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实验10_单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定

实验10_单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定
实验10_单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定

单自由度有阻尼系统的受迫振动实验

5□ 5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动 图5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图

单自由度系统有阻尼受迫振动□ 5-2 图5-2 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 :将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 :激活本实验的实验指导文本。 退 出 :退出本操作界面,回到主界面(图2) 虚拟仪器 量程:指示灯为“绿色”表示信号达到半量程,为“黄色”表示信号

过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 :选择“显示选择”中的显示内容,可使其单独显示“加速度信号”或“激励信号”的时间历程。也可同时显示“加速度/激励信号”的时间历程。 电压表 :显示加速度信号的电压值。 频率计 :显示加速度响应信号的频率。 李萨玉图 :观察加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 :输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭信号发生器。 测试数据: 拾取数据 : 拾取电压表和频率计当前的读数到测试数据表格内。若重复拾取某一频率的数据,则当前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据,重新拾取电压表和频率计当前的读数。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线(图5-3)。 图5-3

一、实验目的 ? 了解和掌握单自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现象。 ? 掌握根据李萨育图获得结构固有频率的方法(即相位共振法)。 ? 了解和掌握机械结构加速度幅频特性曲线的测量方法以及如何由幅频特性曲线得到结构的固有频率。 二、实验仪器 ? 单自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器(ICP式) 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中:信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图5-1将综合实验台装配成单自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图5-1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小,“信号选择”置“外接”!打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框(图2),进入“单自由度系统有 阻尼受迫振动”实验操作界面(图5-2)。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz,输出电压约为1V。调节功率放

振动基础简答题

振动,广义地讲,指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化。 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。 任何具有弹性和惯性的力学系统均可能产生机械振动。 振动系统发生振动的原因是由于外界对系统运动状态的影响,即外界对系统的激励或作用,称之为振动系统的激励或输入。 振动的分类1:①线性振动:是指系统在振动过程中,振动系统的惯性力、阻尼力、弹性力分别与绝对加速度、相对加速度、相对位移成线性关系。线性振动系统的振动可以用线性微分方程描述。②非线性振动:非线性振动系统在振动的过程中,系统的惯性力、阻尼力、弹性力与绝对加速度、相对加速度、相对位移的关系没有线性系统那样简单,非线性系统的振动过程只能用非线性微分方程描述。 分类2:①确定性振动:一个振动系统,如果对任意时刻t,都可以预测描述它的物理量的确定的值x,即振动是确定的或可以预测的,这种振动称为确定性振动。②随机振动:无法预测它在未来某个时刻的确定值,如汽车行驶时由于路面不平引起的振动,地震时建筑物的振动。随机振动只能用概率统计(期望、方差、谐方差、相关函数等)方法描述。 系统的自由度数定义为描述系统运动所需要的独立坐标(广义坐标)的数目。 分类3:在实际中遇到的大多数振动系统,其质量和刚度都是连续分布的,通常需要无限多个自由度才能描述它们的振动,它们的运动微分方程是偏微分方程,这就是连续系统。在结构的质量和刚度分布很不均匀时,往往把连续结构简化为若干个集中质量、集中阻尼、集中刚度组成的离散系统,所谓离散系统,是指系统只有有限个自由度。描述离散系统的振动可用常微分方程。 分类4:按激励情况分:①自由振动:系统在初始激励下或原有的激励消失后的振动;②强迫振动:系统在持续的外界激励作用下产生的振动。 分类5:按响应情况分,确定性振动和随机振动。确定性振动分为:①简谐振动:振动的物理量为时间的正弦或余弦函数;②周期振动:振动的物理量为时间的周期函数;③瞬态振动:振动的物理量为时间的非周期函数,通常只在一段时间内存在。 机械或结构产生振动的内在原因:本身具有在振动时储存动能和势能,而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。 基本元件:惯性元件(储存和释放动能)、弹性元件(储存和释放势能)、阻尼元件(耗散振动能量) 基本元件的基本特征:弹性元件:忽略它的质量和阻尼,在振动过程中储存势能。弹性力与其两端的相对位移成比例,如弹簧:F s=?k?x;扭簧:T s=?k t(θ2?θ1);阻尼元件:阻尼力的大小与阻尼元件两端的相对速度曾比例,方向相反,这种阻尼又称为黏性阻尼。忽略黏性阻尼元件的质量和弹性,则作用力:F d=?c?υ;惯性元件:

