第六章 向量空间
6.1 定义和例子
1.令F 是一个数域,在3
F 里计算 (?)1
132(2,0,1)(1,1,2)(0,1,1);-+--+-
(??)1
5(0,1,1)3(1,,2)(1,3,1).--+-
结果：(?)117(,,)
326--(??)(2,1,10)--
2.证明:如果
(2,1,3)(0,1,2)(1,1,4)(0,0,0),a b c ++-= 那么0.a b c ===
证 ：由题得20
3240a c a b c a b c +=??
++=??
++=? 2011110324
-≠0a b c ∴=== 3.找出不全为零的三个有理数,,a b c (即,,a b c 中至少有一个不是0),使得 (1,2,2)(3,0,4)(5,2,6)(0,0,0).a b c ++-=
解：由已知得350
2202460
a b c a
c a b c ++=??
-=??++=?解之得2a c b c =??=-?取1c =则1,2a b ==-．故1,2a b ==-，
1c =为所求．
4.令123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).εεε===证明,3
R 中每一向量α可以唯一地表示为
112233a a a αεεε=++的形式.这里123,,.a a a R ∈
证：提示，设123(,,)a a a α=，则112233a a a αεεε=++，若112233b b b
αεεε=++，则可证得11a b =，22a b =，33a b =．
5.证明，在数域F 上向量空间V 里，以下算律成立： （i ）();a a a αβαβ-=- （ii ）(),a b a b ααα-=-
这里,;,.a b F V αβ∈∈ 证明：略
6．证明：数域F 一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量. 证明：若0a V ≠∈,取1,,,,n F ∈ ,则,,,,a na V ∈ ,故V 中有无限多个向量. 7.证明,对于任意正整数n 和任意向量α,都有
.n n a αα=++ 个
提示：用数学归纳法证明.
8. 证明,向量空间定义中条件3,8)
不能由其余条件推出.
证：F 是数域， (){},,V a b a b F =∈，向量加法：11(,)a b +22(,)a b =1212(,)a a b b ++，纯量乘法：(,)k a b =(,0)
ka k F ∈，不满足1(,)a b (,)a b =（因为1(,)a b ＝(,0)a ，当0b ≠时
1(,)a b (,)a b ≠）其余条件均能满足，故3○ 、8）不能有其它条件推出．
9.验证本节最后的等式:
11(,,)()((,,)).n n AB A B αααα=
证：把向量1,,,n a a 作为矩阵中的元素，则等式两边都是一行p 列矩阵，对左住端矩阵中的第j 个元素
j
c 有，
1
1
1
11
()n
n
m
n
m
j k kj k kl lj kl lj k
k k l k l c a u a a b a b a ========∑∑∑∑∑
其中
kj
u 是AB 中第k 行第j 列元素．对于右端矩阵中的
j
c 有，
1
1
1
11
()m
m
n
n
m
j l lj kl k kl lj k
l l k k l c v b a a a b a ========∑∑∑∑∑其中l v 是(1,,,n a a )A 中的第l 列元素．
6.2 子空间
1.判断n
R 中下列子集哪些是子空间: (i){}11(,0,,0,)|,;n n a a a a R ∈
(ii)121(,,,)|0;
n
n i i a a a a =??=???
?∑ (iii)121(,,,)|1;
n
n i i a a a a =??=???
?∑
(iv){}12(,,,)|,1,,.n i a a a a Z i n ∈=
解 (?) 因为 当120a a ==时，则W θ∈，即W 非空，设1(,0,,0,)n a a α= ，
1(,0,,0,)n b b β= ，即,W αβ∈，,a b R ∈，
而a b αβ+11(,0,,0,)n n aa bb aa bb =++ ，因为11,,,n n a b a b R ∈，所以11aa bb R +∈，n n aa bb R +∈，即a b W αβ+∈，故W 是n R 的子空间．(??) 是n R 的子空间，验证方法同上．
(???) 不是n R 的子空间，3W =()121,,,1n
n i i a a a a =?
?
