1
图2.4
习题解答
第二章
2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk
pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;
(2)()pqi ijk jk
pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;
(3)()ijp klp ki lj
ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij
ji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：
2[,,]??????=???a a a b a c
b a b b b
c a b c c a c b c c
证：123111
2
123222123333
[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：
()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c
证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，
2 2212sin cos i i u u u u βθθ''==-+，
333i i u u u β''==。
2.6设有二阶张量ij i j T =?T e e 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系
中的分量11T ''、12T ''、13T ''和33T ''。 解：变换系数同上题。
1122112212211111cos2sin2222
i j ij T T T T T T
T T ββθθ''''+-+==
++， 12211221221112cos2sin2222
T T T T T T
T θθ''-+-=++，
131323cos sin T T T θθ''=+， 3333T T ''=。
2.7设有3n
个数12
n
i i i A ???，对任意m 阶张量12m
j j j B ???，定义
121212
12
n m
n
m
i i i j j j i i i j j j C A B ????????????=
若1212n m i i i j j j C ??????为n m +阶张量，试证明
12
n
i i i A ???是n 阶张量。
证：为书写简单起见，取2n =，2m =，则 ijkl ij kl C A B =，
在新坐标系中，有
i j k l i j k l C A B ''''''''= (a)
因为ijkl C 和kl B 是张量，所以有
i j k l i i j j k k l l ijkl i i j j ij k k l l kl i i j j ij k l C C A B A B ββββββββββ''''''''''''''''===
比较上式和式(a)，得
()0i j i i j j ij k l A A B ββ''''''-=
由于B 是任意张量，故上式成立的充要条件是 i j i i j j ij A A ββ''''=
即ij A 是张量。 2.8设
A 为二阶张量，试证明tr ?=?I A A 。
证：=()()===tr jk j k jk i j i k jk ij ik ii i i A A A A δδ?=???????I A A e e e e e e e e 。
2.9设a 为矢量，A 为二阶张量，试证明：
3
(1)()T T ?=-?a A A a ，(2)()T T ?=-?A a a A 证：(1) ()()()T T
T T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -?=-??=-?A a e e e e e
()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-?=-?e e e e
k k jn j n a A =??=?a A e e e 。
(2) ()()()T T
T T i i kj j k kj i ijn n k a A A a e -?=-??=-?a A e e e e e
()nj i ijk n k nj n i jik k A a e A a e =-?=?e e e e
nj n j i i A a =??=?A a e e e
2.10已知张量T 具有矩阵
123[]456789=??
??????
T
求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：T 的对称部分具有矩阵
1351([][])3572579T +=??
????
??
T T ， T 的反对称部分具有矩阵
0121([][])1012210T ---=-??
????
??
T T 。 和反对称部分对应的轴向矢量为 1232=-+ωe e e 。
2.11已知二阶张量T 的矩阵为
310[]130001-=-????????
T
求T 的特征值和特征矢量。
解：2310130(1)[(3)1]0001λλλλλ
----=---=-
由上式解得三个特征值为14λ=，22λ=，31λ=。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为
4
112)-a e
，12)a e +e ，33=a e 。
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
αβ=+?A I m m ，=?+?B m n n m
其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为
()()αβαβ?=+??=+A m I m m m m ，
所以m 是A 的特征矢量，αβ+ 是和其对应的特征值。设a 是和m 垂直的任意单
位矢量，则有
()αβα?=+??=A a I m m a a
所以和m 垂直的任意单位矢量都是A 的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特
征方程的重根。 令
2)-m n e
，3)+m n e ，123?e =e e 则有
23)m e +e
，23)-n e +e 上面定义的i e 是相互垂直的单位矢量。张量B 可以表示成 1122330=?-??B e e e e +e e
所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e 、1e 和2e 。
2.13设a 和b 是矢量，证明：
(1)2()()????=???-?a a a
(2)()()()()()???=??-??+??-??a b b a a b a b b a
证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2) ()()()j j k k j k jkm m i i
i
i a b a b e x x ??
