2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++??y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________.
二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.
三、（15分）设函数)(x f 连续，?
=10
d )()(t xt f x g ，
且A x
x f x =→)
(lim 0
，A 为常数，
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）??
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe .
五、（10分）已知x
x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
八、（10分）求-
→1x 时, 与∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（25分，每小题5分）
（1）设22(1)(1)(1),n
n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞
（2）求2
1lim 1x x
x e
x -→∞
??
+ ???
。 （3）设0s >，求0
(1,2,)sx n I e x dx n ∞
-=
=?
L 。
（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??
== ???
，求2222g g x y ??+??。
（5）求直线10:0
x y l z -=??=?与直线2213
:421x y z l ---==
--的距离。
二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且
()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞
→-∞
''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。
三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2
2(1)()
x t t t y t ψ?=+>-?
=?所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2
2
1
3
2t u y e du e
-=+
?
在1t =出相切，求函数()t ψ。
四、（15分）设1
0,,n
n n k k a S a =>=
∑证明：
（1）当1α>时，级数
1n n n
a S α+∞
=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n n
a S α+∞
=∑发散。
五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中222
1)αβγ++=的直线，均匀椭球
222
222
1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。
六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线
积分
422()c
xydx x dy
x y ?++??的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线2
2
(2)1,x y -+=证明
422()0;c
xydx x dy
x y ?+=+?? （2）求函数()x ?；
（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()c
xydx x dy
x y ?++??。
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求11cos 0sin lim x
x x x -→??
???
；
（2）.求1
11lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++?
?；
（3）已知()2ln 1arctan t
t x e y t e ?=+?
?=-??
，求22d y dx 。
二．（本题10分）求方程
()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
()()()'"0,0,0f f f 均不为
0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得
()()()()
1232
230lim
0h k f h k f h k f h f h
→++-=。
四．（本题17分）设
222
1222:1x y z a b c
∑++=，其中0
a b c >>>，
2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。
五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231
x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部
分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P
x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切
平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）(),,S
z
dS x y z ρ??；（2）()3S z x y z dS λμν++??
六．（本题12分）设f(x)是在
(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其
中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：
()11
n
n n a
a ∞
-=-∑绝对收敛。
七．（本题15分）是否存在区间
[]0,2上的连续可微函数f(x)，
满足()()021f f ==， ()()2
01,1f
x f x dx ≤≤?、
？请说明理由。
2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）
(1) 求极限2
1
)!(lim n n n ∞
→
(2) 求通过直线?
??=+-+=+-+034550
232:z y x z y x l 的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中
一个平面过点)1,3,4(-。
(3) 已知函数by
ax e
y x u z +=),(，且02=???y
x u
。确定常数a 和b ，使函数),(y x z z =满足方程
02=+??-??-???z y
z
x z y x z (4) 设函数)(x u u =连续可微，1)2(=u ，且udy u x udx y x )()2(3+++?在右半平面与路径无关，求),(y x u 。
(5) 求极限dt t
t t
x x x x cos sin lim 13+?++∞→
二、（本题10分）计算dx x e x sin 20
-∞+?
三、求方程50121
sin
2-=x x
x 的近似解，精确到0.001. 四、（本题12分）设函数)(x f y =二阶可导，且0)(>''x f ，0)0(=f ，0)0(='f ，
求u x f u f x x 330sin )()
(lim →，其中u 是曲线)(x f y =上点))(,(x f x P 处的切线在x 轴上的截距。
五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足1)(10
=?
dx x f 的连续函数)(x f 都 有
C dx x f ≤?
)(10
六、（本题12分）设)(x f 为连续函数，0>t 。区域Ω是由抛物面22y x z += 和球面2222t z y x =++)0(>z 所围起来的部分。定义三重积分 dv z y x f t F )()(222++=???Ω
求)(t F 的导数)(t F ''
七、（本题14分）设n n a ∑∞
=1
与n n b ∑∞
=1
为正项级数，证明：
（1）若()01
lim 11>-++∞→n n
n n n b b a a ，则级数n n a ∑∞
=1收敛； （2）若()01
lim 11<-++∞→n n
n n n b b a a ，且级数n n b ∑∞=1发散，则级数n n a ∑∞
=1发散。
2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.
求极限(
lim 1sin n
n →∞
+.
2.证明广义积分
sin x
dx x
+∞
?