第1章--单自由度系统的自由振动题解

习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型,房顶质量为m ,视为一刚性杆;柱子高h ,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解:由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量,由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向,则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆,长为 l ,重量为W ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。 解:给杆一个微转角θ 2 a θ=h α 2F cos α=mg 由动量矩定理: a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 θ F sin α 2 θα h mg θ

其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2=== 1-3求题1-3图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3,悬臂梁的质量忽略不计。 解:悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧,因此,k 1与k 2串联,设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联,设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联,设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += ',212132k k k k k k ++=',4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩,I 是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G 。 解: 111/l GJ k = (1) 222/l GJ k = (2) 333/l GJ k = (3) )/(23323223l J l J J GJ k += (4) ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 )由( 题1-3图 题1-4图

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ,作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ,相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ,若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用,求系统的稳态响应。 解:由题意,可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x =1.103 cos(3t -51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用,当激振频率ω1 =6rad/s 时,系统发生共振;给

质量块增加1 kg 的质量后重新试验,测得共振频率ω2 =5.86rad/s ,试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解:设原系统的质量为m ,弹簧常数为k 由 m k p n = ,共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m =20.69 kg ,k =744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上,使梁产生静挠度st δ,转子重Q ,重心偏离轴线e ,梁重及阻尼可以不计,求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解:列出平衡方程可得: 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以:2n kg P W Q h w e W ==, 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示,作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=,弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =,写出系统的运动微分方程,并求稳态振动。 题2-4图

有关阻尼振动的研究

阻尼振动的探究 摘要: 以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例,探究了阻尼振动。同时,以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。 关键词: 阻尼振动阻尼系数衰减 R esearch on damped vibration Abstract:: Abstract This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration.At the same time,this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples. Keyword: damped vibration damping coefficient attenuation 简谐运动又叫做无阻尼自由振动。但实际上,任何的振动系统都是会受到阻力作用的,这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。在阻尼系统中,振动系统要不断地克服阻力做功,

所以它的能量将不断地减少。一定时间后回到平衡位置。弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。 分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。忽略空气等阻力,则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。即 由牛顿第二定律,可得 此微分方程的通解为 给定初始值,弹簧在t=0时,x=,,则此微分方程的解为 弹簧振子在初始时刻,被拉离坐标原点距离,即弹簧被拉长(而后,弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点,很容易就可以想到弹簧将作往复运动。如方程所描述弹簧作简谐振动。如果考虑弹簧振子运动时的阻力,情况将如何呢? 由实验,可知运动物体的速度不太大时,介质对物体的阻力与速度成正比。又阻力总与速度方向相反,所以阻力与速度有如下关系: 为正比例常数。则此时,上面所列弹簧振子的运动方程应为: 考虑此方程,令。可知即为弹簧振子在无阻力振动时的角频率,称为阻尼系数,如此可得: 此微分方程通解为: A,B由弹簧振子的初始值,即t=0时的x,值决定。由上通解无法直观看出弹簧振子的实际运动景象如何。下面以与的大小关系分为三种情况考虑。 时,可将通解化为如下形式: ) 其中 而由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像,大致如下

4-单自由度系统的受迫振动

1-2单自由度体系的受迫振动 主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应 1-3-5 隔振 1-3-4 等效阻尼 激励 响应 系统

1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应 单自由度系统振动方程 t F kx x c x m ωsin 0=++ 非自治系统 t f x x x n n ωω?ωsin 202=++

t k F t k F t x t x x n n n n ωλ ωλλωωωsin 11 sin 1sin cos 2 02000-+--+= 无阻尼系统 ???? ?====+0002 )0(,)0(,0sin x x x x t t f x x n ωω方程之解 无阻尼自由振动 无阻尼受迫振动 自由伴随振动 瞬态过程 稳态过程

