课时跟踪检测（三十） 平面向量的数量积与平面向量应用举例
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B.10 C. 5
D ．10
解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，
∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.
2．(2017·绍兴调研)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝2，则a 与b 的夹角为( )
A.π3
B.2π
3
C.π6
D.5π6
解析：选B 因为|a |＝|b |＝2，
所以a ·(a ＋2b )＝a 2＋2|a ||b |cos θ＝4＋8cos θ＝0， 解得cos θ＝－12.
因为0<θ<π， 所以θ＝2π
3
.
3．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150° 解析：选B (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，
∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴
a ，
b ＝a ·b |a ||b |＝36＝1
2
，
∴a ，b ＝60°.
4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________；|a |＝________.
解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )，
∵(a ＋b )⊥(a －b )，
∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2.
∴a ＝(－1，－3)，|a |＝(－1)2＋(－3)2＝10. 答案：－2
10
5．△ABC 中，∠BAC ＝
2π3
，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AC ―→·BC ―→＝________. 解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→
)．
∴AC ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)
＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13????12＋1×2×????－12－2×22＝－83. 答案：－83
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A. 2 B. 3 C ．2
D ．4
解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )， 而(2a －b )·b ＝0?－3＋x 2＝0?x 2＝3， 所以|a |＝
1＋x 2＝4＝2.
2．(2017·慈溪中学适应)若正三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ―→＝13CB
―→＋23
CA ―→，则MA ―→·MB ―→的值为( ) A ．2 B ．－2 3 C ．－2
D ．－8
3
解析：选D 因为CM ―→＝13CB ―→＋23CA ―→，所以CA ―→＋AM ―→＝13CB ―→＋23CA ―→，即AM ―→＝13CB ―→
－
13CA ―→，同理可得BM ―→＝－23CB ―→＋23
CA ―→.所以MA ―→·MB ―→＝AM ―→·BM ―→
＝????13 CB ―→－13 CA ―→
????－23 CB ―→＋23 CA ―→ ＝－29(CB ―→－CA ―→)2＝－29AB ―→2＝－29×(12)＝－83
.
3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AC ―→)·AC ―→
＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形
D ．梯形
解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→
，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AC ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→
＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．
4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π
3
，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )
A ．－33
2
B ．－ 3 C. 3
D.332
解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12
，|a |＝(e 1＋2e 2)2＝
e 21＋4e 2
2＋4e 1·
e 2＝3，
a·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 2
2＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝－9
23＝－332
，故选A.
5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→
，λ∈R ，
若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ的值为( )
A.1
2 B ．－1
2
C.13
D ．－1
3
解析：选A 法一：由题意可得BA ―→·BC ―→
＝2×2cos π3＝2，
BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→]
＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]
＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝1
2
，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，
D (－1，3)．
令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→
＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.
∵AP ―→＝λAB ―→
，∴λ＝12
.故选A.
6．(2017·浙江五校联考)已知a ，b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π
3，a ＋b 与b 的
夹角为π
4，则|a ||b |
＝________.
解析：设a ＝OA ―→，b ＝OB ―→，a ＋b ＝OC ―→
，则四边形OACB 是平行四边形．因为a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，所以∠AOC ＝π3，∠ACO ＝π
4.所以由正弦定理
OA sin ∠ACO ＝AC sin ∠AOC 可得：|a ||b |＝OA
AC ＝sin π
4sin
π3
＝
2232
＝63. 答案：
63
7．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则实数λ的值为________；向量m ，n 的夹角的余弦值为________．
解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝－2×(－1)＋25×5＝4
5.
答案：－3
45
8．(2017·绍兴模拟)已知平行四边形ABCD 中，AC ＝3，BD ＝2，则AB ―→·AC ―→
＝________. 解析：因为AC ―→＝AB ―→＋AC ―→，BD ―→＝AC ―→－AB ―→.所以AB ―→·AC ―→＝14(AC ―→2－BD ―→2)＝14(9－
4)＝5
4
.
答案：5
4
9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )． 解：由已知得，a ·b ＝4×8×???
?－1
2＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．
10．如图，已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(3cos x,3sin x )，OB ―→＝(3cos x ，sin x )，OC ―→
＝(3，0)，x ∈???
?0，π2.
(1)求证：(OA ―→－OB ―→)⊥OC ―→
；
(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值．
解：(1)证明：OA ―→－OB ―→
＝(0,2sin x )， ∴(OA ―→－OB ―→)·OC ―→＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA ―→－OB ―→)⊥OC ―→.
