“abc猜想”讲义
第三讲
“abc猜想”证明（1）
主讲王若仲
有了前面有界函数一些性质的储备，现在探讨求证“abc猜想”。
abc定理:任何三个满足a+b＝c以及a和b互质的正整数a，b，c。对于任
何ε＞0,存在常数k
ε＞0，有：kεrad(abc)
1+ε＞c。其中rad(abc)表示(a·b·c) 中无重复质因数的积。
证明：对于“abc猜想”中的正整数a，b，c。从表象看似乎没有什么规律可循，只要仔细研究不等式，可以设置任意两个素数p和q，设b＝p k·n-q h·m，且（p k·n-q h·m）和p k·n以及q h·m两两互质，p k·n＞q h·m,p k＞q h,k为正整数,h为非负正整数。再按照n≥m和n≤m这两种情形进行分析讨论：下面就根据这两种类型，从一般化的角度逐一分析讨论：
首先分析讨论第一种情形：设置任意两个素数p和q（p≠q），设b＝p k·n-q h·m，且p k·n和q h·m互质，p k＞q h，p k·n＞q h·m(n≥m)。
设c=p k·n，a=q h·m(n≥m)，p和q为任意两个素数（p≠q），且p k＞q h，p k·n ＞q h·m，p k·n和q h·m互质，则b=p k·n-q h·m。假定p和q均为设定的两个素数,k为设定的正整数,h为设定的非负正整数时。因为c＞a＞0，c＞b＞0，那么在这种情形下，则有p k-q h≤（p k·n-q h·m）÷n＜p k；说明对于任意两个正整数n和m(n≥m)，[（p k·n-q h·m）÷n]不大于某一定值H,[（p k·n-q h·m）÷n]不小于某一定值H′。而（p k-q h）和p k为定值。那么在（p k-q h）和p k之间必定存在一正实数R，对于任意两个正整数n和m(n≥m)，不等式[（p k·n-q h·m）÷n]≥R总是成立；在（p k-q h）和p k之间必定存在一正实数T，对于任意两个正整数n和m(n≥m)，不等式[（p k·n-q h·m）÷n]≤T总是成立。所以这种情形下R为正实数常数，T为正实数常数。由定理4可知，rad（p k·n-q h·m）÷n和[（p k·n-q h·m）÷rad（p k·n-q h·m）]÷n必为下列情形之一：
（11）rad（p k·n-q h·m）÷n不大于某一定值E
1
，rad（p k·n-q h·m）÷n
不小于某一定值E
1
′；[（p k·n-q h·m）÷rad（p k·n-q h·m）]÷n不大于某一
定值E
2，[（p k·n-q h·m）÷rad（p k·n-q h·m）]÷n不大于某一定值E
2
′。
（12）rad（p k·n-q h·m）÷n不大于某一定值E
1
，rad（p k·n-q h·m）÷n
不小于某一定值E
1
′；或者[（p k·n-q h·m）÷rad（p k·n-q h·m）]÷n不大于
某一定值E
2，[（p k·n-q h·m）÷rad（p k·n-q h·m）]÷n不大于某一定值E
2
′。
对于正整数a ，同理，rad （a ）÷n 和[a ÷rad （a ）]÷n 必为下列情形之一： （21）rad （a ）÷n 不大于某一定值E 3，rad （a ）÷n 不小于某一定值E 3′； [a ÷rad （a ）]÷n 不大于某一定值E 4，a ÷rad （a ）÷n 不大于某一定值E 4′。
（22）rad （a ）÷n 不大于某一定值E 3，rad （a ）÷n 不小于某一定值E 3′； 或者[a ÷rad （a ）]÷n 不大于某一定值E 4，a ÷rad （a ）÷n 不大于某一定值E 4′。
对于正整数c ，因为c ÷n=p k ，同理，rad （c ）÷n 和[c ÷rad （c ）]÷n 必为下列情形之一：
（31）rad （c ）÷n 不大于某一定值E 5，rad （c ）÷n 不小于某一定值E 5′； [c ÷rad （c ）]÷n 不大于某一定值E 6，c ÷rad （c ）÷n 不大于某一定值E 6′。
（32）rad （c ）÷n 不大于某一定值E 5，rad （c ）÷n 不小于某一定值E 5′； 或者[c ÷rad （c ）]÷n 不大于某一定值E 6，c ÷rad （c ）÷n 不大于某一定值E 6′。
对于①rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 不大于某一定值E 1，rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 不小于某一定值E 1′；②rad （a ）÷n 不大于某一定值E 3，rad （a ）÷n 不小于某一定值E 3′；③rad （c ）÷n 不大于某一定值E 5，rad （c ）÷n 不小于某一定值E 5′；这三种情形中至少有一种情形成立。具体分析如下：
㈠令a=q h
·m=q t
或a=q h
·m=p 11x1
·p 12x2
·p 13x3
·…·p 1r
xr
，c=p k ·n=p s 或
c=p k ·n=g 11z1·g 12z2·g 13z3·…·g 1t zt ，由定理5和推论1可知，rad （p k ·n-q h ·m ）不可能为定值。因为（p k ·n-q h ·m ）÷n=rad （p k ·n-q h ·m ）÷n ·[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]；（p k ·n-q h ·m ）=rad （p k ·n-q h ·m ）·rad[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]·rad[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷rad[1
（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]·rad[3[2[1（p k ·
n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1
]÷[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]÷rad[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad
（p k ·n-q h ·m ）1]÷[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]3]·…·rad[t [t-1…[3[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷[1
（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1
]2]…t-1]÷rad[t-1…[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷[1（p k ·n-q h ·m ）
÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]3]…t-1]t ]，t 为正整数。而rad （p k ·n-q h ·m ）≥rad[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]≥rad[2[1
（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1
]÷rad[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]≥rad[3[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷
rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]÷rad[2[1（p k ·
n-q h ·m ）
÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷[1（p k
·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]3]≥…≥rad[t [t-1…
[3[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷[1
（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1
]2]…t-1]÷rad[t-1…[2[1（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]÷[1（p k ·n-q h ·m ）
÷rad （p k ·n-q h ·m ）1]2]3]…t-1]t ]。<1>如果[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]为一个定值，由于p k -q h ≤（p k ·n-q h ·m ）÷n ＜p k ，所以由定理4可知，rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 不大于某一定值E 1，rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 不小于某一定值E 1′；<2>如果[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]不为定值，由于rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 的变化也影响着[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]÷n 的变化，也就是rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 变得越大时，则[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]÷n 也变得越大；rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 变得越小时，则[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]÷n 也变得越小；如果假定总可以使得rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 变得要好小有好小，那么相应地也总可以使得[（p k ·n-q h ·m ）÷rad （p k ·n-q h ·m ）]÷n 变得要好小有好小，显然也总可以使得（p k ·n-q h ·m ）÷n 变得要好小有好小。这样的情形就与p k -q h ≤（p k ·n-q h ·m ）÷n ＜p k 产生矛盾，所以必然有rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 不大于某一定值E 1，rad （p k ·n-q h ·m ）÷n 不小于某一定值E 1′。其它情形同理可得。
㈡令b=（p k
·n-q h
·m ）=g t
或b=（p k
·n-q h
·m ）=q 11y1
·q 12y2
·q 13y3
·…·q 1s ys
，
c=p k ·n=p r 或c=p k ·n=g 11z1·g 12z2·g 13z3·…·g 1t zt ，由定理5和推论1可知，rad （a ）不可能为定值。因为a ÷n=rad （a ）÷n ·[a ÷rad （a ）]；a=rad （a ）·rad[1a ÷rad （a ）1]·rad[2[1a ÷rad （a ）1]÷rad[1a ÷rad （a ）1]2]·rad[3[2[1a ÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）1]2]÷rad[2[1a ÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）
1
]2]3]·…·rad[t [t-1…[3[2[1a ÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）1]2]…t-1]÷rad[t-1…[2[1a
÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）1]2]3]…t-1]t ]，t 为正整数。而rad （a ）≥rad[1a ÷rad （a ）1]≥rad[2[1a ÷rad （a ）1]÷rad[1a ÷rad （a ）1]2]≥rad[3[2[1a ÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）1]2]÷rad[2[1a ÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）1]2]3]≥…≥rad[t [t-1…[3[2[1a ÷rad （a ）1]÷[1a ÷rad （a ）1]2]…t-1]÷rad[t-1…[2[1a ÷rad
（a ）1
]÷[1a ÷rad （a ）1]2]3]…t-1]t ]。<1>如果[a ÷rad （a ）]为一个定值，由于a ÷n
必定大于等于某一定值而小于某一定值，所以由定理4可知，rad （a ）÷n 不大于某一定值E 3，rad （a ）÷n 不小于某一定值E 3′；<2>如果[a ÷rad （a ）]不为
定值，由于rad（a）÷n的变化也影响着[a÷rad（a）]÷n的变化，也就是rad （a）÷n变得越大时，则[a÷rad（a）]÷n也变得越大；rad（a）÷n变得越小时，则[a÷rad（a）]÷n也变得越小；如果假定总可以使得rad（a）÷n变得要好小有好小，那么相应地也总可以使得[a÷rad（a）]÷n变得要好小有好小，显然也总可以使得a÷n变得要好小有好小。这样的情形就与a÷n必定大于等于某一定值而小于某一定值而产生矛盾，所以必然有rad（a）÷n不大于某一
定值E
3，rad（a）÷n不小于某一定值E
3
′。其它情形同理可得。
㈢令a=q h·m=q t或a=q h·m=p11x1·p12x2·p13x3·…·p1r xr，令b=（p k·n-q h·m）
=g t或b=（p k·n-q h·m）=q
11y1·q
12
y2·q
13
y3·…·q
1s
ys，由定理5和推论1可知，
rad（c）不可能为定值。因为c÷n=rad（c）÷n·[c÷rad（c）]；c=rad（c）·rad[
1
c
÷rad（c）
1]·rad[
2
[
1
c÷rad（c）
1
]÷rad[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]·rad[
3
[
2
[
1
c÷rad
（c）
1]÷[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]÷rad[
2
[
1
c÷rad（c）
1
]÷[
1
c÷rad（c）
1]
2
]
3
]·…·rad[
t
[
t-1
…[
3
[
2
[
1
c÷rad（c）
1
