2018哈三中高三一模考试数学(理)试题
2018届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次模拟考试数学
（理）试题
第I 卷 （选择题,
共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合{|2
4}
x
A x =≥，集合(){|lg 1}
B x y x ==-，则A B ?=
A. [)1,2
B. (]1,2
C. [)2,+∞
D. [)1,+∞
2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是
A.2
y x = B.cos y x = C.2x
y =
D.x y ln =
3．设n
S 是等差数列{}n
a 的前n 项和,若3
11318,3
a
a S +==-,那么5
a 等
于
A. 4
B. 5
C. 9
D. 18
4．已知()
15sin ,15cos =OA ， ()
75sin ,75cos ==AB
A. 2 3 2 D. 1
5. 过原点且倾斜角为3
π的直线被圆0
422
=-+y y x 所截得的
弦长为
C. 43
D. 2
3
10.
千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个
一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计： 年 份（届） 2014 2015 2016 2017 学科竞赛获51 49 55 57 被清华、北大103
96
108
107
根据上表可得回归方程???y
bx a =+中的?b 为 1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为
A. 111
B. 117
C. 118
D.123
11．已知1
F 、2
F 为双曲线
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，点
P
为双曲线C 右支上一点，直线1
PF 与圆2
22
x
y a +=相切，
且2
12
PF F F =，则双曲线C 的离心率为
10 B. 43 C. 5
3
D. 2
12. 设函数bx
ax x x f ++=2
ln )(，若1=x 是函数)(x f 的极大值点，
则实数a 的取值
范围是
A. ??
?
?
?∞-2
1， B . ()1，∞- C. [)∞+，1
D. ??
?
??
?∞+，2
1 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知正方形
ABCD
边长为2, M 是CD 的中点,则
?= .
14.若实数,x y 满足??
?
??-≥≥+≤111
x y y x y ，则2x y +的最大值为 . 15.直线l 与抛物线x
y
42
=相交于不同两点B A 、,若）4,(0
x M 是
AB
中点，则直线l 的 斜率=k .
16.已知锐角11
1
A B C ?的三个内角的余弦值分别等于钝角
222
A B C ?的三个内角的正弦值,
其中
2
2π
>
A ,若
1
22=C B ,则
2
222322C A B A +的最大值
为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分12分)
已知函数2()3sin cos f x x x x
=
+.
（1）当0,3x π??
∈???
?
时，求()f x 的值域；
（2）已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为
,,,a b c 3()2
A
f =
4,5a b c =+=，
求ABC ?的面积.
18. (本小题满分12分)
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每[)0,10 [)10,20 [)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60
总人数 20 36 44 50 40 10
将学生日均课外体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22?列
A 联表；
课外体育课外体合计 男 女 20 110 合
（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”
与性别有关？
参考公式
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++,其中n a b c d =+++
(
)k
K P ≥2 0.25
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0
01
k
1.323
2.072 2.706
3.841 5.024
6.635
7.879 10.828
19. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱1
1
1
C B A ABC -中，
120=∠ACB 且2
1
===AA
BC AC ，
E
是棱1
CC 上动点，F 是AB 中点.
（1）当E 是1
CC 中点时，求证：//CF 平面1
AEB ； （2）在棱1
CC 上是否存在点E ，使得平面1
AEB 与平面ABC
所成锐二面角为6
π， 若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.