条件概率例题解析
1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.则显然所要求的概率为P(A|B).
根据公式
而P(B)=3/15=1/5 ,
,
∴P(A|B)=9/14.
2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.
则显然所要求的概率为P(A|B).
根据公式
,
,
∴P(A|B)=1/2.
3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N)
则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,
由乘法公式可知:
P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.
而P(A3|A1A2)=3/4 ,
P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .
由数学归纳法可以知道
P(A1A2…A N)=1/(N+1).
4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;
乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙
袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 袋”,
事件B表示“最后取到的是白球”.
根据题意: P(B|A)=5/12 ,
,
P(A)=1/2.
∴
.
5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 .
事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.
显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意
P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;
P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;
由全概率公式
P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)
=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.
6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是
非1号球”;
事件B表示“最后取到的是2号球”.显然P(A)=1/N,
,
且P(B|A)=1/(N-1),
;
∴
=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N =(N2-N+1)/N2(N-1).
7. 袋中装有8只红球, 2只黑球,每次从中任取一解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,设事件A2表示“第二次取到的是红球”.
球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都是红球;
(2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;
(4)第二次取出的是红球.
(1)要求的是事件A 1A 2的概率.
根据题意 P (A 1)=4/5, ,
P (A 2|A 1)=7/9,
∴P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2|A 1)=4/5×7/9=28/45. (2)要求的是事件的概率.
根据题意: ,
,
∴
.
(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件
的概率.
,
,
, , ∴
.
(4)要求第二次取出红球,即求事件A 2的概率. 由全概率公式 :
=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.
8. 某射击小组共有20名射手,
其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、、 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
解.设事件A 表示“射手能通过选拔进入比赛”, 设事件B i 表示“射手是第i 级射手”.(i =1,2,3,4) 显然, B 1、B 2、B 3、B 4构成一完备事件组,且 P (B 1)=4/20, P (B 2)=8/20, P (B 3)=7/20, P (B 4)=1/20; P (A |B 1)=, P (A |B 2)=, P (A |B 3)=, P (A |B 4)=. 由全概率公式得到
P (A )=P (A |B 1)P (B 1)+P (A |B 2)P (B 2)+P (A |B 3)P (B 3)+P (A |B 4)P (B 4) =×4/20+×8/20+×7/20+×1/20=.
9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是、、,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是、、.求目标被命中的概率为多少解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,用事件B表示“目标被击中”.
由题意, P(A1)=, P(A2)=, P(A3)=,
且A1、A2、A3构成一完备事件组.
又已知P(B|A1)=, P(B|A2)=, P(B|A3)=.
由全概率公式得到:
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
=×+×+×=.