?????=??=?a b e e e e e ,,,,()()()j i k j k i jkm imn n j i k j k i jn ki ji kn n a b a b e e a b a b δδδδ=+=+-e e ,,,,j i i j j i i j j j k k i k i k a b a b a b a b =+--e e e e ()()()()=??-??+??-??b a a b a b b a
2.14设2321232x yz xz xz =-+a e e e ，求1
()2
=
?-?w a a 及其轴向矢量。
5
解：12
()=?-?w a a 23223211213212
[(2)()(2)x z z x y z z x z =+?+-?-+?e e e e e e 22222331326()6]xz z x y xz -?+-?+?e e e e e e 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 222321112322[6()(2)]xz x y z z x z =??=+--+ωa e e e 。
2.15设S 是一闭曲面，r 是从原点O 到任意一点的矢径，试证明：
(1)若原点O 在S 的外面，积分30S
dS r ?=?n r
； (2)若原点O 在S 的内部，积分34S
dS r π?=?n r
。 证：(1)当0r ≠时，有 33
(
)()0i i x r x r ???==?r (b) 因为原点在S 的外面，上式在S 所围的区域V 中处处成立，所以由高斯公式得 33()0S V
dS dv r r ?=??=??n r r
。 (2)因为原点在S 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面S '完全在S 的内部。用V 表示由S 和S '所围的区域，在V 中式(b)成立，所以
3333()0S S S S V dS dS dS dV r r r r ''+???=+=??=????n r n r n r r
即
33S S
dS dS r r '??=-??n r n r
在S '上，r a =，/a =-n r ，于是 3
32211
4S
S S S dS dS dS dS r
r a a π''
'??=-===??
??n r
n r 。 2.16设
123(2)y x xz xy =+--f e e e ，试计算积分()S
dS ????f n 。式中S 是球面
2222
x y z a ++=在xy 平面的上面部分. 解：用c 表示圆222x y a +=，即球面2222x y z a ++=和xy 平面的交线。由Stokes
公式得
6
()0S
c
c
dS d ydx xdy ???=?=+=???f n f r 。
第三章
3.1设r 是矢径、u 是位移，=+r
r u 。求d d r r ，并证明：当,1i j u <<时，d d r
r
是一个可逆 的二阶张量。 解：d d d d d d =+=+?r
r u I u r r r
d d =+?r
I u r 的行列式就是书中的式(3.2)，当,1i j u <<时，这一行列式大于零，所以d d r r
可逆。
3.2设位移场为=?u A r ，这里的A 是二阶常张量，即
A 和r 无关。求应变张量ε、反对
称张量()/2=?-?Ωu u 及其轴向矢量ω。 解：?=u A ，1()2T =+εA A ，1
()2
T =-ΩA A ， 1122i jk j k l l i A x x ?
?=
??=???ωu e e e e 111
222
jk ijm m k il l jk ijm m ki ji ijm m A e A e A e δδ=?==?e e e e e
3.3设位移场为=?u A r ，这里的A 是二阶常张量，且,1i j u 。请证明：
(1)变形前的直线在变形后仍为直线；
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量a 相同且过矢径为0r 的点的直线方程可以写成
0t =+r a r (1) 其中t 是可变的参数。变形后的矢径为
()=+=+?=+?r
r u r A r I A r (2) 用+I A 点积式(1)的两边，并利用式(2),得
0()()t =+++??r
I A a I A r 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量()+?I A a 平行，过矢径为0()+?I A r 的点。
所以变形前的直线变形后仍然是直线。
7
(2)因为
,1i j u ，所以+I A 可逆。记1()-=+B I A ，则
1()-=+=??r I A r
B r (3) 变形前任意一个平面的方程可以表示成
c ?=a r (4) 其中a 是和平面垂直的一个常矢量，c 是常数。将式(3)代入式(4)，得
()c ??=a B r
(5) 上式表示的是和矢量?a B 垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
(3)变形前两个平行的平面可以表示成 1c ?=a r ，2c ?=a r 变形后变成
1()c ??=a B r
，2()c ??=a B r 仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间
夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。
3.5设位移场为=?u A r ，其中A 是二阶常张量，n 和m 是两个单位矢量，它们之间的夹
角为θ。求变形后θ的减小量。 解：n 和m 方向的正应变分别为 n ε=??n εn ，m ε=??m εm
用n ε和m ε代替式(3.11)中的1ε和2ε，经整理，得θ的减小量θ?为
2
ctg ()sin θθθ
?=
??-??+??n εm n εn m εm 又()/2T =+εA A ，所以
1
()ctg ()sin T θθθ
?=?+?-??+??n A A m n A n m A m 。
3.6设n 和m 是两个单位矢量，d dr =r n 和r δδ=r m 是两个微小的矢量，变形前它们
所张的平行四边形面积为
A d δ=?r r ，试用应变张量把变形时它的面积变化率
/A A ?表示出来，其中A ?是面积变形前后的改变量。 解：变形后，d r 和δr 变成
d d d d =+?+?r
r εr ωr ，δδδδ=+?+?r r εr ωr 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得