=????∑ ，为3(1,0,,0)W ∈ ，2R ∈，而
2(1,0,,0)= 3(2,0,,0)W ? （
1
21
n
i
i a
==≠∑），故3W 不是3
R 的子空间．
(?v) 不是n R 的子空间，因为4(1,0,,0)W ∈ ，1
(1,0,,0)2 4W ?，故4W 不是n R 的子空间．
2.令()n M F 表示数域F 上一切n 阶矩阵所组成的向量空间(参看6.1,例2).令
{}{}//()|,
()|.
n n S A M F A A T A M F A A =∈==∈=-
证明,S 和T 都是()n M F 的子空间,并且 {}(),0.n M F S T S T =+=
证：显然()n I M F ∈，因'
I I =，所以I S ∈，即S 非空．,A B S ?∈，,a b F ∈，有
'''()aA bB aA bB aA bB +=+=+，即aA bB S +∈，故S 是()n M F 的子空间，又因为'00=，所以0T ∈，即T 非空，,A B S ?∈，,a b F ∈，'''()()()()aA bB aA bB a A b B aA bB +=+=-+-=-+，，
即aA bB T +∈，既然,S T 是()n M F 的子空间，所以S T +也是()n M F 的子空间．即
S T +()n M F ?，由5.1第9题知S T +()n M F ?，故()n M F =S T +．设A S T ∈?，A S ∈，
'A A =，A T ∈，'A A =-，所以A A =-，所以0A =，故{}0S T = ．
3.设12,W W 是向量空间V 的子空间.证明:如果V 的一个子空间既包含1W 又包含2W ,那么它一定包含12W W +.在这个意义下,12W W +是V 既含1W 又含2W 的最小子空间.
证：W 是V 的子空间，既包含W
1
又包含W 2，即W W ?1，W W ?2，W W ?1W
+2
又W 1W +21W ?，W 1W +22W ?，W 1W +2?W 1W + 2 ，W 1W +2=W 1W +2即W 1W
+2
是
既包含W 1又包含W 2的最小子空间．
4.设V 是一个向量空间,且{}0.V ≠证明:V 不可能表成它的两个真子空间的并集. 证：设 W 1、W 2都是V 的真子集，且V ={}0，则至少有一个V 的非零向量W α?1且至少有一个V 的非零向量W β?2 , (1)若W α?2 则 因为W α?1 ?W α?1 W 2 命题得证．(2)若1W β?则 因为W β?2 ，?W β?1 W 2命题得证．(3)若W α∈2 ，而1W β∈，在这种情况下，我们考虑向量V αβ+∈．以下证明1W αβ+?，且2W αβ+?．(?)若1W αβ+∈，则有1W γαβ=+∈，因为1W 是子空间?1W αγβ=-∈，这与W α?1矛盾，所以1W αβ+?，(??)若2W αβ+∈，则有2W δαβ=+∈，因为2W 是子空间?2W βδα=-∈，这与W β?2矛盾．所以2W αβ+?，于是有V αβ+∈，但W αβ+?1 W 2综上表明12V W W ≠+．
5.设12,,W W W 都是向量空间V 的子空间,其中12W W ?且
1212,.W W W W W W W W =+=+ 证明:12W W =.
证：22W α?∈因为2W ?W W +2W =W +1 ，所以21ααα=+，（W α∈，11W α∈）那么21ααα=-，又因为12W W ?，故212W ααα=-∈，所以21W W W W α∈= ，因而
1W α∈?11W αα+∈?21W α∈，即21W W ?，又12W W ?，故12W W =
6.设12,W W 是数域F 上向量空间V 的两个子空间.,αβ是V 的两个向量,其中2,W α∈但
1W α?,又2.W β?证明:
(i)对于任意2,;k F k W βα∈+? (ii)至少有一个,k F =使得1k W βα+∈.
证：(?)用反证法．若存在k F ∈，使得2k W βα+∈，由W α∈2 ，所以k W
α∈2
因而
2()k k ββααβ=+-∈，这与2W β?矛盾，故对于任意k F ∈，有2k W βα+?