实际系统中,阻尼的客观存在,随着时间的推移,瞬态响应逐渐衰减,系统进入稳态振动过程 系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式?ε λ21+=?0 →εt t f x n n ωεωε cos sin 20 -≈t t f x n n ωωcos 2 1 0-≈“拍”

无阻尼系统的稳态响应 t k F x ωλ sin 112 0-=k F st 0 = δ静变形 2 11λβ-= 动力放大因子 1<<λ?1 >>λ?1 =λ?1 →β系统表现为静态特征0 →β系统表现为动态特征∞ →β系统出现“共振”现象

θ βi e k -=1θβ 阻尼系统的稳态响应 t f x x x n n ωω?ωsin 202 =++ t i n n e f x x x ωω?ω02 2=++ 设系统的稳态响应为 t i Be x ω=B 为复振幅 )(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数 2 2 2) 2()1(1?λλ+-= 2 12arctan λ?λ -=动力放大因子响应与激励的相位差!系统的幅频特性 !系统的相频特性 ??????+---=2222 )2()1(211)(?λλ?λλωi k H

第3章单自由度体系5(直接积分法)

第三章单自由度体系 直接积分法

主要内容 ?两种直接积分方法 (1)中心差分法 (2)Newmark—β法 ?数值积分的稳定性 ?了解算法阻尼(数值阻尼)现象

1. 数值积分概述(直接积分法,逐步积分法) (Direct Integration Methods, Step-by-Step Methods) 运动方程:In direct integration the equations of equilibrium are integrated using a numerical step-by-step procedure, the term ‘direct ’meaning that prior to the numerical integration, no transformation of equations into a different form is carried out. (K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996.)Two ideas: (1)运动方程并不在任何时间t 都得到满足,而仅仅是在以时间间隔为Δt 的离散时间点上得到满足。 (2)在时间间隔Δt 内,对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。 ()()()mu c t u k t u p t ++=

1. 数值积分概述 常用的数值积分方法: (1)分段解析法; (2)中心差分法; (3)Runge-Kutta法; (4)Houbolt法; (5)平均加速度法; (6)线性加速度法; (7)Newmark—β法; (8)Wilson —θ法; (9)HHT法(Hilber-Hughes-Taylor method); (10)精细积分法; ……

减振器阻尼对汽车大冲击性能的影响分析

减振器阻尼对汽车大冲击性能的影响分析 作者:长安汽车股份有限公司董益亮彭旭阳 摘要:本文简要介绍了汽车大冲击性能分析评价指标和分析评价方法。利用ADAMS软件建立了某轿车四通道平顺性分析模型,分析了减震器阻尼在不同车速下对大冲击性能的影响,提出了优化方案。实车验证结果表明,该方法是一种有效的汽车大冲击性能分析评价方法。 关键字:冲击,乘坐舒适性,评价 1 前言 汽车在路面上行驶时,除了随机路面外,偶尔也会遇到冲击路面,如减速带、路面凸块和凹坑、铁路交叉口、路面接缝等,这类路面统称为冲击路面,其特点是冲击较大,冲击的产生间隔足够长的距离,这样在下次冲击来之前,车辆的振动已充分衰减。来自路面的剧烈冲击,通过轮胎、悬架、车身和座椅传给人体,同时会引起悬架和车身的跳动。 大冲击舒适性是用户评价汽车乘坐舒适性的重要内容,也是汽车厂家在汽车开发过程中需要控制的重要指标之一。在汽车开发的底盘调校阶段,一般通过减振器阻、弹簧和缓冲块来优化汽车的大冲击乘坐舒适性,其中减振器阻尼力的优化最为重要和复杂。 2 汽车冲击性能分析评价方法 2.1 冲击乘坐舒适性评价指标 当汽车遇到路面冲击时,会导致以下汽车振动响应: 1) 主振动(Primary Ride):车体的刚体振动响应,如俯仰和侧倾,乘员有时会感受到悬架限位块的撞击。 2) 冲击(Impact):乘员通过座椅和地板感受到的来自路面的较大冲击,以及车体上下运动速度迅速改变。 本文用地板、座椅等所关心位置的最大(绝对值)的加速度,以及车身的最大振动俯仰角和振动衰减的快慢作为大冲击振动下的客观评价指标。

