一、填空题。
1、任意三角形的内角和是度；一个直角三角形的两个锐角的和是度。
2、一个三角形的两个角分别是30度和40度，那么这个三角形是三角形。
3、等边三角形又叫（）三角形，它的三条边都（），三个角也（），每个角都是（）度。
4、三角形最多有（）个锐角，最多有（）个直角，最多有（）个钝角。
5、等腰三角形两条（）相等，有两个角（），相等的两个角叫做它的底角。
6、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是（）。
7、锐角三角形有（）角是锐角；直角三角形有（）个角是直角；钝角三角形有（）个角是钝角。
8、三角形任意两边的和（）第三边。
9、两个完全相同的直角三角形，可以拼成（）形。
10、一个等腰三角形的顶角是100°，它的一个底角是（）。
11、三角形具有（）的特性，平行四边形具有（）的特性。
12、一个三角形的两条边分别是8厘米和5厘米，第三条边必须比（）厘米大，比（）厘米小。
13、一个三角形中至少有（）个角是锐角。
14、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（），这条对边叫做三角形的（）。一个三角形最多可以画（）条高。
15、在一个三角形中，其中两个内角的和是89°，按角分，这个三角形是（）三角形。
16、一等腰三角形的一边长8厘米，另一边长10厘米，它的周长可能是（）厘米，或（）厘米。
17、一个等边三角形的周长是48厘米，那么它的每条边长是（）厘米，每个角是（）。
18、我们的红领巾按边分是（）三角形，其中一个底角是30°，它的顶角是（）。
19、拼成一个等腰梯形至少要用（）个相同的等边三角形。
20、无论什么形状的图形，没有重叠、没有空隙地铺在平面上就是（）。
二、判断题。
1、由三条线段一定可以组成三角形（）
2、最少要用3
（）
3、三角形两个内角和是115度，另一个角一定是75度。（）
4、等腰三角形一定是锐角的三角形。（）
5、等腰三角形可以是直角三角形。（）
6、有一个锐角的三角形是锐角的三角形。（）
7、有一个钝角的三角形是钝角三角形。（）
8、一个三角形里有两个锐角，必定是锐角三角形。（）9、一个三角形里至少有两个锐角。（）
10、所有的等腰三角形都是锐角三角形。（） 11、等腰三角形都是等边三角形。（）
12、所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形。（）
13、由三条直线围成的图形叫做三角形。（）14、在同一个三角形中，只能有一个角是钝角。（）
15、在一个三角形中，不可能有两个或两个以上的直角。（）
16、一个三角形中，至少有两个角是钝角。（）17、有两个角相等的三角形是等腰三角形。（）
18、所有三角形内角和都相等。（）19、等腰三角形不可能是钝角三角形。（）
20、把任意一个三角形放在放大镜下，就成了钝角三角形。（）
21、等边三角形的高不一定相等。（）22、等腰三角形的底角不可能是钝角。（）
23、用4厘米、6厘米、10厘米的三根小棒能摆成一个三角形。（）
24、等腰直角三角形的底角一定是45°。（）25、两个相同三角形可以拼成一个平行四边形。（）
三、选择题。
1、等腰三角形的一个底角是70度，那么顶角是（）。A、110度 B、40度 C、55度
2、所有的等边三角形都是（） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形
3、平行四边形的内角和是（） A、180度 B、270度 C、360度
4、任何一个三角形至少有（）个锐角。A．1 B．2 C．3
5、一个等腰三角形的顶角是900。这个三角形是（）。
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6、钝角三角形的内角和（ ）锐角三角形的内角和 A 、大于 B 、等于 C 、小于
7、在一个直角三角形中，最长的一条边（ ）于两条直角边的和。A 、大于 B 、等于 C 、小于
8、任意一个三角形，可以画出（ ）条高。 A 、1 B 、2 C 、3
9、在等腰三角形中一个角是20°，另两个角不可能是（ ）
A 、20°和140°
B 、20°和70°
C 、80°和80°
10、一个三角形，如果它的两个内角度数之和小于第三个内角是（ ）。
A 、锐角
B 、直角
C 、钝角
11、一个三角形的三个内角都不小于60°，这个三角形一定是（ ）。
A 、钝角
B 、直角
C 、等边
四、求出下面图形中的角的度数。
五、画出下面三角形的三条边对应的高。
1、画出下面三角形底边上的高。
六、解决问题。
1、在一个三角形中，∠１是７０°，∠２比∠１大１０°，∠３是多少度?