不是绝对收敛的 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
4.
过曲线)0y x ≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的
面积为3
4
，求点A 的坐标。
二、（满分12）计算定积分2
sin arctan 1cos x
x x e I dx x
π
π
-?=
+?
三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数()0f ''，且()
lim
0x f x x
→=。证明 ：级数11n f n
∞
=??
???
∑收敛。
四、（满分12分）设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明()2
sin b
a f x dx m
≤
?
五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑
=-+-+-??。试确定曲面
∑，使积分I 的值最小，并求该最小值。
六、（满分14分）设()()
2
2a a
C
ydx xdy
I r x
y
-=+?
?，其中a 为常数，曲线C 为椭
圆222x xy y r ++=，取正向。求极限()lim
a r I r →+∞
七（满分14分）判断级数()()
1111212n n n n ∞
=+
++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和。
2014年 全国大学生数学竞赛预赛试题
一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)
1. 已知x e y =1和x
xe y =1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___
_________________________________
2. 设有曲面2
2
2:y x z S +=和平面022:=++z y x L 。则与L 平行的S 的切平面方程是
_______________________________ 3. 设函数)(x y y =由方程?
-??
?
??=
x
y dt t x 1
24sin π所确定。求
==0x dx dy _______________ 4. 设∑=+=
n
k n k k
x 1
)!1(。则=∞→n n x lim ______________________ 5. 已知3
1
)(1lim e x x f x x
x =??
? ??
++→。则=→20)(lim x x f x ____________________
二、 （本题12分）设n 为正整数，计算?
-??
?
??=
1
21ln cos π
n e dx x dx d I 。
三、 （本题14分）设函数)(x f 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数B A ,使得
B x f ≤|)("|。证明：对任意]1,0[∈x ，有2
2|)('|B A x f +
≤。
四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R 。证明该球缺体积为
2)3(3
h h R -π
。球冠面积为Rh π2；
（2）设球体12)1()1()1(2
22≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截得小球缺为Ω，记球冠为∑，方向指向球外。求第二型曲面积分
??∑
++=zdxdy ydzdx xdydz I
五、 （本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得
?-=
b a n
n n dx x f a
b x f )]([1)]([。求n n x ∞→lim
六、 （本题15分）设2222221n n n n n n n A n ++++++=Λ。求??
?
??-∞→n n A n 4lim π
2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞?? ?+++= ?+++ ???
L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ??
+
+= ???
所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠。则z z
x
y x y
??+=?? . （3）曲面2
2
1z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .
（4）函数()[)[)
3,5,00.0,5x f x x ?∈-?=?
∈??在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的值是 . （3）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为的()2
xt u x e dt +∞
-=?
，则()u x 的初等函数表
达式是 .
二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。
三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有
()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导。
四、（14分）求幂级数()()30211!
n
n n x n ∞
=+-+∑的收敛域，及其和函数。
五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11
0,1f x dx xf x dx ==??
。试证：
（1）[]00,1x ?∈使()04f x > （2）[]10,1x ?∈使()14f x =
六、（16分）设(),f x y 在2
2
1x y +≤上有连续的二阶偏导数，且222
2xx xy yy f f f M ++≤。
若
()()()0,00,0,00,00,x y f f f ===证明：
(
)221
,4
x y f x y dxdy +≤≤
??
。
2016年 第八届全国大学生数学竞赛
一、填空题（每小题5分，满分30分）
1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim n
n f a n f a →∞
????+ ? ???
?= ? ???
.
2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()
2
20
sin cos tan 3lim
1sin x x f x x x
I e
x
→+=-.
3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记(
)
2x z f e y =，若z
z x
?=?，求()f x 在0x >的表达式.
4、设()sin 2x f x e x =，求02
n a <<π
，()
()40f
.
5、求曲面2
2 2
x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.
二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<， 试证当()0,1a ∈，()()()2
30
a
a
f x dx
f x dx >?
?
.
三、（14分）某物体所在的空间区域为2
2
2
:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为
222x y z ++，求质量()
222M x y z dxdydz Ω
=++???.
四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，
证明：()10
111lim 2n
n k k n f x dx f
n n →∞=??
??-=- ? ?
????
∑?.
五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1
0I f x dx =
≠?，证明：在()0,1内
存在不同的两点12,x x ，使得()()12112
f x f x I
+=.