2.2 大冲击仿真分析方法 目前,大冲击CAE分析方法主要有两类,一是基于平顺性轮胎模型的整车道路仿真分析方法,二是基于四通道的整车台架仿真分析方法。 第一种方法必须使用平顺性轮胎模型,常用的平顺性轮胎模型主要有ftire、swift 轮胎模型等,并配合使用冲击路面模型,冲击路面模型主要有三角形凸块路面、矩形凸块路面、锯齿形凸块路面等[1],见图1。 图1 基于平顺性轮胎模型的整车道路仿真分析 第二种方法用四通道实验台模拟路面垂向冲击激励[4],可以使用普通的操稳轮胎模型,如Pacjka 轮胎模型,见图2。 图2 基于四通道的整车台架仿真分析 第一种方法能够同时仿真分析大冲击引起的纵向和垂向振动响应,与比较接近实际情况,仿真结果较精确,但国内对平顺性轮胎模型研究较少,而且没有建立平顺性轮胎模型的试验条件,限制了其推广应用。第二种方法只能仿真路面冲击引起的垂向振动响应,与实际情况有差距,但可避开使用平顺性轮胎模型,另外,操稳轮胎模型国内研究较多,也有建立操稳轮胎模型的试验条件。 由于减振器阻尼力主要影响汽车的垂向振动响应,本文使用基于四通道的仿真分析方法。

单自由度系统.

第1章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.4 求图1-33中标出参数的系统的固有频率。 1.5 求图1-34所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k. 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ,质量为M ,作纯滚动。弹簧刚度为K 。 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为A m ,半径为A r ,齿轮B 的质量为B m ,半径为B r ,杆AC 的扭转刚度为A k , ,杆BD 的扭转刚度为B k 。 1.8已知图1-37所示振动系统中,匀质杆长为l ,质量为m ,两弹簧刚度皆为K ,阻尼系数 为C ,求当初始条件00 0==θθ 时

(1)t F t f ωsin )(=的稳态解; (2)t t t f )()(δ=的解; 1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子,其质量为m ,阻尼为C ,刚度为K ,处于静止状态,方盒距地面高度为H ,求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图1-39。设m 、k 、c 已知。路面波动情况可以用正弦函数sin()y h at =表示。求:(1)建立汽车上下振动的数学模型;(2)汽车振动的稳态解。 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=,求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。 1.1 2.若流体的阻尼力可写为3x b F d -=,求其等效粘性阻尼。

单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比

:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 (武汉大学力学实验教学中心) 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念; 2、学习用频谱分析信号的频率; 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算,在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线(波形)振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比,或经过一个周期的两个同方向

振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量: η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln (η)=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小;这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块,加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波,见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际