]÷[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]…
t-1
]÷rad[
t-1
…[
2
[
1
c
÷rad（c）
1]÷[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]
3
]…
t-1
]
t
]，t为正整数。而rad（c）≥rad[
1
c
÷rad（c）
1]≥rad[
2
[
1
c÷rad（c）
1
]c÷rad（c）
1
]÷[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]÷rad[
2
[
1
c
÷rad（c）
1]÷[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]
3
]≥…≥rad[
t
[
t-1
…[
3
[
2
[
1
c÷rad（c）
1
]÷[
1
c÷
rad（c）
1]
2
]…
t-1
]÷rad[
t-1
…[
2
[
1
c÷rad（c）
1
]÷[
1
c÷rad（c）
1
]
2
]
3
]…
t-1
]
t
]。<1>
如果[c÷rad（c）]为一个定值，由于c÷n等于某一定值，所以由定理4可知，
rad（c）÷n不大于某一定值E
5，rad（c）÷n不小于某一定值E
5
′；<2>如果[c
÷rad（c）]不为定值，由于rad（c）÷n的变化也影响着[c÷rad（c）]÷n的
变化，也就是rad（c）÷n变得越大时，则[c÷rad（c）]÷n也变得越大；rad （c）÷n变得越小时，则[c÷rad（c）]÷n也变得越小；如果假定总可以使得rad（c）÷n变得要好小有好小，那么相应地也总可以使得[c÷rad（c）]÷n 变得要好小有好小，显然也总可以使得c÷n变得要好小有好小。这样的情形就与c÷n等于某一定值产生矛盾，所以必然有rad（c）÷n不大于某一定值E
5
，
rad（c）÷n不小于某一定值E
5
′。其它情形同理可得。
假如是rad（p k·n-q h·m）÷n不大于某一定值E
1
，rad（p k·n-q h·m）÷n
不小于某一定值E
1
′的情形成立，因为p k和q h为定值，那么必存在一正实数J，恰好使得不等式J·p·q≥p k成立，则有不等式rad（p k·n-q h·m）÷n·J·p·q
≥p k·E
1′也成立，即不等式rad（p k·n-q h·m）÷E
1
′·J·p·q≥p k·n成立；
其中p k，q h，E
1
′，J，p，q均为定值。显然不等式rad（n）·rad（p k·n-q h·m）
÷E
1
′·J·p·q·rad（m）≥p k·n也成立，其它情形同理可得。
故由此可知，对于任何三个满足a
r +b
i
＝c
j
以及a
r
和b
i
互质的正整数a
r
，b
i
，c
j
；
其中a
r =q h·m，c
j
=p k·n，b
i
=p k·n-q h·m（n≥m）,p k·n和q h·m互质，p k＞q h，
p k·n＞q h·m，p和q为任意两个素数（p≠q）；确实存在常数k
ε＞0，对于任何ε＞0,使得不等式kε·rad[q h·m·（p k·n-q h·m）·p k·n]1+ε＞p k·n成立。
参考文献
[1]百度百科
[2]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版
[3]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版
[4]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版
[5]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
“abc猜想”讲义（十三） 第十三讲 证明“abc猜想” 主讲王若仲 在第九讲中，（iv）对于等式m+g＝n，m和g以及n均不为恒定的值。我们现在就分析第（iv）的情形。 （iv）对于m+g＝n，当m，g，n均不为恒定的值时，由第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，随着m和g以及n的变化，rad（m）和rad（g）以及rad（n）必为下列情形之一： ①rad（m）和rad（g）均为恒定的值，rad（n）不可能为恒定的值。 ②rad（n）和rad（g）均为恒定的值，rad（m）不可能为恒定的值。 ③rad（n）和rad（m）均为恒定的值，rad（g）不可能为恒定的值。 ④rad（n）为恒定的值，rad（m）和rad（g）均不为恒定的值。 ⑤rad（m）为恒定的值，rad（n）和rad（g）均不为恒定的值。 ⑥rad（g）为恒定的值，rad（m）和rad（n）均不为恒定的值。 ⑦rad（n）和rad（m）以rad（g）均不为恒定的值。 我们注意观察，从第（iv）中的①，②，③，④，⑤，⑥，⑦等情形来看，我们不难发现：①和⑤以及⑥和⑦的情形中，rad（n）均不为恒定的值。那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形就与（ii）中（三）的情形同理可得出同样的结论。 ②和③的情形可互换，即②和③为同类型的情形。⑤和⑥的情形可互换，即⑤和⑥为同类型的情形。我们下面逐步分析研究： （一）对于①，rad（m）和rad（g）均为恒定的值，由第七讲中的不定方 lim 程定理4.1和推论4.1可知，rad（n）不可能为恒定的值。因n÷n=1，那么 +∞ → n lim（n）=1。 （n）÷ n → +∞ 又因n=[rad（n）]·H；当正整数n不断增大时，那么根数rad（n）总趋势也是随着正整数n的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n趋向于正无穷大时，根数rad（n）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n）]·H}=1恒成立。 （1）令k q+h d=n，q和d均为大于1的恒定正整数且互质，k q＞h d，k和
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第一章房地产基础知识 一、房地产的概念 房地产是指土地、建筑物及其它地上定着物，包括物质实体和依托于物质实体上的各种权益。 1、房产：是指建筑在地面上的各种房屋，包括住宅、厂房、仓库、商业、服务、 文化、教育、办公房等。 2、地产：是土地和地下各种基础设施的总称，包括供水、供热、供电、排水排 污等地下管线以及地面道路等。 二、房地产开发 1、房地产开发的概念： 房地产开发是指依法取得国有土地使用权的土地上进行基础设施和房屋建设的行为。 2、房地产开发的原则： 房地产开发必须遵循以下原则： （1）严格执行城市规划的原则； （2）讲求效益的原则。即房地产开发应当将经济效益、社会效益、环境效益有机的结合起来； （3）全面规划、合理布局、综合开发、配套建设的原则。 3、土地征用的审批权限： 征收下列土地，由国务院批准： （1）基本农田； （2）基本农田以外的耕地超过35公顷的； （3）其它土地超过70公顷的。 征用条款规定以外的土地，由省、自治区、直辖市人民政府批准，并报国务院备案。
