图像的傅里叶变换
成绩
实验论文
题目：图像的傅里叶变换
学生姓名：代朋车
学生学号：1114020207
系别：电气信息工程学院
专业：电子信息工程
年级：2011级
任课教师：沈晓波
电气信息工程学院制 2013年12月
图像的傅里叶变换
学生：代朋车 任课教师：沈晓波
电气信息工程学院 电子信息工程
1实验题目
图像的傅里叶变换
2实验对象
声音信号（自己的声音）/图像信号（自选）/自定义时域信号
3 实验任务
（1） 自行录制一段自己的语音或下载一段音乐，完成FFT 运算，具体参数自行规
定
基本要求：显示原语音信号图像、FFT 频谱，要求以上图像显示在同一个fig ，最终还原语音信号。
（2） 自行下载一幅图，格式不限，完成FFT 运算，具体参数可自行设定。 基本要求：显示原点在中心位置，画出幅度谱、相位谱能量或功率谱、虚部、实部，最终还原图像信号，要求以上图像显示在同一个fig 。
4 实验原理
4.1理论基础
连续傅里叶变换的定义：函数f(x)的一维连续傅里叶变换由下式定义： 2()()j ux F u f x e dx π∞
--∞
=
?
式中, 21J =-。 F(u)的傅里叶反变换定义为：
2()()j ux f x F u e du π∞
-∞==?
这里f(x)是实函数，它的傅里叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、
能量和相位分别表示如下： 实部 ()()cos(2)R u f x ux dx π+∞-∞
=?
虚部 ()()sin(2)I u f x ux dx π+∞
-∞
=-?
振幅 12
2
2
()()()F u R u I u ??=+?? 能量 2
22()()()()E u F u R u I u ==+ 相位 ()
()tan
()
I u u arc R u φ= 傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数f(x,y)是连续可积的且F(u,v)可积，则存在如下的傅里叶变换为：
{}2()(,)(,)(,)j ux vy F f x y F u v f x y e dxdy π∞∞
-+-∞-∞
==?
?
{}1
2()(,)(,)(,)j ux vy F
F u v f x y F u v e dudv π∞
∞
--+-∞-∞
=
=?
?
式中，u,v 是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的傅里叶频率谱、相位谱和能量谱为
傅里叶频率谱 12
2
2
(,)(,)(,)F u v R u v I u v ??=+?? 相位谱 (,)
(,)arctan
(,)
I u v u v R u v φ= 能量谱 22(,)(,)(,)E u v R u v I u v =+
离散傅里叶变换的定义：离散序列f(x)的一维离散傅里叶变换由下式定义：
()∑
-=-=
1
/2)(1
N x N
ux j e x f N
u F π
式中，N 为离散序列f(x)的长度，u=0,1,2,…,N-1。F(u)的反变换(IDFT)定义为：
∑-==1
/2)()(N u N ux j e u F x f π
式中，x=0,1,2,…,N-1。注意，正反离散傅里叶变换的唯一区别是幂的符号。离散序列f(x)和F(u)被称作一个离散傅里叶变换对，对于任意一离散序列f(x)，其傅里叶变换F(x)是唯一的；反之亦然。
这里f(x)是实函数，它的傅里叶变换F(u)通常是复函数。F(x)如式（4.15）所示。F(u)傅里叶频谱、相位谱和能量谱分别表示如下； F(u)=R(u)+jI(u) 傅里叶频谱 )()(R |F |22u I u u +=）（ 相位谱 )(/)(arctan u R u I u =）（φ
能量谱 )()(|)(|222u I u R u F u +==E ）
（ 同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为：
F(u,v)=
∑∑==+1-N 0x 1
-N 0
y vy )/N
(ux j2y)e
F(x ,1
πN
式中，u=0,1,2,…,N-1, v=0,1,2,…,N-1。二维离散傅里叶反变换定义为：
F(x,y)=
∑∑-=-=+101
/)(2),(1
N u N v N
vy ux j e
v u F N
π
式中，x=0,1,2,…,N-1, y=0,1,2,…,N-1,u,v 是频率变量。与一维情况一样，二维函数的离散傅里叶频谱、相位谱和能量谱为：
傅里叶频谱 F(u,v)=),(),(22v u I v u R +
相位谱 ),(/),(arctan ,v u R v u I v u =）（φ
能量谱 ),(),(|),(|,222v u I v u R v u F v u +==E ）
（ 4.2设计方案
4.2.1对音频进行FFT 运算 clear all; fs=8000;
x1=wavread('安妮的仙境.wav'); t=(0:length(x1)-1)/8000; subplot(1,2,1); plot(t,x1) grid on;axis tight; title('原始语音信号'); xlabel('time(s)'); ylabel('幅度'); y1=fft(x1,2048);
f=fs*(0:1023)/2048; %对信号做2048点FFT变换
subplot(1,2,2);
plot(f,abs(y1(1:1024))) %做原始语音信号的FFT频谱图grid on;axis tight;
title('原始语音信号FFT频谱')
xlabel('Hz');
ylabel('幅度');
fa=41400;
wavplay(x1,fa);
4.2.2对图像进行FFT运算
clear;
J=imread('autumn.tif');
I=rgb2gray(J);
subplot(3,3,1);
imshow(real(I));
%I=(:,:,2);
title('（1）原图');
fftI=fft2(I);
sfftI=fftshift(fftI);
RRFdp1=real(sfftI);
IIFdp1=imag(sfftI);
a=sqrt(RRFdp1.^2+IIFdp1.^2);
a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;
subplot(3,3,2);
imshow(real(a));
title('（2）幅值谱');
b=angle(fftI);
subplot(3,3,3);
imshow(real(b));
title('（3）相位谱');
theta=30;
RR1=a*cos(theta);
II1=a*sin(theta);
