物品分组排序问题
摘要
文主要研究物体的排序问题，从两方面进行考虑，一是考虑重量，二是考虑体积。在物品满足这两个条件时，不需要更换物品，否则需要更换。通过不同的算法，我们确定如何安装和排序的问题。问题1运用了0-1整数规划模型，通过求解得到各个象限的物品。问题2同时考虑了重量和体积的问题，使模型更复杂化了。问题3利用了灵敏度分析，能够很快地解答出重量和体积的取值范围。
问题一中，明确16个物品均匀分布的含义，即物品在每个象限域的个数要相等，只能有4个物品在每个象限，并且各个象限域内物品的质量和要在某一的范围内，不能出现过重或过轻的情况。由以上的均匀分布可得：每个物品必须在
规划的指派问题模且只能在其中的一个象限域内，这样，我们就很容易想到01
型。从而利用lingo软件优化模型，得到结果。
问题二中，要满足的条件不仅是重量上的，而且还要满足体积上的，所以要同时考虑重量和体积。体积的要求是相邻两个组，即相邻两个象限之间比较，而重量的要求是相邻象限之间的比较，所以将体积的要求优先考虑，进而再去考虑体积的要求,利用lingo优化模型，得到结果。
问题三中，综合考虑重量和体积时，分为以下3种：
①当体积满足条件时，重量不满足条件；
②当重量满足条件时，体积不满足条件；
③体积和重量都不满足条件；
最后，本文给出了模型的评价与推广。
关键词：0-1规划的指派问题模型网络搜索物品更换
一、问题提出
现有物品16件，每件物品的重量G和体积V互不相同，下面的附件数据提供了相关数据。试解决下列问题。
（1）按照要求需要将16件物品分成四组，每组4件。如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小，试建立数学模型，给出求解算法和最优分配方案。
（2）如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小的同时，每组之间的总体积差也要尽可能小，并且重量差优先，试建立数学模型，并给出最优分配方案。
（3）如果要求分组后每组之间的总重量差不能大于2，每组之间的总体积差不能大于3，请验证附件数据不能满足以上要求。如果允许更换一件物品以满足上述要求，试建立数学模型，给出要更换的物品编号及更换后的物品的重量体积数据，要求从更换后的物品重量最小或体积最小两个方面考虑。
附件：物品重量体积数据
二、基本假设
1、假设；二位坐标平面被均匀分成四个象限域，每个区域是固定划分的，物品是按照一定顺序分组到各个象限上去的。
2、假设；给出的两组物品的重量与体积没有关联，互不影响。
3、假设；所给物体性能足够好，不会因磨损而改变质量和体积等参数。
三、符号说明
四、问题分析
本题要求给出一种算法对16个物品按重量和体积的约束条件进行组合和排序，并分组到四个象限上，每个象限放置四个物品。相邻象限的物品的重量之差不允许超过一定值，即相邻象限物品的重量之差为最小值。而相邻物品之间的体积差也要满足不大于一定值的约束。
4.1问题一的分析
首先，明确16个物品均匀分布的含义，即物品在每个象限域的个数要相等，只能有4个物品在每个象限，并且各个象限域内物品的质量和要在某一的范围内，不能出现过重或过轻的情况。
其次，由以上的均匀分布可得：每个物品必须在且只能在其中的一个象限域
规划的指派问题模型。从而利用lingo软件优内，这样，我们就很容易想到01
化模型，得到结果。
4.2问题二的分析
由于问题二要满足的条件不仅是重量上的，而且还要满足体积上的，所以要
同时考虑重量和体积。体积的要求是相邻两个组，即相邻两个象限之间比较，而
重量的要求是相邻象限之间的比较，所以将重量的要求优先考虑，进而再去考虑
体积的要求,利用lingo 优化模型，得到结果。
4.3问题三的分析
综合考虑重量和体积时，分为以下3种：
①当体积满足条件时，重量不满足条件；
②当重量满足条件时，体积不满足条件；
③体积和重量都不满足条件；
1．
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解
5.1.1 问题一的分析
首先，明确16个物品均匀分布的含义，即物品在每个象限域的个数要相等，
只能有4个物品在每个象限，并且各个象限域内物品的质量和要在某一的范围内，
不能出现过重或过轻的情况。
其次，由以上的均匀分布可得：每个物品必须在且只能在其中的一个象限域
内，这样，我们就很容易想到01-规划的指派问题模型。从而利用lingo 软件优
化模型，得到结果。
5.1.2 问题一模型的建立
把16个物品均匀分布在4个象限，要求相邻区域的总质量达到最小，即每
个象限内的4个物品总重量与4个象限物品重量的均值之差小于一个值m ，让m
最小。
目标函数： Min=m;
首先引入01-变量：
1,ij i j x i j ?=??第个工件放在第个扇区上 0,第个工件不放在第个扇区上
约束条件：
显然，由于问题要求每一个物品都要放到圆盘上去，故有
41ij j x
=∑=1
又，每个象限域都要分到4个物品，故有
16
1ij
i
x =
∑=4
每个象限4个物品的重量之和与4个象限物品重量的均值之差小于一个值m。
16
1ij
i
x =
∑*W i-335.7188*4<=m
5.1.3 问题一模型的求解
通过LINGO软件求解，现将问题中提供的数据运行结果如下：
第一象限：1,11,18,24 （其重量和为：1357）
第二象限：9,13,14,21（其重量和为：1357）
第三象限：5,15,19,20 （其重量和为：1357）这里要运行过后再说
第四象限：3,6,12,22 （其重量和为：1357）
5.1.4 问题一结果的分析及验证
问题1的改进：通过对数据的分析，让它从小到大进行排序，先把前两个最大的数和后两个小的数组合成2组，依次下去让它每四个数据组合在一块，形成四个
5.2 问题二模型建立与求解
5.2.1 问题二的分析
通过问题的要求，知道重量和体积的约束从而进行建立模型。主要思想是
把体积作为目标条件，而约束条件是重量不允许超过一定值，相邻的两个象限
体积差值达到最大n 。
5.2.2 问题二模型的建立
通过问题的要求，知道重量和体积的约束从而进行建立模型。主要思想是把
体积作为目标条件，而约束条件是重量不允许超过一定值，相邻的两个象限体积
差值达到最大n 。
目标函数：max=n;
约束条件：
首先引入01-变量：
1,ij i j x i j ?=??