底
底
2、一个等腰三角形，它的顶角是５０°，求它的底角？
3、等腰三角形的周长是９０厘米，底边长２４厘米，这个三角形的腰长是多少厘米？
4、一个三角形的三个内角分别是∠１、∠２和∠３，并且３４°＋∠１＝８０°，
∠1＋∠2＝102°，求∠１、∠２和∠３的度数。
5、在一个三角形中，笑笑量得其中的两条边分别是5厘米和7厘米，请想一想第三条边最短应该是多少？最长呢？（取整厘米数。）
专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，
把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情 况： 当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况： 根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0 特殊三角形复习 课标要求 （1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。 （2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 课标分析 从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述 （1）、知识与技能 掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。 (2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决 尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。 （4）、情感与态度 感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 教学目标： 1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴； 人教版小学五年级数学《三角形》说课稿 “三角形”是本册教材的重点内容,属于第二学段“空间与图形”领域。学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习,对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中分辨出三角形。本单元的教学是要在上述内容基础上,进一步丰富学生对三角形的认识和理解。因此,我认为本册对三角形认识的教学目标与第一学段课标中所规定的“获得对简单平面图形的直观经验”有所不同,落实目标的策略也应有所不同,应“使学生通过观察、操作、推理等手段”,逐步认识三角形。在本单元的教学中,在落实“了解三角形任意两边的和大于第三边”、“三角形内角和是180°”等内容的具体目标时,不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动,而且要积极引导学生对活动过程和结果进行判断分析、推理思考和抽象概括,让学生在学习知识的过程中提高能力。 二、单元结构分析及教学目标的定位 下面我就以知识树的形式,将本单元的内容结构及各知识点的教学目标向大家做以介绍(幻灯片演示说明):这一单元包括两个知识块:三角形的认识和图形的拼组。三角形的认识分为三角形的特性、三角形的分类、三角形内角和三方面内容,也是本单元的重点教学内容。三角形的特性这一内容要求学生掌握三个知识点:一是结合生活情境和具体的操作活动,使学生抽象概括出三角形的特征,认识三角形各部分的名称及底和高的含义,学会用字母表示三角形。二是联系生活实际,让学生了解三角形的稳定性及其应用;三是创设具体的问题情景,使学生在积极的探索活动中发现“三角形任意两边的和大于第三边”。三角形的分类这一内容主要是 让学生在给三角形分类的探索活动中,学会根据角和边的特点将三角形类,能够发现和认识这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。三角形内角和这部分内容主要是通过一系列的实验、操作活动,让学生推理归纳出三角形的内角和是180°。 在系统学习了三角形的知识后,教材安排了“图形的拼组”内容。它主要包括两部分内容:一是用三角形拼四边形,目的是通过拼、摆、画等活动,让学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系与区别,感受数学的转化思想。另一个内容是用三角形拼组图案,目的是让学生在图形的拼组、设计活动中进一步发展空间观念和动手操作、探索能力。 三、教学策略的选择 为了突出本单元的教学重点,突破难点,我在教学中选择和运用了运用如下教学策略: (一)关注学生的已有经验,强调数学知识与现实生活的密切联系。教学中我注意从学生已有的经验出发,创设丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手实验活动,以帮助学生理解数学概念,构建数学知识。例如:对三角形稳定性的教学,我充分利用教材所提供的三角形在生活中应用的直观图,让学生联系生活思考:“哪儿有三角形?它们有什么作用?”然后让学生亲自做一个实验感受三角形的稳定性。这不仅是认识几何形体特征的需要,而且有助于学生切实感受到数学对于解决生活实际问题的价值。 