阻尼振动

阻尼振动是否具有“周期性”和“等时性” 简谐运动在不考虑摩擦和其他阻力等因素的影响时,振动过程中系统的机械能守恒,所以不管是单摆还是弹簧振子在振动过程中振幅始终保持不变,这种振动称为无阻尼振动。然而,实际的振动总要受到阻力的影响,由于要克服阻力做功,振动系统的机械能不断减少。同时振动系统与周围介质相互作用,振动向外传播形成波,随着波的传播,系统的机械能不断减少,因此振幅也逐渐减小。这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动,阻尼振动的图象如 图1所示。 学生学完这节内容后,存在两方面疑问:一是阻尼振动是否具有“周期性”,二是阻尼振动是否具有“等时性”(振子连续两次通过平衡位置的时间间隔相同)。这两个问题教材没有涉及,在图象中也不能反映出来,但是课后有些学生会提出,有些资料中也会出现相 关的问题。 一、定性分析 要想知道阻尼振动是否具有“周期性”,首先要知道什么是机械振动的周期。人教版高二《物理》教材(必修加选修)中对周期的定义是这样的:物体完成一次全振动所需的时间,叫做振动的周期。在周期的定义中存在全振动这个概念,全振动是指做机械振动的物体从某个点出发,等到下次回到该点时的运动状态和开始振动时的运动状态完全相同,且所用时间最短。所以能重复原来的运动状态(位移、速度、加速度等)的机械振动才是全振动,非等幅的阻尼振动不是全振动,所以它是没有周期的。 关于阻尼振动是否具有“等时性”,有两种不同的说法。第一种说法认为具有“等时性”,理由是阻尼振动的振幅虽然在不断减小,但可以看成是由很多个振幅不断减小的简谐运动的叠加,由于简谐运动具有等时性,它的周期与振幅无关,所以阻尼振动和简谐运动的相位是一致的,节奏也是相同的,所以具有“等时性”。第二种说法认为不具有“等时性”,理由是物体做阻尼振动时,由于机械能的损失。振子前后两次通过同一点时,后一次的速度肯定比前一次的小。这样,从平衡位置到达最大位移处的平均速度总比返回时的平均速度大,所以回来就变慢了,对应的时间也就长了。按这种推理,阻尼振动的振动节奏会变得越来越慢,最后停止下来,周期变为无穷大,所以不具有“等时性”。 二、定量分析 以上是对阻尼振动所做的定性分析,接下来我们做定量分析。

Newmark法求解单自由度

% 单位:N/mm/s/ton function res=Newmark(alpha,C) % 系统设置; T=0.1/alpha; K=(2*3.1415926/T)^2; M=1; % C=0; % 定义参数 h=0.0002; beta=0.25; gamma=0.5; con=zeros(1,7); con(1)=1/(beta*h^2); con(2)=gamma/(beta*h); con(3)=1/(beta*h); con(4)=1/(2*beta)-1; con(5)=gamma/beta-1; con(6)=0.5*h*(gamma/beta-2); con(7)=h*(1-gamma/(2*beta)); % 有效刚度 Ke=K+con(1)*M+con(2)*C; % 定义矩形荷载 t=0:h:1; f=zeros(1,size(t,2)); for i=1:size(t,2) if t(i)==0 f(i)=0; else if t(i)>0 && t(i)<=0.1 f(i)=1000*(3.1415926)^2; else f(i)=0; end end % plot(t,f); % 系统初始条件 u0=0; du0=0; ddu0=0; U=zeros(3,size(t,2)); % 求解 for i=1:(size(t,2)-1) fe=f(i+1)+M*(con(1)*u0+con(3)*du0+con(4)*ddu0)+C*(con(2)*u0+con(5)*du 0+con(6)*ddu0); u1=fe/Ke;

du1=con(2)*(u1-u0)-con(5)*du0+con(7)*ddu0; %计算速度和加速度; ddu1=(f(i+1)-C*du1-K*u1)/M; U(:,i+1)=[u1;du1;ddu1]; u0=u1; du0=du1; ddu0=ddu1; end res=[U;t]; end

单自由度系统

第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ,单位是kg 。弹簧刚度为K ,单位是N /m ,即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后,弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形:,同时也产生弹簧恢复力K ,当其等于重力W 时,则处于静平衡位置,即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰,使系统静平衡状态遭到破坏.则弹簧力不等于重力,这种不平衡的弹性恢复力,便使系统产生自由振动。首先建立座标,为简便起见,可选静平衡位置为座标原点,建立铅垂方向的座标x ,从原点算起,向下为正,向上为负,表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ,此时弹簧恢复力为K(+x),显然大于重力W ,由 于力不平衡,质量块在合力作用下,将产生加速度运动,故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力,等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积),建立运动方程,取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正,可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数,由运动的初始条件确定,设t=0时 00,x x x x &&== (1-1-5) ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )

单自由度系统强迫振动(悬臂梁)

单自由度系统强迫振动(悬臂梁)   一、实验目的  1、 测定带有集中荷重的悬臂梁系统,在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线;借助幅频特性曲线,求出系统的固有频率及阻尼常数; 2、 初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。 二、实验装置及原理 1、 实验装置  一个单层框架结构的悬臂梁系统,固定端固定在底板上,自由端与激振器连接,其简图如图1所示。这个系统可看作如图2所示的,有阻尼的单自由度弹簧质量系统。 其中:  m:为悬臂梁系统的等效质量;  k:为悬臂梁系统的等效弹簧常数; c:为悬臂梁系统的阻尼常数;  x(t):为激振器激振器(谐振动)位移,x(t)=Asinωt。 2、 实验原理 图3    测试系统的框图如图3所示。信号发生器可调节激振器的激振频率,激振器的激振频率由计数器读得,悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大,由电压表读得。    三、实验步骤 1、 开机,注意开机顺序依次为:信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。 2、 调节信号发生器(其振幅一般保持不变)和功率放大器,使激振器以较小的振幅激振; 激振器

然后调节信号发生器的频率,从10-40Hz扫频,使振幅达到最大,即找到系统的共振频率,再轻微调节功率放大器的振幅峰F0,使共振时的位移达到所需振幅。 3、 然后从低频段各点扫描,找出各点频率下对应的位移振幅,频率间隔根据不同情况选取 (最好以位移振幅选取),并把各点数据记录表中和填入方格纸中,完成幅频曲线的绘制。 4、 检查幅频曲线的正确与否,偏差较大时,重新找取相应点的数据。根据图示幅频曲线, 由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。 5、 关机,把功率放大器的振幅调至最小,然后关闭仪器的电源,关机顺序正好与开机顺序 相反。 四、实验数据记录及计算结果 序号 频率 振幅 1 2 ….        按照幅频曲线,运用半功率原理得到:  10 36 Frequency Response Function Curve A /A max f (Hz) 1 固有频率:m n f f =, 带宽:12f f f ?=? 相对阻尼系数:n f f 2?= ζ 五、实验要求  1、 实验前必须带好方格纸,在实验过程中,将所测数据填入方格纸中,画出曲线的草图,并让老师检查方可离开。  2、 实验报告中必须达到实验报告基本要求,具备基本的数据表格和曲线图,认真做好实验报告。  3、 认真完成实验,注意实验安全事项。

阻尼振动概念及形式

4.阻尼振动的概念 教学目标 1 知道什么叫自由振动,理解固有频率的含义。 2 知道什么叫阻尼振动,能从能量的角度分析阻尼振动产生的原因。 3 知道什么叫驱动力,理解它是按效果命名的力。 4 知道什么叫受迫振动。理解系统做受迫振动的频率等于驱动力的频率,而与系统的固有频率无关。 5 知道什么叫共振,理解共振发生的条件,了解常见的共振应用和防止的实例。 教学重点:1受迫振动的频率等于驱动力的频率,而与系统的固有频率无关。 2 什么是共振及共振的产生条件。 教学难点: 1 对受迫振动的频率等于驱动力的频率,而与系统固有频率无关的理解。 2 当f驱=f固时,物体做受迫振动的振幅最大,即对共振发生条件的理解。 教学内容:复习:1.前几节已经学过哪些类型的简谐运动? 2. 简谐运动的能量与什么因素有关?简谐运动中什么形式的能量之间发生相互转化?机械能是否守恒? 3.简谐运动是等幅振动吗? 教师总结:之前学习的简谐运动就是自由振动,即无阻尼振动 新课:一自由振动 1.定义:系统不受外力作用,也不受任何阻力,只在自身回复力作用下的振动,称为自由振动,又叫做无阻尼振动。 2.自由振动的周期和频率叫系统的固有周期和固有频率,由系统本身的特征决定,与振幅无关。弹簧振子和单摆的周期? 二、阻尼振动 1.定义:系统在振动过程中受到阻力的作用,振动逐渐消逝,振动能量逐步转化为其他能量,这种振动叫做阻尼振动。 2.特点:①振幅逐渐减小,又叫减幅振动 ②周期为固有周期不变(摆长始终不变),与振动有无阻尼 及阻尼大小无关。 3.位移-时间图像(振动图象):在一段不太长时间内振幅没 有明显减小,可近似为简谐运动。 思考:①钟摆在摆动过程中不可避免的受到空气等阻力作 用,但它的振幅始终保持不变,怎样获得持续振动?