4、土地的取得方式： 土地的取得有两种方式：划拨和出让。 （1）划拨是指县级以上人民政府依法批准，在土地使用者缴纳补偿、安置等费用后将该土地交付其使用，或者将土地使用权无偿交付给土地使用者使用的行为。以划拨方式取得土地使用权的，除法律、行政法规另有规定外，没有使用权限的限制。一般是指划拨给国家机关、学校等单位使用。 （2）出让是指与国家签订土地出让合同，交纳土地出让金在一定年限内获得国有土地使用权的方式。目前的房地产开发除经济适用房外，都属于这种方式。同样，如果要在划拨土地上进行开发，也要交纳土地出让金，将划拨土地转为出让土地。出让的土地由于其用途不同，土地的使用期限也不相同。主要分为：居住用地70年，工业用地50年，商业用地40年等。 （备注：出让合同约定的动工开发期限满1年未动工开发的，可以征收相当于土地使用权出让金20%以下的土地闲置费，满2年未动工开发的，可以无偿收回以上土地使用权。但因不可抗力或者政府、政府有关部门的行为或者动工开发必需的前期工作造成动工迟延的除外。） 5、国有土地出让的方式：招标、拍卖、协议三种方式，目前还广泛采用挂牌方式出让。 A、招标出让国有土地使用权：是指市、县人民政府土地行政主管部门（以下简称出让人）发布招标公告，邀请特定或者不特定的公民、法人和其他组织参加国有土地使用权投标，根据投标结果确定土地使用者的行为。 B、拍卖出让国有土地使用权：是指出让人发布拍卖公告，由竟买人在指定时间、地点进行公开竟价，根据出价结果确定土地使用者的行为。 C、协议出让土地使用权：是指出让人与选定的受让方磋商用地条件及价款，达成协议并签定土地使用权出让合同，有偿出让土地使用权的行为。
“abc 猜想”讲义（十二） 第十二讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 在第九讲中，对于②如果rad（g ）为恒定的值，则rad（n ）不可能为恒定的值。对于③，rad（g ）和rad（n ）均不为恒定的值。这一讲中我们就具体分析这两种情形： （二）对于②，rad（g ）为恒定的值，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，则rad（n ）不可能为恒定的值。因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。 （1）因为R+h d =n ，d 为大于1的恒定正整数，h 为不小于1的整数；由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。 对于n 和rad（n ），因为n=h d +R ，设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(R d rad R d h h ++的情形。由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由前面第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。因为函数ψ（x）的情形包含了n ÷rad（n ）的情形，那么在n 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤n ÷rad（n ）≤G 恒成立。因为n=rad（n ）·H，H∈N，那么F ≤H≤G 恒成立。 因为rad （g ）≥1，rad （m ）≥1，那么这种情形下，不等式G ·rad （n ）·rad （m ）·rad（g ）≥n 恒成立。
销售人员培训资料 业务操作 一、业务员的职责 我认为业务员的主要职责有： 1.客户的开拓与订单的争取，不管是新进业务员或是干练的中坚业务员对于新客户 的开拓由展开商谈到争取订单都必须下很大的工夫。即使本身再优秀的业务员， 如果没有与客户见面商谈不管具备如何优秀的商谈技巧都不可能拿到订单。 2.老客户的维护 对于老客户的维护应该注意以下几点： 1）积极帮助客户开发新的销售网络 2）帮助客户维护好已开发好的销售网络 3）对客户提出的问题，在不损害公司利益的前提下尽可能的解决 4）适时的提供促销活动方案和促销礼品 5）公司推出的新的产品型号及时告知 6）公司新的销售政策及时与客户沟通 7）对客户提出的问题在自己无法解决的情况下，及时同主管或经理进行沟通分析尽快解决。 二、业务员应具备的基本条件和操作规范 （一）我认为业务员应具备的基本条件有： 1.具备产品的专业知识 公司的业务员对公司产品的知识及特性优点务必详细了解，如对自己本公司的产 品都不太了解，对客户该如何说明。而客户对于产品都无法详细了解就更无法下 定决心给予订单。同时对本行业能对我们形成威胁的品牌也必须有研究，所谓“知 己知彼，百战百胜”。 2.对于公司的产品要有绝对信心 3.公司业务员对公司产品要绝对相信优于其他同类产品。信心具有强有力的感染力， 在业务人员具有信心的前提下对于促销人员的培训以及对于客户的开拓工作具有 绝对性的意义。我们相信信心+毅力=成功具备市场开拓的知识和技巧 公司的业务员绝对不能希望公司能转交给我们现成的客户这是不够的，业务员对 于本行业的客户来源必须拟订出一套有系统的开发方法，要明确知道你所销售的 产品其客户的主要来源。利用各种有利的方法达到客户群的收集（如：旧有客户
“abc 猜想”讲义（14） 第十四讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 第九讲中，（iv ）对于等式m +g ＝n ，m 和g 以及n 均不为恒定的值。我们现在就分析第（iv ）的情形。 （iv ）对于m +g ＝n ，当m ，g ，n 均不为恒定的值时，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，随着m 和g 以及n 的变化，rad（m ）和rad （g ）以及rad（n ）必为下列情形之一： ①rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（n ）不可能为恒定的值。②rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（m ）不可能为恒定的值。③rad（n ）和rad（m ）均为恒定的值，rad（g ）不可能为恒定的值。④rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。⑤rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值。⑥rad（g ）为恒定的值，rad（m ）和rad（n ）均不为恒定的值。⑦rad（n ）和rad（m ）以rad（g ）均不为恒定的值。 我们注意观察第（iv ）中①，②，③，④，⑤，⑥，⑦的情形，可得出这样的结论；①和⑤以及⑥和⑦中，rad（n ）均不为恒定的值，那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形与第（ii ）中（三）的情形同理可得出同样的结论。②和③的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。⑤和⑥的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。 （一）对于第（iv ）中①的情形，rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，rad （n ）不可能为恒定的值。因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞ →n lim （n ）=1。又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。下面我们从四种情形进行分析： （1）令k q +h d =n ，q 和d 均为大于1的恒定正整数且互质，k q ＞h d ，k 和h