(??)设
1k W βα+∈，若还有
l k
≠，而
1
l W βα+∈，因而有
1()()()k l k l W βαβαα+--=-∈，由l k ≠，有
1
1
()k l W k l αα=
-∈-，这与1W α?矛盾．
7.设12,,,r W W W 是向量空间V 的子空间,且,1,,.i W V i r ≠= 证明:存在一个向量,V ξ∈使得,1,,.i W i r ξ?=
证：对r 应用数学归纳法．当1r =时，命题显然成立．假设对于1(1)r r ->时，命题成立，即存在V η∈，而(1,2,,1)i W i r η?=- ，对于r 的情形：（1）若r W η?，命题成立，
（2）r W η∈，则存在V β∈，而r W β?，根据第六题(??)知，,V ηβ∈，r W η∈，
(1,2,,1)i W i r η?=- ，r W β?故对每一i W ，在F 中最多有一个i l ，使得(1,2,,i i l W i r βη+∈=- ，令i l l ≠，则i l W βη+?，根据第六题(?)得r l W βη+?令
l ξβη=+，则V ξ∈而i W ξ?(1,2,,1)i r =- ，故命题对于一切自然数都成立．
6.3 向量的线性相关性
1.下列向量组是否线性相关: (i)(3,1,4),(2,5,-1),(4,-3,7); (ii) (2,0,1,),(0,1,-2),(1,-1,1);
(iii)(2,-1,3,2),(-1,2,2,3),(3,-1,2,2),(2,-1,3,2).
解：(i),(ii)线性无关；(iii)线性相关（利用定义或判定定理）．
2.证明,在一个向量组{}12,,,r ααα 里,如果有两个向量i α与j α成比例,即i j ka α=,,k F ∈那么{}12,,,r a a α 线性相关.
提示：部分组线性相关，则整体线性相关．
3.令12(,,,),1,2,,.n
i i i in a a a F i n α=∈= 证明12,,,n a αα 线性相关必要且只要行列式
111212122212
0n n
n n nn
a a a a a a a a a =
证：1,,,n a a 线性相关?有不全为零的数1,,,n k k 使1
0n
i i i k a ==?
∑
齐次
11
n n
ij i
j i a k
==∑∑有非
零解?系数行列式
0ij a =．
4.设12(,,,),1,2,,,n
i i i in a a a F i m α=∈= 线性无关.对每一个i α任意添上p 个数,得到
n p F +的m 个向量.
1212(,,,,,,,),1,2,,.i i i in i i ip a a a b b b i m β==
证明:{}12,,,m βββ 也线性无关.
证：令10n
i i i k β==∑.得齐次线性方程组111100n m
ij i j i p m
ij i j i a k b k ====?=????=?
?∑∑∑∑ (1)要证1,,,n ββ 线性无关，只要
证(1)只有零解．又齐次线性方程组11
n m
ij i
j i a k
===∑∑(2)只有零解．(1)的解是(2)的解．所以(1)
只有零解．
5.设,,,αβγ线性无关.证明,,αββγγα+++也线性无关.
证：令123()()()0k k k αβγβαγ+++++=得齐次线性方程组1213320
00k k k k k k +=??
+=??
+=? 而它只有零
解．
6.设向量组{}12,,,(2)r r ααα≥ 线性无关.任取121,,,.r k k k F -∈ 证明,向量组
111222111,,,,r r r r r r r k k k a βααβααβαα---=+=+=+
线性无关.
证：令
1
r
i i
i k β
==∑把1,,,r ββ 的表示代入上式，用1,,,r k k 的线性相关证明
1,0r k k === ．
7.下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例: (?)如果当120r a a a ==== 时,11220,r r a a a ααα+++= 那么12,,,r ααα 线性无关. (??)如果12,,,r ααα 线性无关,而1r α+不能由1,2,,,r ααα 线
性表示,那么121,,,,r r αααα+ 线性无关.
(???) 如果12,,,r ααα 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. (?v)如果12,,,r ααα 线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合.
