材料力学高等教育出版社孙训方
[习题 2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 f=kx**2 ，试做木桩的后力图。
解：由题意可得：
l F,有1
kl 3 F ,k 3F / l 3
fdx
03
l
2 / l3dx F ( x1 / l )3
F N (x1)3Fx
[习题 2-3]石砌桥墩的墩身高 l 10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载 F1000kN ，材料的密度 2.35kg / m 3，试求墩身底部横截面
上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：
N( F G)F Al g2-3图
1000 (32 3.1412) 10 2.35 9.8 3104.942(kN )
墩身底面积：A(3 2 3.1412 ) 9.14( m2 )
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
N3104.942kN
A9.14m2
339.71kPa0.34MPa
[习题 2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7 图
解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：
d (l )
Fdx，
l l
F
dx
F l dx EA(x)0EA( x)E0A(x)
r r1x r 2r1
x r1d2d1
x
d1
，
r2r1l， r l2l2
d2d
1 x d1
2
A(x)u 2，2l2
d (d
2
d
1x
d
1 ) du d
2
d
1 dx
2l22l
2l
dx2l du ，
dx
d2d21 du2l
d2 )
(
du
2 )
d2d1A( x)u(d1u
因此，l
l F dx F l dx2Fl l(
du )
0 EA(x) E 0 A(x)E( d1 d 2 ) 0u 2
l
2Fl1l2Fl1
E(d1 d 2 )u0E(d1 d 2 )d2d1x d1
2l20
2Fl11
E (d1 d 2 ) d2 d 1d1d1
2l
l
2
2
2Fl224Fl
E (d1 d 2 ) d2d1Ed 1d2
[习题 2-10]受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该
材料的弹性常数为 E, ，试求C与D两点间的距离改变量CD 。解：' F / A F
E EA
式中， A(a) 2(a) 24a，故：'F
a F F 4Ea
'
，a a'a
a4Ea4E
a'a F， CD( 32 a) 2( 43 a) 2145 a
4E12
C'D'( 32 a' )2( 43 a') 2145 a'
12
(CD ) C 'D 'CD145 (a'a)145F 1.003F
12124E4E
[习题 2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2， 3材料相同，其弹性模量E210GPa ，已知 l1m ，A1A2100mm2，A3 150mm2，F20kN 。试求C点的水平位移和铅垂位移。
受力图
2-11 图
解：（1）求各杆的轴力
变形协调图
以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。
因为 AB 平衡，所以
X 0 ，N3cos 45o0 ， N 30
由对称性可知，CH0 ， N1N 20.5F 0.5 20 10(kN )（ 2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。
A 点的铅垂位移：l1N 1l10000 N1000mm0.476mm
EA1210000 N / mm2100mm2
B点的铅垂位移：
N 2l10000 N1000mm
0.476mm
l 2
210000 N / mm2 100mm2
EA2
1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、 3
杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到
C点的水平位移：C点的铅垂位移：CH AH BH
l 1 tan 45o0.476(mm) C
l 10.476(mm)
[习题 2-12] 图示实心圆杆AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在A
点作用有铅垂向下的力 F 35kN 。已知杆 AB 和 AC 的直径分别
为 d 1
12mm 和 d 2 15mm ，钢的弹性模量 E 210GPa 。试求 A 点在铅
垂方向的位移。
解：（1）求 AB 、AC 杆的轴力
以节点 A 为研究对象，其受力图如
图所示。
由平衡条件得出：
X 0 ： N AC sin 30o N AB sin 45 o 0
N AC
2N AB ????????? (a)
Y 0 ： N AC cos30o N AB cos45 o 35 0
3N AC
2N AB 70 ?????? (b)
(a)(b)联立解得：
N AB N 1 18.117kN
；
N AC N 2 25 .621kN
（2）由变形能原理求
A 点的铅垂方向的位
移
1
N 12l 1 N 22l 2
F
A
2EA 2
2
2EA 1
A
1 (
N 12 l 1
F EA 1
式中， l 1
1000 / sin 45o
2
N 2 l
2 )
EA 2
1414(mm) ； l 2 800 / sin 30 o 1600(mm)
A 1 0.25 3.14 12 2 1 1 3mm 2
；A 2
0.25 3.14 152
177mm 2
故：
1 18117
2 1414 256212 1600 1.366(mm)
A
(
113
210000 )
35000 210000 177
[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径
d1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生
的线应变为 0.0035，其材料的弹性模量 E 210GPa ，钢丝的
自重不计。试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前
可认为符合胡克定律）；
（2）钢丝在 C 点下降的距离；
（3）荷载 F 的值。
解：（1）求钢丝横截面上的应力
E210000 0.0035735( MPa )
（2）求钢丝在 C 点下降的距离
Nl l2000
l7357( mm) 。其中，AC和BC各
EA E210000
3.5mm 。
1000
cos0.996512207
1003.5
1000o
a r c c o s ( ) 4.7 8 6 7 3 3 9
1 0 0.53
1000 tan 4.7867339 o83.7(mm)
（3）求荷载 F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
Y 0 ： 2N sin a P0
P 2 N sin a 2 Asin
