2017春季中考数学第五讲
图形的平移、旋转、折叠问题
【基础回顾】
考点聚焦
1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形;了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基本性质,能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别.
3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
考点一轴对称图形、轴对称变换
例1、如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,
且DE∥BC,下列结论:①△BDF是等腰三角形;②DE=
1BC;③四边形ADFE
2
是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正确的个数是( ).
【思路点拨】如图,分别过点D,E作BC的垂线DG,EH;连接AF,
由于折叠是轴对称变换知AF与DE垂直,因为DE∥BC,所以AF与
BC垂直,且AM=MF,可以证明点D,E分别是AB,AC的中点,即DE是
1BC是正确的;由于折叠是轴对称变换
△ABC的中位线,所以②DE=
2
知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以①△BDF是等腰三角形是正确
的;因DG∥AF∥EH,所以∠BDG=∠DAM,又因为DG是等腰三角形
BDF的高,所以∠BDF=2∠DAM,同理∠CEF = 2 ∠EAM, 所以④∠BDF+∠FEC=2∠A是正确的;如图显然四边形ADFE不是菱形,③是错误的.
【参考答案】C
【方法归纳】轴对称图形的定义:把一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.轴对称图形的性质:(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;(2)对应线段相等、对应角相等,对应的图形是全等图形.
【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题,本题巧妙的运用平行线性质、折叠全等不变性质得到三角形中位线,如果能顺利地判断出这一点,其他问题就将迎刃而解.在解题时不要受给出的图形影响,如△ABC像是等腰三角形,就认为△ABC就是等腰三角形,那样的话四边形ADFE就是菱形了,造成判断上的错误.此外,轴对称图形是指一个图形,而轴对称变换是指两个图形之间的关系.
考点二中心对称图形、中心对称
例2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).
【思路点拨】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是轴对称图形;把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知A是轴对称图形,且有1条对称轴,但不是中心对称图形;B是中心对称图形,不是轴对称图形;C是轴对称图形,有1条对称轴,但不是中心对称图形;D既是中心对称图形又是轴对称图形,有4条对称轴.
【参考答案】B
【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形.成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.【误区提醒】中心对称图形是指一个图形,而中心对称是指两个图形之间的关系.
考点三平移变换
例3、如图,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2,0),
点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置,
此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为.
【思路点拨】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2,∠AOB=60°,
在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1,AM=3,从而求得
点A的坐标为(1,3),直线OA的解析式为y=3x,当x=3时,y=33,所以
点A′的坐标为(3,33),所以点A′是由点A向右平移2个单位,向上平移
23个单位后得到的,于是得点B′的坐标为(4,23).
【参考答案】(4,23)
【方法归纳】本题考查了坐标与图形变化——平移,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.也考查了等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质.求出点A′的坐标是解题的关键.
考点四旋转变换
例4、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α≤90°),连接AF,DE.
(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数;
(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形请说明理由.
【思路点拨】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论:①点E 和点D 在直线AC 两侧;②
点E 和点D 在直线AC 同侧;(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,
将会出现两种对角线相等的特殊四边形:等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明.
解:(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°.
如图2,当点E 和点D 在直线AC 两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E
和点D 在直线AC 同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°
-60°=90°.
∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;
(2)四边形ADEF 能形成等腰梯形和矩形.
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=21BC .
又∵AD 是BC 边上的中线,∴AD=DC=2
1BC=AC.∴△ADC 为正三角形.
①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.
∵CA=CE=CD=CF,
∴四边形ADEF 为矩形.
②当α≠60°时,∠ACF ≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF ≠
120°.
显然DE ≠AF .∵AC=CF,CD=CE,
∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.
∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,
∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF ∥DE .
又∵DE ≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF 为等腰梯形.
【方法归纳】旋转的概念:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度,这
种图形的运动称为旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.
旋转变换的性质:经过旋转,图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意
一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,旋转变换
不改变图形的形状和大小,是全等变换.