d d d d δδδεδ?=?+??+??r
r r r r εr r r 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得
8
()()d d δδ???r
r r r ()()2()()2()()d d d d d d δδδδεδδ=???+????+????r r r r r εr r r r r r r (a)
注意到 22()()()2()d d A A A A A δδ???=+?≈+?r
r r r
2()()d d A δδ???=r r r r
所以，从式(a)可得
()()()()()()
d d d d A A d d δδδδδδ????+?????=???r εr r r r εr r r r r r r
()()()()
()()
????+????=
???n εm n m n εm n m n m n m
利用习题2.4中的等式，上式也可写成 2
2()()1()A A ??-???+??=-??n εn n εm n m m εm n m
3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij ε，让坐标系绕z 轴转动θ角，得一个新的坐
标系，求在新坐标系中的应变分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 cos2sin222x y x y
x xy εεεεεθεθ'+-=
++，
cos2sin222x y x y
y xy εεεεεθεθ'+-=--，
sin2cos22
x y
x y xy εεεθεθ''-=-+，
cos sin x z xz yz εεθεθ''=+，
sin cos y z xz yz εεθεθ
''=-+，z z εε'=
3.8在Oxy 平面上，Oa 、Ob 、Oc 和x 轴正方
向之间的夹角分别为0 、60 、120 ，如图
3.9所示，这三个方向的正应变分别为a ε、
b ε和
c ε。求平面上任意方向的相对伸长度n ε。 解：在Oxy 平面中，和x 方向成θ角的方向，
其方向余弦为
图3.9
9
1cos n θ=，2sin n θ=，30n = 这一方向的相对伸长度为 n ij i j n n εε=
22cos 2sin cos sin x xy y εθεθθεθ=++ cos2sin22
2
x y x y
xy εεεεθεθ+-=
+
+
cos2sin2A B C θθ=++ (a) 利用上式，可得 a
A B ε=+
，12b A B ε=-
，12
b A B ε=- 解之，得 3
a b c
A εεε++=
，23
a b c B εεε--=
，)
b c C εε-
将求出的A 、B 和C 代回式(a)，得
2cos23
3
a b c a b c
n εεεεεεεθθ++--=
+
3.9试说明下列应变分量是否可能发生： 2x axy ε=，2y ax y ε=，z axy ε=，
22yz
ay bz γ=+，22xz ax by γ=+，0xy γ=
其中a 和b 为常数。
解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协
调方程(3.34c)，可以发现，必须有0a b ==。所以当a 和b 不为零时，上述应变分量是不可能发生的。
3.10确定常数0A ，1A ，0B ，1B ，0C ，1C ，2C 之间的关系，使下列应变分量满足协
调方程
2244
01()x A A x y x y ε=++++，
224401()y B B x y x y ε=++++， 22012()xy C C xy x y C γ=+++， 0z
zx zy εγγ===。
解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：
14C =，
1122A B C +=。
其它三个常数0A 、0B 、0C 可以是任意的。
3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。
10 解：由于应变张量ε和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成 0
0000
()()()d =+?-+
=+?-+-???r
r u u ωr r εr u ωr r εr r
其中0u 是任意的刚体平移，0ω是任意的角位移矢量。
3.12设x ax ε=，y by ε=，z cz ε=，0xy yz zx εεε===，其中a ，b ，c 是常量，求位移的一般表达式。
解：所给的应变张量是，
112233ax by cz =?+?+?εe e e e e e 很容易验证0??=ε，且有 2221231231
()2
d ax dx by dy cz dz d ax by cz ε?=++=++r
e e e e e e 所以从式(3.36a),得 0
000()d =+?-+??r
r u u ωr r εr
0002221231()()2d ax by cz =+?-+
++?r
r u ωr r e e e 0000002222221231()2
[()()()]a x x b y y c z z =+?-+-+-+-u ωr r e e e
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为：
50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112n =，122
n =
，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和
剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为 11106.57i i
T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-
总应力111.8T a 。
正应力26.04n i i
T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12?=?T m T n 。 证：利用应力张量的对称性，可得
11
12()()ij i j ji i j n m n m σσ?=??===??=?T m n σm m σn T n 。证毕。
4.3某点的应力张量为
01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=????????????????