六、设()f x 在(),-∞+∞可导，且()(
)(2f x f x f x =+=. 用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线
2020年全国大学生趣味百科知识竞赛题库及答 案（精选100题） 1人类第一次使用毒气战是在？A一战B二战C海湾战争（A） 2蜗牛最多可睡多长时间？A两年B三年C四年D五年（B） 3全世界有多少种蜻蜓？A800多种B1500多种C4500多种（C） 4用什么水煮饭最好？A冷水B温水C热水（C） 5牛马的年轮长在？A耳朵上B牙齿上C蹄子上（B） 6伞是由哪国人发明的？A中国B英国C德国D日本（A） 7笛子是哪国人发明的？A中国B瑞典C丹麦D土耳其（C） 8人类对哪种味道最为敏感？A甜B酸C苦D咸（C） 9辣椒原产地？A南美洲B北美洲C亚洲D非洲（A） 10火车的门前写YC表示？A硬座B硬卧C软卧D餐车（A） 11“音乐”最早出现在？A《诗经》B《乐府诗集》C《吕氏春秋》（C） 12美国的国球是？A棒球B橄榄球C高尔夫球（A） 13京剧起源于？A唐朝B宋朝C明朝D清朝（D） 14慈禧曾几次垂帘听政？A一次B两次C三次D四次（C） 15“愚人节”起源于？A英国B法国C德国D美国（B） 16羽毛球的羽毛材料？A鸡毛B鸭毛C鹅毛（C） 17蛇在哪种情况下射出毒液多？A攻击时B防御时（A） 18诺贝尔奖没有哪项？A数学B物理（A）
19书法中的“柳体”指的谁？A柳宗元B柳公权（B） 20电视机是谁发明的？A贝尔B贝尔德C爱迪生（B） 21“刘福荣“是谁的真名？刘德凯B刘欢C刘德华（C） 22哪种糖纯度最高？A红糖B白糖C冰糖（C） 23“都柏林”在哪个国家？A爱尔兰B德国C英格兰C法国（A）24第一个举办奥运会的亚洲国家？A日本B韩国C印度D马来西亚（A） 25悉尼歌剧院设计者是哪国人？A丹麦B法国C瑞典D澳大利亚（A） 26“互联网”最初用在？A商业方面B军事方面（B） 27最早使用“√”做批语的是？英国老师B法国老师C中国老师（A）28夏季里会叫的蝉是？A雌蝉B雄蝉（B） 29中国记者节在哪一天？A10月8日B11月8日C12月8日（A）30汽车中安全袋里的气体是？A氖气B氮气C氩气D氙气（B）31吃人参的最佳时候？A早晨空腹B中午饭后C晚上饭后（A）32世界上大约有多少种植物？A40万种B400万种C4000万种（A）33地壳中含量最多的元素？A氮B氧C铝D硅（B） 34象脚鼓是哪个民族乐器？A朝鲜族B苗族C傣族D赫哲族（C）35太阳系中最亮的行星？A水星B金星C土星D木星（B） 36蚊子最怕什么味道？A酒味B汗味C漂白粉味（C） 37哪一个含钙最多？A虾皮100克B芝麻酱100克（B） 38古代“如意”最早指？A痒痒挠B美容用具C儿童玩具D祈福
2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：
lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n ,且n e u n =)1(,求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时,与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 10月16日 1:求极限3 0sin arctan lim x x x x -→. 2:已知 ,0)0(,1)0(=='f f 求)2 (lim n nf n ∞ →. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<< +n x x x n n π求: (1) 证明n n x ∞ →lim 存在, (2)计算1 1)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知 )(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1) (lim ,0)0(0 =-=→x x f f x 则在点0 =x 处 )(x f (A) 不可导 (B) 可导,且 ,0)0(≠'f (C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设 ,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 . 6：求对数螺线θ ρe =在点)2,(2 π πe 处得切线的直角方程. 7：计算dx e e x x )(0 cos cos ? --π . 8：计算dx x x ? ++4 2 ) 2() 1ln(. 9: 计算 dx x x ? -π 53sin sin . 10: 化三重积分 ???Ω ) ,,(z y x f 为累次积分,其中 Ω 为六个平面 2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域.. 11：求2 2 2 a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>== b b y m my x x 截下部分 面积. 12计算,)(22dxdydz y x I ???Ω +=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而 成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体. 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 数模园地.趣味数学知识竞赛试题 （时间90分钟成绩100分） 一、填空题（本题共12小题，15个小空，每空1分，共计15分。） 1、早在2000多年前，我们的祖先就用磁石制作了指示方向 的仪器，这种仪器是（）. 2、最早使用小圆点作为小数点的是德国的数学家，叫 ()。 