第个工件放在第个扇区上 0,第个工件不放在第个扇区上
约束条件：
显然，由于问题要求每一个物品都要放到圆盘上去，故有
41ij j x
=∑=1
又，每个象限域都要分到4个物品，故有
161ij i x
=∑=4
每个象限4个物品的体积之和与4个象限物品体积的均值之差小于一个值n 。
161ij i x
=∑*V i - 102.0938*4<=n
5.2.3 问题二模型的求解
通过LINGO 运行
现将问题中提供的数据运行结果如下：
5.3 问题二模型建立与求解
5.3.1问题三的分析
问题3分析：由于问题三要满足的条件不仅是重量上的，而且还要满足体积
上的，所以要同时考虑重量和体积。体积的要求是相邻两个象限之间比较（<3），
而重量的要求是相邻象限之间的比较(<2)，所以将体积的要求优先考虑，进而再
去考虑重量的要求,利用lingo 优化模型，得到结果。本文只从更换后的质量最小
考虑。
5.3.2问题三模型的建立
目标函数： ;??==?M i n n M i n
m ；
首先引入01-变量：
1,ij i j x i j ?=??第个工件放在第个扇区上 0,第个工件不放在第个扇区上
约束条件：
显然，由于问题要求每一个物品都要放到坐标平面上去，故有
41ij j x
=∑=1
又，每个象限域都要分到4个物品，故有
161ij i x =∑=4
每个象限4个物品的体积之和与4个象限物品体积的均值之差小于一个值n 。每
个象限4个物品的重量之和与4个象限物品重量的均值之差小于一个值m 。
*335.7188*4 *102.0938*43Wi Vi -<-<=
???= 5.4
利用lingo 软件得到结果，每个区中的重量都满足要求，但部分工件的体积
不满足要求，得进行更换工件，第一组数据需要更换10,12；3,16；23,24；1,9。
第二组数据需要更换2,5；3,16；23,24。
六、模型的评价与推广
6.1 模型的评价
对于问题二，我们找到了一种比较有效的方法对所提供数据进行了排序，
得到了模型的算法图。 对于问题三，我们对各种可能出现的情况进行了详
细的分类讨论，可操作性还是比较强的，通过更换是可以达到条件要求的。
此时，我们在理论上已建立了整个排序过程的完整体系，利用了C 语言编程
对模型进行的求解，所得到的结果都通过了验证，体现了我们算法的合理性
和结果的正确性。有的模型的算法较难实现，故有一定的缺陷。
6.2 模型的推广
本文针对题目提出的不同要求，我们分别给出了按重量和体积排序的不同的
模型和算法，对于问题一，我们建立了以各象限对重量均值作差后取绝对值最小
为目标函数的模型，再用限制条件ε加以控制，得出了在各象限重量波动范围较
小下的排序，但由于数据的取值是离散的，而且各象限的重量取值是不独立的，
同时也存在波动范围较大情况下合理的排序，
我们还做了一个适合一般情况的模型，具体思路如下：
首先，将16个物品按重量从小到大依次排序，若相等则归为一类，设共有m 类，
第i 类的单个重量为i w ，共有i p 件，放入第j 个象限的第i 类物品的件数为 ij x ，
i =1,2,…，m , ,j =1,2,…，4有：
min z = 1,2,...,5
max i ={ |(1)11..m m ij i i j i i i x w x w +==-∑∑|, |6111..m m
i i i i i i x w x w ==-∑∑| }
使得 1
m ij i x =∑=4，j =1,2, (4)
4
11m ij i j x ==∑∑=16;
ij x =0,1,…,i p .