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=
即
2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=
上式有两个解：20n =或1y
σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得
1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，
可求得
n
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，
试验证应力分量 22(arctg )x y xy
A C x x y
σ=--++ 22(arctg )y y xy
A B x x y
σ=-+++
0z
yz xz σττ===，2
22
xy y A
x y τ=-+
满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数
A 、
B 和
C 。
解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们
满足平衡方程。
在0y =的边界上，有边界条件 0()y y q σ==-，0()0xy y τ==
所给的应力分量xy τ自动满足上面的第二个条件。将y σ
的表达式代入上面的第一个条
图4.8
12 件，得
AB q =- (1) 在上斜面上，有
tg y x β=-，所以斜面上的应力分量可以简化成
(sin cos )x A C σβββ=++，(sin cos )x A B σβββ=-+，
2sin xy A τβ=-，0z yz xz σττ=== (2)
斜面上的外法向方向余弦为
1sin n β=-，2cos n β=-，30n = (3) 将式(2)和(3)代入边界条件0ij j n σ=，得
(sin cos )cos 0C A AB βββββ+=--=??
?
(4)
联立求解(1)和(4)，得
tg q
A ββ
=
-，tg B ββ=-，C β=-
4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，y cx dy σ=+，0z σ=，
0yz
xz ττ==，xy dx ay x τγ=---
γ和1γ分别是坝身和水的比重。求常数a 、b 、c 、d ，使上述应力分量满足边界条件。 解：在0x =的边界上，有边界条件 01()x x y σγ==-，0()0xy x τ==
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：0a =，
1b γ=-。
在左侧的斜面上，tg x y β=，外法向方向余弦为 1cos n β=，2sin n β=-，30n =
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0ij j
n σ=，可解得：
21ctg d γβγ=-，21ctg (2ctg )c βγγβ=-。
4.6物体的表面由
(,,)0f x y z =确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷
(,,)p x y z ，试写出其边界条件。
解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
图4.9
13
n 或
i
n 按题意，边界条件为 p ?=σn n 因此
即 f p f ??=?σ
上式的指标形式为 ,,ij
j i f pf σ=。
4.7如图4.10所示，半径为a 的球体，一半沉浸在密度为ρ的液体内，试写出该球的全
部边界条件。
图4.10
解：球面的外法向单位矢量为
i i
x a a =
=
r n e 或 i i x n a
= 当0z ≤时，有边界条件
?=σn 0 即 ?=σr 0 或 0ij j
x σ=。
当0z ≥时，球面上的压力为gz ρ，其中g 为重力加速度，边界条件为 gz σρ?=-n n 即 gz ρ?=-σr r 或 ij j i x gzx σρ=-。
4.8物体的应力状态为ij
ij σσδ=，其中σ为矢径r 的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数ψ，使ψ=-?f ；(2)写出物体表面上的面力表达式。
解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以
,,i i i i σσσσ=-??=-??=-?=-=-?f σI I e e
所以，只要令ψσ=，就有ψ=-?f 。
(2)表面上的面力为 σσ=?=?=T n σn I n 或 i
j T n σ=。
14 4.9已知六个应力分量ij σ中的30i σ=，求应力张量的不变量并导出主应力公式。
解：应力张量的三个不变量为：1x y I σσ=+，22x y xy I σστ=-，3
0I =。 特征方程是
3212122()0I I I I σσσσσσ-+=+=- 上式的三个根即三个主应力为0σ=和
2
x y
σσσ+=
4.10已知三个主应力为1σ、2σ和3σ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三
角形，其法向单位矢量为
1n =
，2n =
3n = 求八面体各个面上的正应力0σ和剪应力0τ。 解：01231
()3
ij i j
n n σσσσσ==++， ij j i n σ=T e ，222
1232223
i i T n σσσσ++=?==T T ，
0τ
4.11某点的应力分量为1122330σσσ===，122331σσσσ===，求： (1)
过此点法向为123)++n e e e 的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：
(1)123)ij j i
n σ=++T e e e e ， 224T σ=?=T T 。 正应力为2n σσ=?=T n 。
剪应力为0n τ。
由此可知，2σ
是主应力，123)++n e e e 是和其对应的主方向。 (2)用λ表示主应力，则
15
2()(2)0λ
σσ
σλσλσλσσσλ
--=-+-=-
所以，三个主应力是12σσ=，23σσσ==-。由上面的结论可知，和1σ对应的主
方向是n ，又因为23σσσ==-是重根，所以和n 垂直的任何方向都是主方向。
第五章
5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为ij
ijkl kl C εσ=，
试写出柔度系数张量ijkl C 的具体表达式。 解：11[()]2ij ij kk ij ik jl il jk ij kl kl E E E E
ννννεσσδδδδδδδσ++=
-=+-
所以 1[()]2ik jl il jk ij kl ijkl
C E E
ννδδδδδδ+=+-。
5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q 作用，
如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。
图
5.2
解：取压力q 的方向为z 的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x 、
y 的方向。
按题意有 z
q σ=-，0x y εε==，x y p σσ==-
由胡克定律得 11
[()][(1)]0x x y z p q E E
εσνσσνν=
-+=-+= 所以盒内侧面的压力为
16