fftI1=RR1+i.*II1;
C=ifft2(fftI1)*255;
subplot(3,3,4);
imshow(real(C));
title('（4）幅值谱重构图像');
MM=150;
RR2=MM*cos(angle(fftI));
II2=MM*sin(angle(fftI));
fftI2=RR2+i.*II2;
D=ifft2(fftI2);
subplot(3,3,5);
imshow(real(D));
title('（5）相位谱重构图像');
x=RRFdp1;
subplot(3,3,6);
imshow(real(x));
title('（6）实部');
y=IIFdp1;
subplot(3,3,7);
imshow(real(y));
title('（7）虚部');
5 实验过程
（1）下载一曲音乐，用cool2.1软件截取一段音频，将这段音频为.wav格式并保存。打开MATLAB,把这段音频进行傅里叶变换，并获得音频的频谱，然后把频谱图以.jpg 格式保存。
（2）自选一幅图像，在MATLAB中进行图像傅里叶变换，并获得图像幅度谱、相位谱、能量或功率谱、虚部、实部。把运行后得到的图片以.jpg格式保存。
（3）建立一个文件夹，将Word文档和M文件放到文件夹中。
6 实验结果
6.1对音频进行FFT运算的结果
实验四 图像的傅立叶变换与频域滤波 一、 实验目的 1了解图像变换的意义和手段； 2熟悉傅里叶变换的基本性质； 3熟练掌握FFT 方法的应用； 4通过实验了解二维频谱的分布特点； 5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 6、掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波 7、掌握频域滤波的概念及方法 8、熟练掌握频域空间的各类滤波器 9、利用MATLAB 程序进行频域滤波 二、 实验原理 1应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2傅立叶（Fourier ）变换的定义 对于二维信号，二维Fourier 变换定义为 : ??∞ ∞ -+-==dxdy e y x f v u F y x f F vy ux j )(2),(),()},({π
二维离散傅立叶变换为： ∑ ∑-=+--==10)(21 01 ),(),(N y N y u M x u j M x MN e y x f v u F π 图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。 3利用MATLAB 软件实现数字图像傅立叶变换的程序： I=imread(‘原图像名.gif’); %读入原图像文件 imshow(I); %显示原图像 fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换 sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心 RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部 II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部 A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值 A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化 figure; %设定窗口 imshow(A); %显示原图像的频谱 域滤波分为低通滤波和高通滤波两类，对应的滤波器分别为低通滤波器和 高通滤波器。频域低通过滤的基本思想： G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式，H(u,v)是选取的一个低通过滤
傅里叶变换图像压缩
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
ＤSP实验进度汇报 组员：汪张扬、任艳波、陈雪松、谢聪、沈旭 任务分配：汪张扬由于考Ｇ,上周没有任务,沈旭负责自制二值图像的处理，陈雪松和谢聪负责其他图片的处理,任艳波负责搜集图像压缩评价的相关材料 以下为简要概括: 读入图像进行傅里叶变换和压缩 原始程序： a=imreａd(＇d:\１.jpｇ');b=figｕre;ｉｍshow（ａ);tiｔle（'原始图像'); F=fft2(ａ）; F_mｍ＝abs(Ｆ);fiｇｕrｅ；imshow(F）;tｉtle('原始幅度谱'）； Fshift＝fftｓｈiｆt（F）； Ｆ_m=abs(Fshiｆt);ｆｉguｒe;ｉｍshow(F_ｍ);ｔitle('幅度谱'); F_p＝ａnｇle(Fｓhｉfｔ);ｆｉguｒe;imshow（Ｆ_p）;title(＇相位谱＇）； Ｔ=＠fft2; B1=blkproc（a,[8 ８]，Ｔ);%将图像分块为８×8矩阵进行处理 fｉguｒe; imshｏw(ａ); ｔiｔle(＇原始图像')； mask=[１０0 ００0 00 0 10 0 0 0 0 0 ０0 1 ００0 0 ０ ０0 0 1 ００0 0 ００0 0 ０００0 0 0０0 0 1 0 0 0 0 0 000 1 0 ０0 0 0 ０0 ０1];％与该矩阵相乘去掉中间行,即高频部分 B2＝ｂlkproc(B1,[88］,'P1*x',mask)； fun=@ｉfft２； F3=blkproc(Ｂ2,[88],fun)； F＝mａt2graｙ(F３); fｉgure; iｍshow(F); ｔitｌe('压缩87．５%的图像'); 刚开始的原始图像:
傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z 变换的意义来源:于理扬的日志 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中, 傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域, 傅里叶变换具有多种不同的变体形式, 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加, 从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割, 每一部分只是一个时间点对应一个信号值, 一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后, 其实还是个叠加问题, 只不过是从频率的角度去叠加, 只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号, 但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值（或频率值,我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小, 那么相位呢, 它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位（频域与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