对于该模型，我们考虑了网络搜索法来求解，另外，当1,2,...,5
max i ={|
(1)11..m m ij i
i j i i i x w x w +==-∑∑|, |4111..m m
i i i i i i x w x w ==-∑∑| } ε≤ 时，我们就可以找到一组可行解，当min z =
1,2,...,5max i ={ |(1)11..m m ij i i j i i i x w x w +==-∑∑|, |4111
..m m i i i i i i x
w x w ==-∑∑| } ε> 时，我们就无法找到一种排序来满足条件，此时必须更换新物品。
定理：针对重量，对任意一组数据，必须更换新物品的充要条件：
min z = 1,2,...,5max i ={ |(1)
11..m m ij i i j i i i x w x w +==-∑∑|, |4111..m m
i i i i i i x w x w ==-∑∑| } ε> 定理：针对体积，对任意一组数据，必须更换新物品的充要条件：
max z =1,2,...,23min i ={|(1)11..m m ij i i j i i i x v x v +==-∑∑|，|4111..m m
i i i i i i x v x v ==-∑∑|}>δ
七、参考文献
[1] 姜启源等.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2003年8月
[2] 中华人民共和国国家标准/碳酸饮料(汽水)》，https://www.doczj.com/doc/f14917682.html,/，
2006 年9月17号
[3] 司守奎，孙玺箐.数学建模算法与应用.北京：国防工业出版社，2012.
[4]何坚勇，最优化方法[M]，北京：清华大学出版社，2007。
[5]熊义杰，运筹学教程[M]，北京：国防工业出版社，2004。
[6]邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州：浙江大学出版社，
2009。
八、附录
8.1 附录清单
附录1：求解问题一的LINGO程序
附录2：问题一的部分运行结果
附录3：求解问题二的LINGO程序
附录4：求解问题一的部分中间数据
8.2 附录正文
附录1：问题一的程序：
model:
sets:
shanqu/1..6/:s;
gongjian/1..24/:w;
link(gongjian,shanqu):x;
endsets
data:
w=348 352 347 349 347.5 347 330 329 329 327.5 329 331.5 348.5 347 346.5 348 347.5 348 333 330 332.5 331.5 331.5 332; enddata
!目标函数;
min=m;
!每个象限的4个物品重量之和与各区重量均值之差小于m;
@for(shanqu(j):
@abs(@sum(link(i,j):x(i,j)*w(i)-339*4))<=m);
!每个象限只能有4个物品;
@for(shanqu(j):
@sum(gongjian(i):x(i,j))=4;);
!每个物品只能放在一个象限;
@for(gongjian(i):
@sum(shanqu(j):x(i,j))=1;);
@for(link(i,j):@bin(x));
@for(shanqu(j):@sum(gongjian(i):w(i)*x(i,j))=s(j));
end
附录2：问题一的部分运行结果
部分运行结果：
S( 1) 1357.000
S( 2) 1357.000
S( 3) 1357.000
S( 5) 1357.500 S( 6) 1357.000 X( 1, 1) 1.000000
X( 1, 2) 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 X( 1, 5) 0.000000 X( 1, 6) 0.000000 X( 2, 1) 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 X( 2, 4) 0.000000 X( 2, 5) 1.000000 X( 2, 6) 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 X( 3, 4) 1.000000 X( 3, 5) 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 X( 4, 1) 0.000000 X( 4, 2) 0.000000 X( 4, 3) 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 X( 4, 5) 1.000000 X( 4, 6) 0.000000 X( 5, 1) 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 X( 5, 3) 1.000000 X( 5, 4) 0.000000 X( 5, 5) 0.000000 X( 5, 6) 0.000000 X( 6, 1) 0.000000 X( 6, 2) 0.000000 X( 6, 3) 0.000000 X( 6, 4) 1.000000 X( 6, 5) 0.000000 X( 6, 6) 0.000000 X( 7, 1) 0.000000 X( 7, 2) 0.000000 X( 7, 3) 0.000000 X( 7, 4) 0.000000 X( 7, 5) 0.000000
X( 8, 1) 0.000000 X( 8, 2) 0.000000 X( 8, 3) 0.000000 X( 8, 4) 0.000000 X( 8, 5) 1.000000 X( 8, 6) 0.000000 X( 9, 1) 0.000000 X( 9, 2) 1.000000 X( 9, 3) 0.000000 X( 9, 4) 0.000000 X( 9, 5) 0.000000 X( 9, 6) 0.000000 X( 10, 1) 0.000000 X( 10, 2) 0.000000 X( 10, 3) 0.000000 X( 10, 4) 0.000000 X( 10, 5) 1.000000 X( 10, 6) 0.000000
X( 11, 1) 1.000000 X( 11, 2) 0.000000 X( 11, 3) 0.000000 X( 11, 4) 0.000000 X( 11, 5) 0.000000 X( 11, 6) 0.000000 X( 12, 1) 0.000000 X( 12, 2) 0.000000 X( 12, 3) 0.000000 X( 12, 4) 1.000000 X( 12, 5) 0.000000 X( 12, 6) 0.000000 X( 13, 1) 0.000000 X( 13, 2) 1.000000 X( 13, 3) 0.000000 X( 13, 4) 0.000000 X( 13, 5) 0.000000 X( 13, 6) 0.000000 X( 14, 1) 0.000000 X( 14, 2) 1.000000 X( 14, 3) 0.000000 X( 14, 4) 0.000000 X( 14, 5) 0.000000 X( 14, 6) 0.000000