1p q νν
=
- 体积应变为 2(21)(1)121[()](1)(1)
ii
z z x y v q q E E E νννθεεσνσσνν-++-===-+==--
最大剪应力为 max
122
2(1)
z x
q σσντν--=
=
-。
5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同
性体是否具有这样的性质？试举例说明。 解：对各向同性材料，设i n 是应力的主方向，σ是相应的主应力，则
ij j i n n σσ= (1) 各向同性的胡克定律是 2ij
ij ij σλθδμε=+
将上式代入式(1)，得2i ij j i n n n λθμεσ+=，即
1
()2ij j
i n n εσλθμ
=
- 由此可知，i n 也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，
应力主方向和应变主方向一致。
下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性
质关于Oxy 平面对称。因为0xy γ=，所以从式(5.14)得 414243xy x y z C C C τεεε=++
若应变主坐标系也是应力主坐标系，则0xy τ=，即 4142430x y z C C C εεε++=
上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变
主方向不一定相同。
5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系
2i i σλθμε=+ (1) 从上式得
11(32)(32)ii I J σλμθλμ=Θ==+=+ (2) 2122331I σσσσσσ=++
17
122331(2)(2)(2)(2)(2)(2)μελθμελθμελθμελθμελθμελθ=++++++++ 2212(34)4J J λμλμ=++ （3） 3123123(2)(2)(2)I σσσλθμελθμελθμε==+++
23231123(2)48J J J J λλμμλμ=+++ (4)
式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量
表示应变不变量的关系。
第六章
6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足
的？
解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。
6.2设
2122()f
g y g A B α=?-+?+??+u e e e
其中f 、g 、A 、B 为调和函数，问常数α为何值时，上述的u 为无体力弹性力学
的位移场。
解：11,1,1()()0k
i k i i j j ij ji k i k
A A A e A e x x x ?
????????=?===???e e e e e e 同理2()0B ???=?e 。 由上面两式及
f 和
g 是调和函数可得
,2(1)g θα=?=-?u
,2(1)g θα?=-? (1) 因
f 、
g 、A 、B 为调和函数，所以
2,22g ?=?u (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier 方程，得 ,2[()(1)2]0g λμαμ+-+?= 上式成立的条件是
()(1)20λμαμ+-+= 即 3λμαλμ
+=
+。
6.3已知弹性体的应力场为
18 2x x σ=，2y y x σ=+，22xy x y τ=--，0zx zy ττ==，2z
z σ=-。
(1) 求此弹性力学问题的体力场；
(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。
解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为
32=f e 。
(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell 应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。
6.4证明下述Betti 互易公式
i i
i i
i i
i i
S
V
S
V
Tu dS f u dV Tu dS f u dV +=+???? ，
其中i T 、
i f 、i u 和i T
、i f 、i u 分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。 证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得
i i i i
ij
j i
i i
S
V
S
V
Tu dS f u dV n u
dS f u dV σ+=+????
,,,()()ij j i ij i j i i ij j i i ij ij V
V
V
V
u
u f u dV f u dV dV σσσσε=++=++???? ij ij ijkl kl ij klij ij kl kl kl V
V
V
V
dV E dV E dV dV σε
εεεεσε====???? ,,,[()]ij i j ij i j ij j i ij j i i i V
V
S
V
u dV u u dV n u dS f u dV σσσσ
==-=+???? i i i i S
V
Tu dS f u dV =+?? 。 证毕。
6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程
01
()4(1)
P ν=-
?+-?u p p r
其中2?=p 0，200P ?=。 证：无体力的Lam é-Navier 方程为
2()()λμμ+??+?=?u u 0 又1
12λμμν
+=-，所以Lam é-Navier 方程可以写成 21
()12ν
?+??=-?u u 0
将所给的位移代入上式的左边，并利用22()2?=?+????r p p r p ，可得
19
0222211()()122(12)
νν??+
??=-??+?--??u u p p r p 因为p 和
0p 是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。
6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x 轴，弯矩所在的主平面为Oxy 平面。试
证下述位移分量是该问题的解
0y z M
u xy z y u EI
ωω=
+-+ 2
220()2z x M v x y z x z v EI
ννωω=-+-+-+
x y M w yz y x w EI
νωω=-+-+。
提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为
0x
A
dA σ=?，0x
A
zdA σ=?，x
A
ydA M σ
=?
其中A 是杆的横截面。
证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier 方程。用所给的位移可以
求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：
x My
I
σ=
，其它应力分量为零。 (a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为
0xz yz ττ==，0x A
dA σ=?，0x A
zdA σ=?，x A
ydA M
σ=?