【误区提醒】决定旋转变换的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度,作图按三个步骤
进行:(1)在已知图形上找一些关键的点;(2)画出这些关键点的对应点;(3)顺次连接这些对
应点.
考点五 图形变换的应用
例5、如图,矩形纸片ABCD ,将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP >AM ),点A
和点B 都与点E 重合;再将△CQD 沿DQ 折叠,点C 落在线段EQ 上的点F 处.
(1)判断△AMP ,△BPQ ,△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形
(2)如果AM=1,sin ∠DMF=
5
3,求AB 的长.
【思路点拨】(1)由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°,由折叠的性质和等角的余角相等,
可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC ,所以△AMP ∽△BPQ ∽△CQD ;(2)先证明MD=MQ ,然后根据
sin ∠DMF=5
3=MD DF DFMD=35,设DF=3x ,MD=5x ,再分别表示出AP ,BP ,BQ ,根据△AMP ∽△BPQ ,列出比例式解方程求解即可.
解:(1)△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°.
由折叠的性质可知∠APM=∠EPM ,∠EPQ=∠BPQ.
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.
∵∠APM+∠AMP=90°,∴∠BPQ=∠AMP .
∴△AMP ∽△BPQ.
同理:△BPQ ∽△CQD.
根据相似的传递性可得△AMP ∽△CQD ;
(2)∵AD ∥BC ,∴∠DQC=∠MDQ.
由折叠的性质可知∠DQC=∠DQM.
∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ.
∵AM=ME ,BQ=EQ ,
∴BQ=MQ-ME=MD-AM.
∵sin ∠DMF=53=MD DF ,则设DF=3x ,MD=5x ,则BP=PA=PE=
2
3x ,BQ=5x-1. ∵△AMP ∽△BPQ ,∴BQ AP BP AM =,即1
-x 52x 32x
31=,解得x=92(舍去)或x=2,∴AB=6. 【方法归纳】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角
三角函数的综合运用,图形的折叠是对称变换,是一种全等变换.
【误区提醒】折叠问题要注意找正确边角的等量关系,本题求AB 长时,关键是恰当的设出
未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式.
【例题讲解】
1.图形的平移:如图1,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2, 0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置,此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为().
A.(4,23)B.(3,33)C.(4,33)D.(3,23)
图 1 图 2 图 3 图4
答案A.思路如下:
如图,当点B的坐标为(2, 0),点A的横坐标为1.
当点A'的横坐标为3时,等边三角形A′OC的边长为6.
在Rt△B′CD中,B′C=4,所以DC=2,B′D=23.此时B′(4,23).
2.图形的折叠:如图2,在矩形ABCD中,AD=15,点E在边DC上,联结AE,△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F,过点F作FG⊥AD,垂足为G.如果AD=3GD,那么DE=_____.
答案35.思路如下:
如图,过点F作AD的平行线交AB于M,交DC于N.
因为AD=15,当AD=3GD时,MF=AG=10,FN=GD=5.
在Rt△AMF中,AF=AD=15,MF=10,所以AM=55.
设DE=m,那么NE=55m
-.
由△AMF∽△FNE,得AM FN
MF NE
=,即
55
55m
=
-
.解得m=35.
3.图形的旋转:如图3,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF= .
答案5.思路如下:
如图,作FH⊥AC于H.
由于F是ED的中点,所以HF是△ECD的中位线,所以HF=3.
由于AE=AC-EC=6-4=2,EH=2,所以AH=4.所以AF=5.
4.三角形:如图4,△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应),AB=AC=5,BC=6.△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合),DE
始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=_________.
答案11
6
或1.思路如下:
设BE=x.
由△ABE∽△ECM,得AB EA
EC ME
=,即
5
6
EA
x ME
=
-
.
等腰三角形AEM分三种情况讨论:
①如图2,如果AE=AM,那么△AEM∽△ABC.
所以
55
66
EA
ME x
==
-
.解得x=0,此时E、B重合,舍去.
②如图3,当EA=EM时,
5
1
6
EA
x ME
==
-
.解得x=1.