三角形面积教学重难点及突破方法策略 教学重点：探索并掌握三角形面积公式，能利用公式计算三角形面积，解决相关的实际问题。 教学难点：把三角形转化为已经学过的图形面积进行探索三角形的面积公式 突破重难点的策略： 一、动手操作，发现规律 在课堂开始我就以游戏的方式展开，让学生在准备好的长方形，正方形，平行四边形上折一条折痕，使得分成的两个图形完全一样。这样学生有的分成了两个长方形，有的是梯形，最后我把分成三角形的贴在了黑板上，并且告诉学生一些数据，让学生求出长方形或正方形或平行四边形的面积，再进一步除以2得出三角形的面积。即做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。在接下来的教学中，我又让学生动手操作，分别将三组中两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，并比较每个三角形与拼成的平行四边形各部分间的关系，同时在操作中向学生渗透旋转、平移的方法，让学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。在这个过程中，学生们表现出了浓厚的兴趣，个个都很积极、很投入地动手操作，极大调动了学生思维活动。学生真正成为了学习的主体。但课堂上学生活动的时间不够多，再就是学生观察对比三角 形和拼成的平行四边形底和高的关系时，表达的不够完善，这是本课中的缺憾。 二、引导学生发现问题、思考问题，培养合作精神 在这节课中，平行四边形面积公式与三角形面积公式有何不同，是值得引导学生去发现的问题，只有发现了不同之处，才能进一步去思考、去探索研究三角形面积公式中的“除以2”是怎么来的？也才能在今后的计算中省去不必要的麻烦。在探讨这个问题时，也可以采用小组讨论的方式，在讨论中发现问题，解决问题，决不能包办代替。小组讨论既可培养学生的合作精神，又可活跃课堂气氛。 三、应用公式解决生活中的问题 新课程非常重视学生在活动中的体验，学会运用学过的知识解决生活中的实际问题是新课改过程中的一个重要内容，尤其强调学生身临其境的体验。为了让学生运用所学三角形面积公式解决实际问题，我补充了一些生活中的实例，比如：求红领巾的面积，求三角形交通标志牌的面积等等，学生尝到了应用知识的快乐，课堂气氛很活跃。 此外，在这节课的教学过程中，我发现了自己平时教学方式上的不足。例如学生在回答问题时，我有时操之过急，没给足够的时间，就自己说出来了。还有就是对于重难点的突破有点儿急于求成，没有抓住课堂生成的资源给学生及时的引导，课堂逊色不少，同时使学生在后面的练习题中解决问题显得吃力 21 D C B A D C B A 学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=1 2BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=1 2∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； 课 题 中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形 教学内容 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _A 三角形的面积》教学设计 【教材分析】三角形面积的计算是学生在充分认识了三角形的特征以及掌握了长方形、正方形、平行四边形面积的计算的基础上进行学习的, 同时它又是学生以后学习梯形、组合图形的面积计算的基础。学生只有领会了基本的数学思想和方法，才能有效地应用知识解决问题, 形成能力.本节课再次利用转化的思想方法引领学生探索三角形面积的计算公式。因此，转化方法的习得和转化思想的应用仍然是本节课教学的重要目标。教材的编排是为学生提供两个完全一样的三角形，让他们尝试拼成已学会面积计算的图形进行面积公式的推导。 【教学目标】 知识与技能目标探索三角形面积的计算方法，运用所学知识解决简单的实际问题. 过程与方法目标： 1．通过观察、想象、验证，经历三角形面积公式的推导过程，进一步领会转化的数学思想,积累数学经验，发展学生的空间观念. 2．通过课堂自主探究和合作交流，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。 情感与态度目标：激发学生学习兴趣，发展自主探索、合作交流能力，感受数学知识的内在联系的逻辑美，感受数学与生活的密切联系。 【教学重点】探索并掌握三角形的面积计算方法，能正确应用公式解决的实际问题. 【教学难点】三角形面积公式的推导过程. 【教学过程】 一、创设情境揭示课题。 1.上周我们班得到了流动红旗，学校要制作流动红旗，各班做这样一面流动红旗要用多少平方厘米的布？转化为数学问题就是求什么？（流动红旗的面积，也就是求三角形的面积.） 2.知道了它的标准尺寸，怎么求出它的面积。 学生猜测一下（28 × 25 14 × 25） 这节课我们就一起学习研究这个问题。（板书:三角形的面积。） 二、探索交流归纳新知 1 ?猜测 师：同学们你想用什么方法来求出这个三角形的面积？学生独立思考汇报。 ①数方格（说一说数方格的方法，把三角形描在长是一厘米的方格纸上，数出有多少个方格，面积就是多少平方厘米.学生汇报完后动手数一数.事先准备三角形） ②转化为已学过的图形，求面积。 师:评价一下,这两种方法你在生活中更喜欢哪种，为什么？