网络营销师培训课程说明 、课程体系 （一）课程目标 通过木课程的学习，使学员通过基础知识和实例相结合的学习方法，深入全面的了解、掌握网络营销的系统知识体系与实战技能，帮助学员达到人社部颁发的标准中所规定的网络营销师资质，为企业的生产经营提供丰富的人力资源。 （二）培养模式与教学方式 培养模式：以企业岗位的实际需求为目标，强调针对性、应用实践性与学员的可持续发展相结合。以实践为主线，基础理论和应用技术相结合，将培养目标与企业需求紧密联系，把培训考试融入教学过程中。培养能有效应用信息技术工具，简化工作方式，提高团队协作能力的技能型人才。 教学方式：带着问题学技能的教学方法，每个知识点都以企业实际的岗位需求相结合进行展开，使学员能得到完整全方位的实战训练，重点侧重于学生的“与人沟通能力-＞分析问题的能力?＞付诸实施的能力-〉解决问题的能力”，彻底解决了学员专业技能和团队精神协同培养的难点。 （三）课程内容和时间安排 、教学大纲 （一）课程概述 1适用专业：
2、课程说明：
3、教学目标 （二）教学内容
北京主体教育科技中心
4.1十二大常见网络营销方式逐个学习软文营销、QC 营 销、 联盟营销、淘宝营销、视频营销、论坛营销、博客/微博营销、邮件营销、病毒式 营销、 事件营销、网络广告、网络危机公关 4.2企业网络营销实战解决方案学习研究 4.3特色讲解企业网络危机公关策 三、考试介绍 （一） 考试形式 考试分为I 卷标准化考试和II 卷案例实战考试。I 卷标准化考试总分100分，II 卷案 例实战考试50分，满分共150分，90分及格。 丨卷标准化考试：包括单选题40题每题1分、多选题25题每题2分、判断题 10题每题1分； II 卷案例实战考试：包括案例分析、操作等； 考试时间：I 卷为90分钟；II 卷为60分钟。共150分钟。 1、 上机考试：上机考试采用在线考试系统进行考试，在规定时间内完成规定的考 试。 2、 试卷考试：在不具备网络环境的院校采用保密试卷考试的方式进行。 （-） 考试重点 网络营销师模拟考试试卷 考生注意事项 1. 本试卷分I 卷和II 卷，满分为150分，考试用时150分钟，考试结束后将试卷、 答题卡 一并交回。 2. 答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、性别、年龄、证件类型、证件 号码、考 试所在地填写清楚。 第四章 十二大营销方 式招招试 略 4.4如何利用第三方平台为企业作免费宣传
“abc 猜想”讲义（十六） 第十六讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 对于第（iv ）中④的情形我们分成（a ）和（b）两种情形,（a ）的情形又分成（1）和（2）两种情形，这一讲我们讲解（a ）中的（1）和（2）这两种情形。对于（b）的情形，因为（a ）的情形与（b）的情形可互换，所以同理可得出与（a ）的情形同样的结论。 （四）对于④，rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。那么rad（g ）和rad（m ）均是可变的；因为m+g=n ，在此情形下，当正整数n 不断增大时，正整数m 和g 不可能同时连续不断地减小，那么正整数m 和g 中至少有一个正整数总趋势也是不断增大。则有如下情形： （a ）因为rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。对于m+g=v p ，或者m+g=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1。m 和g 可互换，令m ＞g 。 （1）c=n=v p 时，正整数p （p ＞1）为常数，v 为不小于1的整数；因为m+g=n=v p ，在此情形下，当正整数n 不断增大时，那么正整数m 也不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，正整数m 趋向于正无穷大。这种情形下，因为g P p v v -=1÷（1- v p g ），设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实数。函数f（x ）=x 1的情形包含了 v p g 的情形。函数f （x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f （x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f（x ）在x?[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤ψ（x）≤L 恒成立。因为函数f （x ）=x 1的情形包含了 v p g 的情形，那么在v p g 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤v p g ≤L 恒成立。 故由此可知，这种情形下，不管m 和v p 以及g 如何变化，不等式1÷（1-E ）≤v p ÷{[rad（m ）]·H }≤1÷（1-L ）恒成立。
“abc 猜想”讲义（23） 第二十三讲 利用“abc 定理”证明“费尔马大定理” 主讲 王若仲 这一讲讲解如何利用“abc 定理”怎样证明“费尔马大定理”。六费尔马大定理 引理6.1：对于任一大于1的正整数a，若a n =b 3m+r ，r=0或1或2，n∈N，m ∈N，2＜n≤3m+r。则a≤b m 。 证明：对于任一大于1的正整数a，要使a n =b 3m+r ，r=0或1或2，n≤3m+r。则n 下列情形：（1）n 为合数；（2）n 为奇质数；（3）a＞b。 当n 为合数或者n 为奇质数时，则n≥3。那么a n =a 3m+r ，r=0或1或2。则m ≥1，那么a≤a m 。 当a＞b 时，根据题设，a n =b 3m+r ，r=0或1或2，n∈N，m∈N，2＜n≤3m+r。我们令a=d s ·c v ，d 和s 以及c 和v 均为不小于2的正整数。如果s=1或者v=1，那么这种情形下，还是（1）和（2）的情形。我们不妨令s≥v，则a=d s ·c v =v v s c d )(?-，那么a＞d s-v ·c。而a n =（d s-v ·c）v·n ，因为n＞2，我们不妨设n=3m 1+r 1，r 1=0或1或2，m 1∈N，m 1≥1。那么v·n=v·（3m 1+r 1）=3m 1·v+r 1·v，而a n = v r v m v s c d ?+?-?113)(=v m v s c d ?-?13)(·v r v s c d ?-?1)(=13)(m v s c d ?·v r v s c d ?-?1)(，则a≤v m v s c d ?-?1)(。类似情形同理可证。故引理6.1成立。 引理6.2：对于任两个均大于1的正整数a 和c，若a n =b 3m+r ，c n =d 3m+r ，r=0或1或2，2＜n＜3m+r。则a÷b m ≥ac÷（bd）m 和c÷d m ≥ac÷（bd）m 。 证明：对于任两个均大于1的正整数a 和c，若a n =b 3m+r ，c n =d 3m+r ，r=0或1或2，2＜n＜3m+r。由引理6.1可知，a÷b m ≤1，c÷d m ≤1。把不等式c÷d m ≤1 两边同时乘a÷b m ，则有ac÷（bd）m ≤a÷b m 。把不等式a÷b m ≤1两边同时乘c÷d m ， 则有ac÷（bd）m ≤c÷d m 。故引理6.2成立。