③如图4,当MA=ME时,△MEA∽△ABC.所以
65
56
EA
ME x
==
-
.解得x=
11
6
.
图2 图3 图4
5.四边形:如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是().
A.25B.35C.5 D.6
图5 图6 图7
答案C.思路如下:
拖动点E在AB上运动,可以体验到,当EF与AC垂直时,四边形EGFH是菱形(如图2).
如图3,在Rt△ABC中,AB=8,BC=4,所以AC=45.
由cos∠BAC=AB AO
AC AE
=,得
25
45
=.所以AE=5.
图2 图3
6.圆:如图1,⊙O 的半径为2,AB ,CD 是互相垂直的两条直径,点P 是⊙O 上任意一点(P 与A ,B ,C ,D 不重合),过点P 作PM ⊥AB 于点M ,PN ⊥CD 于点N ,点Q 是MN 的中点,当点P 沿着圆周转过45°时,点Q 走过的路径长为__________. A. 4π B. 2π C. 6π D. 3
π 答案 A .思路如下:
拖动点P 在圆周上运动一周,可以体验到,当点P 沿着圆周转过45°时,点Q 走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧.
如图2,四边形PMON 是矩形,对角线MN 与OP 互相平分且相等,因此点Q 是OP 的中点.
如图3,当∠DOP =45°时,?'D Q 的长为1
21=84ππ??.
图2 图3
7.函数图像:如图7,直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ,P 是⊙O 上一个动点(不与点A 重合),过点P 作PB ⊥l ,垂足为B ,联结PA .设PA =x ,PB =y ,则(x -y )的最大值是_____.
答案 2.思路如下:
拖动点P 在圆上运动一周,可以体验到,AF 的长可以表示x -y ,点F 的轨迹象两叶新树丫,当AF 最大时,OF 与AF 垂直(如图2).
如图3,AC 为⊙O 的直径,联结PC .
由△ACP ∽△PAB ,得AC PA AP PB =,即8x x y =.所以218
y x =. 因此2211(4)288
x y x x x -=-=--+. 所以当x =4时,x -y 最大,最大值为2.
图2 图3
【课后练习】
1.如图1,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,联结A′C,则△A′B′C的周长为_______.(答案12)
图1 图2 图3 图4 2.如图2,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________(用含t 的代数式表示).
答案23t.思路如下:如图2-1,等边三角形EFG的高=AB=t,计算得边长为23
t.
图2-1 图3-1
3.如图3,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AC上一点,且AD=3,如果△ABD绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合,点D旋转至D',那么线段DD'的长为.
答案12
5
.思路如下:如图3-1,由△ABC∽△ADD',可得.5∶4=3∶DD'.
4.如图4,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP的长等于__________cm.
答案1或2.思路如下:如图2,当PQ=AE时,可证PQ与AE互相垂直.在Rt△ADE中,由∠DAE=30°,AD=3,可得AE=23.
在Rt△APM中,由∠PAM=30°,AM=3,可得AP=2.
在图3中,∠ADF=30°,当PQ=DF时,DP=2,所以AP=1.
图2 图3
5. 将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图5-1,测得AC=2.当∠B=60°时,如图5-2,AC等于().
(A)2;(B)2;(C) 6;(D) 22.
图5-1 图5-2 图6
答案(A).思路如下:拖动点A绕着点B旋转,,当∠B=90°时,△ABC
是等腰直角三角形;当∠B=60°时,△ABC是等边三角形(如图3).
6.如图6,在矩形ABCD中,AD=8,E是AB边上一点,且AE=1
4
AB,⊙O经过点E,与边
CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF=5∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是________.
答案12或4.思路如下:
拖动点B运动,可以体验到,⊙O的大小是确定的,⊙O既可以与BC相切(如图3),也可以与AD相切(如图4).
如图2,在Rt△GEH中,由GH=8,EG∶EF=5∶2,可以得到EH=4.
在Rt△OEH中,设⊙O的半径为r,由勾股定理,得r2=42+(8-r)2.解得r=5.