式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。
6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。
q 1
2
图6.6
解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量
20
1x q σ=，2y q σ=-，0z xy yz zx στττ====
满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为
12112122123311()()()q q q q q q E E E ννν=+?-+?--?εe e e e e e 利用题3.11的结果，可求得位移为
0001
20121021203
1
()()()1()()()() q q x x E q q y y q q z z E E
ννν=+?-+
+--+----u u ωr r e e e
6.8弹性半空间0z ≥，比重为γ，边界0z =上作用有均布压力q ，设在z h =处0w =，求位移和应力。
解：由问题的对称性，可以假设 0u v ==，()w w z =
把上述位移分量代入Lam é-Navier 方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成
222d w dz γλμ
=-+ 解之得 22(2)
w z Az B γ
λμ=-
+++
其中的A 、B 是待定常数。由已知条件得
2()02(2)
w h h Ah B γ
λμ=-
++=+ 所以 22(2)B h Ah γ
λμ=
-+ 22)()2(2)
(w h A z h z γ
λμ=-
+-+- 应力分量为 []2x
y dw
z A dz γσσλ
λλμ
===-++，(2)(2)[]2z dw z A dz
γ
σλμλμλμ
=+=+-
++，0xy yz zx τττ===。
在0z =边界上的边界条件为：10T =，20T =，3T q =。前两个条件自动满足，最后
一个成为
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
第一章习题 1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。 1．均匀的各向异性体： 如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 2．非均匀的各向同性体： 实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。 实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。 再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。 3．非均匀的各向异性体： 如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。 一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。 一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。 一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。 一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。 1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性，
1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是 相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是 相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的 改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。
2-1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。 解： 1、相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。 2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 3、平衡微分方程
其中 若满足平衡微分方程，必须有
分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。 例2-2 如图所示为一矩形截面水坝， 其右侧面受静水压力（水的密度为ρ）， 顶部受集中力P作用。试写出水坝的应 力边界条件。 解： 根据在边界上应力与面力的关系 左侧面：
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
第二章 平面问题的基本理论 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F ghb M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY 1. DATE: 2001-9-20 1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。假 设你在纵波到达0t 秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2?=ρ，s 30=t 来进行具体估算。 2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。在一定区域内已 知22 12 11(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。 3. 给定位移分量 21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。求 应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。 4. 证明 ,1 122 i ijk jk ijk k j e Q e u ω== 其中i ω为转动矢量。 5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。 6. 试分析以下应变状态能否存在。 （1）22111 22()k x x x ε=+，2 2223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）22111 2()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，22 3112ax bx γ=+ 其中，，k a b 为远小于1的常数。 2. DATE: 2001-9-17 1. 证明对坐标变换?? ? ?????????-=? ??? ??2121cos sin sin cos x x x x αααα ，33x x =，无论α为何值均有
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？ 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？ 【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