结果：(?)是错的 (??) 是对的（可采用反证法证之），(???) 是对的（可采用反证法证
之）．(?v)是错的．
8.设向量β可以由12,,,r ααα 线性表示，但不能由121,,,r ααα- 线性表示．证明，向量组{}121,,,,r r αααα- 与向量组{}121,,,,r αααβ- 等价．
提示：由等价的定义，先要证明两个向量可以互相线性表示．在{}121,,,,r r αααα- 于
{}121,,,,r αααβ- 中121,,r ααα- 是共同的向量，当然可以互相线性表示，且β
可由
121,,r ααα- 线性表示，关键证明r α可由121,,,r αααβ- 线性表示．
9．设在向量组12,,,r ααα 中，10α≠并且每一i α都不能表成它的前1i -个向量
121,,,i ααα- 的线性组合．证明12,,,r ααα 线性无关．
证：用反证法，假设12,,r ααα 线性相关，则存在不全为零的数121,,r k k k - ，使得1122110r r k k k ααα--+++= ，设i k 是最后一个不全为零的数，即有1122110i i i i k k k k αααα--++++= , 因为，10α≠，所以1i ≠，即不可能110k α=，设1i S <<,
且有上式可得i α=
11
11i i i i
k k k k αα---
-- ，即i α可由它前面的1i -个向量线性表示，与假设矛
盾．故12,,r ααα 线性无关．
10．设向量12,,,r ααα 线性无关，而12,,,,,r αααβγ 线性相关．证明，或者β与γ中至少有一个可以由12,,,r ααα 线性表示，或者向量组{}12,,,,r αααβ 与{}12,,,,r αααγ 等价．
证：12,,r ααα ,r β线性相关，有 1122120
r r r r k k k k k r αααβ+++++++= ()*，
1212(,,,,,)r r r k k k k k ++ 不全为零，以下证明：12,r r k k ++中至少有一个不为零．如果120
r r k k ++==则由()*式，有11220r r k k k ααα+++= ，因而12,,,r k k k 有一个不为零，这与12,,r ααα 线性无关矛盾，所以10r k k === ，故12,r r k k ++中至少有一个不为零．（1）若120,0r r k k ++≠=，则由()*式得β可由12,,r ααα 线性表示．（2）若120,0r r k k ++==，则由()*式得r 可由
12,,r ααα 线性表示．（3）若120,0r r k k ++≠≠，则由()*式有
i β=
121111r r r r r r k k k r k k k αα++++-
--- ，111222
r r r r r r k k k r k k k ααβ++++=---- ，而12,,r ααα 是
12{,,,}r αααβ 12{,,}r r ααα 的共同向量，故12{,,,}r αααβ 与12{,,}r r ααα 等价．综上所
得 ，原名题成立．
要点：由1,,,r ααβγ 线性相关，知存在不全为零的数1,,,r a a
b c 使1
r
i i
i a b c α
βγ=++=∑显然b 与c 不全为零，则可能的情况有下面三种：（i ）0,0b c ≠=这时
1r
i i i a b βα==-∑,β可由1,r αα 线性表示．（ii ）0,0b c =≠这时1r
i i
i a
c γα==-∑（iii ）0,0b c ≠≠这
时γ可由1,,r ααβ 线性表示，β可由1,,r ααγ 线性表示.所以1,,r ααβ 与1,,r ααγ 等价．
6.4 基和维数
1．令[]n F x 表示数域F 上一切次数n ≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是3[]F x 的基：
(i){}3
2321,1,,22;x
x x x x x x ++++++
(ii){}2
2
31,1,22,.x x x x x --+-
结果： dim([])1n F x n =+，(?) 不是，(??)是（提示：21,,,n
x x x 是[]n F x 的一个基，据
可判断(?) (??)中的多项式是否为3[]F x 的基．）
2．求下列子空间的维数：
(i)3
((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4));L R --? (ii)22
(1,1,)();L x x x x F x ---? (iii)23(,,)[,].x x x
L e e e C a b ?
提示：12(,,,)n L ααα 的维数为12,,,n ααα 的极大无关组所含向量的个数．(?)维数为2，因为235342
124
--=，即它们线性相关，而其中任意两个都线性无关．(??)维数为2．(???)