X( 15, 2) 0.000000 X( 15, 3) 1.000000 X( 15, 4) 0.000000 X( 15, 5) 0.000000 X( 15, 6) 0.000000 X( 16, 1) 0.000000 X( 16, 2) 0.000000 X( 16, 3) 0.000000 X( 16, 4) 0.000000 X( 16, 5) 0.000000 X( 16, 6) 1.000000 X( 17, 1) 0.000000 X( 17, 2) 0.000000 X( 17, 3) 0.000000 X( 17, 4) 0.000000 X( 17, 5) 0.000000 X( 17, 6) 1.000000 X( 18, 1) 1.000000 X( 18, 2) 0.000000 X( 18, 3) 0.000000 X( 18, 4) 0.000000 X( 18, 5) 0.000000 X( 18, 6) 0.000000 X( 19, 1) 0.000000 X( 19, 2) 0.000000 X( 19, 3) 1.000000 X( 19, 4) 0.000000 X( 19, 5) 0.000000 X( 19, 6) 0.000000 X( 20, 1) 0.000000 X( 20, 2) 0.000000 X( 20, 3) 1.000000 X( 20, 4) 0.000000 X( 20, 5) 0.000000 X( 20, 6) 0.000000 X( 21, 1) 0.000000 X( 21, 2) 1.000000 X( 21, 3) 0.000000 X( 21, 4) 0.000000 X( 21, 5) 0.000000 X( 21, 6) 0.000000 X( 22, 1) 0.000000 X( 22, 2) 0.000000
X( 22, 4) 1.000000
X( 22, 5) 0.000000
X( 22, 6) 0.000000
X( 23, 1) 0.000000
X( 23, 2) 0.000000
X( 23, 3) 0.000000
X( 23, 4) 0.000000
X( 23, 5) 0.000000
X( 23, 6) 1.000000
X( 24, 1) 1.000000
X( 24, 2) 0.000000
X( 24, 3) 0.000000
X( 24, 4) 0.000000
X( 24, 5) 0.000000
X( 24, 6) 0.000000
附录3：求解问题二的LINGO程序
：
model:
sets:
gongjian/1..24/:w,v;
gongqu/1..24/;
shanqu/1..6/:m;
link(gongjian,shanqu):x;
endsets
data:
w=348 352 347 349 347.5 347 330 329 329 327.5 329 331.5 348.5 347 346.5 348 347.5 348 333 330 332.5 331.5 331.5 332;
v=101.5 102 105 105.5 106 104 94 98 100.5 98.5 98 99 104.5 105 107.5 104.5 104 104.5 97 97 99 98 96.5 94.5;
enddata
max=n;
@for(gongjian(i)|i#le#23:@abs(v(i+1)-v(i))>n);
@abs(v(24)-v(1))>n;
@for(shanqu(j):@sum(gongjian(i):x(i,j))=4);
@for(gongjian(i):@sum(shanqu(j):x(i,j))=1);
@for(shanqu(j):@sum(gongjian(i):w(i)*x(i,j))=m(j));
@for(shanqu(j)|j#le#5:@abs(m(j+1)-m(j))<4);
@abs(m(6)-m(1))<4;
@for(link:@bin(x));
end
部分运行结果：
M( 1) 1358.500 0.000000
M( 2) 1356.500 0.000000 M( 3) 1354.000 0.000000 M( 4) 1357.500 0.000000 M( 5) 1358.500 0.000000 M( 6) 1357.500 0.000000 X( 1, 1) 0.000000 0.000000 X( 1, 2) 0.000000 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 0.000000 X( 1, 5) 0.000000 0.000000 X( 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 0.000000 X( 2, 4) 0.000000 0.000000 X( 2, 5) 0.000000 0.000000 X( 2, 6) 0.000000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 0.000000 0.000000 X( 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 0.000000 X( 4, 1) 0.000000 0.000000 X( 4, 2) 0.000000 0.000000 X( 4, 3) 0.000000 0.000000 X( 4, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 5) 0.000000 0.000000 X( 4, 6) 0.000000 0.000000 X( 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 0.000000 X( 5, 3) 0.000000 0.000000 X( 5, 4) 0.000000 0.000000