第三章弹性理论 姓名班级学号考试时间：20分钟 一、单项选择题 1、点弹性和弧弹性之间（）关系 A、有 B、没有 C、不确定 2、冰棒的需求价格弹性（）药品的需求价格弹性 A、大于 B、小于 C、等于 D、大于或等于 3、供给弹性（）点弹性和弧弹性的区分 A、有 B、没有 C、不确定 4、垂直的需求曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 5、水平的供给曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 6、一种商品价格下降，另外一种商品需求上升，则两种商品之间是（）关系 A、互补品 B、替代品 C、正常品 D、劣品 7、在长期中，供给曲线更（）弹性 A、缺乏 B、富有 C、不确定 D、依商品而定 8、容易被替代的商品，其需求弹性（） A、大 B、小 C、不确定 二、多项选择题 1、弹性一般分为（）弹性 A、供给 B、需求 C、价格 D、收入 2、利用价格需求弹性可以区分出（） A、生活必须品 B、奢侈品 C、经济商品 D、免费物品 三、简答题 1、影响商品需求价格弹性的因素 2、需求价格弹性的五种情况
答案 一．单项选择题 2. A 二．多项选择题 三．简答题 1. 影响商品需求价格弹性的因素 (1). 必需品与奢侈品 一般地说，奢侈品需求对价格是有弹性的，而必需品则是缺乏弹性的。 (2). 相近替代品的可获得性 一般来说，相近替代品越多的商品越富有弹性。替代品多，消费者从这种商品转向购买其他商品较为容易，对商品价格更敏感（如，香烟）。 (3). 商品所划定范畴的大小 一般来说，如果某产品存在着很接近的替代品的数量愈多，其需求价格弹性愈大。 (4). 时间的长短 计算某种商品价格弹性系数所考虑的时间愈长，其系数会愈大。当某一商品价格上升时，消费者需要一段时间去寻找可以接受的替代品，因此，短期内对该商品的需求量变化不大，而长期内消费者更可能转向其他替代品，因此，该提价商品的需求量变化会更加明显些。 2. 需求价格弹性的五种情况 (1). 当e=0时，需求对价格是完全无弹性的，即需求量与价格无关。则需求曲线为一条垂直于x轴的直线。如，垄断价格；婚丧用品，特效药等接近于完全无弹性。 (2). 当e=1时，需求对价格为单位弹性，即价格变化的百分比与需求量变化的百分比相等。 (3). 当e=∞时，需求对价格是完全有弹性，即需求曲线为一条垂直于P轴的直线。如，银行以某一固定的价格收购黄金；实行保护价的农产品。 (4). 当e>1时，需求对价格富有弹性，即需求变化的幅度大于价格变化的幅度。如，奢侈品。 (5). 当e<1时，需求队价格缺乏弹性，即需求变化的幅度小于价格变化的幅度。如，生活必需品。
土木工程学院2006年博士研究生入学考试大纲 考试科目名称土木工程基础力学Ⅰ－弹性力学 考试要求：《弹性力学》是土木学院各2级学科相关专业的重要基础理论课之一，并拟定作为某些专业及研究方向的日校博士研究生的入学考试科目。本着该课程的教学大纲和各研究方向的要求，现给出该课程的日校博士研究生考试范围和题型如下：一、范围1. 应力、应变状态理论：应力和一点的应力状态；斜面应力公式；应力分量的转换；主应力，应力不变量；最大剪应力，八面体剪应力；应力偏量；应力状态的三维莫尔圆；平衡微分方程，应力边界条件等。位移分量和应变分量及两者的关系；主应变，应变不变量；应变协调方程；位移场的单值条件等。2. 本构关系：广义胡克定理；应变能和应变余能；各向同性、异性弹性体；应变能的正定性等。3. 弹性理论的微分提法、解法及一般原理：基本方程的建立；位移解法；应力解法；应力函数解法；迭加原理；解的唯一性；圣维南原理等。4. 弹性力学平面问题的求解：平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；平面问题的直角坐标解答；平面问题的极坐标解答；轴对称问题；非轴对称问题等。5. 柱形杆的扭转：扭转问题的位移解法；扭转问题的应力解法；扭转问题的薄膜比拟法；椭圆截面杆的扭转；厚壁圆筒的扭转；矩形截面杆的扭转；薄壁杆的扭转等。6. 弹性力学问题的变分解法：最小势能原理；最小余能原理；基于最小势能原理的近似计算方法；基于最小余能原理的近似计算方法；弹性力学变分问题的直接解法等。7. 平板的小挠度弯曲问题：薄板弯曲问题的基本方程及边界条件；矩形板的求解；圆板的轴对称弯曲；能量法的应用等。(岩土工程专业不作此项要求)二、题型1. 基本概念分析及其计算题；2. 综合概念分析及其计算题。参考书：1《弹性力学》，吴家龙，高等教育出版社，2004。2.《弹性理论基础》（上、下册），陆明万等，清华大学出版社，2001。
1 图2.4 习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2008 — 2009 学年第 一 学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：030192 课名： 弹性力学 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 得分 一．是非题（正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。（ ） 2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。（ ） 3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。（ ） 4. 最大正应变是主应变。（ ） 5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。（ ） 6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。（ ） 7. 弹性体所有边界上的集中荷载均可以按照圣维南原理放松处理边界条件。（ ） 8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。（ ） 9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8 个。（ ） 10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。（ ） 11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。（ ） 12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位 移分量。（ ） 13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。（ ） 14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。（ ） 15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。（ ） 二．分析题（共20分，每小题10分） 1．已知应力张量为()()2211e e e e σ?-+?+=b a b a ，0>>a b (1) 设与xy 平面垂直的任意斜截面的法向矢量为21sin cos e e n θθ+=，试求该斜截面上的正应力与剪应力。 (2) 求最大和最小剪应力值。
第四章 平面问题的极坐标解答 【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。 【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即 2 2(12ln )2(32ln )20A B C A B C ρ?ρ? σρρσρρτ? =+++? ???=-+++?? ?? =?? (a) 首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得 -q 2 (12ln )2A B C ρσρρ = +++= (b) 其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，?σ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当=0ρ时，必须有0A B ==。 把上述条件代入式（b ）中，得 /2C q =-。 所以，得应力的解答为 -q 0ρ?ρ?σστ===。 【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数 2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。 【解答】（1）相容条件： 将应力函数Φ代入相容方程40?Φ=，显然满足。 （2）由Φ求应力分量表达式 =-2sin 222sin 222cos 2B C B C B C ρ?ρ?σ?? σ??τ??+?? =+??=--??
