第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8） ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞ (含x →±∞);*0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A. 3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝ ∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解： ． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C. 第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在 二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 总论 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 第一章函数与极限 主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。 内容要点： 1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2.复合函数和反函数的概念。 3.基本初等函数的性质及其图形。 4.立简单实际问题中的函数关系式。 5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 一、求函数的定义域 ①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段 函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是 解a≦t(x)≦b 二、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。 三、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。 四、数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。 五、函数极限的求法 1.用数列求极限方法， 2.在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值， 3.分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。大学微积分知识点总结
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