3、传说早在四千五百年前，我们的祖先就用（）来 计时。 4、（）是最早使用四舍五入法进行计算的国家。（哪个 国家） 5、中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学家() 把圆周率数值推算到了第（）位数。荷兰数学家() 把圆周率推算到了第35位。 6、有“力学之父”美称的（）流传于世的数学著 作有10余种，他曾说过：给我一个支点，我可以翘起地 球。这句话告诉我们：要有勇气去寻找这个支点，要用于寻 找真理。 7、阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9是（）发 明的。（哪个国家的人） 8、中国著名的数学家有（）、祖冲之、谷超豪、苏步 青、（）等。 9、我们使用的乘法口诀称（）。 10、亩是面积单位，1亩约等于（）平方米。 11、著名的“陈氏定理”是由我国著名的数学家（）创 立的，被人们亲切的称为“数学王子”。 12、常用的数学运算定律有：加法交换律、加法结合律、乘 法交换律、乘法结合律、乘法分配律、减法性质、（） 等等。 二、选择题（本题共有7个小题，每一道题只有一个正确选项，每题5分，共35分。） 元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到()瓶汽水？ A.37 B.38 C.39 D.40 2.小于50000且含有奇数个数字"5"的五位数共有() 个个个个 3.分正方形的每边为4等分,取分点为顶点共可作三角形() 个个个个 4.小明连续打工24天赚了190元，（每天10元，周六半天发半天工资， 周日休息不发工资）已知他打工是从一月下旬的某一天开始的，一月一号恰好是周日，请问结束哪天是二月几号？（） A.二月十三号 B.二月十八号 C.二月十六号 D.二月二十四号 5.平面α上给定不共线的三点A,B,C,作直线lα，使A,B,C三点到直 线l的距离之比为1:1:2或1:2:1或2:1:1,则这样的直线l共有()条条条条 6．一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（）． Ａ．9米Ｂ．10米Ｃ．12米Ｄ．15米 7、一条铁路原有ｍ个车站，为适应客运需要新增加ｎ个车站（ｎ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（）． Ａ．12Ｂ．13Ｃ．14Ｄ．15 三、趣味猜测题（本题共15小题，共18小空，每空分，共计27分。） 1.小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好（）只自己的指甲？ 2、.6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了（）里？6匹马一共跑了（）里？ 3、公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔（）米？ 4、把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是（），从中间横着分是（），从中间竖着分是（）. 5、一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有（）只猫？ 6、如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要（）分钟时间 7、一根绳子两个头，三根半绳子有（）个头？ 8、招收演员（打一数学名词）——（） 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. (3) o \00/ 口口口 趣味数学竞赛题 时间：：90分钟 满分：100分 特别提醒：请同学们将答案写到答题卷上，只交答题卷。 、选择题（每题4分，共36分） 某同学利用计算机设计了一个计算程序， 当输入数据为10时，则输出的数据 是（ ） 输入 1 2 3 4 5 输出 1 2 3 4 5 2 5 10 17 26 妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子, 小明一共有（ ）个盒子。 A 、 30 B 、 31 C 、 26 D 、 27 如图（1） （2）为两架已达平衡的天平，如果要使图（3）中的天平保持平衡, 则在天平右侧应放（ ）个圆。 1、 2、 3、 10 c 10 B 、 97 99 一种叫水浮莲的水草生长很快, 刚好长满池塘面积的一半（ A 、6天 B 、5天 连续的自然数按规律排成下图: B 、 C 、 每天增加 ） ^0 101 1 倍, C 、8天 0 3 — 4 7 — 8 J T J T J 11 — 10 103 10天刚好长满池塘，到几天 1 — 2 5 — 6 9 根据规律，从2010到2012, 10 箭头方向为（ A 、2011—2012 B 、 2012 C 、 2010 2010—2011 2010— 2011 2011— 2012 4、 5、 6左边4个图形呈现一定的规律性。请在右边所给出的备选答案中选出一个最 合理 7、要求你从四个选项中选择你认为最适合取代问号的一个。 （ ） 9. 把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所 示的立体，然后将露出的表面部分染成红色?那么红 色部分的面积为 （ ）? （A ） 21 （ B ） 24 （C ） 33 （D ） 37 二、填空题（每空3分，共54分） 10、请你动脑筋想一想，在下面用火柴摆 成的自然数 “ 1995”中，任意移动一根火 柴而得到的所有四位数中：①最大的数 是 _________ ， ②最小的数是 C 11、有4个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。 “我看这块石头有17公斤重，”第一个孩子说。 “我说它有26公斤，”第二个孩子不同意地说。 “我看它重21公斤”，第三个孩子说。 “你们都说得不对，我看它的正确重量是 20公斤，”第四个孩子争着说。 他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。最后他们把石头拿去称了一下，结果 谁也没猜准。其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差 2公斤，另有两个人 所猜的重量与石头的正确重量之差相同。当然，这里所指的差，不考虑正负号， 取绝对值。请问这块石头究竟有 公斤。 二 小 无 外 阳 春 白 雪 8、在右面的4个图形中，只有一个是由左边的纸板折叠而成。请你选出正确的 一个。（ ） A B C D 高数竞赛预赛试题（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 一、 填空题（每小题4分，共40分） 1. 设 ? ????? +=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(，则=')(t f ． 解：)(t f t x x x t 2)11(lim ?? ???? +=∞ →t te 2=，t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴． 2. 设曲线L 的方程为t e x 2=，t e t y --=，则L 的拐点个数为 ． 解：)(2 1213-22t t t t t t e e e e x y dx dy += += ' '=--， )32(4 12/)32(2 15-423-22 2 t t t t t t t e e e e e x dx dy dx y d +- =--= '' ?? ? ??=--． 02 2 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. 计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= . (2)设() f x 在2x =连续，且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算 dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解： dxdy x y D ?? -2= dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ?? ≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 2102??- -------------4分 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. = 30 11 -------------5分. 三、（10分）设)](sin[2 x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dx y d . 解： )],(cos[)(2 22x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 = )]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10 分. 四、（15分）已知3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ，求a 的值. 解： )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ?? -- =-?231ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 2 21-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ，-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ，故]1)23([313--?-a =31 ，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分. 趣味数学竞赛（三） 姓名：▁▁▁▁ 学院：▁▁▁▁ 教室：▁▁▁▁ 座位号：▁▁▁▁ （友情提示：试卷满分为100分。难度中上，题目灵活，最终分数不是目的，关键是锻炼自己的思维能力。希望小萌新们能够积极答卷，大显身手。） 一、 填空题（4*5=20分） 1. 已知 2.732e ≈，试比较e π与e π大小 2. 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是________ 3. 若函数=++2log (22)a y x ax 没有最小值，则a 的所有值集合是 4. 现有32枚棋子，若将其排成8组，每组5枚，该怎样排？ 5. 设2 sin 1x y x = +，则(5) (0)y （注(5)y 表示y 的5阶导数） 二、趣味题（10+15+15+20=60分） 1. 从0，1，2……9这十个数中不放回随机取4个数能排成4位偶数的概率P1与从中不放回随机取5个数能排成一个5位偶数的概率P2哪个大？ 2.某人带狼、羊以及蔬菜渡河，一小船除需人划外，每次只能载一物过河。而人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜，问此人应如何过河？ 3.假定某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜。问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从纽约开来的？ 4.有 12 只球，编号 1—12 ，它们外形相同，其中有 11 只重量相等，另外1 只重量略有不同 ( 称作坏球 ) ，但不知这只球是偏轻还是偏重。