市场营销部员工培训资料 培训课题：营销部职责内容及各岗位职责内容 部门职责 一、市场营销部是酒店对外销售产品的业务部门，其主要任务是根据酒店销售目标、营销策略，在总经理室的领导下，协助制定并实现销售计划。 二、市营部通过营销环境分析，确定目标市场，制定产品策略、渠道策略、价格策略和促销策略。 三、建立预订网络，设置销售网点，组织销售代表做好商务、团队、会议、政府机构、商社企业等各类客源群体的销售工作，完成销售计划。 四、市营部还通过销售活动、调研活动，对外树立酒店形象和洞察市场的动向，为酒店创造经济效益和社会效益。 五、负责酒店产品的促销工作，稳定的客源是酒店生存的保障。 六、市场营销部做好市场调研，了解和掌握市场资讯，进行市场预测和分析;了解和掌握同行的业务状况，收集业务情报，向总经理室提供报告，便于经济决策。 七、协助酒店产品开发、设计并制定房价及有关折扣原则。 八、组织酒店产品推销工作，对外签订订房合同，乘接预订并接待。 九、协调与酒店其他各部门关系，使外联成果在酒店内部得以保证。 十、向酒店高层领导机构提供决策资讯，向有关部门提供资料。 十一、凡年、节日与大的纪念性活动，要向有业务联系的单位和个人、老客户、常客发贺电、贺信和贺年卡，有的可以邀请他们参加酒店组织的庆祝或纪念活动。 部门各岗位职责 1、市场营销部经理职责 (1)正确地掌握市场和合理地协助总经理室设定销售目标。 (2)决定销售策略和建立销售计划，采取行动实施。 (3)善用推销员的能力、引发推销员的斗志。
(4)进行管理销售活动，职务分配和内部沟通。 (5)有效地组织销售事务、统计、分析和工作量测定 (6)利益计划与管理。 (7)及时总结汇报情况，上呈总经理室。 2、市场营销部策划副理职责 (1)进行市场调研，分析季节变动相关关系，协助营销经理制定销售目标。 (2)分析市场占有率，进行销售的策划、落实和进行。 (3)进行对销售员的培训、指导和监督，对营销员进行各项活动的指引。 (4)协助草拟销售计划，上呈营销经理。 (5)内部与各部门协调沟通，及时将客户建议反馈部门改善。 (6)对外公关，提高酒店知名度，及时推广酒店的项目。 (7)对营销员进行业绩评估。 (8)协助营销经理进行营销活动、总结、分析经营，回收活动管理。 3、高级客户主任职责 (1)根据酒店市场营销计划，按照客源构成比例要求，带领营业员完成商务客户、团体、散客的营业任务，定期统计各营业员的销售业绩。 (2)统筹拜访客户，分配各营业员拜访的区域，巩固现有客源，开发新客户。检查收集营业员的拜访报告，及时建立客户档案，上呈营销经理。 (3)收集客户的反馈意见，向策划经理汇报，以便改善。 (4)参加在酒店的“早晨问候”，与住客、熟客交谈、及时征询意见，完善服务细节。 (5)每天检查营业员所接订的客户订房、订餐等业务的落实情况，确认酒店能为客人提供相应的设施、服务。 (6)利用公关技巧和营业技巧，广交各界人士，扩大信息来源，掌握商机。 (7)积极参与酒店举办的各种促销活动，建立酒店形象，促进业务发展。 (8)完成营销经理布置的其它各项工作任务。
“abc 猜想”讲义（十四） 第十四讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下： （1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数； （2）b=g=h d ，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数； （3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。p 均为大于1的恒定的正整数； （4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。这一讲我们就只分析第（1）和第（2）的情形： （二）对于②，rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，由第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，那么rad（m ）不可能为恒定的值。令b=g=h d 或b=g=1 11h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p 或c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ， 13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。d 和p 均为大于1的
九大步骤 一．《开场白》自我介绍、收集资料、赞美、拉关系、摸底、危机二．《沙盘》大环境——>小环境要会灵活反过来运用三．《户型推荐》帮客户设计、装修（总分总）危机、逼定四．《指点江山》沙盘重述、拉关系 五．《算价》不得冷场、减少客户思想 六．《三板斧》性价比、增值保值、入市良机 七．《具体问题具体分析》 八．《逼定》果断 九．《临门一脚》找人（经理）踢球 望闻问切
《开场白》 1.落座、坐在客户的右侧、双手递上名片。 2.在最短的时间内打消客户的戒备心《微笑、微笑、再微笑》 3.拉关系、与客户拉近距离《赞美、赞美、再赞美、激情赞美法》1.赞美性格 2. 赞美外表 3.赞美工作 4.赞美生活 4.摸底、摸出对方的情况、定位《二选一自主、投资》 举一反三、投石问路、以客户的角度让他减去对你的戒备心、了解自己想知道什么 5.按兵不动、探其所需、供其所求 *开场白到结束时时刻刻要下危机、浅逼定 《开场白说词》收集资料 1.您好！今天是特意过来的吗？（购房意向） 2.看您气质不错，是做那行的呀？（工作单位） 3.您想选几室的啊？几口人住呢？（户型推荐） 4.您都看过那些房子啊？觉得怎么样？（客户实力） 5.您家住附近吗?对这了解吗？（家庭住址） 6.您认为我们家最吸引您的是什么？（兴趣与爱好） 7.我们这房子挺多的，这段时间卖的特别好，您今天看好就定一套（危机） 8.家住附近啊！那怎么没早点过来呢!我们家开盘后卖的特别快，今天看好了一 定要定下来。（逼定） 《拉关系》 1.使客户建立一种真正的兴趣，不要光盯着客户的口袋 2.找到某种共同的基础（共同话题） 3.真心实意的称赞或表扬客户，但不要太频繁 4.让客户笑起来，让他感到很开心 5.经常微笑 6.鼓励客户谈自己每个人都喜欢这样 7.保持目光接触显示诚意 8.经常叫客户的名字（同龄）显示诚意 9.取得共识 10.只有两种人为对方的恭维所迷惑，这就是男人和女人 11.主动模仿客户的言行 12.告诉客户一个秘密，让他对你产生信任，使对方的关系显得更亲密 13.主动透露一些个人信息，并且鼓励客户也这样做 14.对客户做一个承诺，例如：吃饭打球等 15.给客户讲一个动听的故事（亲切感） 16.始终彬彬有礼 17.与客户有轻微的身体接触，不要太粗鲁、太频繁 18.直接提出自己的要求（有些时候） 19.人都愿意与自己意志相投的人打交道，应与客户保持一致 20.记得你有两个耳朵、一张嘴按这个比例运用它们
初中数学三角形中的辅助线之截长补短专项训练题2（附答案详解） 1．如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+. 2．已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明． 3．如图，在△ABC 中，，，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证： （1） ； （2）． 4．如图，在△ABC 中， ，D 是三角形外一点，且，．求证： 5．如图，△ABC 中，，AD 是BC 边上的高，如果，我们就称△ABC 为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题： （1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC 是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明 你的结论 6．如图所示，已知中，，BD 、CE 分别平分和，BD 、CE 交 于点O ． 求证：BE+CD=BC ． 7．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ： (1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想. 8．已知等边ABC ?中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上且60MON ∠=°，
