平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或
(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得
0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→
;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c
z
b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，
把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设
, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→
→
?b a 为一长
度等于θsin ||||→
→b a ，（θ为
,两者交角，且πθ<<0），而与
, 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→
→→→?-=?a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→
→
??=?→
→
21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ???
?
21y y （注：1、二阶行列式:c
a M =
cb ad d
b -=；2
例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→
→
b a ， 试求（1）：;→
→
?b a （2）：.→
→?a b
Key: (1) )5,2,1(-=?→
→
b a ;)5,2,1()2(-=?→
→
a b
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设→
n 是平面α的法向量，
AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α
所成的角为： 图2-1-1:
2,2
→
→
→
→->=
<-=
AB n π
π
θ图2-1-2:2,π
θ=-
>=<→
→
AB n (2)、求面面角:设向量→
m
，→
n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：
|
|||arccos
,→
→
→
→→
→??>== m n m θ（图2-2）; | |||arccos ,→ → → →→ →??->== m n m πθ(图2-3) 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，→m 的方向对平面α而言向外，→n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→ m 的方向对平面α而言向内，→ n 的方向对平面β而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。 2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离: 图2-3 | ,cos |><=→ →AB n θ)2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→a 、→ b ， 求a 、b 的法向量→ n ，即此异面直线a 、b ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→ AB ； ③求向量→ AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b | |||→ → →?= n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→ →,,, （2）、点到平面的距离: 方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P 到 平面α的距离公式为| |||→ → → ?= n n AB d （3）、直线与平面间的距离: 方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离： || AB n d n ?= ，其中a B A ∈∈,α。n 是平面α的法向量 （4）、平面与平面间的距离: 方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离： | |||→ → → ?= n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。n 是平面α、β3、 证明 （1）、证明线面垂直：在图2-8中,→ m 向是平面α的法向量，→ a 是 直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→ →=a m λ（2）、证明线面平行：在图2-9中,→m 向是平面α的法向量，→ a 是直线的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=?→ →a m ）。 （3）、证明面面垂直：在图2-10中，→ m 是平面α的法向量，→ n 是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=?→ → n m ） n （4）、证明面面平行：在图2-11中, →m 向是平面α的法向量，→ n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→ → =n m λ）。 三、高考真题新解 1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分） 已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ， ⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=2 1 AB=1， M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 解:以A 点为原点,以分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示. )1,0,0().(=→AP I ，)0,0,1(=→AD ，设平面PAD 的法向量为)0,1,0(-=?=→ →→AD AP m )0,1,0(=→ DC 又，)1,0,1(-=→ DP ，设平面PCD 的法向量为)1,0,1(=?=→ → → DP DC n 0=?∴→→n m ，→ →⊥∴n m ，即平面PAD ⊥平面PCD 。 ).(II )0,1,1(=→ AC ，)1,2,0(-=→ PB ，510 arccos | |||arccos ,=??>=∴<→ →→ →→ →PB AC PB AC PB AC ).(III )2 1 ,0,1(-=→CM ，)0,1,1(--=→CA ，设平在AMC 的法向量为 )1,2 1,21(-=?=→→→CA CM m . 又)0,1,1(-=→CB ,设平面PCD 的法向量为)1,2 1 ,21(---=?=→→→CB CM n . )32 arccos(| |||arccos ,-=??>=∴<→→→ →→ →n m n m n m . ∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)32arccos(-.]3 2 arccos [-π或 2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C a ，M 是AD 的中点。 (Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； 图 (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。 解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示. ).(I )0,0,2(a BC -=→ ,),,0(1a a BA -=→ ,设平面 A 1BC 的法向量为 )2,2,0(221a a BA BC n =?=→ →→ 又)0,0,2(a AD -=→ ,0=?∴→→AD n ,→ →⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC. ).(II ),0,22(a a MC =→ ,)0,,2 2 (1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为: )2 2,22, (2 221a a a MA MC m -=?=→ →→, 又),,2(1a a a BD --=→ ,),,0(1a a BA -=→ ,设平面 A 1BD 1的法向量为: )2,2,0(2211a a BA BD n =?=→ →→ , 0=?∴→ → n m ,→ → ⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1. ).(III 设点A 到平面A 1 MC 的距离为d, )2 2,22, (2 221a a a MA MC m -=?