维数为3．
3．把向量组{}(2,1,1,3),(1,0,1,2)--扩充为4
R 的一个基．
提示：1(2,1,1,3)α=-2(1,0,1,2)α=-线性无关（不成比例）而1(1,0,0,0)ε=，
2(0,1,0,0)ε=，3(0,0,1,0)ε=，4(0,0,0,1)ε=是4R 的一个基，所以1α，2α可由1ε，2ε，3ε，4ε表示，而1α，2α，1ε，2ε线性无关，故1α，2α，1ε，2ε是4R 的一个基．
4．令S 是数域F 上一切数满足条件/
A A =的n 阶矩阵A 所成的向量空间．求S 的维数．
提示：因为S 是数域F 上一切满足'A A =的n 解矩阵A 所称的向量空间．令i j E 表示第i
行第j 列交叉处是1 而其它元素全为零的n 解方阵，(i j E +'
)ji E =i j E +j i
E ， S 的一组基为:
11E ,22E ,, nn E ;12E +21E ,, 1n E +1n E ;23E +32E ,, 2n E +2n E ; , 1n n E -+1nn E -,故
(1)
dim (1)212n n S n n -=+-+++=
．
5．证明，复数域C 作为实数域R 上向量空间，维数是2．如果C 看成它本身上的向量空间的话，维数是几？
提示：1,i 在实数域R 上线性无关，且C 中任意复数均可由它们线性表示，故C 作为R 上的向量空间，维数为2．C 作为C 上的向量空间，维数为1．（任一非零复数均为它的基）
6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V 的每一个向量都可唯一地表成V 中向量1,,n a a 的线性组合，那么dim V n =．
提示：由表示式唯一，可证12,,n ααα 线性无关，即得dim V n =．
7．设W 是n
R 的一个非零子空间，而对于W 的每一个向量(12,,,n a a a )来说，要么，要
么120,n a a a ==== 要么每一个i a 都不等于零，证明dim 1.W =
提示：证明W 中任意两个非零向量均线性相关．
8．设W 是n 维向量空间V 的一个子空间，且0dim .W n <<．证明：W 在V 中有不只一个余子空间．
提示：设dim W r =，12,,r ααα 为W 的基，扩充为V 的基121,,,,,r r n ααααα+ ,则'W =
1(,,)
r n L αα+ 是W =
1(,,)
r L αα 的一个余子空间，又令：
"W =1(,,,r L αα 1,,)r n αα+ ，可证"W 也是'W 的一个余子空间，且"W ≠'W ．
9．证明本节最后的论断． 提示：对t 用数学归纳法．
6.5坐标
１．设{}12,,,n a a a 是Ｖ的一个基．求由这个基到{}21,,,n a a a 的过渡矩阵．
结果： 0001100001000010?? ? ? ? ? ? ?
?? （提示：线性表示可得）． 2．证明，{}3
3
2,,1,1x x
x x x +++是3()F x （数域Ｆ上一切次数3≤的多项式及零）的一
个基．求下列多项式关于这个基的坐标：
(i) 2
23x x ++; (ii) 3;x (iii) 4; (iv) 2x x -.
结果：(i) (0,0,1,2); (ii) (1,0,0,0); (iii) (4,-4,0,4); (iv) (0,0,1,1) (提示：利用246P 公式（6）（取
3[]F x 的基{}231,,,x x x ）即得由{}231,,,x x x 到{}
332
,,1,1x x x x x +++的过渡矩阵．)
3．设1234(21
,,1),(031,)(5,32,1)(61,3)
.a a a a =-===
证明{}1234,,,a a a a 作成4
R 的
一个基，在4
R 中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．
证：先证1234,,,αααα线性无关，即得1234,,,αααα为4
R 的一个基，再设1234(,,,)0x x x x ≠，
()i x R ∈由题设得11223344x x x x εεεε+++=11223344x x x x αααα+++从而得到关于1234
,,,x x x x 的齐次线性方程组，则基础解系或基础解系的非零线性组合基为所求．(,,,)k k k k ---
4．设
123123(1,2,1),(0,1,3),(1,1,0);(2,1,5),(2,3,1),(1,3,2).αααβββ=-=-=-==-=
证明{}123,,ααα和{}1,23,βββ都是3
R 的基，求前者到后者的过渡矩阵．
结果：7174229154241534
2
4?? ? ? ? ? ? ?--
???
提示：取3
R 的标准基，且求出123(,,)(ααα=123,,)A εεε，123(,,)(βββ=123,,)B εεε，并
,A B 都可逆，即证得123(,,)ααα，123(,,)βββ都是3R 的基，从而有123(,,)βββ=1123(,,)A B ααα-，即1A B -为由123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵．
5．设
}12,,,n a αα 是F 上n 维向量空间V 的一个基．A 是F 上一个n s ?矩
阵．令．1211(,,,)(,,,)s n A βββααα= .
证明：12dim (,,,)s L βββ= 秩A ．
证：设 秩A r =，则存在F 上n 阶可逆矩阵P 和Q ，使
000r
I A P Q
??
= ???（r I 为单位矩
阵）．1212(,,,)(,,,)n n P r r r ααα= ，即12,,,n r r r 线性无关．于是有12(,,,)s βββ= 12(,,,)n P ααα 00
0r I Q ??