X( 5, 6) 0.000000 0.000000 X( 6, 1) 0.000000 0.000000 X( 6, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 3) 0.000000 0.000000 X( 6, 4) 0.000000 0.000000 X( 6, 5) 0.000000 0.000000 X( 6, 6) 0.000000 0.000000 X( 7, 1) 0.000000 0.000000 X( 7, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 3) 0.000000 0.000000 X( 7, 4) 0.000000 0.000000 X( 7, 5) 0.000000 0.000000 X( 7, 6) 0.000000 0.000000 X( 8, 1) 0.000000 0.000000 X( 8, 2) 0.000000 0.000000 X( 8, 3) 0.000000 0.000000 X( 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 5) 0.000000 0.000000 X( 8, 6) 0.000000 0.000000 X( 9, 1) 0.000000 0.000000 X( 9, 2) 0.000000 0.000000 X( 9, 3) 0.000000 0.000000 X( 9, 4) 0.000000 0.000000 X( 9, 5) 0.000000 0.000000 X( 9, 6) 1.000000 0.000000 X( 10, 1) 1.000000 0.000000 X( 10, 2) 0.000000 0.000000 X( 10, 3) 0.000000 0.000000 X( 10, 4) 0.000000 0.000000 X( 10, 5) 0.000000 0.000000 X( 10, 6) 0.000000 0.000000 X( 11, 1) 0.000000 0.000000 X( 11, 2) 0.000000 0.000000 X( 11, 3) 1.000000 0.000000 X( 11, 4) 0.000000 0.000000 X( 11, 5) 0.000000 0.000000 X( 11, 6) 0.000000 0.000000 X( 12, 1) 1.000000 0.000000 X( 12, 2) 0.000000 0.000000 X( 12, 3) 0.000000 0.000000 X( 12, 4) 0.000000 0.000000 X( 12, 5) 0.000000 0.000000 X( 12, 6) 0.000000 0.000000
X( 13, 2) 0.000000 0.000000 X( 13, 3) 1.000000 0.000000 X( 13, 4) 0.000000 0.000000 X( 13, 5) 0.000000 0.000000 X( 13, 6) 0.000000 0.000000 X( 14, 1) 0.000000 0.000000 X( 14, 2) 0.000000 0.000000 X( 14, 3) 0.000000 0.000000 X( 14, 4) 1.000000 0.000000 X( 14, 5) 0.000000 0.000000 X( 14, 6) 0.000000 0.000000 X( 15, 1) 0.000000 0.000000 X( 15, 2) 0.000000 0.000000 X( 15, 3) 1.000000 0.000000 X( 15, 4) 0.000000 0.000000 X( 15, 5) 0.000000 0.000000 X( 15, 6) 0.000000 0.000000 X( 16, 1) 0.000000 0.000000 X( 16, 2) 0.000000 0.000000 X( 16, 3) 0.000000 0.000000 X( 16, 4) 0.000000 0.000000 X( 16, 5) 1.000000 0.000000 X( 16, 6) 0.000000 0.000000 X( 17, 1) 0.000000 0.000000 X( 17, 2) 0.000000 0.000000 X( 17, 3) 0.000000 0.000000 X( 17, 4) 0.000000 0.000000 X( 17, 5) 0.000000 0.000000 X( 17, 6) 1.000000 0.000000 X( 18, 1) 0.000000 0.000000 X( 18, 2) 1.000000 0.000000 X( 18, 3) 0.000000 0.000000 X( 18, 4) 0.000000 0.000000 X( 18, 5) 0.000000 0.000000 X( 18, 6) 0.000000 0.000000 X( 19, 1) 0.000000 0.000000 X( 19, 2) 0.000000 0.000000 X( 19, 3) 0.000000 0.000000 X( 19, 4) 0.000000 0.000000 X( 19, 5) 0.000000 0.000000 X( 19, 6) 1.000000 0.000000 X( 20, 1) 0.000000 0.000000 X( 20, 2) 0.000000 0.000000
X( 20, 4) 0.000000 0.000000 X( 20, 5) 0.000000 0.000000 X( 20, 6) 0.000000 0.000000 X( 21, 1) 0.000000 0.000000 X( 21, 2) 0.000000 0.000000 X( 21, 3) 0.000000 0.000000 X( 21, 4) 1.000000 0.000000 X( 21, 5) 0.000000 0.000000 X( 21, 6) 0.000000 0.000000 X( 22, 1) 0.000000 0.000000 X( 22, 2) 1.000000 0.000000 X( 22, 3) 0.000000 0.000000 X( 22, 4) 0.000000 0.000000 X( 22, 5) 0.000000 0.000000 X( 22, 6) 0.000000 0.000000 X( 23, 1) 0.000000 0.000000 X( 23, 2) 0.000000 0.000000 X( 23, 3) 0.000000 0.000000 X( 23, 4) 0.000000 0.000000 X( 23, 5) 1.000000 0.000000 X( 23, 6) 0.000000 0.000000 X( 24, 1) 0.000000 0.000000 X( 24, 2) 0.000000 0.000000 X( 24, 3) 0.000000 0.000000 X( 24, 4) 0.000000 0.000000 X( 24, 5) 1.000000 0.000000 X( 24, 6) 0.000000 0.000000
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