(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝3
2
. ∵x ∈????0，π2， ∴cos x ＝
32，x ＝π
6
. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·新昌中学期中)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)．动点D 满足|CD ―→|＝1.则|OA ―→＋OB ―→＋OD ―→
|的取值范围是( )
A ．[7，7＋1] B. [7－1，7＋1] C ．[7－1，7]
D ．[1，7＋1]
解析：选B 设D (x ，y )．因为|CD ―→
|＝1，所以有(x －3)2＋y 2＝1，即点D 在以(3,0)为圆心，半径为1的圆上．因为OA ―→＋OB ―→＋OD ―→＝(x －1，y ＋3)，所以|OA ―→＋OB ―→＋OD ―→
|＝(x －1)2＋(y ＋3)2表示圆上的点到定点(1，－3)的距离，因为(1，－3)到圆心(3,0)的距离为
(3－1)2＋3＝7，所以其取值范围是[7－1，7＋1]．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA ―→·BC ―→＝c CB ―→·CA ―→
. (1)求角B 的大小；
(2)若|BA ―→－BC ―→
|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .
根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，
即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，
所以cos B ＝
22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4
. (2)因为|BA ―→－BC ―→|＝6，所以|CA ―→
|＝6，
即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，
即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝1
2ac sin B ≤3(2＋1)2，
即△ABC 的面积的最大值为32＋3
2
.
2019-2020学年高中数学第二章平面向量 2.4 平面向量数量积习题课教 案新人教A版必修4 模式 与方 法 讲练结合 教学目的（1）掌握平面向量数量积的坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. （3）正确运用向量运算律进行推理、运算. 重点用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 难点平面向量数量积的综合应用 教学内容师生活动及时间分配 知识梳理一、选择题 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b ＝1，则x等于( ) A．－1 B．－ 1 2 C. 1 2 D．1 2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c ＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 ( ) A. 5 B.10 C．2 5 D．10 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c 满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( ) A. ? ? ?? ? 7 9 ， 7 3 B. ? ? ?? ? － 7 3 ，－ 7 9 C. ? ? ?? ? 7 3 ， 7 9 D. ? ? ?? ? － 7 9 ，－ 7 3 4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB → ·AC → 等于( ) A．－ 3 2 B．－ 2 3 C. 2 3 D. 3 2 二、填空题 课上限时做答10~ 对正确答案 师讲解并引深题的考点， 师生总结见到|2a－b| 这类题，常用做法
典型例题5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________. 6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10， 则AB → ·AC → ＝________. 7．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的 夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题 8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)， a与b的夹角是45°. (1)求b； (2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c. 9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2| ＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2 与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取 值范围． 作业：练习卷 （6）题注意夹角 大题可以引导学生利用平 面向量数量积解决,让学生 自己动手、动脑.教师可以 让学生到黑板上板书步骤, 并对书写认真且正确的同 学提出表扬,对不能写出完 整解题过程的同学给予提 示和鼓励.
平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1 10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . . 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，， 那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹 角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12 §5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D 2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －? ?? ?? a ·a a · b b ，则向量a 与 c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π 2 解析 ∵a·c ＝a·???? ??a －? ????a·a a·b b ＝a·a －? ?? ?? a 2a· b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0， c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π 2 ，故选D. 答案 D 3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ） A 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝ a · b |a ||b |＝－2 3 ， ∴|a |cos θ＝6×? ???? －23＝－4. 答案 A 5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b － c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1. 答案 B 6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1 3x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1 在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.? ? ????0，π6 B.? ? ???0，π3 C.? ?? ?? π6，π2 D.? ?? ?? π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2 ＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不 相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |， |a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜1 2|a |2|a ||b |＝3 2，∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴π 6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D 7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 ( )． 平面向量的数量积 【知识点精讲】 一、平面向量的数量积 （1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且 性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ?=?r r r r （交换律）； 平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20 §8.2 向量的数量积 【知识梳理】 夹角公式的应用。 【基础练习】 1、若a b0 ，则a与b的夹角的取值范围 是。 2 、| a | 10,| b | 36, a b180 ，a与b的夹角是。 3、已知a( m,2),b( 3,5), 若a与b的夹角为钝角，实数m 的取值范围为。 【例题精选】 例 1、已知a(2, 1),b(m,m 1),若a 与 b 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围。 r r r rr r 例 2、已知a、b都是非零向量，且a3b 与 7a5b r r r r 垂直， a4b与 7a2b 垂直， r r 求a 与 b 的夹角。 例3、 ABC 中，A(4,1) ，B(7,5)，C( 4,8)，判断 ABC 的形状。 例 4、如图，已知 OAB 的面积为 S，且OA AB 2 ，(1)若 1 【课堂练习】 1、ABC 中， A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则ABC 是三角形。 、已知 a (1, 3), b ( 3 1, 31),求 a 与 b 的 2 夹角是多少？ 3、已知 a ( 3 , 5 ), b( 3, 1 ),求 a2b 与 a b 33 的夹角是多少？ r r 4、若a与b的夹角为θ，且a =(3,3) ，2b a( 1,1) ，求θ。 【课后练习】 1、已知| a | r3r r3r 3,| b | 4 ，向量 a 4 b 与 a 4 b 的 位置关系为（） (A) 平行(B) 垂直(C) 夹角为 3 (D)不平行也不垂直 2、在△ABC 中，AB(1,1), AC(2, k) ，若△ABC 为直角三角形，求实数k 的值。 r r 3、已知| a |1,| b | 2 ，(1)若a∥b，求a b；(2) r r b |； 若 a 与 b 的夹角为60°，求| a r r r r r (3)若a b 与 a 垂直，求a 与 b 的夹角。 