2 7350.25 3.1412sin 4.787096.239( N )
[习题 2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载F=20KN, 三根钢杆的横截面积分别为
A1=12 平方毫米， A2=6 平方毫米， A,3=9 平方毫米，杆的弹性
模量 E=210Gpa ，求：
（ 1） 端点 A 的水平和铅垂位移。
（ 2） 应用功能原理求端点 A 的铅垂位移。
解：（1）
l F,有
1
kl
3
F fdx
3
k 3F / l 3
l 3Fx 2 / l 3dx F (x 1 / l )
3
F N (x 1)
F N 3 cos 45
F
N 1
F 2 F N 3 sin 45
F 0
F 0.45
F
N1 0.15 0
F 1 60KN , F 1 401KN , F 1
0KN ,
由胡克定理，
F N 1l
60 107
0.15
3.87
l 1
210 109 12 10 6 EA 1
F N 2l 40 107
0.15 4.76
l 2
EA 2 210 109 12 10 6
从而得， A x
l 2
4.76，
A y
l 2 2 l 1
3
（ ）
20.23
（ 2）
V
F A y F 1 l 1 +F 2 l 2 0
A y 20.33（ ）
[习题 2-17] 简单桁架及其受力如图所示，
水平杆 BC 的长度 l 保
持不变，斜杆 AB 的长度可随夹角
的变化而改变。两杆由同一
种材料制造， 且材料的许用拉应力和许用压应力相等。
要求两杆
内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：
（1）两杆的夹角；
（ 2）两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力
取节点 B 为研究对象，由其平
衡条件得：
Y
N AB sin
F 0
N
AB
F
sin
X 0
N AB cos
N
BC
N
BC
N AB cos
F
cosF cot
sin
2-17
（2）求工作应力
N
AB
F
AB
A A
B sin A
AB
N
BC
F cot
BC
A
BC
A
BC
（3）求杆系的总重量
W
V
( A AB l AB
A BC l BC ) 。
是重力密度（简称重度，
单位： kN / m 3 ）。
(A AB
l
A BC
l ) cos
l ( A AB
1
A BC )
cos
（4）代入题设条件求两杆的夹角
条件①： N AB F
[ ] ， F AB
A A
B sin
A AB
A AB
[ ] sin
N
BC
F cot
[ ] ，
A
BC
F c o t
BC
A
BC
[ ]
A
BC
条件⑵： W 的总重量为最小。
1
1
Wl ( A AB
cos
A BC )
l ( A
AB
cos
A BC )
l (
F
1 F cot
Fl
1
cos ] sin
cos
[
)
(
sin cos
)
[ ]
[ ] sin
Fl
1 cos
2 2Fl
1
cos 2
sin
cos
sin 2
从 W 的表达式可知， W 是 角的一元函数。当 W 的一阶导
数等于零时， W 取得最小值。
dW 2Fl
2cos sin
sin 2
(1 cos 2 ) cos2 2
d
sin 2 2 0
sin 2 2
3
cos2 cos2 2 0
2
sin 2 2
3cos 2
cos 2 2
3 cos2
1
， cos2
0.3333
2
arccos( 0.3333) 109.47 o
，
54.74o 54 o 44'
（5）求两杆横截面面积的比值
A
AB
F ， A BC
F cot
] sin
[ ]
[
F
A
AB
[ ] sin
1 1 A
BC
F cot sin
cot
cos
[ ]
因为：
3cos2
，
2 cos
2
1
1，
cos
2
1
1
3
3
cos
1 ， 1 3
3 cos
A
AB
所以：3
A
BC
[习题 2-18] 一桁架如图所示。
各杆都由两个等边角钢组成。
已知材料的许用应力
[ ] 170MPa ，试选择AC和CD
的角钢型号。
解：（ 1）求支座反力
由对称性可知，
R A R B220kN ( )
（2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力
以A 节点为研究对象，由其平
衡条件得：
Y 0 2-18
R A N AC cos0
R A220
N AC366.667(kN )
sin 3 / 5
以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：
X0
N
CD N AC cos0
N
CD N AC cos2204 / 5 293.333(kN)
3/ 5
（ 3）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号
AC 杆：
N AC366667 N
2156.86mm221.569cm2
A AC
170N / mm2
[ ]
选用 2∟80 7（面积210.8621.72cm 2）。
CD 杆：
N CD293333 N
1725.488mm217.255cm2
A CD
170N / mm2
[ ]
选用 2∟75 6（面积28.79717.594cm2）。
[习题 2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[] 170MPa ，材料的弹性模量 E210GPa ，杆AC及EG可
视为刚性的。试选择各杆的角钢型
号，并分别求点D、C、 A 处的铅垂
位移D、C、A。
解：（1）求各杆的轴力
N
AB 3.2300240(kN)
4
N
CD0.830060( kN)
4
M F0
N GH 3 300 1.5 60 1.2 0
2-19
N
GH 1
(450 72) 174( kN) 3
Y0
N EF174 60 3000
N EF186( kN)
（2）由强度条件确定 AC 、CD 杆的角钢型号
AB 杆：
A
AB N
AB240000 N
1411.765mm
2
14.12cm
2 [ ]170N / mm2
选用 2∟9056 5（面积27.21214.424cm2）。CD 杆：
A
CD N
CD60000 N352.941mm2 3.529cm2 [ ]170N / mm2
选用 2∟4025 3（面积2 1.89 3.78cm 2）。EF 杆：
A EF N
EF186000 N1094.118mm210.412cm2 [ ]170N / mm2
选用 2∟7045 5（面积2 5.60911.218cm2）。GH 杆：
A
GH N
GH174000 N
1023.529mm
2
10.353cm
2 [ ]170N / mm2
选用 2∟7045 5（面积2 5.60911.218cm2）。（3）求点 D、C、 A 处的铅垂位移D、C、A
l AB N
AB
l
AB2400003400
2.694 2.7( mm) EA AB2100001442.4
l CD N
CD
l
CD6000012000.907(mm) EA CD210000378
l EF N
EF
l
EF1860002000 1.580(mm) EA EF2100001121.8
N GH l
GH
174000 2000
l
GH
210000 1.477( mm)
EA GH
