 ? 12 — 3, 85 ? 12— 3,…,166 ? 12— 3 ??? n = 166 — 84+ 仁83 二共有 83 个数. 1 解原数列的公差d= 3 2 1 3 2 d =-,期通项为 2 4 3 (-5)=-,所以新数列的公差d 3整除且被 4除余1的整数共有多少个?

小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列?在等差数列的括号后面打√。 0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42…… 700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1,3,5,7,10,13,16……5,8,11,14,17,20…… 1,5,9,13,17,21,23…90,80,70,60,50,……20, 10 二、求等差数列3,8,13,18,……的第30项是多少? 三、求等差数列8,14,20,26,……302的末项是第几项? 四、一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位? 五、计算11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6,9,12,15,……中第99项是几? 4、求等差数列46,52,58……172共有多少项? 5、求等差数列245,238,231,224,……中,105是第几项? 6、求等差数列0,4,8,12,……中,第31项是几?

在这个数列中,2000是第几项? 7、从35开始往后面数18个奇数,最后一个奇数是多少? 、已知一个等差数列的第二项是8,第3项是13,这1个等差数列的第10项是多少? 1、计算:100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会,见面的时候如果每人都和其他同学握手一次,那么参加聚会的同学一共要握手多少次? 3、请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。并求出这个等差数列的和。 4、在13和29之间插三个数,使这个五个数构成一个等差数列,那么插入的三个数分别是多少? 5、如果要在30和70之间插入若干个数,使他们组成一个公差是5的等差数列,那么一共要插入多少个数? 6、学校举行乒乓球赛,每个参赛选手要和其他选手进行一场比赛,一共进行了78场,计算出一共有多少个参赛选手? 7、一把钥匙和一把锁配着,现在有10把钥匙和10把锁混着了,最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好? 8、40个连续奇数的和是1920,其中最大的一个是多少?

高考数学-等差数列的前n 项和·例题解析 【例1】 等差数列前10项的和为140,其中,项数为奇数的各项的和为125, 求其第6项. 解 依题意,得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791++++++101012()-????? 解得a 1=113,d=-22. ∴ 其通项公式为 a n =113+(n -1)·(-22)=-22n +135 ∴a 6=-22×6+135=3 【例2】 在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中, 求它们相同项的和. 解 由已知,第一个数列的通项为a n =3n -1;第二个数列的通项为b N =5N -3 若a m =b N ,则有3n -1=5N -3 即=+ n N 213 ()N - 若满足n 为正整数,必须有N =3k +1(k 为非负整数). 又2≤5N -3≤197,即1≤N ≤40,所以 N =1,4,7,…,40 n=1,6,11,…,66 ∴ 两数列相同项的和为 2+17+32+…+197=1393 【例3】 选择题:实数a ,b ,5a ,7,3b ,…,c 组成等差数列,且a +b + 5a +7+3b +…+c =2500,则a ,b ,c 的值分别为 [ ] A .1,3,5 B .1,3,7 C .1,3,99 D .1,3,9 解 C 2b =a 5a b =3a 由题设+? 又∵ 14=5a +3b , ∴ a =1,b =3 ∴首项为1,公差为2 又+ ∴+·∴=S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212

精选高中数学数列分类典型试题及答案 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 31 2n n a -= . 解:(1) 21231,314,3413a a a =∴=+==+=. (2)证明:由已知1 13--=-n n n a a ,故 )()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++ ++= , 所以证得 31 2n n a -=. 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又 112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公比为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且 212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{ }n n b b -+1是等差数列.

相关主题
相关文档 最新文档