培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 18 平面向量数量积习题课 时间：45分钟 满分：80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 答案：A 解析：a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，∴λa ＋b ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与a 垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A. 2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4 答案：C 解析：∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ·b 〉＝2π3 . 3．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(6，t )，若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B.? ????－92，8 C.? ????－92，＋∞ D.? ?? ?? －92，8∪(8，＋∞) 答案：D 解析：由题意，得a ·b >0，即18＋4t >0，解得t >－9 2.又当t ＝8时，两向量同向，应去掉， 故选D. 4．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝120°，∠ C ＝150°，且AB ＝3，BC ＝1，C D ＝2，则AD 的长所在的区间为( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(4,5) D ．(5,6) 答案：C 解析：由向量的性质，知AD →＝AB →＋BC →＋CD →，其中AB →与BC →的夹角为60°，BC →与CD → 的夹角为30°，AB →与CD →的夹角为90°，于是|AD →|2＝|AB →＋BC →＋CD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋ 一．方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析． 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二．解题策略 类型一投影定义法 【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________． 【答案】6 【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC， 【指点迷津】 1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网 （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条 件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：2 8AO CO OB ?==，且 平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2， 且(a — b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ，向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4)，且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量，a // e 且a e 18，则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ，贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3)，若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B 2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： 教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点： 平面向量的数量积定义. 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法： 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法 教学过程： 一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下： （1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二．情景创设 问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量， 那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 三．学生活动 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？ W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念. 四．建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ 说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定 （2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量 必须是同起点的.） 当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b ｜ 当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2 π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜ （3）规定· a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律 已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b · a (交换律) ②(λa )· b ＝λ (a ·b )＝a · (λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析 加深对数量积定义的理解 例1 判断正误，并简要说明理由. 平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 绝密★启用前 2018年01月19日214****9063的高中数学组卷 试卷副标题 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一．选择题（共2小题） 1．若向量，满足，，则?=（） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（） A．B．C．6 D．4 - z - 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人得分 二．填空题（共6小题） 3．设=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，则m= ． 4．已知平面向量的夹角为，且||=1，||=2，若（）），则λ= ． 5．已知向量，，且，则= ．6．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．7．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．8．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|= ． 评卷人得分 三．解答题（共6小题） 9．化简： （1）； （2）． 10．如图，平面有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与 的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值． - z - 11．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若，试用，表示、、． 12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△ABO，使∠B=90°，求点B和向量的坐标． 13．已知=（1，1），=（1，﹣1），当k为何值时： （1）k+与﹣2垂直？ （2）k+与﹣2平行？ 14．已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2， （1）求?； （2）求|+|． - z - 考点20 平面向量的数量积及向量的应用 一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作?a b ,即 ?=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念 设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度. （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到?a b 的几何意义：数量积?a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律 已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：?=?a b b a ； ②数乘结合律：()()λλ?=?a b a b =()λ?a b ； ③分配律：()+??+?a b c =a c b c 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：?=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2 ）模：||= =a （3）夹角：cos |||| θ?= =a b a b . （4）垂直与平行：0⊥??=?a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ?a ·b =±|a ||b |. 【注】当a 与b 同向时,||||?=a b a b ；当a 与b 反向时,?=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立) ?1212||x x y y +≤三、平面向量的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 已知1122(,),(,)x y x y ==a b . （1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件： λ?=?∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 直的条件： 0⊥??=?a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量） （3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式： cos θ= |||| ?a b a b =（其中,a b 为非零向量） （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： ||= a 或||||AB AB = = ,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ） （5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直 角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移 （2）向量与功、动量平面向量数量积练习题
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