承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：中国地质大学长城学院
参赛队员(打印并签名) ：1. 胡凯凯
2. 方铁超
3. 刘睿峥
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期： 2012 年 12 月 04日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
图书馆书籍采购方案
摘要
现代化图书馆相对于收藏，更注重使用性通过各种数学方案，建立数学模型使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益，小组根据题意将数据进行分析处理，建立三个模型得到各类图书的综合权重，以综合权重来确定应有的册数比例，给图书馆提供合理的图书采购方案．
对于问题一，利用已知的信息，采用AHP层次分析法[1]和模糊综合评价法[2]，综合考虑各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布五个指标，统计各项的综合权数，比较各项图书种类的相对重要程度；即各类书的相对重要程度的权向量分别为
对于问题二，采用和问题一类似的方法，对确定了的一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率三个指标进行处理，从而得到书籍在该校的实际使用价值的相应权重．但值得注意的是，在问题二的处理过程中，采用了熵值法对三个指标赋权，减少了主观因素对反映实际使用价值过程的影响．即各类书的实际使用价值的权向量分别为：
由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大．
对于问题三, 前两问的研究基础之上,引进读者满意度和实际效益的综合评价值．衡量综合评价值的三项指标，即图书相对重要权重、图书实际使用价值权重、读者满意度的倒数．然后，利用熵值法来可以确定综合评价实际效益中三个指标之间的相对权重，继而得到各类图书综合评价值．利用多种方法确定权重，一定程度上减少了主观因素对结果的影响．基于层次分析、模糊综合评价模型并进行改进，结果符合实际．模型三的算法逻辑清晰、易懂，运用软件，减少大量计算量．
关键词：AHP层次分析法综合权数熵值法图书分配 excel
一、问题的提出
对于现代图书馆而言，其主要目的进行了从书籍到使用的转变。除了国家图书馆等对大型图书馆之外，一般图书馆都有特定的服务群体，办馆宗旨就是要尽量好地为这些特定群体服务，提高馆藏资源的利用率、读者文献信息需求的满足率以及对图书馆服务功能的满意率．图书馆每年用于购书的经费是有限的，如何合理分配使用，以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图书馆工作的重要环节之一．
以某学校图书馆为例，不同图书对学校的重要性不尽相同，确定各类图书的相对重要性，就能够对有限的购书经费进行更高效的规划，因此以重点学科建设的需要、常用书籍和流行热门书籍、重要公共课、技能课图书(如英语、计算机类)等普遍需求确定各类图书的相对重要性；评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等，并根据该校上一年各类图书的出借情况，评价图书在该校实际使用价值是很有必要的； 通过对图书相对重要性和实用价值的评估，结合对读者满意度和实际效益的推演，得出最优化的购书分配方案。
二、问题的分析
题目一：根据题目要求，我们以各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布这五个指标来衡量各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重）．
首先，通过层次分析法[1]确定个指标之间的权重，利用方根法计算出反映各指标相对权重的权向量，并进行一致性检验；然后，确定各类图书与各指标之间的隶属度关系，最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价[2]结果，得到各类图书对于该学校图书馆的相对重要程度（即相对权重）．
题目二：与问题一类似，我们同样先给出用来评价图书在该校的实际使用价值的三个指标：一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率．然后，我们采用熵值法[3]对这三个指标进行赋权处理，从而得到指标的权向量；利用MATLAB 软件对各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化，从而得到各指标对各类图书的隶属度模糊矩阵．最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价结果，得到各类图书在该学校图书馆的实际使用价值．
题目三：在前两问的研究基础之上，我们引进两个新概念———读者满意度（（册数/内容种类数）/（出借册数/出借种类数））和实际效益的综合评价值．但由于读者满意度越大，图书所需更新的比率应该相对越小，所以用读者满意度的倒数来作为衡量综合评价值的第三指标．于是，就有了衡量综合评价值的三项指标，即图书相对重要权重、图书实际使用价值权重、读者满意度的倒数．然后，利用熵值法来可以确定综合评价实际效益中三个指标之间的相对权重，继而得到各类图书综合评价值．
在制定购书资金的分配方案时，我们又引进一个称为“席位分配”的数学模型．这个模型从每个席位对应的人数出发，定义了一个相对不公平指标，将有限的代表席位逐个分配到各个小组，结果使得相对不公平指标最小．而不公平程度以各类图书的
i i
c e （每
个综合评价值所对应的图书册数）的方差值来衡量，方差值越小，不公平程度也越小．而在图书更新过程中，还应该注意到各类书的更新率．通过资料查找，我们发现图书馆的各类图书的更新率至少应达到3%．所以，采用在满足最低更新率的基础上，进行“席
位分配”的方法，利用MATLAB软件所编程序，最终得到最优的购书资金分配方案．
三、基本假设
1、假设该校各专业学生比例大致不会变且总人数相对稳定；
2、假设所借的图书没有不归还或丢失；
3、假设每年借书人数相对稳定；
4、假设题目给的数据真实有效．