（流动红旗面积大。用数方格的方法不容易得到其面积，用计算方法:方便快捷。）师：现在就请大家利用你手中的三角形，开动脑筋，动手探索一下，通过拼一拼你能把三角转化哪些我们学过的图形来求出三角形的面积。 活动要求：(1)独立动手自主探索 思考：拼成的图形与原来的三角形的面积有什么关系 （2）小组交流:向同学介绍你的方法，注意说清你是怎么拼的， 转化前后的图形面积有什么变化? 2?汇报:学生汇报(请同学上前面汇报一下你们小组的探索方法) 生1：我把两个完全相同的锐角（钝角、直角)三角形拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。 （师强调为什么要两个完全相同的三角形) 生2：可以把这个数学添补成长方形，这个三角形的面积是长方形面积的一 生3:通过剪一剪，拼一拼，把这个三角形转化为平行四边形，只要算出这个平行四边形的面积就是原来三角形的面积. 特殊三角形 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、等腰三角形 2、等边三角形 3、直角三角形 重难点易错点解析 等腰三角形 题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C． 等边三角形 题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE． 直角三角形 题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF． 请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF． 金题精讲 题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D． 求证：BD=2CD． 题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长． 题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形． 思维拓展 题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交． 学习提醒 重点： 等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形 30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理 特殊三角形 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一：证明略 点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 题二：证明略 点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 题三：证明略 点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理 金题精讲 题一：证明略 题三：证明略 思维拓展 题一：证明略 五年级上册数学《三角形》教案 五年级上册数学《三角形》教案 一、教学目标 知识与技能： 验证三角形内角和等于180°，并应用这一知识解 决简单的数学问题。 过程与方法： 1.通过“猜一猜，量一量，算一算，折一折”的小组活动的方法探索发现验证三角形的内角和等于180°，培养动手操作能力，并能应用这一知识解决一些简单问题。 2.通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验，渗透“转化”的数学思想。 情感、态度、价值观： 通过数学活动使学生体会数学学科的严谨性，渗透“转化”的数学思想，培养学习数学的兴趣，获得成功 的体验增强自信心。 二、学情分析 教材分析: 《三角形内角和》是北京版数学五年级上册第三单元中的一个教学内容,这节课是学生认识了三角形的基础上进行学习的,它既是知识的延续,又是进一步学习各种特 殊三角形和其他图形的基础。三角形的内角和是180° 是三角形的一个重要性质,学好它有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系,也是进一步学习的基础。教材呈现这个内容时不但重视体现知识形成的过程,而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间,提供了丰富的动手实践、讨论交流等活动,在动手操作探索中发现数学规律,在实践活动中感悟数学思维方法提升数学的素养与能力,为教师灵活的组织教学提供了清晰的思路。因此在本节课的教学中,我选择了“猜测——验证”这种数学思维方法真正体现“新课标”的理念。 学生分析: 学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验,也具备了一些相应的三角形知识和技能,这为感受、理解、抽象“三角形的内角和”的概念,打下了坚实的基础。 1.学生已具备的基本知识与技能。五年级学生已具 备了一定的学习能力,学生已经掌握了三角形的概念、分类,熟悉了钝角、直角、锐角、平角以及三角形的特性等这些基础的知识,会用工具量角、画角,具备了探索三角 形内角和的知识与技能基础。