1121.8
EG 杆的变形协调图如图所示。
D
l GH 1.8
l EF
l GH 3
D
1.477 1.8
1.580 1.477 3
D
1.54( mm)
C
D
l
CD
1.54 0.907
2.45(mm)
A
l
AB
2.7( mm)
[习题 2-21] （1）刚性梁 AB 用两根钢杆 AC 、BD 悬挂着，其受 力如图所示。已知钢杆
AC 和 BD 的直径分别为
d 1 25mm 和
d 2 18mm ，钢的许用应力 [ ] 170MPa ，弹性模量 E
210GPa 。试校
核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 l AC 、 l BD 及 A 、B 两点的竖
向位移 A 、 B 。
解：（1）校核钢杆的强度
① 求轴力
3 N AC
100 66.667( kN)
4.5
1.5
N BC 100 33.333(kN )
② 计算工作应力
N AC 66667 N
AC
0.25 3.14 252 mm 2
A
AC
135.882MPa
BD N
BD33333N
2-21 A
BD0.25 3.14 18 2 mm2
131.057MPa
③因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力
170MPa，即AC[ ] ；BD[ ] ，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。
（2）计算l AC、l BD
N AC l AC666672500
1.618(mm) l AC
210000490.625
EA AC
N
BD l
BD333332500
l BD
2100001.560(mm)
EA BD254.34
（3）计算 A 、B 两点的竖向位移 A 、B
A l AC 1.618(mm)
，B l BD 1.560( mm)
[习题 3-2]实心圆轴的直径 d100mm，长 l 1m ，其两端所受外力偶矩 M e14kN m ，材料的切变模量
G80GPa 。试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转
角；
（2）图示截面上 A 、B、 C 三点处切应力的数值及方向；
（3）C 点处的切应变。
解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角
max
T M e。W p W p
式中， W p 1 d31 3.14159 1003196349(mm3 ) 。3-2 1616
故：
max
M e 14
106 N mm
71.302MPa
W p
196349mm 3
T l ，
式
中
，
GI p
I p
1 d 4 1 3.14159 1004 9817469(mm 4 ) 。故： 32
32
T l
14000 N m 1m
o
GI p 80 10 9 N / m 2 9817469 10 12 m 4 0.0178254 (rad )
1.02
（2）求图示截面上 A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向
A
B
max
71.302MPa ， 由横截面上切应力分布规律
可知：
1 0.5 71.30
2 35.66MPa ， A 、B 、 C 三点的切应
C
B
2
力方向如图所示。
（3）计算 C 点处的切应变
C C
35.66MPa 4.4575 10 4
0.446 10 3
G
80 103 MPa
[习题 3-3] 空心钢轴的外径 D 100mm ，内径 d 50mm 。已知间距
为 l
2.7m 的两横截面的相对扭转角
1.8o ，材料的切变模量
G 80GPa 。试求：
（ 1）轴内的最大切应力；
（ 2）当轴以 n 80r / min 的速度旋转时，轴所传递的功率。
解；（1）计算轴内的最大切应力
I p
1
D 4(1
4 )
1 3.14159 1004 (1 0.54 ) 9203877( mm 4 )
32
32
。
W p1D3 (1 4 )1 3.14159 1003(1 0.54 ) 184078(mm3 ) 1616
式中， d / D 。
T l，
GI p
GI p 1.8 3.14159 / 18080000 N / mm29203877 mm4
T
l2700mm
8563014.45N mm8.563(kN m)
T8563014 .45N mm
max W p184078mm346.518MPa
（ 2）当轴以n80r / min 的速度旋转时，轴所传递的功率
T M e 9.549N k
9.549
N k
8.563(kN m) n80
N k8.563 80/ 9.54971.74(kW )
[习题 3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为 0.2kN ，已知轴
材料的许用切应力[ ]40 MPa ，试求：
（1） AB 轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。
解：（1）计算 AB 轴的直径
AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶
矩相等：
M e左M e右 0.20.4 0.08(kN m)
M
e主动
轮2M
e右0.16(kN m)
扭矩图如图所示。
3-5
由 AB 轴的强度条件得：
M
e右16M e右
[]
max
W p d 3
d 316M e右16 80000N mm21.7mm
3
40N / mm2
[ ] 3.14159
（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
M
e主动轮M
e从动轮
， M e从动轮0.35
0.20.35
0.16 0.28(kN m) 0.20
由卷扬机转筒的平衡条件得：
P 0.25M
e从动轮，P0.250.28 P0.28 / 0.25 1.12( kN) [习题3-6]已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D60mm，内径d50mm，功率P7.355kW ，转速n180r / min ，钻杆入土深度l40m ，钻杆材料的G80GMPa ，许用切应力[ ]40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
（3）两端截面的相对扭转角。
解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
M e
N k7.355
0.390(kN m) 9.5499.549
n180
设钻杆轴为 x 轴，则：M x 0 ，ml M e，
M e0.390
m0.00975 (kN / m)
l40
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
T (x)mx0.39 x0.00975x 。x [0,40]
40
T (0)0 ； T ( 40) M e0.390(kN m)
扭矩图如图所示。
M e
②强度校核，max
W p
式中，
W p1 D 3(1 4 )1 3.14159 603[1 (50)4] 2(mm3 )1 161660
max M e390000N mm