四、定义符号说明
五、模型的分析、建立
问题一：根据题意，将图书馆藏书的相对重要程度分为五个方面讨论。
第一个方面即是对重点学科的建设与否，我们将各个专业对于每个类型的使用程度看作为一类平等关系的相关量，设置相关的权重数，并通过在校人数的比较（例如经济学院、艺术学院工学院等），对于重点学科赋予多重的权重数，再将这些权重数组合，转化为百分比的形式。
第二方面即常用书籍与流行热门书籍，在此，书籍的热门度为标准定义常用书籍与流行的概念，书籍的热门度=（每类书的出借册次数*每类出借的书的种类数）/（每类书的内容种类数*每类书的内容种类数），之所以如此考虑是当针对某一类书时，借出的册数占其种类的比重以及借出的种数占其种类的比重皆影响着书籍的热门度，于是可以得到，再将其转化为百分比形式的权重数。第三方面即重要公共课，在此，可以将普通高等学校的公共课看做是重要的公共课，即将数学类，英语类，政治类三类书籍看做是重要的公共课，另一方面，这三类书籍同时也是考研必考的三类公共课，所以也在一定程度上增加了其在图书馆中的相对重要程度，所以在“A、B马克思主义、列宁主义、毛泽东思想、哲学”，“H3常用外国语”，“O数理科学和化学”三类书中给予一个单位的权重值，然后将其转化为百分比的权重值。
第四方面技能课图书，按题意将英语与计算机相关的书籍给予一个单位的赋值，而在此方面，由于高校学生对于英语等级考试以及计算机等级考试的需求，在此给予此两类书籍的单位赋值是合理的，于是“H3常用外国语”与“TP自动化技术、计算机技术”两类书就在此项的权重值上分别赋予一个单位，然后将其转化为百分比的权重值。
第五个方面是上年的出借册次分布，上年的出借册次也是很重要的参考数据，通过作借书次数与总册数的比值作为出借册次,与利用率相较,求出一个权重数,最后在以“重点学科建设的需要需求与否: 常用书籍和流行热门书籍程度:重要公共课与否:技
能课图书与否:上年的出借册次分布=3:1:3:1:2”的比例加权求和，比较其结果。
问题二：问题一类似，我们同样先给出用来评价图书在该校的实际使用价值的三个指标：一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率．然后，我们采用熵值法[3]对这三个指标进行赋权处理，从而得到指标的权向量；利用MATLAB软件对各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化，从而得到各指标对各类图书的隶属度模糊矩阵．最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价结果，得到各类图书在该学校图书馆的实际使用价值．
图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率．因而评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等多方面的指标．
问题三: 通过前两问研究，我们得到了各类图书的相对重要程度和其在该校的实际使用价值所对应的权重；上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表；图书馆
计划投入100万元用于购置各种图书.为了尽量满足利益最大化, 在前两问的研究基础之上，我们引进两个新概念———读者满意度（（册数/内容种类数）/（出借册数/出借种类数））和实际效益的综合评价值．但由于读者满意度越大，图书所需更新的比率应该相对越小，所以用读者满意度的倒数来作为衡量综合评价值的第三指标．于是，就有了衡量综合评价值的三项指标，即图书相对重要权重、图书实际使用价值权重、读者满意度的倒数．然后，利用熵值法来可以确定综合评价实际效益中三个指标之间的相对权重，继而得到各类图书综合评价值．
在制定购书资金的分配方案时，我们又引进一个称为“席位分配”的数学模型．这个模型从每个席位对应的人数出发，定义了一个相对不公平指标，将有限的代表席位逐个分配到各个小组，结果使得相对不公平指标最小．而不公平程度以各类图书的
i i
c e （每
个综合评价值所对应的图书册数）的方差值来衡量，方差值越小，不公平程度也越小．而在图书更新过程中，还应该注意到各类书的更新率．通过资料查找，我们发现图书馆的各类图书的更新率至少应达到3%．所以，采用在满足最低更新率的基础上，进行“席位分配”的方法，利用MATLAB 软件所编程序，最终得到最优的购书资金分配方案．
六、模型的求解
问题一:
相对权数
通过柱型图可以直观的比较出各类型书籍的相对重要性
问题二：
在模型二的评价中，设定了三个指标来评价图书在该校的实际使用价值，三个指标如下：出借册次（出借册数/册数）、平均借用时间（出借总时间/出借册数）、图书利用率（出借种类数/内容种类数）
采用熵值法对三个指标进行赋权处理：
1．对原始数据进行标准化处理，得到标准矩阵203()ij Y y ?=
计算公式为(1,2,,20;1,2,3)ij ij j
x y i j M
=
== 其中j M 为第j 个指标的最大值．
得到Y 矩阵
2．将各指标同度量化，计算第j 项指标下第i 类书指标值的比重
20
1
(20,13)ij
ij ij
i y p i i j y ==
≤≤≤≤∑
得到p 矩阵
3．计算第j 项指标的熵值
20
1
ln (1)j ij ij
i e k p p j n ω==-≤≤∑ 其中1ln 20
k =
则20
1
1ln (13)ln 20
j ij ij
i e p p j ω=-=
≤≤∑
．
得到e ω矩阵
4．计算第j 项指标的差异性系数1(13)j j g e j ω=-≤≤，其值越大，指标就越重要； 5．确定指标权重，第j 项指标的权数20
1
'(13)j
j j
j g j g
ω==≤≤∑．
得到'ω的一个指标权重向量
'(0.3297 0.3322 0.3382)ω=．
利用MATLAB 软件对模型二中各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化处理得到：
'R 0.04346410.06133970.05723880.021782'0.036754
0.0486470.0497270.0324120.0443670.050098
0.053674
0.032131R ??