设AE=x,那么AB=4x.
如图3,当⊙O与BC相切时,HB=r=5.
由AB=AE+EH+HB,得4x=x+4+5.解得x=3.此时AB=12.
如图4,当⊙O与AD相切时,HA=r=5.
由AE=AH-EH,得x=5-4=1.此时AB=4.
图2 图3 图4
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为3的⊙M与射线BA相切,切点为N,且AN=3.将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E.
(1)画出旋转后的Rt △ADE ;
(2)求出Rt △ADE 的直角边DE 被⊙M 截得的弦PQ 的长度;
(3)判断Rt △ADE 的斜边AD 所在的直线与⊙M 的位置关系,并说明理由.
【思路点拨】(1)点A 不动,由于∠BAC=60°,因此旋转120°后AE 与AB 在同一条直线上;(2)过点M 作MF ⊥DE,垂足为F.连接MP ,构造出Rt △MPF ,再通过勾股定理解直角三角形并结合垂径定理即可求解;(3)易猜想AD 与⊙M 相切.欲证AD 与⊙M 相切,只需HM=NM 即可,而HM=NM 可由△MHA ≌△MNA 得到.
证明:(1)如图1,Rt △ADE 就是旋转后的图形;
(2)如图2,过点M 作MF ⊥DE,垂足为F,连接MP .在Rt △MPF 中,MP=3,MF=4-3=1,由勾股定理易得PF=2,再由垂径定理知PQ=2PF=22;
(3)AD 与⊙M 相切.
证法一:如图2,过点M 作MH ⊥AD 于H,连接MN, MA,则MN ⊥AE 且MN=3.在Rt △AMN 中,tan ∠3
3 AN MN ,∴∠MAN=30°. ∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠MAD=30°.
∴∠MAN=∠MAD=30°.∴MH=MN(由△MHA ≌△MNA 或解Rt △AMH 求得MH=3,从而得MH=MN 亦可).
∴AD 与⊙M 相切;
证法二:如图2,连接MA,ME,MD,则S △ADE =S △AMD +S △AME +S △DME ,过M 作MH ⊥AD 于H, MF ⊥DE 于F, 连接MN, 则MN ⊥AE 且MN=3,MF=1,
∴21AC ·BC=21AD ·MH+21AE ·MN+2
1DE ·MF,由此可以计算出MH=3.∴MH=MN. ∴AD 与⊙M 相切.
【方法归纳】本题综合了旋转、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、圆与直线的位置关系等有关知识,是一道中等偏上的题,有一定区分度.其中证明圆与直线相切时通常是“作垂直,证半径”.
个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师:黄老师授课时间:2014 年04 月13 日(星期日) 姓名梁治安年级八年级性别男总课时____第___课 教学 目标 知识点:平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图。 难点重点重点:1、平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图2、简单的图案设计。 难点:图案设计的方法;轴对称、平移、旋转三种变换的组合。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况:优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平移的概念和性质 在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过的平移所得到的图形中,对应点所连的线段平行,且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 旋转的概念和性质: 在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变形状和大小。 一个图形和它经过旋转得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角,对应线段相等,对应角相等。 知识点一、平移的概念: 1.在平面内将一个图形沿______移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的_______和__________. 知识点二、平移的性质 2、经过平移,_________,__________分别相等, 对应点所连的线段_____________. 【基础训练】
A ′ 1.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行; ③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是( ) A .②③ B 、②④ C .①② D .①④ 2、如下左图,△ABC 经过平移到△DEF 的位置,则下列说法: ①AB ∥DE ,AD=CF=BE ; ②∠ACB=∠DEF ; ③平移的方向是点C 到点E 的方向; ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有( ) A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图,在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点,则△AFE 经过平移可以得到( ) A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD 和△EDC 4.下列图形属于平移位置变换的是( ) . 5.下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6.如图,△ABC 平移后得到△A ′B ′C ′,线段AB 与线段A ′B ′的位置关系是 . 7.在1题中,与线段AA ′平行且相等的线段有 . A . B . C . D .