17.761MPa W p21958mm3
因为
max17.761MPa ， [ ]40MPa ，即m ax[ ] ，所以轴的强度足够，不会发生破坏。
（ 3）计算两端截面的相对扭转角
40T (x)dx
0GI p
式中，
I p 1
D4(1 4 )1 3.14159 604 [1(
50
)4] 6(mm4 )5 323260
40 |T ( x) | dx1400.00975
4
[x2
40 0
GI p
0.00975xdx6212
2
]0
80 10 kN / m65875210m
GI p
0.148(rad )8.50
[习题 3-8] 直径d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶 M e6kN m ，而在圆杆表面上的 A 点将移动到 A 1点，如图所示。已知s AA13mm ，圆杆材料的弹性
模量 E 210GPa ，试求泊松比 （提示：各向同性材料的三个弹性
常数 E 、G 、 间存在如下关系： G
E
。
2(1
)
解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：
T
M
e 6kN m
。设
O,O
两截
1
面之间的相对对转角为
，则 s
d ， 2
s ，
T l 2 s 式
2
d
GI P
d
中
，
I p
1
d 4
1 3.14159 504 6 (mm 4 ) 1
3
32
32
3-8
T l d
6 106 N mm 1000mm
50mm
G
s
2 613592mm 4
81487.372MPa 81.4874GPa
2I p 3mm
由 G
E
得：
E
210
) 1
2 1 0.289
2(1
2G
81.4874
[习题 3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实
心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为
d ；
空心轴的外径为 D ，内径为 d 0，且
d 0
0.8。试求当空心轴与实心 D 轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（
等时的重量比和刚度比。
max
[ ]
），扭矩 T 相
解：（1）求空心圆轴的最大切应力，
并求 D 。
T
max
W p
式中， W p
1
D 3(1
4
) ，故：
16
max,空
16T
27.1T [ ]
D 3(1
0.84 )
D 3
D 327.1T
[ ]
3-10
（1）求实心圆轴的最大切应力
max
T
，式中， W p1d 3，故：
max,实16T16T[ ] W p16d3 d 3
d 316T ，(D)327.1T[] 1.69375 ，D
1.192
[ ]d[ ]16T d （3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比
W空22
0.25 ( D d0 ) l(D
) 2(1 0.82)0.36(
D
)20.36 1.1 9 22 0.5 1 2
W实0.25 d 2l d d （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
I p空GI
p 空GI
p 实1 D 4(10.84 )0.01845 D 4， I p实1d 40.03125 d 4 3232
0.01845D 4D4
0.59044 1.192
0.03125 d 4
0.5904( ) 1.192
d
[习题 3-11] 全长为l，两端面直径分别为d1 ,d 2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩M e
，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。
解：如图所示，取微元体dx ，则其两端面之间的扭转角为：M e dx
d
GI P
式中， I p1d 4
32
r r1x
r2r1l
材料力学第五版课后答案 [习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度 3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积： )(14.9)114.323(22m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(x EA Fdx l d = ? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=??? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+-
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3 /35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ [习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(x EA Fdx l d =? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=?? ? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212u du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ 因此， )()(2)()(2 02100 u du d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l ??? --===?π l l d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0112 21021221)(21)(2?? ???? ????? ?+--=??? ???-=ππ ???? ? ? ??? ???-+ --=21221)(2111 221d d l l d d d d E Fl π ??? ???--= 122122)(2d d d d E Fl π2 14d Ed Fl π= [习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A =??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为 极限应力理想情形。 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横
截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??== l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl =? 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d == '??，][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系 )() (x q dx x dQ =； ()()x Q dx x dM =；()()()x q dx x dQ dx x M d ==2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 c ）在梁的某一截面。 ()()0==x Q dx x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。