Matlab数字图像处理实验指导 实验目的： 通过实验，深入理解和掌握图像处理的基本技术，提高动手实践能力。 实验环境： Matlab变成 实验一图像的几何变换 实验内容：设计一个程序，能够实现图像的各种几何变换。 实验要求：读入图像，打开图像，实现图像的平移变换、比例缩放、转置变换、镜像变换、旋转变换等操作。 实验原理： 图像几何变换又称为图像空间变换，它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置。学习几何变换的关键就是要确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。 几何变换不改变图像的像素值，只是在图像平面上进行像素的重新安排。一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所需的运算，如平移、镜像和旋转等，需要用它来表示输出图像与输入图像之间的（像素）映射关系；此外，还需要使用灰度插值算法，因为按照这种变换关系进行计算，输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。 设原图像f(x0,y0)经过几何变换产生的目标图像为g(x1,y1),则该空间变换（映射）关系可表示为： x1=s(x0,y0) y1=t(x0,y0) 其中，s(x0,y0)和t(x0,y0)为由f(x0,y0)到g(x1,y1)的坐标换变换函数。 一、图像平移 图像平移就是将图像中所有的点按照指定的平移量水平或者垂直移动。
二、图像镜像 镜像变换又分为水平镜像和垂直镜像。水平镜像即将图像左半部分和右半部分以图像竖直中轴线为中心轴进行对换；而竖直镜像则是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心轴进行对换。 三、图像转置 图像转置是将图像像素的x坐标和y坐标呼唤。图像的大小会随之改变——高度和宽度将呼唤。
傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量
数字图像的傅里叶变换 一. 课程设计目的 （1）了解图像变换的意义和手段 （2）熟悉傅里叶变换的基本性质 （3）热练掌握FFT的方法反应用 （4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换 二.课程设计要求 （1）熟悉并掌握傅立叶变换 （2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用 （3）通过实验了解二维频谱的分布特点 （4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真 三.设计思路 1.相关知识原理 （1）应用傅里叶变换进行数字图像处理 数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。 20世纪20年代，图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。 傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特
实验五图像的傅立叶变换和边缘提取 兰州大学信息学院 0级通信工程一班赵军伟 第一部分图像的傅立叶变换 一、实验目的 1.了解图像变换的意义和手段； 2. 熟悉傅里叶变换的基本性质； 3. 熟练掌握FFT的方法及应用； 4. 通过实验了解二维频谱的分布特点； 5. 通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。 二、实验原理 1．应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。b5E2RGbCAP 2．傅立叶 对于二维信号，二维Fourier变换定义为： 二维离散傅立叶变换为： 三、实验步骤 1.打开计算机，安装和启动MATLAB程序；程序组中“work”文件夹中应有待处理的图像文件； 2.利用MatLab工具箱中的函数编制FFT频谱显示的函数。 3. a>调入、显示三张不同的图像； b>对这三幅图像做FFT并利用自编的函数显示其频谱。 c>讨论不同的图像内容与FFT频谱之间的对应关系。 4．记录和整理实验报告。 四、实验仪器 1计算机， MATLAB软件； 3移动式存储器<软盘、U盘等）。 4记录用的笔、纸。 五、实验结果及程序 1.程序 I1=imread('F:\MATLAB学习\实验\picture\LENA.TIF'>。 %读入原图像文件p1EanqFDPw I2=imread('F:\MATLAB学习\实验\picture\cell.tif'>。 %读入原图像文件DXDiTa9E3d I3=imread('cameraman.tif'>。 %读入原图像文件 subplot(3,2,1>。imshow(I1>。 %显示原图像 fftI1=fft2(I1>。 %二维离散傅立叶变换sfftI1=fftshift(fftI1>。 %直流分量移到频谱中心 RR1=real(sfftI1>。 %取傅立叶变换的实部II1=imag(sfftI1>。 %取傅立叶变换的虚部A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2>。 %计算频谱幅值 A1=(A1-min(min(A1>>>/(max(max(A1>>-min(min(A1>>>*225。%归一化RTCrpUDGiT subplot(3,2,2>。imshow(A1>。 %显示原图像的频谱 subplot(3,2,3>。imshow(I2>。 %显示原图像 fftI2=fft2(I2>。 %二维离散傅立叶变换sfftI2=fftshift(fftI2>。 %直流分量移到频谱中心RR2=real(sfftI2>。 %取傅立叶变换的实部II2=imag(sfftI2>。 %取傅立叶变换的虚部A2=sqrt(RR2.^2+II2.^2>。 %计算频谱幅值 图像的傅里叶变换 成绩 实验论文 题目：图像的傅里叶变换 学生姓名：代朋车 学生学号：1114020207 系别：电气信息工程学院 专业：电子信息工程 年级：2011级 任课教师：沈晓波 电气信息工程学院制 2013年12月 图像的傅里叶变换 学生：代朋车 任课教师：沈晓波 电气信息工程学院 电子信息工程 1实验题目 图像的傅里叶变换 2实验对象 声音信号（自己的声音）/图像信号（自选）/自定义时域信号 3 实验任务 （1） 自行录制一段自己的语音或下载一段音乐，完成FFT 运算，具体参数自行规 定 基本要求：显示原语音信号图像、FFT 频谱，要求以上图像显示在同一个fig ，最终还原语音信号。 （2） 自行下载一幅图，格式不限，完成FFT 运算，具体参数可自行设定。 基本要求：显示原点在中心位置，画出幅度谱、相位谱能量或功率谱、虚部、实部，最终还原图像信号，要求以上图像显示在同一个fig 。 4 实验原理 4.1理论基础 连续傅里叶变换的定义：函数f(x)的一维连续傅里叶变换由下式定义： 2()()j ux F u f x e dx π∞ --∞=? 式中, 21J =-。 F(u)的傅里叶反变换定义为： 2()()j ux f x F u e du π∞ -∞==? 这里f(x)是实函数，它的傅里叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、 能量和相位分别表示如下： 所示。F(u)傅里叶频谱、相位谱和能量谱分别表示如下； F(u)=R(u)+jI(u) 傅里叶频谱 )()(R |F |22u I u u +=）（ 相位谱 )(/)(arctan u R u I u =）（φ 能量谱 )()(|)(|222u I u R u F u +==E ） （ 同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为： F(u,v)=∑∑==+1-N 0x 1-N 0y vy )/N (ux j2y)e F(x ,1πN 式中，u=0,1,2,…,N-1, v=0,1,2,…,N-1。二维离散傅里叶反变换定义为： F(x,y)=∑∑-=-=+101 0/)(2),(1N u N v N vy ux j e v u F N π 式中，x=0,1,2,…,N-1, y=0,1,2,…,N-1,u,v 是频率变量。与一维情况一样，二维函数的离散傅里叶频谱、相位谱和能量谱为： 傅里叶频谱 F(u,v)=),(),(22v u I v u R + 相位谱 ),(/),(arctan ,v u R v u I v u =）（φ 能量谱 ),(),(|),(|,222v u I v u R v u F v u +==E ） （ 4.2设计方案 4.2.1对音频进行FFT 运算 clear all; fs=8000; x1=wavread('安妮的仙境.wav'); t=(0:length(x1)-1)/8000; subplot(1,2,1); plot(t,x1) grid on;axis tight; title('原始语音信号'); xlabel('time(s)'); ylabel('幅度'); y1=fft(x1,2048); f=fs*(0:1023)/2048; %对信号做2048点FFT 变换 subplot(1,2,2); 图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。 实验三 图像的傅里叶变换 一、 实验目的 1.了解图像变换的意义和手段； 2.掌握FFT 变换方法及应用； 3.通过实验了解二维频谱的分布特点； 4.通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 二、 实验原理 1 应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、 电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决 大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在 学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2 傅立叶（Fourier ）变换的定义 对于二维信号，二维Fourier 变换定义为： 2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞ -+-∞-∞= ?? 逆变换： 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞ +-∞-∞= ?? 二维离散傅立叶变换为： 11 2()00 1(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换： 11 2()00 1(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑ 三、 实验步骤及结果 步骤： 1将图像内容读入内存； 2用Fourier 变换算法，对图像作二维Fourier 变换； 3将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示； 4用Fourier 系数的幅度进行Fourier 反变换； 5用Fourier系数的相位进行Fourier反变换； 6比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。 7记录和整理实验报告。 结果： 四、程序源代码 clear; I=imread('1.gif'); I=rgb2gray(I); subplot(3,3,1); imshow(I); title('1.gif'); E=fft2(double(I)); sfftI=fftshift(E); %正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称RR=real(sfftI); II=imag(sfftI); A=sqrt(RR.^2+II.^2); A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225 ; subplot(3,3,2); 例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。 解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式 ()2 04cos T km A f t k tdt T ω= ? 计算A km 。 对图上的波形图可以写出 ()04 42 T A t f t T T A t ? 