要求用一架天平称量 3 次，找出这只坏球，并判定它是偏轻还是偏重。假定你第一次选 1，3，5，7号放在左盘， 2，4，6，8号放在右盘，称量结果是左边比右边重。第二次你又选择 3 ， 6 ， 8 号放在左盘， 1 ， 2 ， 10 号放在右盘，仍然是左边比右边重。这时能否断定哪个是坏球？或者你可以作出某种结论？ 全国大学生数学竞赛(数学类)模拟试题 一、解答题（本题满分10分） 1、下面的说法可以用作()0 lim x x f x A →=的定义吗？ “00,0,:0x x x εδδ?>?>?<-<，有()f x A εδ-<”。 正确的给以证明，不正确的举例说明。 2、求sin sin sin lim sin x t x t x t x -→?? ??? ，记此极限为()f x 。求()f x 的间断点并指出其类型。 二、（本题满分10分） 证明数列{}n x 是收敛的并求其极限，其中{}n x 满足：10x <()11n n n c x x c x ++=+，1c >。 三、（本题满分10分） 设()f x 在[),a +∞()0a >内连续，且满足Lipschitz 条件，即存在0L >，使得 [)12,,x x a ?∈+∞，有()()1212f x f x L x x -≤-，证明()f x x 在[),a +∞内有界且一致连续。 四、（本题满分10分） 若()f x 在[],a b 上连续，且()f x 在[],a b 上每点处都取极值，则()f x 恒等于某个常数。 五、（本题满分10分） 记()[]()()(){}:0,10,00,11E f f x f f x f f =≥==在上连续，。 （i ）求(){}1 0inf :f x dx f E ∈?； （ii ）不存在g E ∈，使得()1 0o g x dx =?。 六、（本题满分15分） 设()f t 在[],a x 上连续，(),a x ξ∈，使得()()()x a f t dt f x a ξ=-? 若()f t 在t a =可导，且()0f a '≠，则1 lim 2a a x a ξξ→-=-。 七、（本题满分15分） 已知向量组m ααα,,,21 线性无关，向量s βββ,,,21 都可用m ααα,,,21 表出， 即1 (1,2,,)m i ij j j c i s βα===∑ 求证：s βββ,,,21 线性相关的充分必要条件是矩阵m s ij c C ?=)(的秩s C R <)(. 趣味数学竞赛题 ： :90 分 分： 100 分 特 提醒： 同学 将答案写到答 卷上，只交答 卷。 一、 （每 4 分，共 36 分） 1、某同学利用 算机 了一个 算程序， 当 入数据 10 ， 出的数据 是（ ） 入 ??1 2 3 4 5 ?? 出 ?? 1 2 3 4 5 ?? 2 5 10 17 26 A 、 10 B 、 10 C 、 10 D 、 10 97 99 101 103 2、一种叫水浮 的水草生 很快，每天增加 1 倍， 10 天 好 池塘，到几天 好 池塘面 的一半（ ） A 、6 天 B 、5 天 C 、 8 天 D 、9 天 3、 的自然数按 律排成下 ： 3 → 4 7 → 8 11 →?? ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1 → 2 5 → 6 9 → 10 根据 律，从 2010 到 2012，箭 方向 （ ） A 、2011→2012 B 、 2012 C 、2010 D 、2010→2011 ↑ ↑ ↓ ↓ 2010 2010→ 2011 2011→ 2012 2012 4、 小明一个大盒子， 里面装着 6 个 盒子，每个 盒子又装 4 个小盒子， 小明一共有（ ）个盒子。 A 、30 B 、 31 C 、 26 D 、27 5、如 （ 1）（ 2） 两架已达平衡的天平，如果要使 （ 3）中的天平保持平衡， 在天平右 放（ ）个 。 A 、2 B 、 3 C 、4 D 、 5 6、左边 4 个图形呈现一定的规律性。请在右边所给出的备选答案中选出一个最 合理的正确答案，作为左边的第 5 个图形。（） A B C D 7、要求你从四个选项中选择你认为最适合取代问号的一个。（） A B C D 8、在右面的 4 个图形中，只有一个是由左边的纸板折叠而成。请你选出正确的 一个。（） A B C D 9.把 14 个棱长为 1 的正方体，在地面上堆叠成如图所 示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红 色部分的面积为（）． （ A） 21（B）24（C）33（D）37 二、填空题（每空 3 分，共 54 分） 10、请你动脑筋想一想，在下面用火柴摆 成的自然数“1995”中，任意移动一根火 柴而得到的所有四位数中：①最大的数 是，②最小的数是。 11、有 4 个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。 “我看这块石头有17 公斤重，”第一个孩子说。 “我说它有 26 公斤，”第二个孩子不同意地说。 “我看它重 21 公斤”，第三个孩子说。 “你们都说得不对，我看它的正确重量是20 公斤，”第四个孩子争着说。 他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。最后他们把石头拿去称了一下，结果谁也没猜准。其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差 2 公斤，另有两个人所猜的重量与石头的正确重量之差相同。当然，这里所指的差，不考虑正负号， 取绝对值。请问这块石头究竟有公斤。历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
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