数学建模与计算机的联系及重要性 摘要：在当今科技发达的今天，计算机已经得到了广泛的应用，也为数学建模的计算提供了有力工具。本文浅谈了数学建模与计算机在人类生产和生活中的重要性。 关键词：数学建模计算机重要性 当今社会计算机已经被广泛的应用了，在计算机的协助下许多问题的求解变得简单、方便、快捷。而数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。在科技迅猛发展的今天计算机和数学建模在人类的生存和发展中都具有举足轻重的作用。 一、数学建模与计算机息息相关 其一、我们在模型求解时,有些计算单纯的用纸和笔是难以完成的，这就需要利用计算机上机计算、编制软件、绘制图形等,当结果通过计算机算出后也必须通过打印机随时进行输出。其二、数学建模的学习对计算机能力的培养也起着极大推动作用,如报考计算机方向的研究生时,对数学的要求非常高;在进行计算机科学的研究时,也要求有极强的数学功底才能写出具有相当深度的论文,计算机科学的发展也是建立在数学基础之上的,许多为计算机的发展方面做出杰出贡献的人，在数学方面也颇有造诣。我们在遇到一些实际问题时往往需要计算机和数学建模同时应用才能解决问题，否则问题将无法进行。数学问题与计算机通常采用一些数学软件（lingo,Matlab,MathCAD 等等）的命令来描述算法，既简单又容易操作。例如下面有这样一道
题就是利用数学软件lingo 求解的。 例1 某工厂有两条生产线,分别用来生产M 和P 两种型号的产品,利润分别为200元每个和300元每个,生产线的最大生产能力分别为每日100和120,生产线没生产一个M 产品需要1个劳动日(1个工人工作8小时称为1个劳动日)进行调试、检测等工作,而每个P 产品需要2个劳动日,该工厂每天共计能提供160个劳动日,假如原材料等其他条件不受限制,问应如何安排生产计划,才能使获得的利润最大？ 解 设两种产品的生产量分别为1x 和2x ,则该问题的数学模型 为: 目标函数 12max 200300z x x =+ 约束条件 1212100,120,160, 0,1,2. i x x x x x i ≤??≤??+≤??≥=? 编写LINGO 程序如下: MODEL: SETS: SHC/1,2 /:A,B,C,X; YF/1,2,3 /:J; ENDSETS DATA: A=1,2 ; B=100,120; C=200,300; ENDDATA
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
题目：食品价格变动分析 摘要 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。本文针对食品价格的预测与分析问题，就2014年1月-2014年4月50个城市主要食品平均价格变动情况进行了数据分析，利用食品分类系统对27种主要食品进行了分类，并通过excle统计软件对价格的波动情况进行了数据汇总和散点图的制作，从而更加直观的描述价格变化，建立基于最小二乘法的多项式拟合函数模型，利用matlab应用软件进行了模型的求解，利用多元线性的回归命令regress进行了显著性检验，很好地解决了对食品波动特点的分析和2014年5月份食品价格走势进行预测的问题。 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化。本文利用“最小—最大标准化”的方法对原始数据进行了标准化处理，故可以不考虑27种食品的规格等级和计量单位对食品价格波动和预测的影响，从而简化了问题分析的复杂性，增加了数据分析的综合性。 对于问题一，因为食品种类的繁多使分析工作寸步难行，首先要对所涉及的主要食品进行分类，于是利用食品分类系统将食品分成7类，建立数据分析模型，利用excle 做散点图进行价格变动分析 对于问题二，鉴于数据标准化和平均化处理后的数据仍然杂乱无章，对其进行二次累加使其关联性更好的表现，找出其表现的规律性，在此基础上建立基于最小二乘法的多项式拟合模型，利用三次多项式对7类食品的相对价格走势进行拟合，并依次用多元线性回归分析对7类食品拟合后的函数进行显著检验，通过拟合函数预测 2014年5 月的食品价格走势。 最后是对模型的评价和推广，其中，利用固定属性的分类方法可以应用到多个领域，excle统计软件很好的描述了数据的变化，基于最小二乘法的多项式拟合精度很高，能够得到良好的预测结果，回归分析中的regress命令是十分有效的matlab检验工具，检验具有较强的实用和推广价值。 关键词：食品分类系统最小二乘法回归分析 regress 多项式拟合
数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”
数学建模的背景： 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（称为数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个全过程就称为数学建模。 近半个多世纪以来,随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用,而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。 数学建模日益显示其重要作用，已成为现代应用数学的一个重要领域。为培养高质量、高层次人才，对理工、经济、金融、管理科学等各专业的大学生都提出“数学建模技能和素质方面的要求”。 数学建模在现代社会的一些作用 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。(2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
食品价格变动分析模型 西安建筑科技大学 队员：××× ××× ××× 2014年5月3日
食品价格变动分析模型 摘要 本文针对50个城市的食品价格变动情况，建立了两个符合实际情况的模型。模型一：线性回归模型，建立了时间和食品价格的线性方程模型，运用最小二二乘法求得在5月份的价格走势情况，具有较好的短中期预测效果。 模型二：灰色关联度模型，求解出食品价格波动特点和CPI波动的关联度，从而由关联度的高低来判断是否可以通过食品种类计算和预测CPI。 综合考虑上述因素，利用MATLAB编程求解，食品价格总体波动不是很大，且有少量食品种类与CPI关联度十分接近，所以可以用关联度较高的食品种类来计算和预测CPI。 模型一需要的原始数据少，计算过程简单，适合中短期预测，长期预测效果不佳；模型二考虑了各种因素，由关联度判断能否用食品对CPI进行计算和预测，有很好的判断效果，但是操作过程较为复杂。 关键字线性回归模型最小二乘法灰色关联度模型关联度