=→ →→是平面A 1MC 的法向量, 又)0,0,22( a MA =→ ,∴A 点到平面A 1 MC 的距离为:a m MA m d 21 | |||=?=→→ → . 四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲” (1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） 立体几何中的向量方法（理） 1.在正方体111111 ( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A 解析：如图所示，易证BD ⊥平面AA 1C 1C ，又CE ?平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE . 答案：B 2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ， M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ， 则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3 ， ∴MB ＝231A B ，CN ＝2 3 CA ， ∴MN ＝MB ＋BC ＋CN ＝231A B ＋BC ＋2 3CA ＝23(11A B ＋1B B )＋BC ＋2 3(CD ＋DA ) ＝231B B ＋1 3 11B C . 又∵CD 是平面B 1BCC 1的法向量， 且MN ·CD ＝(231B B ＋1 311B C )·CD ＝0， ∴MN ⊥CD ， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案：B 3.(2010·1111 M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为 ( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23 解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM ＝(2，－2,1)，1D N ＝(2,2，－1)， cos 〈CM ，1D N 〉＝－19， sin 〈CM ，1D N 〉＝45 9. 答案：B 4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C —C 1的大小． 解：如图，建立空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ， ∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1. ∴BM ⊥平面A 1C 1C ， 即BM ＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )． 1A C ＝(－2,2，－2)，1A B ＝(－2,0,0)， ∴111120,2220, n A B x n A C x y z ?=-=??=-+-=?? 令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)， 设法向量n 与BM 的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角． ∵cos θ＝|cos φ|＝ n BM n BM ＝1 2，解得θ＝π3 . ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π 3. 5.如图，P －ABCD 1111 其中AB ＝2，PA ＝ 6. (1)求证：PA ⊥B 1D 1； (2)求平面PAD 与平面BDD 1B 1所成锐二面角的余弦值． 解：以D 1为原点，D 1A 1所在直线为x 轴，D 1C 1所在直 线为y 轴，D 1D 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则D 1(0,0,0)，A 1(2,0,0)，B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)， D (0,0,2)，A (2,0,2)，B (2,2,2)，C (0,2,2)， P (1,1,4)． (1)证明：∵AP ＝(－1,1,2)，11D B ＝(2,2,0)， ∴AP ·11D B ＝－2＋2＋0＝0， ∴PA ⊥B 1D 1. (2)平面BDD 1B 1的法向量为AC ＝(－2,2,0)． DA ＝(2,0,0)， OP ＝ (1,1,2)． 设平面PAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DA ，n ⊥DP . ∴????? 2x ＝0，x ＋y ＋2z ＝0， ∴????? x ＝0，y ＝－2z ， 取n ＝(0，－2,1)， 设所求锐二面角为θ，则 cos θ＝n AC n AC ＝|0－4＋0|22×5＝105. 6．(2010·广州调研)如图，已知等腰直角三角形RBC ， 其中∠RBC ＝90°，RB ＝BC ＝2.点A 、D 分别是 RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到 △PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC . (1)求证：BC ⊥PB ； (2)求二面角A －CD －P 的平面角的余弦值． 解：(1)证明：点A 、D 分别是RB 、RC 的中点， ∴AD ∥BC ，AD ＝1 2 BC ， ∴∠PAD ＝∠RAD ＝∠RBC ＝90°， ∴PA ⊥AD ，∴PA ⊥BC ， ∵BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB . ∵PB ?平面PAB ，∴BC ⊥PB . (2)法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF . ∵RA ＝AD ＝1， ∴AF ⊥RC . ∵AP ⊥AR ，AP ⊥AD ， ∴AP ⊥平面RBC . ∵RC ?平面RBC ， ∴RC ⊥AP . ∵AF ∩AP ＝A ， ∴RC ⊥平面PAF . ∵PF ?平面PAF ， ∴RC ⊥PF . ∴∠AFP 是二面角A －CD －P 的平面角． 在Rt △RAD 中，AF ＝12RD ＝ 1 2RA 2＋AD 2＝ 22 ， 在Rt △PAF 中，PF ＝ PA 2＋AF 2＝ 6 2 ， cos ∠AFP ＝AF PF ＝2 262 ＝3 3 . ∴二面角A －CD －P 的平面角的余弦值是 33 . 法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 则D (－1,0,0)，C (－2,1,0)， P (0,0,1)． ∴DC ＝(－1,1,0)，DP ＝(1,0,1)， 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则： n DC x y n DP x z ?=-+=?? =+=??令x ＝1，得y ＝1，z ＝－1， ∴n ＝(1,1，－1)． 显然，PA 是平面ACD 的一个法向量，PA ＝(0,0，－1)． ∴cos 〈n ，PA 〉＝ n PA n PA ＝13×1＝3 3. ∴二面角A －CD －P 的平面角的余弦值是 3 3 . 7．(2009·江西高考改编)如图在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4， AB ＝2.以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点M ，交PC 于点N . (1)求证：平面ABM ⊥平面 PCD ； (2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； 解：法一：(1)证明：依题设知，AC 是所作球面的直径， 则AM ⊥MC . 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， ∴PA ⊥CD . 又CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ， ∵AM ?平面PAD ，∴CD ⊥AM ， 又CD ∩CM ＝C ，所以AM ⊥平面PCD ， ∵AM ?平面ABM ， 所以平面ABM ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AM ⊥PD ，又PA ＝AD ，则M 是PD 的中点，可得AM ＝22且M 到平面ABCD 的距离为2， MC ＝ MD 2＋CD 2＝23， 则S △ACM ＝1 2AM ·MC ＝26，S △ACD ＝4. 设D 到平面ACM 的距离为h ， 由V D －ACM ＝V M －ACD ，即26h ＝8， 可求得h ＝26 3 . 设所求角为θ，则sin θ＝h CD ＝6 3， 即直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值为63 . 法二：(1)同法一； (2)如图所示，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，∴CD ＝(－2,0,0)，AC ＝(2,4,0)． 