2015年春北师大版八年级数学下册 第三章《图形的平移与旋转》知识点与同步练习 知识点一、平移的概念: 1.在平面内将一个图形沿移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的和. 注意:1、前提在同一平面内,物体在曲面上运动不称之为平移2、必须是沿同一个不变的方向移动3、图形平移是有平移的方向和距离决定的 知识点二、平移的性质 2、经过平移,,分别相等,对应点所连的线段. 【基础训练】 1.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行;③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是()A.②③B、②④C.①②D.①④ 2、如下左图,△经过平移到△的位置,则下列说法:①∥,;②∠∠;③平移的方向是点C到点E的方向;④平移距离为线段的长. 其中说法正确的有() A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图,在等边△中,D、E、F分别是边、、的中点,则△经过平移可以得到()A.△ B.△ C.△ D. △和△ 4.下列图形属于平移位置变换的是( ) .
5.下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6.如图,△平移后得到△A ′B ′C ′,线段与线段A ′B ′的位置关系是 . 7.在1题中,与线段′平行且相等的线段有 . 8、将长度为5 的线段向上平移10所得线段长度是 ( ) A 、10 B 、5 C 、0 D 、无法确定 9.如图,O 是正六边形的中心,下列图形中可由△平移得到的是( ? )A .△ B .△ C .△ D .△ 10.将面积为122的等腰直角△向右上方平移20,得到△,则△是 三角形,它的面积是 2. 11.如图7,四边形是由四边形平移得到的,已知5,∠70°,则( )A .5,∠70° B .5,∠70°C .5,∠70° D .5,∠70° 13、在图示的方格纸中(1)作出△关于对称的图形△A1B1C1;(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的? 二、图形的旋转: A . B . C . D . A A ′ C ′ B ′
学科教师辅导讲义 体系搭建 一、平移 1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。 2、平移的性质:①一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行且相等; ②对应线段平行且相等,对应角相等。 3、平移作图的步骤与方法: 一般步骤:(1)分析题目要求,找出平移的方向和平移的距离; (2)分析所作的图形,找出构成图形的关键点; (3)沿一定的方向,按一定的距离平移各个关键点; (4)连接所作的各个关键点,并标上相应的字母; (5)写出结论。 平移作图的方法:“对应点连接法”和“全等图形法” 4、图形的坐标变化与平移: (1)纵坐标保持不变,横坐标分别加k ①当k为正数时,原图形形状、大小不变,向右平移k个单位长度; ②当k为负数时,原图形形状、大小不变,向左平移k个单位长度;
三、中心对称 1、两个图形形成中心对称的概念及性质 (1)概念:如果把一个图形绕着某一点旋转180?,他能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心。 (2)两个图形形成中心对称的性质 ①成中心对称的两个图形中,对称点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分。 ②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等,对应角相等。 2、作成中心对称图形的一般步骤 (1)作出已知图形各顶点(或决定图形形状的关键点)关于中心的对称点——连接关键点和中心,并延长一倍确定关键点的对称点。 (2)把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来,则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。 3、中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180?,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 考点一:图形平移类的问题 例1、如图,将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移lcm后得到△DEF,则四边形ABFD的周长为()A.11cm B.12cm C.13cm D.14cm
图形的平移、旋转与对称 一、填空。 1、下面的现象中是平移的画“△”,是旋转的画“□”。(12分) (1)索道上运行的观光缆车。()(2)推拉窗的移动。() (3)钟面上的分针。()(4)飞机的螺旋桨。() (5)工作中的电风扇。()(6)拉动抽屉。() 2、看右图填空。(12分) (1)指针从“12”绕点A顺时针旋转600到“2”; (2)指针从“12”绕点A顺时针旋转()到“3”; (3)指针从“1”绕点A顺时针旋转()到“6”; A (4)指针从“3”绕点A顺时针旋转300到“()”; (5)指针从“5”绕点A顺时针旋转600到“()”; (6)指针从“7”绕点A顺时针旋转()到“12”。 3、先观察右图,再填空。(12分) (1)图1绕点“O”逆时针旋转900到达图()的位置; (2)图1绕点“O”逆时针旋转1800到达图( (4)图2绕点“O”顺时针旋转()到达图4 (5)图2绕点“O”顺时针旋转900到达图()的位置; (6)图4绕点“O” 逆时针旋转900到达图()的位置; 4、想好了再填。(5分) ①、封闭的电梯的上上下下属于()现象。 ②、正在拧动水龙头开关属于()现象。 ③、开动汽车时方向盘的转动,属于()现象。 ④、飞机降落到机场跑道到机身静止这一过程,对于整个机身而言,属于()现象, 而对于滚动的轮胎而言,它是()现象。 二、判断题。正确的在题后的括号里画“√”,错的画“×”。 (1)正方形是轴对称图形,它有4条对称轴。…………………………………()(2)圆不是轴对称图形。…………………………………………………………()(3)利用平移、对称和旋转变换可以设计许多美丽的镶嵌图案。……………()(4)风吹动的小风车是旋转现象。………………………………………………()