图9.3 方波信号 图9.4 三角波信号 例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。 解 视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。由于 ()404 4242 A T t t T f t A T T t A t T ???=??-+??≤≤≤≤ 故有 2044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω??= -- ??? ?? 参照积分公式 211 sin sin cos x axdx ax x ax a a = -? 可算出 22 22 81,5,9,83,7,11km A k k B A k k ππ?=??=??-=??L L 于是所欲求的傅里叶级数 ()2222 8111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ?? = -+-+ ??? L 。 例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。 图9.5 例9.3用图 傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞ 图像的傅立叶变换数字图像处理实验报告 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 计算机与信息工程学院验证性实验报告 专业：通信工程 年级/班级：2011级 2013—2014学年第一学期 课程名称 数字图像处理 指导教师 段新涛 本组成员 学号姓名 实验地点 计科楼111 实验时间 周五5-6节 项目名称 图像的傅立叶变换 实验类型 验证性 一、实验目的 1了解图像变换的意义和手段； 2熟悉傅立叶变换的基本性质； 3熟练掌握FFT 变换方法及应用； 4通过实验了解二维频谱的分布特点； 5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 6评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。 二、实验原理 1 应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2 傅立叶（Fourier ）变换的定义 对于二维信号，二维Fourier 变换定义为： 2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞ -+-∞-∞= ?? 逆变换： 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞ +-∞-∞= ?? 二维离散傅立叶变换为： 112()00 1(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换： 112()001(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑ 傅立叶变换在图像处理中的作用 摘要：本文首先简述了傅立叶变换的原理及应用领域，介绍了傅立叶变换在数字图象处理中的重要地位和应用,分析了其变换的数学原理和方法，特别着重的是二维傅立叶变换和FFT(快速傅立叶变换)的原理，然后介绍了Matlab 软件，分析了Matlab 的好处，及其在数字图像处理和傅立叶变换计算上的使用，编出程序实现了其变换功能，给出了应用于图象压缩和图像去噪的实例。 关键词： 图象处理 傅立叶变换 Matlab 正文 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。傅立叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。因此，对涉及数字图像处理的工作者，深入研究和掌握傅立叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。把傅立叶变换的理论通其物理解释相结合，将有助于解决大多数图像处理问题。傅里叶变换可分为连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换。 3.1.1 连续傅里叶变换 函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件，即： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积。 （1）一维连续傅里叶变换及反变换： 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为： dx e x f u F ux j ? ∞∞--=π2)()( 其中12-=j ，x 称为时域变量，u 为频率变量。 当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x) du e u F x f ux j ?∞ ∞-=π2)()( （2）二维连续傅里叶变换及反变换： 二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v) 定义为： 5.图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方而，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分呈：，通过低通滤波器来滤除髙频一一噪声；边缘也是图像的髙频分量，可以通过添加髙频分量来增强原始图像的边缘； 2?图像分割Z边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来汁算纹理特征 英他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据：常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换：傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一左存在。冈萨雷斯版＜图像处理＞里而的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决泄。