食品价格变动分析模型 一、问题的重述 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。2000年以来，我国城镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在36%以上。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。为监测食品价格的实际变化情况，国家统计部门定期统计50个城市主要食品平均价格变动情况。（数据见附件1）居民消费者价格指数（CPI），是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。附件2提供了近期居民消费者价格指数数据。 请根据以上信息（附件中只是列出了近期食品价格以及CPI数据，如希望利用更长时间周期内的数据信息，请自行查找，但必须在论文中注明数据来源！），建立数学模型解决以下问题： (1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。 (2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。 (3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。 二、问题的背景和分析 1.问题背景 在现在这个社会，人们对吃、穿、住、用、行的要求越来越高，人们的消费水平直接影响到CPI指数的变化。根据以往的数据，我们可以通过观察总结出食品波动的特点，在忽略一些客观因素如自然灾害、国家政策调整的影响条件下，
大学生数学建模竞赛的由来和发展 自古以来，各种竞赛方式历来是各行各业培养、锻炼和选拔人才的重要手段。凡竞赛实际上都有准备阶段、临场发挥和赛后总结、提高三个阶段。参赛者通过这三个阶段来接受挑战并锻炼提高自己。当然，也不是参加竞赛的人都能成为人才，获得优胜的选手参赛者如果不善于总结自己的长处和缺点，不断提高的话，也未必能发展成为优秀人才。诚然，如果太强调竞赛的功利性，也可能产生各种各样的弊病，副作用会大过正作用，使竞赛变了味，也就可能失去了培养、锻炼和选拔人才的功能。 就培养选拔科技人才而言，各种学科的竞赛也起到了很大的作用。就数学科学来说，很多国家都有面向中学生或大学生的数学竞赛，甚至还有国际或地区性的数学竞赛。例如，就后者而言，有从1959年开始举办的中学生国际奥林匹克数学竞赛(The International Mathematical Olympiad (IMO), 有兴趣的读者可以访问网址http://www.imo.math.ca/), 有从1994年开始举办的国际大学生数学竞赛(International Mathematics Competition for Universtiy Students, IMC, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.doczj.com/doc/f14917682.html,/ ), 北美(美国和加拿大)普特南大学生数学竞赛(The William Lowell Putnam Mathematical Competition, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.doczj.com/doc/f14917682.html,/或https://www.doczj.com/doc/f14917682.html,/ )。 因为大学生数学建模竞赛诞生于美国，而且其源起与普特南数学竞赛有关，加之这个竞赛是培养出许多优秀数学家和科学家的竞赛，所以在本章，我们从普特南数学竞赛谈起。 本章包括普特南(Putnam)数学竞赛、大学生数学建模竞赛、为什么要参加大学生数学建模竞赛和怎样参加大学生数学建模竞赛四节。 1 普特南(Putnam)数学竞赛 普特南和他的想法 W. L. 普特南(William Lowell Putnam, 1861 ~ 1924, 美国律师和银行家), 1882年毕业于哈佛大学。他深信在正规大学的学习中组队竞赛的价值. 他在哈佛毕业生杂志1921年12月那期上写了一篇文章中阐述了大学间智力竞赛的价值和优点。在他去世后，他的遗霜Elizabeth Lowell Putnam (1862-1935)于1927年建立了“普特南大学间对抗纪念基金(William Lowell Putnam Intercollegiate Memorial Fund)”。第一个由该基金资助的是校际英语竞赛。由该基金资助的第二次试验性竞赛是于1933年举行的10名哈佛大学的学生和10名西点军校的学生间一次数学竞赛。由于那次竞赛十分成功，于是就产生了举行所有感兴趣的大学和学院都可以参加的类似的年度竞赛的想法。但是直到1935年Elizabeth去世都没有举行过这样的竞赛。到了1938年才决定由美国数学协会来管理这个基金和组织了第一次正式的竞赛。 普特南数学竞赛 现在普特南数学竞赛的时间是每年12 月第一周的星期六，共进行两试，每试3 小时、6道题，每题10分。该竞赛是彻底闭卷的考试, 在限定的时间内主要测试参赛者思维敏捷、推理和计算的能力。竞赛分个人和团体(组队)，一个学校可以组织一个由三名学生组成队，名列前茅者有奖金奖励。竞赛前几年，团体前三名的奖金分别为$500、$300 和$200，个人前五名每人可获奖金$50，并成为Putnam 会员(Putnam fellow)。近年来，奖励团体前五名的大学的数学系的奖金分别为$25000(每个队员可得到$1000奖金)、$20000(每个队员可得到$800奖金)、$15000(每个队员可得到$600奖金)、$10000(每个队员可得到$400奖金) 和$5000(每个队员可得到$200奖金)。个人前五名每人可获奖金$2500，并成为Putnam 会员。5-15名每人可获奖金$1000，16-26名每人可获奖金$250。当然更重要的不是金钱奖励，而是
2012济南大学大学生数学建模竞赛 摘要 随着生活的发展，日常膳食营养结构的调整越来越受到人们的重视，没有一种食物含有所有的营养素，而人体是需要多种营养素共同作用的有机体，如何合理配餐来满足人体的需要成了最受关注的问题。合理营养可维持人体的正常生理功能,促进健康和生长发育,提高机体的劳动能力、抵抗力和免疫力,有利于某些疾病的预防和治疗。缺乏合理营养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营养过剩性疾病(肥胖症和动脉粥样硬化等)。根据现代营养学的研究,人体所需的各种营养素分为6类,即蛋白质、脂肪、糖类(碳水化合物)、无机盐(包括微量元素)、维生素和膳食纤维。对这些营养素不仅有量的需求,而且各营养素之间还应有合适的配比。 本文对合理配餐问题进行了研究并建立了该问题的数学模型。以中国居民膳食指南为科学依据，综合考虑中国人的生活饮食习惯、食物营养特点、营养卫生需求以及大众经济水平，通过求解模型为不同年龄、不同性别人群制定出具有可选择性和可执行性的一日三餐的平衡膳食方案。 通过互联网我们获得了一些常见食物的营养成分、成分含量与近期价格的资料（表8）以及不同年龄不同性别的人均营养日需求量表（表9）。并且了解到，从营养科学的角度来讲，能使营养需求与膳食供给之间保持平衡状态，热能及各种营养素满足人体生长发育、生理及体力活动的需要，且各种营养素之间保持适宜比例的膳食，叫平衡膳食。科学研究结果表明，营养素摄入量与其需求量之间