图形的平移与旋转--知识讲解 【学习目标】 1、理解平移的概念,掌握图形的平移所具有的对应点的连线的特征,理解平移前后对应边角的关系,能按要求作出简单的平面图形平移后的图形; 2、掌握旋转的概念,探索它的基本性质,能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形; 3、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念,理解他们的区别和联系,并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形; 4、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形. 【要点梳理】 要点一、平移的概念与性质 平移的概念 将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动,叫做图形的平移运动,简称为平移. 如图:平移三角形ABC 就可以得到三角形A′B′C′,点A和点A′,点B 和B′,点C 和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC 和B′C′,AC 和A′C′是对应线段,∠A与∠A′,∠B与∠B′∠C与∠C′是对应角. 平移的性质 图形平移后,对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等. 图形平移后,图形的大小、形状都不变. 要点诠释: 1、平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离. 2、平移的两个要素:平移的方向和平移的距离. 要点二、旋转的概念与性质 旋转的概念 在平面内,将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心(如点O ),转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′). 如图:三角形A′B′C′是三角形ABC 绕点O 旋转所得,则点A和点A′,点B 和B′,点C 和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC 和B′C′,AC 和A′C′是对应线段,∠A OA ′,∠BOB′,∠COC′是旋转角. 要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′); (2)对应线段的长度相等(AB=AB′); (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA′); 要点诠释: 1、图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 2、旋转前后图形的大小和形状没有改变. 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形. 要点诠释: 作图的步骤: (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心; (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角); (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点; O
《图形的平移与旋转》 【巩固练习】 一、选择题 1. 以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称 图形的有(). A.4个 B.5个 C.6个 D.3个 2.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动; ④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是(). A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 3.(2015?番禺区一模)下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是() A. B. C. D. 4.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形可由△OBC平移得到的是(). A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF 5.如图,∠DOE为直角,如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′,△A′B′C′关于OE的对称图 形是△A″B″C″,则△ABC与△A″B″C″的关系是(). A.以∠DOE的平分线成轴对称; B.关于点O成中心对称 C.平移关系; D.不具备任何关系 第4题第5题第6题 6.如图所示,△ABC中,AC=5,中线AD=7,△EDC是由△ADB旋转180°所得,则AB边的取值范围是(). A.l<AB<29 B.4<AB<24 C.5<AB<19 D.9<AB<19 7. 下列变换中,哪一个是平移().