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时, 讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里而）；时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以』wt,可以使整个频谱搬移W U这个也叫调制左理，通讯里而信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）: 卷积泄理：时域卷积等于频域乘枳：时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里而这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快：频率越小说明原始信号越平缓。当频率为O时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分疑解释信号的突变部分，而低频分量决左信号的整体形象。 在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度, 也就是图 5. 图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频 图像处理与傅里叶变换 1背景 傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。 1.1离散傅立叶变换 图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。 对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。则其离散傅立叶变换定义可表示为： 式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为 式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1 在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ 影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） ) 1(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+-= M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π) 2(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+= M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π) ,(),(),(2 2 v u I v u R v u F +=[] ),(/),(),(v u R v u I arctg v u =?) ,(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +== 1.2快速傅里叶变化 可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换 正变化 逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。 正变换 逆变换 由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。 按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F ∑ ∑∑∑ -=-=-=-=? ???? ? ?????? ? = ?? ???? +=1 1 0101 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑ -=?? ? ???-= 1 2exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑ ∑ ∑∑ -=-=-=-=? ???? ? -?????? ? -= ?? ???? +-= 1 1 101 )(2exp ),(1 )( 2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f N N vy ux i y x f NN v u F πππ∑ -=?? ????= 1 2exp )(1)(N u N ux i u F N x f π 一、 实验目的 1.了解图像变换的意义和手段； 2.掌握FFT 变换方法及应用； 3.通过实验了解二维频谱的分布特点； 4.通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 二、 实验原理 1 应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、 电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决 大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在 学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2 傅立叶（Fourier ）变换的定义 对于二维信号，二维Fourier 变换定义为： 2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞ -+-∞-∞= ?? 逆变换： 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞ +-∞-∞= ?? 二维离散傅立叶变换为： 11 2()00 1(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换： 11 2()00 1(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑ 三、 实验步骤及结果 步骤： 1将图像内容读入内存； 2用Fourier 变换算法，对图像作二维Fourier 变换； 3将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示； 4用Fourier 系数的幅度进行Fourier 反变换； 5用Fourier 系数的相位进行Fourier 反变换； 6比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。 7记录和整理实验报告。 结果： 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。 傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。图像的傅里叶变换
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