?
= ?? ?
?
利用加权平均型合成算子，将权向量'ω与模糊关系矩阵'R 合成，得到模糊综合评
价结果向量'B ：
'''(0.04150.05330.05350.0288)B R ω==
由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大． 问题三:
应用模型二提到的熵值法，确定该三项指标在综合评价中的权重．（附录） 得到三项指标的权向量：
''( 0.3314 0.3323 0.3363)ω=
e 为：
在本模型中，以该类书的综合权重反映书的应有册数比重．
要考虑20类书的购书比例，假设有A 、B 两类书的综合评价值为1e 、2e ，该类书原有的册数为1c 、2c ，模型希望达到的是
2
21
1e c e c =，若
2
21
1e c e c <
，则认为A 书是亏
欠的，应补．推广到20类书，为了保证每类书都有一定更新率，在满足各类图书最低分配率的基础上，将剩余的经费分配给其余亏欠的图书，直到达到资金上限（200万）．具体步骤如下：
1．先满足每类书3%的更新率，判断剩余的资金M 是否大于零，若0>M ，则转步骤2；若0M <=，则转步骤4．
2．比较所有的
(1,2,320)i i
c i e = ，值最小的那类书，所对应的1+i c ，即购一
本书，然后1+=
i i c c ，i p M M -=，对更新的比值计算方差． 3．再判断M ，若0>M ，则转步骤2；若0M <=，则转步骤4
4．各类书的购书过程结束，输出每类书所购的册数，及每循环一次所得的方差．选择方差最小的所对应的购书比值（即最符合各类书应有的册数比），剩余的资金再按照册数符合综合权重的原则分配．5．输出最终各类书的所购的册数以及所花费的资金．
七、结论与误差分析
由综合评价值e矩阵可知“自动化技术、计算机技术综合权重”最大，“常用外国语”“文学”“经济”“数理科学和化学” “机械仪表工业”“建筑科学、水利工程”也较大，将模型出来的结果与题目给出的数据进行比较，可知权重大的重点类建设对象或是重点学科．而“综合性图书”权重最小，与题目给的数据也较符合．根据综合权重的柱状图与原册数的实际比例作对比
综合权重大的原有册数也多，但有存在例外．并且模型得出的权重大小波动较小，而原有册数差距较大．
分析原因：1：图书馆现有图书分布并不合理；
2：模型中设置的权重并不很合理．
八、模型的评价与改进
优点：
1、利用多种方法确定权重，一定程度上减少了主观因素对结果的影响．
2、基于层次分析、模糊综合评价模型并进行改进，结果符合实际．
3、模型三的算法逻辑清晰、易懂，运用软件，减少大量计算量．
缺点：
1、模型一中，运用层次分析法确定五个指标的权重，带有主观因素，一定程度上影响
结果．
2、多次运用模糊综合评价，算法较单一．
九、模型的推广
本题不仅可以用于优化图书的采购方案问题，也可以用于各类相似的评价问题中．模型三用到的席位分配模型，可以用以解决生活、工作中可能产生的资源分配公平与否的问题．
与此同时，本文涉及的模型可以用以评价多种属性（指标）的对象．比如药店购药，商场购物，等等一系列采购活动。
参考文献
[1]阳明盛，Mathematica基础及数学软件，大连理工出版社，2003年
[2]吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
[3]袁新生，邵大宏，郁时炼，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京，科学出版社，2007年
[4]谭永基，蔡志杰，俞文刺编著，数学模型，上海：复旦大学出版社，2004。