. 材料力学第五版课后答案 [习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度 3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 ; )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积： )(14.9)114.323(22m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-== σ
—
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(x EA Fdx l d = ? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=??? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+- \
材料力学 高等教育出版社 孙训方 [习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解 ： 墩 身 底 面 的 轴 力 为 ： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3 图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： ) ()(x EA Fdx l d = ? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00 ) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 2 2 11 222)(u d x l d d x A ?=??? ??+-=ππ， dx l d d du d x l d d d 2)22( 1 2112-==+- du d d l dx 1 22-= ，)()(22)(221212u du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ 因此， )()(2)()(2 02100 u du d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l ??? --===?π l l d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0 112 21021221)(21)(2?? ???? ??????+--=??? ???-=ππ ???? ? ? ??? ???-+ --=21221)(2111 221d d l l d d d d E Fl π ??? ???--= 12 2122)(2d d d d E Fl π214d Ed Fl π=
2012最新版孙训方材料力学第五版 课后题答案 [习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3 /35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ [习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：
) ()(x EA Fdx l d = ? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00)()( l x r r r r =--121，2 2112112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=?? ? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212u du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ 因此， )()(2)()(2 02100 u du d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l ??? --===?π l l d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0 11 221021221)(21)(2?? ???? ??????+--=??? ???-=ππ ???? ? ? ??? ???-+--=21221)(211 1 221d d l l d d d d E Fl π ??? ???--=12 2122)(2d d d d E Fl π214d Ed Fl π= [习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD ?。 解：EA F E A F νν νεε- =-=-=/'
第二章轴向拉伸和压缩 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 页 2-8 2-9 下 横截面上的轴力，并作轴力图。 2-1 试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。 （a）解：解 ； ； （b）解：解 ； ； （c）解：解 ； 。 (d) 解： 。 返回上的轴力， 2-2 试求图示等直杆横截面 1-1，2-2 和 3-3 上的轴力，并作轴力图。并作轴力图。若横截面面积上的应力。上的应力。，试求各横截面 解： 返回 2 -3 上的轴力，试求图示阶梯状直杆横截面 1-1，2-2 和 3-3 上的轴力，并作轴力图。作轴力图。若横截面面积，， ，并求各横截面上的应力。并求各横截面上的应力。 解： 返回图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，75mm× 的等边角钢。拉杆和中间竖向撑杆用角钢
构成，其截面均为两个75mm×8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为应力。应力。的竖直均布荷载。的竖直均布荷载。试求拉杆 AE 和 EG 横截面上的 解： 1）求内力 = 取 I-I 分离体 得 （拉） 取节点 E 为分离体 ， 故 2）求应力 （拉） 75×8 等边角钢的面积 A=11.5 cm2 (拉) （拉） 返回 2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力 5(2- ，杆的横截面面积 。 表示斜截面与横截面的夹角，30 ，45 ，60 ，90 时如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解： 返回一木桩柱受力如图所示。的正方形， 2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长 200mm 的正方形，材料 6(2GPa。如不计柱的自重，试求：可认为符合胡克定律，可认为符合胡克定律，其弹性模量 E=10 GPa。如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；各
