知识讲解_指数函数及其性质
_基础
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
指数函数及其性质
要点一、指数函数的概念：
函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，
12x
y =，31x y =+等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a =，则000x x ?>??≤??x
x
时，a 恒等于，
时,a 无意义.
②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11
,,24
x x ==???时，在实数范围内函数
值不存在．
③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x
0
图象
性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞） ②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，00时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x
y a =与1x
y a ??
= ???
的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
① x
y a = ②x
y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数
11
2,3,(),()23
x x x x y y y y ====的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若0A B A B ->?>；0A B A B -
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A
B
<即可．
【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2
【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，
可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠?
且解得12,01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =．
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数
（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；
（5）1
(21)(1)2
x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x
??
???，符合指数函数的定
义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)313x
x
y =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)
【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2??
-+∞????
[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪
[1，+∞)
[1，a)∪(a ，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).
∵ (13)11
11313
x x x
y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <
<+， ∴ 1
1013
x
-<-<+， ∴ 1
01113x
<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 2
1
2=x 即 x=-1时，y 取最
小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4
3
).
(3)要使函数有意义可得到不等式211
309
x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所
以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2??
-+∞????
，值域是[)0,+∞.
(4)∵
01
1
112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵
11
1
011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a
y a y x x
x x
≠=≥=-+-+11
211
21且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+
∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中
11
2
111≠+-=+-x x x 不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域： (1)2
-12x y =
(2)y =
(3)y =
0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0 [)0+∞， 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0 [)0+∞， . 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x x f x -?? = ? ?? 的单调性，并求其值域． 【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x -?? > ? ?? 恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区 间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】 解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2， ∴222 221()3x x f x -?? = ? ?? ，211 211()3x x f x -?? = ? ?? ， 222 22 21212121211 22()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--?? ????? ??=== ? ????? ?? ??? ． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2) 113x x x x -+-?? > ? ?? ． 又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增． （2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知 2121()(2) 1013x x x x -+-??<< ??? ．∴21()()f x f x <． ∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减． 综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数． ∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221 110333x x --?? ?? <≤= ? ??? ?? ． ∴函数()f x 的值域为（0，3]． 解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3u f u ?? = ??? ． ∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3u f u ?? = ???在其定义域内是减函数， ∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数． 又1()3u f u ?? = ???在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数， ∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法同解法一． 【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a =的单调与()y f x =的单调性相反． 举一反三： 【变式1】求函数2 323x x y -+-=的单调区间及值域. 【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3 [,)2 x ∈+∞上单减. 1 4(0,3] 【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ； [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ， 其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3 (,]2 x ∈-∞上单增，
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