从能力方面,已具备了初步的动手操作能力和探究能力。所以本节课中,应多为学生创自主学习、合作学习的机会,让他们主动参与、勤于动手,从而乐于探究。 《三角形》重难点突破 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。在此基础上本单元安排了三小节内容：三角形的特性、三角形的分类和三角形的内角和。使学生认识三角形的特性；会根据三角形角的特点给三角形分类，认识直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形和等边三角形；知道三角形任意两边的和大于第三边；三角形的内角和是180°；在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，在边数增加变化中，感悟数学研究方法，发现多边形的内角和规律，渗透合情推理。通过教学使学生获得有关三角形的系统知识，促进空间观念的发展。 一、概括三角形的含义，认识三角形各部分名称，会画三角形的高 突破建议： 1．在画三角形、说画法、辨析交流的过程中，理解“围成”的含义，概括三角形的含义，培养学生的观察能力和语言表达能力。 2．在说一说、指一指、写一写三角形各部分名称的活动中，认识三角形的基本特征，建立三角形表象。 3．在动作操作尝试画高、辨析交流、学生演示和再尝试的过程中，学会画三角形的高。画三角形的高，实际上与学生已学过的过直线外一点画已知直线的垂线段一样。因此，在学习画高前应先使学生清楚什么是三角形的底，什么是三角形的高。这些可以由学生阅读教材自主学习。在此基础上可以安排两次画高的活动。 第一次：学生尝试画高后，展示出他们的作品，并引导学生辨析，在辨析交流中，与已学过的旧知建立联系，掌握画高的方法。 第二次：画出三角形所有的高，使学生认识到任意三角形都有3条高。 在尝试中，学生可以画出锐角三角形的三条高，而直角三角形和钝角三角形部分学生可能只能画出在三角形内的那一条高，可以通过教师的讲解和演示，使学生知道到这两种三角形也有三条高，进而总结出任意三角形都有3条高。 二、发现三角形稳定性，了解三角形稳定性的本质 突破建议： 1．从学生生活常见的物品引入，引到学生自己提出问题：为什么有些地方要用三角形，而有些地方要用四边形？激发学生的探究欲望。培养学生“发现问题——提出问题”的能力。 2．在用小棒摆三角形、四边形的过程中，使学生体会到三角形的3条边确定了，其相应的形状也就唯一确定了，了解三角形稳定性的数学本质。 3．在摆小棒后，安排学生拉动三角形框架和四边形框架，学生发现：用三根小棒摆三角形时，只能摆出一种，做成三角形框架后，拉动框架，也没有改变形状，还是原来的三角形，说明三角形具有稳定性；而当用四根小棒摆四边形时，两条邻边的夹角稍有变化，就是一个新的四边形，做成框架后，拉动框架，也会出现不同的四边形，说明四边形具有不稳定性。在操作中，引导学生将摆出的三角形、四边形分别与三角形框架和四边形框架建立联系，并在三角形与四边形的对比中，进一步感受三角形具有稳定性。 4．应用三角形稳定性的知识解决现实生活中的问题，在巩固所学知识的同时体会数学的价值。 三、体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离，知道三角形两边之和大于第三边 突破建议： 三角形易错点突破和重难点析解 易错点突破 1．运用三角形三边关系性质致误 例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）. A ．10厘米 B ．14厘米 C ．10厘米或14厘米 D ．无法确定 错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形. 正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B. 2．应用判定方法致误 例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由. 错解：∠1=∠2. 理由如下： 在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2. 分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2. 3．不理解“对应”致误 例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 错解：这两个三角形全等. 图3 图4 学习-----好资料 特殊三角形的定义、性质及判定 等腰三角形 1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3.等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4.等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5.等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6.含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60° ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴 （3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°那么它所对的直角边等于斜边的 学习-----好资料 一半? ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于 30° 两个重要结论的数学解释： 已知：如图4，在△ ABC中，/ C = 90°,贝 ①如果AB = 2BC，那么/ A = 30° ; ②如果/ A = 30°,那么AB = 2BC. 直角三角形 1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“ Rt △”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB = AC且/ A = 90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半” 学习-----好资料 (一)认识三角形的定义 1、画三角形 师：大家找了这么多的三角形，能想办法画一个三角形吗？ 学生用三角板在导学案上第一题画一个三角形。 2、观察三角形的特点 请同学们观察画出的三角形，想一想，三角形有什么特点？把你的想法在小组内交流。通过交流，引导学生得出三角形的特点： a、三角形有三条边，三个角 b、三角形的三条边都是线段 c、三角形的三条边要首尾相接的围起来 3、认识三角形的定义 教师指出：三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。 课件出示三角形，引导学生观察这个三角形，指出三角形的三个顶点，三条边和三个角。 4、完成75页“试一试” （1）学生独立在教材的方格纸上画一画。 （2）观察比较，你又什么发现？ 引导发现：不在同一直线上的三个点都能画出一个三角形。（二）认识三角形的高和底 1、课件出示人字梁图 学生观察图形，说说图上的线段有什么特点？（这些线段都与底边垂直） 提问：与底边垂直的线段你能画出多少条？（无数条） 提问：你能找出最特殊的那条吗？（学生自由讨论） 2、介绍三角形的底和高 教师结合图形进行介绍：从三角形的顶点出发到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边就是三角形的底。 强调：高要用虚线表示，并标上垂直符号。 课件示范三角形高的画法：用三角板的一条直角边和底边重合，不断移动，说说与底边垂直的线段有多少？其中只有一条比较特殊，也是最长的，你能找出来吗？（从顶点到对边的垂直线段用虚线画好）（三）完善反馈 1、完成教材第76页“试一试” 先让学生独立完成，再组内交流画法。 提问：三角形一共有几条高？ 引导得出：三角形的底和高是一对一对出现的，三角形有三条底也就有三条高。 2、知识升华 完成导学案上的题目 （四）反思总结 通过今天的学习，你有什么收获？还有什么疑问？ 解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本 “12.3等腰三角形”重难点剖析 丁浩勇（安徽省无为县刘渡中心学校 238341） 等腰三角形有着广泛的应用，一定要熟练掌握它的相关知识． 知识点一：等腰三角形的性质 【例1】如图1，已知AB AC AD AE ==，．求证：BD CE =． 分析：由于△ABC 和△ADC 是等腰三角形，且它们底边上的高重合，添加辅助线根据“三线合一”容易得出BD CE =． 证明：过点A 作BC AM ⊥，垂足为M ． ∵AB AC AD AE ==，，BC AM ⊥，∴EM DM CM BM ==,（三线合一）．∴BD CE =． 点拨：等腰三角形的“三线合一”性质是证明线段（或角）相等的一种容易被忽视的方法．本题也可以根据全等三角形来证，但用“三线合一”要简便． 知识点二：等腰三角形的判定 【例2】如图2，在△ABC 中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，DE ∥AB ． 求证：△EAD 是等腰三角形． 分析：由等腰三角形的性质可知21∠=∠，又由DE ∥AB 得32∠=∠，所以31∠=∠，由“等角对等边”得△EAD 是等腰三角形． 证明：∵AC AB =，BC AD ⊥，∴21∠=∠（三线合一）． ∵DE ∥AB ，∴32∠=∠．∴31∠=∠． ∴ED EA =，即△EAD 是等腰三角形． 点拨：判定一个三角形是等腰三角形的方法有 （1）等腰三角形的定义； （2）等腰三角形的判定定理； （3）在一个三角形中，如果①一边上的高、②一边上的中线、③一边所对的角平分线，这三个条件中的任意两条线段重合，就可以推出此三角形是等腰三角形． 知识点三：等边三角形的性质 【例3】已知：如图3，△ABC 是等边三角形，过顶点B 作边AC 的垂线，垂足为D ，E 是BC 延长线上一点，且CDE E ∠=∠．求证： DE DB =． 分析：要证DE DB =，只要E DBC ∠=∠即可． 证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD ⊥AC ， ∴?=∠?=∠30,60DBC ACB ． 又∵CDE E ∠=∠，∴?=∠=∠=∠302 1ACB CDE E ．∴E DBC ∠=∠．∴DE DB =． M B D C E A 图1 图2 B C A D E 2 3 1 A B C D 图3 E 如何突破小学数学教学中重难点 突出重点、突破难点是小学数学教学成功关键。