???12(,,,)n r r r = 00
0r
I Q
?? ???12(,,,,0,,0)r r r r Q = ，从
而12,,,s βββ 与12,,,,r r r r 等价，故有dim L 12(,,,)s βββ dim L =12(,,,)r r r r r ==秩A ．
6.6向量空间
1．证明，复数域C 作为实数域R 上的向量空间与2V 同构． 证1 提示：直接利用定理6.6.3
证2 令2:f C V →；a bi + (,)a b ，显然是2C V 到的一个映射，只要证明f 为双射，且满足12()f z z +=1()f z 2()f z +，()f kz ()kf z =，则f 是2C V 到的一个同构映射，故2C V ?
2．设:f V W →是向量空间V 到W 的一个同构映射，1V 是V 的一个子空间．证明1()
f V 是W 的一个子空间．
证10V ∈ ,而1(0)0()f f V =∈，∴1()f V 是W 的一个非空子集．设,αβ∈1()f V ，所以存在11,αβ∈1V ，使得1()f αα=，1()f ββ=， ,a b F ?∈， 有 a b αβ+=1()af α1()bf β+
=()f a b αβ+， 111a b V αβ+∈，a b αβ+∈1()f V ，故1()f V 是W 的子空间．
3．证明：向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构．
证 提示：设2
{()|()[]}W f x f x F x =∈， W 是[]F x 的子空间，且为[]F x 的真子空间，（因
为x ∈[]F x ，但x ?W ），令:?[]F x →2[]F x ；()f x 2()f x ，可证?是[]F x 到2
[]F x 的同
构映射，故[]F x W ?．
6.7矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关． 证：设()i j n n
A a ?=，0A =?秩A n
性相关．
2．证明，秩()A B +≤秩A +秩B
提示：1W ，2W 是V 的子空间，由维数公式知，dim(1W +2W ）=秩1W +秩2W ，令1W =A 的行空间，2W =B 的行空间，比较维数，结论得证．
3．设A 是一个m 行的矩阵，秩A r =，从A 中任取出s 行，作一个s 行的矩阵B ．证明，秩B r s m ≥+-．
证明：11S S m A αααα+??
?
?
?
= ?
?
? ? ??? （i α
为A 的第i 行），
1S B αα?? ?= ?
??? ， 100S A αα?? ? ? ?=+ ? ? ? ? ??? 100S m αα+??
? ? ? ? ? ? ? ?
?? 据第2题，得，
秩A ≤秩100S αα?? ? ? ?+ ? ? ? ? ??? 秩100S m αα+?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ，即r ≤秩B +秩100S m αα+?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ，因m ≥秩100S m αα+?? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? +S ，所以
秩B r ≥-秩100S m αα+?? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ()r m s r s m ≥--=+-
4．设A 是一个m n ?矩阵，秩A r =，从A 中任意划去m s -行与n t -列，其余元素按原来位置排成一个s t ?矩阵C ． 证明，秩C r s t m n ≥++--．
证明：由A 中划去m s -行做成矩阵B ，由第3题，有秩B ≥r s m +-，在B 中划去n t -列做成t 矩阵C B ，，由第3题，有秩C ≥秩B +t n -，所以秩C ≥r s t m n ++--．
5．求齐次线性方程组
12345123451234523450
323054330220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??
+++-=??
+++-=??+++=?
的一个基础解系．
解：对系数矩阵施行初等行变换后，得 1
011001220000010
000
0--?? ?
? ? ???134
2345220x x x x x x x =+??
∴=--??=?，
基础解系为()'
12100-， ()'
12
01
0-．
6．证明定理6.7.3的逆命题：n
F 的任意一个子空间都是某一含n 个未知量的齐次线性方程组的解空间．
证明：设W 是n
F 的任一子空间，而且dim W r =，令1111(,)n a a α= , 1(,)
r r rn a a α= 是W 的一个基，以12,,,r ααα 为行构成矩阵r n A ?，经初等行变换（必要时交换列）将化为1112121100010001r n r n r r rn c c c c c c +++??
? ? ? ? ??
?
，因此111(1r r r c c ++ 00) , ()
1001n
r n c
c 是100n x A x ????
? ?= ? ? ?