第二章 轴向拉伸和压缩 2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ）解： ； ； （b ）解： ； ； （c ）解： ； 。 (d) 解： 。 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度 3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--=
墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-== σ 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为 的竖 直均布荷载。试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。 解： = 1） 求内力 取I-I 分离体 得 （拉） 取节点E 为分离体 ， 故 （拉） 2） 求应力 75×8等边角钢的面积 A =11.5 cm 2
(拉) （拉） 2-5图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解：
2-6 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。 解：（压） （压）
材料力学第五版课后答案 [习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： 33 233 110 ,,3/()3/(/)l l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====? ?1 有3 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度 3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积： )(14.9)114.323(22m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： )()(x EA Fdx l d = ? ，??==?l l x A dx E F dx x EA F l 00) ()( l x r r r r =--121，22112 112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22 11 222)(u d x l d d x A ?=??? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112 -==+-
第二章轴向拉伸和压缩 2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a）解：；；（b）解：；； （c）解：；。(d) 解：。 2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx2（k为常数），试作木桩的轴力图。 解：由题意可得：
?0l Fdx=F,有1/3kl 3=F,k=3F/l 3 F N （x 1）=? 1x 3Fx 2/l 3dx=F(x 1 /l) 3 2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载F=1000KN ，材料的密度ρ=2.35×103kg/m 3，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-== σ 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑 杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为 的 竖直均布荷载。试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。
解：= 1）求内力 取I-I分离体 得（拉） 取节点E为分离体 ， 故（拉）2）求应力 75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2 (拉) （拉）
2-5 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。如以表示斜截面与横 截面的夹角，试求当 ，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用 图表示其方向。 解： 2-6 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。如不计柱的自重，试求：
材料力学高等教育出版社孙训方 [习题 2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 f=kx**2 ，试做木桩的后力图。 解：由题意可得： l F,有1 kl 3 F ,k 3F / l 3 fdx 03 l 2 / l3dx F ( x1 / l )3 F N (x1)3Fx [习题 2-3]石砌桥墩的墩身高 l 10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载 F1000kN ，材料的密度 2.35kg / m 3，试求墩身底部横截面 上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： N( F G)F Al g2-3图 1000 (32 3.1412) 10 2.35 9.8 3104.942(kN ) 墩身底面积：A(3 2 3.1412 ) 9.14( m2 ) 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 N3104.942kN A9.14m2 339.71kPa0.34MPa
[习题 2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7 图 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： d (l ) Fdx， l l F dx F l dx EA(x)0EA( x)E0A(x) r r1x r 2r1 x r1d2d1 x d1 ， r2r1l， r l2l2 d2d 1 x d1 2 A(x)u 2，2l2 d (d 2 d 1x d 1 ) du d 2 d 1 dx 2l22l 2l dx2l du ， dx d2d21 du2l d2 ) ( du 2 ) d2d1A( x)u(d1u 因此，l l F dx F l dx2Fl l( du ) 0 EA(x) E 0 A(x)E( d1 d 2 ) 0u 2 l 2Fl1l2Fl1 E(d1 d 2 )u0E(d1 d 2 )d2d1x d1 2l20 2Fl11 E (d1 d 2 ) d2 d 1d1d1 2l l 2 2 2Fl224Fl E (d1 d 2 ) d2d1Ed 1d2