往往我们为如何解决重难点而绞尽脑汁，然而效果并不理想。那么如何在课堂教学中突出重点、突破难点是每位教师必须研究解决问题。下面浅述自己在教学中点滴体会。 一、课前预设，找准重难点 小学数学课程标准强调要在教学中充分调动学生学习积极性与主动性，突出主体学习地位。这就要求我们在平时每天预设中，要结合学生认知规律，认真研究教材，找准各章节重难点。例如分数乘除法应用题是分数应用题教学重点与难点。教材中引入了列方程来解决分数除法应用题，将除法归结于乘法。所以这一章节重点与难点就集中在分数乘法应用题教学之中，而分数乘法应用题关键就是教学好“一个数乘分数意义”，只有这样才利于分数应用题教学。 二、课堂教学，紧抓重难点 1.在自主剖析中，突破重难点 随着年龄增长，到小学高年级时，学生已经积累了一定数学素养，阅读能力与自学能力都有所发展。当学生初步具备剖析问题、解决问题能力时，教师应当放手让学生自主学习。在预习过程，学生对一些简单问题自己就会解决，无需在课堂上进行集中交流展示，如此不仅节约时间，又提高了学生自学能力。而对于有疑惑地方，记录下来，以便于课堂交流解决。例如在《小数读法与写法》一课中，重难点是正确读写小数、理解小数数位顺序表。在教学本课时，我先让学生独立学习课本52—54页内容。然后完成自学记录卡。 （1）0.20读作（）。 12.387读作（）。 （2）一点四写作（）。 零点零九写作（）。 （3）小数点左边是（）部分，小数点右边是（）部分。12.387中8在（）位上，表示（）个（）。2在（）位上，表示（）个（）。 在自学过程中学生已经初步掌握了小数读法与写法，但是个别学生可能还没有准确掌握与理解，这就要教师进行耐心引导。接着我给学生出示了交流提纲，组织学生在组内进行交流展示、整理学习内容。 （1）浅述一个小数怎样读？ （2）浅述一个小数怎样写？ （3）小数数位与计数单位相同吗？请举例说明。 通过交流展示，学生熟练地掌握了小数读法与写法，正确理解了小数数位顺学表，纠正了数位与计数单位这两个常混淆数学概念。 2.以旧知识为铺垫，突破重难点 数学新课程标准要求我们在教学中要从学生经验与已有知识结构作为出发点，通过新旧知识联系，使学生获得基本数学技能。因此我们要在学生已有知识基础上，紧密联系实际，运用具体事例，引导学生以旧引新，层层递进，来实现重难点突破。例如《分数乘法应用题》教学中我主要是抓住一下两个层次进行教学。 （1）求一个数几分之一 一桶油重100千克，2桶油重多少千克？ ①100×2=200（千克），就是求1002倍是多少。 ②一桶油重100千克，半桶（桶）油重多少千克？ 100×=50（千克），就是求100一半是多少，也就是100是多少。 ③一桶油重100千克，桶油重多少千克？ 特殊三角形基本知识点整理 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 特殊三角形的定义、性质及判定 三角形类型定义性质判定 等腰三角形有两条边相等的三角 形是等腰三角形，其 中相等的两条边分别 叫做腰，另一条边叫 做底边，两腰的夹角 叫顶角，腰和底边的 夹角为底角 1、等腰三角形是对称图形，顶 角平分线所在直线为它的 对称轴 2、等腰三角形两底角相等，即 在同一个等腰三角形中，等 边对等角 3、等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和高线互相 重合，简称等腰三角形的三 线合一 1、（定义法）有两 条边相等的三角形 是等腰三角形 2、如果一个三角形 有两个角相等，那 么这个三角形是等 腰三角形，即，在 同一个三角形中， 等角对等边 等边三角形三条边都相等的三角 形是等边三角形，它 是特殊的等腰三角 形，也叫正三角形 1、等边三角形的内角都相等， 且为60° 2、等边三角形是轴对称图形， 且有三条对称轴 3、等边三角形每条边上的中 线，高线和所对角的角平分 线三线合一，他们所在的直 线都是等边三角形的对称 轴 1、三条边都相等 的三角形是等 边三角形 2、三个内角都等 于60°的三角 形是等边三角 形 3、有一个角是 60°的等腰三 角形是等边三 角形 直角三角形有一个角是直角的三 角形是直角三角形， 即“R t△” 1、直角三角形的两锐角互余 2、直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 3、直角三角形中30°角所对 的直角边等于斜边的一半 4、直角三角形中两条直角边 的平方和等于斜边的平方 （勾股定理） 1、有一个角是直 角的三角形是 直角三角形 2、有两个角互余 的三角形是直 角三角形 3、如果一个三角 形中两条边的 平方和等于第 三条边的平 方，那么这个 三角形是直角 三角形（勾股 定理逆定理） 新人教版小学数学五年级上册《三角形的面积》教学设计教学内容： 人教版五年级数学上册91-92页《三角形的面积》 教材分析: 三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容,也是学生今后学习的重要基础。《数学课程标准》中明确指出:利用方格纸或割补等方法,探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。