经典习题平面法向量求法及应用 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到 关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所 示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长 度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规 定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。 一、多选题 1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， 4 ABC S = △，且b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2? ? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ） 对法向量的透彻理解与灵活运用 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6 一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?= D ．() 4BC a b ⊥+ 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122 AE AB AC → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB → →→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =?，则B =（ ） A ．30 B ．45? C ．135? D ．150? 7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =， 则（ ） 平面向量及其应用（一）（学生版） 一、选择题 1、在ABCD Y 中，60BAD ∠=?，E 是CD 上一点， 若 ，则λ等于（ ） B C. 2 D ．3 2、对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，若平面向量a r ，b r 满足，a r 与b r 的夹角，且a b ?r r 和b a ?r r 都在集合中，则a b ?=r r （ ） A B ．1 C D 3、在正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，()24P E EO λλ=≤≤u u u r u u u r ，且平面ABE 与直线PD 交于(),F PF f PD λ=u u u r u u u r ，则（ ） 4、如图，在直角ABC ?中，且2DC BD =u u u r u u u r ，点P 是线段AD 上任一点，则AP CP ?u u u r u u u r 的取值范围是 （ ） A B C D 5、生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半.”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC 中，设O 、H 、G 分别是外心、垂心和重心.下列四个选项错误的是（ ） A.OG GH 2=； B.0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ; C.设BC 边中点为D ，则有AH=3OD ； D. ACG BCG ABG S S S ==?? 6、如图，已知点P 是圆(2 2:1C x y +-=上的一个动点，点Q 是直线:0l x y -=上的一个 动点，O 为坐标原点，则向量OP OQ u u u r u u u r 在向量上的投影的最大值是（ ） C D A P B 一、多选题 1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是 （ ） A ．() 0a b c -?= B ．() 0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?= D ．2a b c ++= 2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8,33?? ??? 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ．8+33 B ．83161+ C ．8﹣33 D ．83161- 6．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（ ） A ．21 B ．61 C ．41 D ．25 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ） 快速求平面的法向量 用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 1 22 x y x y ) ，这更便于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则00 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3， 平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用 云南李学元 一、法向量的定义： 与平面垂直的向量叫平面的法向量 （根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积 a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ a×b的坐标计算 设a=(x1, y1, z1) b=(x2 , y2, z2) 则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc 习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下 作b×a时，把b写在上，把a写在下 练习：已知a=（2，1，0） b =（-1，2，1） （1）求a×b。（2）求b×a 解：a×b= b×a= 注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。 例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量 解：以D ∴A（ E（ F（ ∴AF=（ AE=（ ∴平面AEF的法向量n=( ) 四、法向量在求角中的应用。 1、用法向量求线面角。如图 Θ=1 2 π- 带你走进法向量 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则g n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=??=? g g n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==|||| g l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12 法向量的应用 概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。 主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直， 求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。 一．证线面平行 方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量 垂直。 例题：如图（2），已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面 互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上， 且BM= 31BD ，AN=3 1 AE ， 求证：M N ∥平面CDE 证明：以A 为原点建立如图所示的空间直角 坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,B （3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c) 所以 =（-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c) BM 31==(-a,b,0), 31 ==(0,-b,-c) 所以 ), 0,2(c a -=++=, 又平面CDE 的一个法向量是AD =（0，3b ，0）, 由AD NM ?=（2a,0,-c ）（0，3b ，0）=0,所以AD NM ⊥ 又MN 不在平面CDE 内，所以M N ∥平面CDE 二．证面面平行 方法：证两个平面的法向量平行。 例题：如图，正方体1111C B A O OABC -中， 11,,,F E F E 是中点， 求证：平面1EFB ∥平面11F OE 证明：设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是 平面1EFB ，平面11F OE 的一条法向量，设正方体的棱长是2 则E （2，1，0），F （1，2，0），1B （2，2，2），1E （1，0，2） 1F （0，1，2），所以 )2,0,1(1=OE ，)2,1 ,0(1=OF y x 一、多选题1．