第七讲 代数式
※ 知识纵横
一、代数式
1．用字母表示数：用字母表示数就是将表示基本数量关系的文字语言转换成数学语言，它通过对具体问题进行概括、抽象，再选取适当的字母代替某些数或数量，使问题更准确、简明，更具有普遍性.
注意：（1）字母表示数是代数的一个重要特点；（2）字母不仅可以表示一个数，还可以表示一个式子，表示一个量等.(3) 初中数学有一些默认的字母，表示规定的含义.
2. 代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式。
3．代数式的意义
4．代数式的书写要求
二、列代数式
1、把实际问题中与数量有关的词语，用代数式表示出来，叫做列代数式.
2、列代数式的一般方法和步骤
（1）认真读题，抓住关键词语，如和（加）、差（减）、积（乘）、商（除，除以）等，以及大、小、多、少、倍、几分之几、倒数、平方、立方、增加到（了）、减少到（了）等.
（2）要理清关系，按运算顺序，先读者在前，后读者在后，注意适当运用括号，确保运算顺序；
（3）根据实际问题中的基本关系列代数式，必须抓住基本的数量关系，如路程=速率×时间；工作量=工作效率×工作时间；总价=单价×数量；利润=售价-成本；利息=本金×利率×时间等.
三、 代数式的值
1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果，就叫做代数式的值.
2．求代数式的值的一般步骤
（1）赋值：给代数式中的字母取数值；
（2）代入：用数值代替代数式中相应的字母；
（3）计算：按照代数式中的运算关系计算得出结果.
注意：（1）代数式的值与字母的取值有密切的关系，当字母的值发生变化时，代数式的值也会发生相应的变化；（2）代数式中字母的取值必须确保代数式有意义，如
1
1-x 中，就必须满足1≠x ；（3）解题时要按 基本的解题格书写解题过程；（4）代数式中省略的乘号，用数值代替后要添上；（5）当字母的值是负数或分数时，代入要加括号；（6）用数值代替字母后，不能改变代数式本身的运算顺序.
3．求代数式的值的基本方法
（1）直接代入法；（2）转换代入法；（3）整体代入法. ※典例剖析
【例1】填空.
（1）一个三位数，它的个位数字是m ，十位数字比个位数字大n ，百位数字比个位数字的平方小2，这
个三位数是 .
（2）有a 名同学去春游，预计共需费用120元，后来又有2个人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊 元钱.
（3）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ，，，，32
362125121659
中得到巴尔末公式，从而打开了光谱 奥秘的大门，按此规律，第七个数是 ，第n 个数是 .
【例2】求代数式的值.
1．已知2-=a ，3
1-=b ，求223b ab a ---的值； 2. 已知0542=--x x ，求x x 1641502-+的值.
【例3】设201220112012201120112010201120104343323221212
222222222?++?+++?++?++?+= A ，试求A 的整数部分.
※培优训练
1、结合你的生活经验对下列代数式作出解释：
（1）b a -2： ；
（2）a a %10+： ；
2、某种品牌鞋子平均每天可销售20双,每双盈利44元,若每双降价1元,则平均每天可多售出5双,如果
每双降价a 元，每天可售出 双鞋，每天可利 元，当20=a 时，每天可利 元.
3、已知1001<<<<-a b ，，那么在代数式b a -，b a +，2b a +，b a +2
中，对于任意a 、b ，对
应的代数式的值最大的是（ ）.
A 、b a -；
B 、b a +；
C 、2b a +；
D 、b a +2.
4、已知743z y x ==，求代数式y
z y x ++3的值. 5、已知1322-=+mn m ，21232=+n mn , 求代数式44613222-++n mn m 的值.
5. 右图是两个叠放在一起的正方形，其中大正方形的边长为a ，小正形的
边长为b ，我们在求图中阴影部分的面积时，可以直接用大正形的面积
减去小正方形的面积，则阴影部分的面积等于
也可以采用“割补法”，先把左边的小长方形割下，然后补在原图形的
下方，这样原阴影部分的面积就等于补好后的大长方形的面积，我们发现
大长方形的长为 ，宽为 ，则大长方形的面积
为 .
这两方法求出的原图形的阴影部分的面积是相等的，则我们发现有等式 成立。这是初中数学的一个
非常有用的“平方差公式”,试直接使用“平方差公式”计算.
（1）2210021003-； （2）)2200()2200(+?-
概括：（1）平方差公式：22))((b a b a b a -=-+
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
（2）完全平方公式： 2222)(b ab a b a +±=±
两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍；
两数差的平方，等于它们的平方和减去这两数积的2倍.
※能力拓展
题组一：
1、计算：9
13712)53
(8)32
1()125.0(-??-?-； 2、计算：)12)(12)(12)(12)(12(16842+++++
题组二：
1、观察下列各式：a ，22a -，34a ，48a -，…，根据你发现的规律，第八个式子是 ；
第n 个式子是 .
2、将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段，将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，依次类推，将一根绳子对折n 次，从中间一刀全部剪断后，绳子变成 段.
3、在一个地球仪的赤道上打一个箍，现将铁丝箍的半径增大1米，需增加m 米长的铁丝，假设地球的赤道也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 、n 的大小关系是（ ）.
A 、n m >；
B 、n m <；
C 、n m =；
D 、不能确定；
题组三：
1、若031=++-y x ，则代数式21xy xy --的值是 .
2、已知1=-b a ，2=-a c ，则333)()()(a c b c b a -+-+-的值是 .
3、若
311=-a b ，求ab
b a b ab a 222+---的值.
题组四： 1、已知M =
n
n n n n n 93186293142842421??+??+????+??+?? ，则M 的值是 . 2、已知数列1x ，2x ，3x ，…，n x ，已知21=x ，n
n x x 111-=+，则2012x 的值是 . 3、已知n n a a 1111+=+(2002321 ，，，=a ),求当11=a 时，20032002433221a a a a a a a a ++++ 的值.