单自由度体系杜哈梅积分

function y=kst(t0,t1,t2,ts,m,b0,b1,w0,c) t0=input('请输入起始时间:t0= ');t1=input('请输入荷载消失时间:t1= ');t2=input('请输入想要的时间:t2= '); ts=input('请输入时间步长:ts= '); m=input('请输入质量:m= ') ;b0=input('请输入荷载截距:b0= ');b1=input('荷载消失时的荷载:b1= ');k=input('请输入刚度:k= ') ; c=input('请输入阻尼比:c= '); w0=sqrt(k/m);w1=w0*sqrt(1-c^2); t=t0:ts:t2; for i=1:(length(t)) x=linspace(t(1),t(length(t))) p=interp1([t0 t1],[b0 b1],t); p(find(isnan(p)==1)) = 0; px=linspace(p(1),p(length(t))); a=px.*exp(c*w0*x).*cos(w1*x); A=trapz(x,a); b=px.*exp(c*w0*x).*sin(w1*x); B=trapz(x,b); y=exp(-c*w0*t).*(A.*sin(w1*t)-B.*cos(w1*t))./(m*w1) v=diff(y) a0=diff(y,2) end ymax=max(y)

figure plot(t,y); 此程序为复合梯形法计算冲击荷载作用下的杜哈梅积分。 以P(t)=-1250000*(t+0.08)的冲击荷载为例,质量:m=6.4;阻尼比c=0.05;刚度:k=34847.77 N/m.将参数输入程序得到以下结果:

1 单自由度体系的自由振动

y s y(t) s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y §1 单自由度体系的自由振动 一、无阻尼的自由振动: 如下图,以单自由度体系为例,设此梁上的集中质量为m ,其重量为W mg =, 梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示,与s y 相 应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置,当扰动除去后,则体系将发生振动,这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直,故称为横向振动。在此,只讨论微小振幅的振动,由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内,用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。 1、建立运动方程 建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理(亦称惯性力法或动静法)。 今考虑在振动过程的某一瞬时t ,设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ,取质量为隔离体,则在质量上作用有三种力:质量的重量W ,杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。根据达朗伯原理,这三个力应成平衡,即 W+S+F(t)=0 (1) 在弹性体系中,弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+

上式中的K 为一常数,称为刚度系数,代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。 而 1y s W k =? 即 y s W k =? 因此,将()s k y y s =-+和y s W k =?代入式(1)得 ()0 F t ky =-+ (2) 上式表明,如果以静力平衡位置作为计算位移的起点,则建立体系的运动方程时,可以不考虑重力W 的影响。这对其他体系的振动(包括受迫振动)也同样适用。 将2 2 ()d y F t m dt =-代入式(2)得: 2 2()0d y m ky t dt += 令2 k m ω= dy y dt = (速度) 2 2 d y y dt = (加速度) 则 2 2 ()0d y m ky t dt += 可变为 2 y y ω+= (3) 此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程,它反映了这种振动的一般规律。 若采用柔度法建立运动方程(建立位移方程),以静力平衡位置作为计算位移的起点,则梁在质量m 处除惯性力2 2()d y F t m dt =-这个假想的 外荷载作用外,再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知,梁在集中质量m 处任一运动瞬时的位移为

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