????? 的基础解系，而12,,,r ααα 正是
1111100001r n r n r n c c c c ++?? ? ? ??? 1n y y ?? ?= ? ???
00?? ? ? ?
?? （＊）的基础解系，所以（＊）的解空间为W ．
7．证明，n
F 的任意一个n
F ≠的子空间都是若干1n -维子空间的交．
证明：设W 是n
F 的任一子真子空间，不妨设12,,,s ααα 为W 的基，则W =dim L
（12,,,s ααα ）0S n ≤<,且dim W S =．现在把W 的基扩充为n
F 的基，
11{,,,,,}S S n αααα+ ，1L L =12(,,,0,,,)S S n αααα+ ,2L L =11(,,,,0,S S ααα+ ，
3,,)S n αα+ ,1n L L -=121(,,,,,0)S n ααα+- ,所以原命题成立.
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B ． 3 C ．3 D ．2 3 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,333 OA AB a OA AB ?= == 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为 111 12 3 OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1 ．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,
高二数学空间向量苏教版（文） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 空间向量 二. 本周教学目标： 1. 运用类比的方法，经历向量及运算由平面向空间推广的过程。 2. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质.理解空间向量共线的条件。 3. 了解向量共面的含义，理解共面向量定理，能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。 4. 掌握空间向量基本定理及推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的。 5. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标判断两个空间向量的平行。 6. 掌握空间向量夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算率。了解空间向量的几何意义;掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题。 三. 本周知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题: 1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( C ) A. 13 D.2 3 1、解:C.由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体,设棱长为a , 则1AB =, 棱柱的高 1 3AO a ===(即点1B 到底面ABC 的距离),故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =、 另解:设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底,1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ,平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 1OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r 、 二、填空题: 1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D -- M N ，分别就是AC BC ，的中点,则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 . 1、答案: 1 6 、设2AB =,作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥,则CH AB ⊥,CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=,结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解:以O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----, 1111(,,(,,)222222 M N ---,
3.1 空间向量及其运算 第一课时 3.1.1 空间向量及其加减运算----3.1.2 空间向量的数乘运 算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D - （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ???ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ????ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ????λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存 在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。
空间向量与立体几何 一、非坐标系向量法 1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B ． 3 C D ． 23 2．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦 ，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 3.已知正四面体ABCD 中，E 、F 分别在AB ，CD 上，且 ， ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 4.如图，已知四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面ABCD 是菱形且 ∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ， （1）证明：C 1C ⊥ BD ； （2）当1 CD CC 的值为多少时，能使 A 1C ⊥ 平面C 1BD ？请给出证明。 13413313 4 -133- AB AE 4 1=CD CF 41=A D C B A D C B 1 1 1 1
二、坐标系向量法 1．如图,在直三棱柱中,,,,点是 的中点 (1)求异面直线与所成角的余弦值 (2)求平面与所成二面角的正弦值. 2、如图,直棱柱中,分别是的中点,. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值.
3、如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC . （Ⅰ）求证：PC ⊥AB ； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小. 4．如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。 （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。 1 A
9．8用空间向量求角和距离 一、明确复习目标 1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量； 2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离. 二．建构知识网络 1．求角： （1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角； （2）直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角； ②求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面角为 θ,则|cos ,||||||| n a sin n a n a θ?=<>=? . （3）二面角： ①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）； ②求两个法向量的夹角（或补角）. 2．求距离 （1）点M 到面的距离||cos d M N θ= （如图）就是斜线段MN 在法向量n 方向上的正投影. 由||||cos ||n N M n N M n d θ?=??=? 得距离公式：|| || n N M d n ?= （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离； （3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量n 和连接两异面直线上两点的向量N M ，再代上面距离公式. 三、双基题目练练手
1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 （ ） ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.3 B.2 C.1 D.0 2． 直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA =90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ） A ． 10 30 B . 2 1 C ． 15 30 D ． 10 15 3．已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k = ___ 4． 已知A （3，2，1）、B （1，0，4），则线段AB 的中点坐标和长度分别是 ， . ◆答案提示： 1. C ； 2. A ； 3. 5 7； 4.（2，1， 2 5），d AB 四、以典例题做一做 【例1】 (2005江西)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4 π . 解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE =x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0） （1）11(1,0,1)(1,,1)DA D E x ?=?- 因为110,.DA D E =⊥ 所以 （２）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为,n n 则不与y 轴垂直,可设 (,1,)n a c = ，则???? ?=?=?, 0,01AD n AC n