题目文件丢失！ 2．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===? C ．14,16,45a b A ===? D ．7,5,80a b A ===? 6．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错 误的是（ ） A ． B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解 C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解 D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解 7．在下列结论中，正确的有（ ） A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．平行向量又称为共线向量 C ．两个相等向量的模相等 D ．两个相反向量的模相等 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或 (,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得 0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长 度等于θsin ||||→ →b a ，（θ为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于 ,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于 θs in ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采 取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向 量， )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 平面法向量的求法 教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量 教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程： 1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法 （1）方程法 例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243 AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值； 【评析】 （2）含0速算法 如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。 例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，1A A = AB =，2AC =，111AC =． （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 【评析】 【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,( (3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α 【评析】 3、应用练习： 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值． 一、多选题1．题目文件丢失！ 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c = C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? 3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?= D ．() 4BC a b ⊥+ 4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A ．() a c b c a b c ?-?=-? B ．() () b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<- D ．( )() 22 323294a b a b a b +?-=- 5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 7．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ） 用好法向量-巧解高考题 用好法向量，巧解高考题 为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概 念：如果非零向量，那么叫做平面的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。 （一）直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线和平面所成的角等于向量所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角） 的余角，即。 (2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心， （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离。 （Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 设，则，，， ，，， ∴ ,， ∴，， 由得，， ∴，，，设平面的法向量为，则，，由，得， ，令得，， ∴平面的一个法向量为， ∴ 与的夹角的余弦值是， ∴ 与平面所成角为。 当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。 （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。 （2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， ,，，点在上，且 ， （I）证明：； （II）求以为棱，与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。 一、多选题1．题目文件丢失！ 2．题目文件丢失！ 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是 2 π 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 6．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122 AE AB AC → →→ =+ B ．2AB EF → → = C ．1133 CP CA CB →→→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 7．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 10．在下列结论中，正确的有（ ） A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．平行向量又称为共线向量 C ．两个相等向量的模相等 D ．两个相反向量的模相等 11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立 一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3 π ，a ＝7，则以下判断正确的是（ ） A ．△ABC 的外接圆面积是493 π ； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16； D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大 值是 3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?= D ．() 4BC a b ⊥+ 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A ．() a c b c a b c ?-?=-? B ．() () b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<- D ．( )() 22 323294a b a b a b +?-=- 6．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b经典习题平面法向量求法及应用
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