的偏差不超过10%是合理的。因此，根据这种理念，我们先作出了一些合理的假设，然后以天为基本周期，建立了以满足营养需求为约束条件，考虑到居民消费水平，以所花费用最低为目标函数的线性规划模型。代入一组具体数据，求解这个模型，得出一组相应的食物摄入量（表1），可以看出其中干豆坚果类与油脂类摄入量均为0，结果不太合理。 同时实际情况中，人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较大差异，因此人均每天营养需求量并不能严格做为约束条件。平衡膳食宝塔（图1）给出了人均每天每类食物摄入量的一个范围，一份食谱中各类事物的摄入量在平衡膳食宝塔给出的范围内浮动是合理的。鉴于此，我们对模型Ⅰ进行了改进，定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差的绝对值的平均值。以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，以所需花费最少和营养摄入合理度最高为目标函数。对这个多目标规划，我们采用熵值法将多个目标加权组合形成一个新的目标，考虑到两个目标的量纲不同，我们定义消费合理度为实际花费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值，以它和营养摄入合理度的加权组合作为目标函数，以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，将模型Ⅰ优化成一个线性规划模型Ⅱ。我们给定3组权值，得出3组饮食方案(表5)。通过与标准值的对比，能够看出模型Ⅱ的解已基本满足需求。 再考虑地区饮食习惯和营养卫生需求，进一步优化模型，引入是否摄入食物的0-1变量与0-1常量，对是否要吃，吃多少的问题根据地方特点进行约束。 根据实际情况，考虑湖南地区孕妇、婴幼儿（0~2岁）、学龄前儿童（2~7
数学建模比赛的选拔问题 卢艳阳 王伟 朱亮亮 （黄河科技学院通信系，） 摘要 本文是关于全国大学生数学建模竞赛选拔的问题，依据数学建模组队的要求，每队应具备较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件等的综合实力，在此前提下合理的分配队员，利用层次分析法，建立合理分配队员的数学模型，利用MATLAB ，LONGO 工具求出最优解。、 问题一：依据建模组队的要求，合理分配每个队员是关键，主要由团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷以及数学知识等等，经过讨论分析，确定良好的数学基础、建模能力，编程能力为主要参考因素。 问题二：根据表中所给15人的可参考信息，我们对每个队员的每一项素质进行加权，利用层次分析法选出综合素质好的前9名同学，然后利用0-1规划的相关知识对这9人进行合理分组，利用MATLAB 、LINGO 得到其中一个如下的分 组：'1s 、10s 、4s ；2s 、11s 、14s ；6s 、13s 、8s 问题三：我们将所选出的这9名同学和这个计算机编程高手的素质进行量化加权，然后根据层次分析法，利用MATLAB 工具进行求解，得出了最佳解。由于我们选取队员参考的是这个人的综合素质，而不是这个人的某项素质，并由解出的数据可以看出这个计算机编程高手不能被直接录用。所以说只考虑某项素质，而不考虑其他的素质的同学是不能被直接录用的。 问题四：根据前面三问中的分组的思路，我们通过层次分析法先从所有人中依据一种量化标准选出符合要求的高质量的同学，然后利用0-1变量进行规划，在根据实际问题的约束，对问题进行分析，然后可以得出高效率的分组。
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
系统的描述与数学建模 [摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。 [关键词]系统的建模数学建模 数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。 为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。 根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。 再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。 在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布 F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指 数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。 M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且
数学建模中常见的十 大模型
精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
数模模拟赛论文 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为：B12 职务姓名学号学院专业和班级 队长张林10251003201 数学与计算科学学院2010数学与应用数 学2班 队员陈强10251003106 数学与计算科学学院2010数学与应用数 学1班 队员庞阳华10251003230 数学与计算科学学院2010数学与应用数 学2班
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 北京市水资源短缺风险综合评价 一．摘要 本文以北京地区水资源短缺风险问题及北京市水资源短缺情况数据来进行综合评价，首先构造隶属函数]5[以评价水资源系统的模糊性，其次利用logistic 回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率，而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型，最后利用判别分析识别出水资源短缺风险敏感因子并提出改进方案。 本文最大的亮点是采用采用Logistic回归模型来模拟缺水量系列的概率分布，logistic回归方法具有对因变量数据要求低、计算结果唯一、模型精度高等优点。 二．问题重述 近年来，我国水资源短缺问题日趋严重，尤其是北京水资源短缺已成为焦
一．问题重述： 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。 1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…， 41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。 假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。