P A D C B M N 立体几何典型例题选讲(理科) 1 ．如图在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,点F 为棱CD 中点,点E 在棱BC 上 (1)确定点E 位置使⊥E D 1面F AB 1; (2)当⊥E D 1面F AB 1时,求二面角11B AF D --的平面角的余弦值。 2 ．如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是B D ．BC 的中点,2====BD CD CB CA , 2==AD AB (Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD; (Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点E 到平面ACD 的距离. 3 ．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,21===AB BC AA ,BC AB ⊥?M 、N 分别是 AC 和BB 1的中点? (1)求二面角111C C A B --的大小? (2)证明:在AB 上存在一个点Q ,使得平面QMN ⊥平面 C B A 11,并求出BQ 的长度? 4 ．如图,直三棱柱111ABC A B C -中, AB=1,13AC AA ==,∠ABC=600. (Ⅰ)证明:1 AB AC ⊥; (Ⅱ)求二面角A —1AC —B 的大小? 5 ．如图,已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点,PA ⊥平面ABCD,E 、F 分别是A B ．PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面PAD; (Ⅱ)求证:EF ⊥CD; (Ⅲ)若,∠PDA=45°,求EF 与平面ABCD 所成角的大小. 6 ．如图,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是正方 形,PA =AD =2,M 、N 分别是A B ．PC 的中点. (1)求二面角P -CD -B 的大小; (2)求证:平面MND ⊥平面PCD ; (3)求点P 到平面MND 的距离. A C D O B E M N A 1 C 1 B 1 B C A C B A C 1 B 1 A 1
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且 1 2 PA AD DC === ，1AB =,M 是PB 的中点 (Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ; （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角; （Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明:以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M (Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上,故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解:因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ)解:在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角
空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建 立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos 17 BC CD BC CD θ==． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点 垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2， AB BCC 1＝3 π，
∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０， 、B 1（０，2，０） 、102c ?-???? ，、1302C ????? ，， ．设0E a ?????，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即32022a a ???---- ? ????，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ????--= ? ?? ???， 即12a =或32a =（舍去）．故102E ????? ，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与 EA 的夹角． 因11(00B A BA ==，122EA ?=-- ? 故11 112cos 3 EA B A EA B A θ==，即tan 2θ= （三）利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正 三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系． 设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、V ∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1 由(020)(103)0AB VA =- =， ，，，，得 AB ⊥VA ． 又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，
专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题（解析版） ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= 1．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出图中M 、N 的坐标； (2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值. 【答案】(1)M （2，1，2），N （2，2，1）.(2) 25 ． 【分析】 (1)根据正方体的棱长，直接写出坐标； (2)利用向量夹角公式能求出直线AM 与CN 所成的角的余弦值． 【详解】 (1)由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2. 由题意知A （2，0，0），B （2，2，0），∴M （2，1，2）， C （0，2，0），∴N （2，2，1）. (2)由(1)可知()012AM =，，，CN =（2，0，1）， 设直线AM 与CN 所成的角为θ， 则cosθ＝|cos AM CN ＜，＞|＝55?|25 =．
∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是25． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题． 2．如图,三棱柱111OAB O A B -中,平面11OBB O ⊥平面OAB ,且 160O OB ∠=?,190,2,3AOB OB OO OA ∠=?===,求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值. 【答案】17 【分析】 以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 利用向量法求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值. 【详解】 以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则11(3,0,0),(0,2,0),(3,1 3),(0,13)A B A O , 所以11(3,1,3),(3,1,3)A B O A =--=--.
专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题（原卷版） ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= 1．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出图中M 、N 的坐标； (2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值. 2．如图,三棱柱111OAB O A B -中,平面11OBB O ⊥平面OAB ,且 160O OB ∠=?,190,2,3AOB OB OO OA ∠=?===,求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值.
⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为?， 则θ为?的余角或?的补角 的余角.即有：cos s .in a u a u ?θ?= = 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求BE 与平面1B BD 所成角的正弦值. 4．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=?,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ． （1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ; （2）若6BD =,且二面角A BD C --为120?,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值． ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B ． 3 C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,33OA AB a OA AB ?= == 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为 111 12 3 OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --的余弦值为 3 ，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 1 6AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，