销售培训教程 目录 第一部分形象学2 出类拔萃的自我包装2 恰当的握手方式4 彬彬有礼的销售礼节6 第二部分素质论7 推销员应具备的基本素质7 推销员的良好工作态度8 推销员应摒弃的弱点9 了解、认识自我10 自我管理秘诀11 推销员的人生目标11 第三部分心理学12 深入了解消费者的需求12 消费需求对购买行为的影响14 消费者情感的外部表现15 改变用户拒购态度的方法15 不同年龄消费者购买动机的差别16 不同性别消费者购买动机的差别17 第四部分技能与方法18 销售前18 销售中29 销售后42 第五部分成功事例48 抓住机遇不放48 坚忍不拔的奇迹49 绝妙的推销方法50 精彩推销实例(一) 51 精彩推销实例(二) 52
精彩推销实例(三) 53 销售培训 第一部分形象学 出类拔萃的自我包装 有位资历颇深的行销专家谆谆告诫涉足行销界的同仁们：在行销产业中，懂得形象包装，给人良好的第一印象者，将是永远的赢家。 这话的确是经验之谈。人都是重“感觉”的，第一印象往往决定未来的发展关系。如果在双方初次见面时，留下的是负面的第一印象，那么，即使你的专业再强，你的个性或能力再好，也很难有机会再证明了。相反，如果你给顾客留下美好的初步印象，你就有机会施展你的才华了。因为“良好的开端，是成功的一半。” 在与顾客的接触中，顾客对推销员第一印象的好坏，完全取决于推销员的外表和态度，即形象。怎样给顾客留下良好的第一印象呢？这就要进行出类拔萃的自我形象包装。 穿出翩翩的风度 俗话说：“人是衣服马是鞍。”一个人的穿着打扮能直接反映出他的修养、气质和情操。它往往能在他人认识你或你的才华之前表露出你是何种人物。因此，你要想事半功倍，在第一次与顾客见面的时候，就得在这方面下点功夫。 有人以为服饰只要是时髦、昂贵就好，其实不一定。合适的穿着打扮不在奇、新、贵上，而在于你的穿着打扮是否与你的身份、年龄、体型、气候、场合等相协调。正如著名哲学家笛卡尔所说，最美的服装，应该是“一种恰到好处的协调和适中”的服务。 1、服饰应该适合年龄 不同的年龄应有不同的穿着打扮。老者穿一身深色中山装，透着沉着、稳重、端庄、成熟，而年轻人要也是这身打扮，就显得老气横秋、暮气沉沉。年轻女性在社交场合穿黄色、浅绿色丝绸夹克衫，让人感到朝气蓬勃，但穿在老年女士身上就不大适宜。这种年龄段的人，服装应以淡雅为主，布料以厚挺为佳，色泽以棕色、米色、紫红色、浅灰色等为好，样式以西装为宜。这样的服装会给人稳重大方的感觉。 2、服饰应该适合形体 人有高矮之分，体形有胖瘦之别，肤色有黑白之差。因此，穿着打扮，就得因人而异，并注意扬长避短。“人瘦不要穿黑衣赏，人胖不要穿白衣赏；脚长的女人一定要穿黑鞋子，脚短的一定要穿白鞋子；方格子的衣裳胖人不能穿，但比横格子的还好；横格子的，胖人穿上，就把胖人更往两边裂，显得更横宽了，胖子要穿竖条子的，竖的把人显得长，横的把人显得宽。”鲁迅这段精辟之论，值得我们借鉴参考。 3、服饰应该适合气候
“abc 猜想”讲义（十五） 第十五讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 对于第（iv ）中②的情形我们分成四种情形,第十四讲我们讲解了（1）和 （2）的情形，这一讲我们讲解（3）和（4）的情形。 （3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，因为m+111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1=v p ，m=[rad（m ）]t ·H；其中t 为正整数，rad（m ）＞rad（H）。当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，幂差极值n-max (g )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数m 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数g 不断减小时，那么正整数m 也是不断增大。那么根数rad（m ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（m ）也趋向于正无穷大。 这种情形下，因为v p ÷（v p -111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）=1÷[1-（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p ]，设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实 数。函数f（x ）=x 1的情形包含了（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p 的情形。函数f（x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f（x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f （x ）在x?[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤ψ（x）≤L 恒成立。因为函数f（x ）=x 1的情形包含了（111h q ·212 h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p 的情形，那么在（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式E ≤（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p ≤L 恒成立。 故由此可知，这种情形下，不管m 和v p 以及111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1如何变化，不等式1÷（1-E ）≤v p ÷{[rad（m ）]·H }≤1÷（1-L ）恒成立。