为落实这一目标,这部分教材均是以探索活动的形式出现的,加强了动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，自己得出结论。学生在学习三角形面积的计算方法之前,已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程,当学生亲身经历了三角形面积计算公式的推导过程时,不仅可以借鉴前面“转化”的思想,而且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。 教学目标： 知识与能力：运用已有的知识、转化的数学思想，推导出三角形的面积公式并能正确计算三角形的面积。 过程与方法：1、经历三角形面积公式的推导过程，培养学生分析、归纳、交流、推理的能力和实际操作的能力。 2、通过动手操作和对图形的观察、比较，培养学生的形象思维和逻辑思维能力，发展学生空间观念。 情感态度与价值观：1、通过小组合作、交流，培养学生爱学数学，乐学数学的情感。 2、在解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式 教学难点：动手操作推导三角形面积计算公式的过程 教学用具：教师准备课件与三角形教具 学生准备同样大小的直角三角形两个、锐角三角形两个、钝角三角形两个 设计说明： 三角形面积是在学生学习了平行四边形面积的基础上学习的。我主要采用了提出问题——寻找思路——实验探究——解决问题的思路进行课堂教学的。首先，我创设了学生熟悉的红领巾的制作这一生活情境引出问题，激发学生学习的兴趣。然后从学生已有的知识和经验出发，利用三角形与学生熟知的平行四边形之间的联系，把学习的主动权交给学生，让学生通过小组合作动手操作，自主探究，发现新知识，解决新问题，在获得知识的过程中发展了能力。 教学过程： 一、创设情境，导入课题 师：老师遇到了一个问题，同学们愿意帮助老师解决吗？ 生：愿意 师：好，我们学校想在一年级新生中发展50名少先队员，需要做50条红领巾，要买多少布料呢？（电脑出示：红领巾）要解决这个问题？必须知道什么呢？ 生：一条红领巾的大小 最新整理四年级数学教案四年级数学下册《三角形》 重难点突破 四年级数学下册《三角形》重难点突破 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。在此基础上本单元安排了三小节内容：三角形的特性、三角形的分类和三角形的内角和。使学生认识三角形的特性；会根据三角形角的特点给三角形分类，认识直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形和等边三角形；知道三角形任意两边的和大于第三边；三角形的内角和是180°；在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，在边数增加变化中，感悟数学研究方法，发现多边形的内角和规律，渗透合情推理。通过教学使学生获得有关三角形的系统知识，促进空间观念的发展。 一、概括三角形的含义，认识三角形各部分名称，会画三角形的高 突破建议： 1．在画三角形、说画法、辨析交流的过程中，理解“围成”的含义，概括三角形的含义，培养学生的观察能力和语言表达能力。 2．在说一说、指一指、写一写三角形各部分名称的活动中，认识三角形的基本特征，建立三角形表象。 3．在动作操作尝试画高、辨析交流、学生演示和再尝试的过程中，学会画三角形的高。画三角形的高，实际上与学生已学过的过直线外一点画已知直线的垂线段一样。因此，在学习画高前应先使学生清楚什么是三角形的底，什么是三角形的高。这些可以由学生阅读教材自主学习。在此基础上可以安排两次画高的活动。 第一次：学生尝试画高后，展示出他们的作品，并引导学生辨析，在辨析交 流中，与已学过的旧知建立联系，掌握画高的方法。 第二次：画出三角形所有的高，使学生认识到任意三角形都有3条高。 在尝试中，学生可以画出锐角三角形的三条高，而直角三角形和钝角三角形部分学生可能只能画出在三角形内的那一条高，可以通过教师的讲解和演示，使学生知道到这两种三角形也有三条高，进而总结出任意三角形都有3条高。 二、发现三角形稳定性，了解三角形稳定性的本质 突破建议： 1．从学生生活常见的物品引入，引到学生自己提出问题：为什么有些地方要用三角形，而有些地方要用四边形？激发学生的探究欲望。培养学生“发现问题——提出问题”的能力。 2．在用小棒摆三角形、四边形的过程中，使学生体会到三角形的3条边确定了，其相应的形状也就唯一确定了，了解三角形稳定性的数学本质。 3．在摆小棒后，安排学生拉动三角形框架和四边形框架，学生发现：用三根小棒摆三角形时，只能摆出一种，做成三角形框架后，拉动框架，也没有改变形状，还是原来的三角形，说明三角形具有稳定性；而当用四根小棒摆四边形时，两条邻边的夹角稍有变化，就是一个新的四边形，做成框架后，拉动框架，也会出现不同的四边形，说明四边形具有不稳定性。在操作中，引导学生将摆出的三角形、四边形分别与三角形框架和四边形框架建立联系，并在三角形与四边形的对比中，进一步感受三角形具有稳定性。 4．应用三角形稳定性的知识解决现实生活中的问题，在巩固所学知识的同时体会数学的价值。 三、体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离，知道三角形两边之和大于第三边特殊三角形复习学案
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