8.如图所示,将一个含30°的直角三角板ABC绕点A选择,使得点B,A,C在同一条直线上,则三角板 ABC旋转的角度是 ( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 二、填空题 9.某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥,若荷塘中小桥的总长为100米,则荷塘周长为. 10. 如图,AB⊥BC,AB=BC=2cm,弧OA与弧OC关于点O中心对称,则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2. 11. 如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形纸,小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去,使AB 边和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判定方法是________. 第10题第11题第12题 12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与 AC上的点B1重合,则AC= cm. 13.如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到Rt△AB’C’,点C’恰好落在边AB上,连接BB’, 则∠BB’C’= . 第13题第14题
第三章图形的平移与旋转教案 3.1生活中的平移 教学目标: 知识目标:认识平移、理解平移的基本内涵;理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等的性质。 能力目标:①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。通过知识的拓展,培养学生的分析问题与解决问题的能力;②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程;经历探索图形平移性质的过程,以及与他人合作交流的过程,进一步发展空间观念,增强审美意识。 情感目标:①在探究式的教学活动中,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神;通过多种途径,培养学生细致、严谨、求实的学习习惯;渗透由特殊到一般,化未知为已知的辩证唯物主义思想;②引导学生观察生活中的图形运动变化现象,自己加以数学上的分析,进而形成正确的数学观,进一步丰富学生的数学活动经验和体验。有意识的培养学生积极的情感、态度,促进观察、分析、归纳、概括等一般能力及审美意识的发展;③通过自己动手设计图案,把所学知识加以实践应用,体会数学的实用价值。通过同学间的合作交流,培养学生的协作能力与学习的自主性。 教学重点:探究平移变换的基本要素,画简单图形的平移图。 教学难点:决定平移的两个主要因素。 教学过程设计: 一、引入并确定目标 展示与平移有关的图片,借助实物演示平移,用几何画板演示两个图形的平移。 学生分组讨论,如何将所看到的现象用简洁的语言叙述。 二、探究新知 分析平移定义,探讨“沿某一方向”的意义,其实质是沿直线运动。 学生讨论“沿某一方向”的意义。 展示图片,让学生讨论图中的运动各在那种情况下是平移,图中还有哪些图形可以通过平移得到。 学生分组讨论: (1)能否通过平移得到。 (2)能平移得到的其基本图形是什么?有哪些方法? 让学生列举生活中的平移实例,对理解有偏差的加以纠正。 展示静态图片,让学生观察图中具有特殊位置关系的线段,归纳猜想所能得到的结论;利用几何画板实验验证猜想。 小组同学讨论自己所能得到的结论。
第三章图形的平移与旋转复习要点 专点一:图形的平移 1.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移是由移动的方向和距离决定的。 2.平移的性质: (1)平移不改变图形的形状和大小:即平移前后的线段相等,平移前后的三角形或多边形全等。 (2)平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等,对应角相等。 (3)平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。 专点二:图形的旋转 ` 1.旋转的定义:在平面内,将一个图形绕着一个定点沿着某个方向(顺时针或逆时针)旋转一定的角度,这样的图形运动成为旋转,这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。 2.旋转的性质: (1)旋转不改变图形的形状和大小:即旋转前后的图形是一组全等形。 (2)旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等,对应角相等。 (3)经过旋转,图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。 (4)任意一对对应点与旋转中心的距离相等。 考点三、中心对称 ( 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 2、性质 (1)关于中心对称的两个图形是全等形。 (2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。 (3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 3、判定
^ 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。 考点四、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征:两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y) 2、关于x轴对称的点的特征:两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y) 3、关于y轴对称的点的特征:两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y) : 专点五:利用轴对称、旋转和平移作图 1.平移作图的一般步骤: (1)确定平移的方向和距离; (2)确定构成图形的关键点(线段两个端点,三角形三个顶点,n边形n 个顶点); (3)按照平移的方向和距离平移各个关键点; (4)顺次连接各个关键点的对应点,所得的图形就是平移后的图形。 2.旋转作图的一般步骤: * (1)确定旋转中心、旋转角及旋转方向; (2)确定原图形的关键点; (3)旋转个关键点,得到对应点; (4)依次连接各关键点的对应点,所得的图形就是旋转后的图形。 3.图形之间的变换关系: 在图形变换中,最常见的变换有轴对称、平移、旋转,它们都是把一个图形变成另外一个图形,并且这些变换都只是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。