“abc 猜想”讲义（十七） 第十七讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 对于第（iv ）中⑤的情形，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；对于第（iv ）中⑥的情形，rad（g ）为恒定的值，rad（n ）和rad （m ）均不为恒定的值；对于第（iv ）中⑦的情形，rad（m ）和rad（g ）以及rad（n ）均不为恒定的值。这一讲我们主要讲解⑤的情形。⑥的情形和⑦的情形同理可得。 （五）对于⑤，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，n-max (m )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数g 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数m 不断减小时，那么正整数g 也是不断增大。那么根数rad（g ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad （g ）和根数rad （n ）也趋向于正无穷大。因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。 令m=k q 或m=111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1，其中11p ，12p ，13p ，…，r p 1均为素数，q 为大于1的正整数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r 。k ，1k ， 2k ，3k ， …，r k 均为不小于1的整数；1k ，2k ，3k ，…，r k 非全相等。因为n=k q +g 或者n=111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1+g 。 对于n 和rad（n ），设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x ）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(g q rad g q k k ++和
“abc 猜想”讲义（6）最终修改版 第六讲 根数及其性质 主讲王若仲 我们的目的是要求证“abc 猜想”，所以我们还要学习根数及其性质的内容。 三、根数 定义3.1：对于正整数a ，把正整数a 分解为素数幂的乘积形式，a =p k 11·p k 22·p k 313·…·p r k r ，其中k u ≥1（u=1，2，3，…，r），则称p 1·p 2·p 3·…·p r 为正整数a 的根数，记为rad（a ）。比如：rad（2×3×52×72）=2×3×5×7，rad(34×112×13)=3×11×13。 因为在求证“abc 猜想”的过程中，要用到函数，所以对于根数在正实数范围内还要定义为如下情形： 定义3.2：对于任一正实数x（x ≥1），根数rad（x ）表示为如下情形： （1）x 为正整数，根数rad（x ）表示正整数x 中的无重复质因数的积； （2）x=p q ，p 和q 均为正整数且互质，q ＞p，根数rad（x ）表示正整数q 中无重复质因数的积除以正整数p 中无重复质因数的积； （3）x= p t s （t＞s），t∈N ，s ∈N ，（t，s）=1，p 为正整数且s p 中不存在因数q r 的情形，使得r ≥t；根数rad（x ）=p t s 。 （4）x=t s p q (（t＞s），t∈N ，s ∈N ，（t，s）=1，p 和q（q ＞p）均为正整数且互质，s p 中不存在因数d r 的情形，使得r ≥t，s q 中不存在因数g v 的情形，使得v ≥t。根数rad（x ）=t s p q )(。（5）正实数x 为超越数，根数rad（x ）=x； （6）正实数x 为（1），（2），（3），（4），（5）中任意两种的有限次组合或任意三种的有限次组合或任意四种的有限次组合或五种均有的有限次组
销售人员培训课程一览表 课程特点： 1.分组讨论，训练为主，互动式教学，真实案例分析 2.既有抢答，又有辩论，还有现场演练； 3.将销售管理融入培训现场： 不仅关注个人学习表现，而且重视团队合作； 不仅考核个人得分，而且考核团队得分； 不仅考核学员的学习成绩，而且考核学员学习的参与度； 课程大纲： 一、销售人员应该具备的10 个心态 1. 做销售要有强烈的企图心—成功的欲望 2. 做销售不要总是为了钱—有理想 3. 拜访量是销售工作的生命线—勤奋 4. 具备“要性”和“血性”—激情 5. 世界上没有沟通不了的客户—自信 6. 先“开枪”后“瞄准”—高效执行 7. 不当“猎手”当“农夫”—勤恳 8. 坚持不一定成功，但放弃一定失败—执着 9. 胜则举杯相庆，危则拼死相救—团结 10. 今天的努力，明天的结果—有目标 二、与客户打交道的9 个基本原则 1. 销售谈判中为什么一定要以客户为中心？ 案例：沟通就是与客户确立共同点的过程
案例：销售就是把客户的事当自己的事 2. 不要满足销售人员头脑想像中的客户； 案例：客户提出来的不一定是他非常在意的 案例：客户并不一定是你想的那个态度 3. 不要主观臆测，以已推人； 案例：你遇到的问题，别人不一定会遇到 4. 客户有意向，就一定会买吗？ 案例：态度不能完全决定行为，行为可以影响态度 5. 客户喜欢专家的知识，不喜欢专家的姿态 案例：适当的自我示弱，获得别人的好感 6. 销售的线路不一定是走直线 案例：客户会在不同人面前表现出不同的态度 7. 客户的态度是由销售人员引导的 案例：多考虑客户的外在因素 8. 不要在客户面前传播任何负面的信息 案例：客户不喜欢带来负面信息的销售人员 9. 客户不不喜欢被伤害，也不喜欢被自己伤害的人 案例：当客户对你撒谎时你会怎么做？ 三、沟通中有哪些因素影响客户是否与我们签单? A、谁说？销售人员自己的因素 客户为什么对不同的销售人员有不同的态度？ 使客户产生信赖感要满足哪些因素？ 如何让自己更自信？ B、说些什么？说词不要千篇一律 1.何时要用逻辑性的理性说服？
“abc 猜想”讲义（22） 第二十二讲 证明“abc 猜想” 主讲王若仲 对于第（iv ）中⑤的情形，这一讲我们讲解⑤的情形。 （五）对于⑤，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，n-max (m )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数g 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数m 不断减小时，那么正整数g 也是不断增大。那么根数rad（g ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad （g ）和根数rad （n ）也趋向于正无穷大。因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。 对于n 和rad（n ），设函数ψ（x）=z，x 和z 均为不小于1的实数。这种情形下，由第六讲中的定义3.2可知，任一函数ψ（x）的值有唯一的rad（x）与之对应。那么这种情形下，我们总可以令rad（x）=az′+r（r＜a），其中a 和r 均为恒定的正实数。因为对于任一正实数x 1，总有一个正实数z 1，使得rad （x 1）=az 1′+r 成立。那么对于任意两个不小于1的正实数x 11和x 12（x 11≠x 12），必然存在两个正实数z 11和z 12（z 11≠z 12），使得[rad（x 11）-r]÷z 11=[rad（x 12）-r]÷z 12。那么任一rad（x）均可表为az′+r（r＜a）的形式，其中a 和r 均为 恒定的正实数。而z 与az′+r 形式中的z′具有函数对应关系，即对于任一z，az′+r 形式中有唯一z′与之对应。 所以不妨设函数μ（z）=z÷（az+r），那么-lim +∞→z μ（z）=-lim +∞ →z z′÷（az+r）′=1÷a，又+→1 lim z μ（z）=1÷（a+r），则函数μ（z）在z 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中有界。即存在恒定的正实数F （1＜F ＜+∞），使得1＜μ（z）≤F 或者1