（3）考察边界条件：注意本题有两个?面，即2 π ?=± ，分别为?±面。在?±面 上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有 2()0,??πσ=±= 得0C =； -q 2 (),ρ??πτ=±= 得2 q B =-。 将各系数代入应力分量表达式，得 sin 2sin 2cos 2q q q ρ?ρ?σ?σ?τ? ?=?? =-??=?? 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改 变量，并求圆筒厚度的改变量。 【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B =0。 内外的应力边界条件要求 r r ()0,()0;(), ()0 R R q ρ?ρρ?ρρρρρττσσ=======-= 由表达式可见，前两个关于ρ?τ的条件是满足的，而后两个条件要求 r 2 22,20A C q A C R ?+=-??? ?+=??。 由上式解得 22 2 ,C () 2() 22 22 qr R qr A R -r R -r =-=。 (a) 把A ，B ，C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。 ()()222211cos sin ,(R r )qr R u I K E ρμρμ??ρ?? =-++++??-? ? (b) sin cos 0u H I K ?ρ??=-+=。 (c) 式（c ）中的ρ，?取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 2006—2007学年第 一 学期 课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名： 考试（√）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌 教学管理室主任签名： 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 ( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那 么由),(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的 结 果 会 有 所 差 别 。 （ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （ ） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （ ） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（ ） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小 题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 。
弹性力学习题 填空题 1。弹性力学是建立在连续性、完全弹性、均匀性、各项同性及小变形假定(假定形变和唯一是微小的)假定基础。 2。在平面应力问题中，其中应力分量不恒为零的有σx，σy，τxy=τyx。而在平面应变问题中，应变分量横为零的有?z，txz=tzx，tzy=tyz。两类问题的应力和应变位移都只是坐标x，y的函数，与z无关。 3。体力不计，两端受转向相反力偶作用的等截面质感扭转问题中，存在的应力有横截面上的切应力t，其余应力为0，其任一横截面在xy轴上的投影的形状相同，而只是转动一个角度a=kz。 4。相容方程是形变分量之间的变形协调方程，只有满足相容方程，才能保证位移分量的存在，实际位移值应包括u，v，w。 5。平面问题中，(a)已知一点的应力为61=62=6，那么任一方向的正应力6n为6。 tn为0。 6。空间问题一点的应力状态是由6个独立的应力分量决定的，分别是沿直角坐标系的正应力6x，6y，6z和切应力txy，txz，tyz。任一方向的正应力和切应力实际上是这些应力分量在该方向上的合成。 1。弹性力学是固体力学的一个分支，其基本任务是研究由于受外力作用或边界约束，温度改变等原因为发生的。 2。在平面应力问题中，应力分量为0的是6x，tzx，tzy，而在平面应变中，应力分量一般不为0的有6x，6y，6z，txy。计算两种状态的基本方程中，平衡威风方程和几何方程是一样的。
3。对轴对称问题，得出的位移公式却是非轴对称的，因为位移包含刚体位移分量，只有位移边界条件也是轴对称的，则位移才是轴对称的。 4。一点的应力状态由6个独立的应力分量决定的，分别是沿坐标面的正应力6x，6y，6z和切应力tzy，tyz，tzx。一点应变状态有6的独立的独立的应变分量决定的，分别沿坐标面的线应变?x，?y，?z，和切应变rxy，ryz，rzx。 5。弹性力学的基本做题方法有应力法，位移法。 6。平面问题中，艾里应力函数是在条件常体力下得到的，应满足区域内的相容方程。 简答题 1、简述弹性力学的基本假设，并说说建立弹性力学基本方程时分别用到哪些假设, a、连续性 2、完全弹性 3、均匀性 4、各向同性 5、小变形假设即形变和位移均是微小的平衡微分方程和几何方程:物体的连续性、均匀性、小变形物理方程:全部用到 2、简述弹性力学应力、应变、体力和面力的符号规定(可用文字说明)。正的切应力对应正的切应变吗, 应力:截面的外法线沿坐标轴正向，则此截面为正面，正面上的应力沿坐标轴正向为正、负向为负。相反，负面上的应力沿坐标轴负向为正、正向为负。 应变:线应变以伸长时为正、缩短时为负;切应变以直角变小时为正、变大时为负。体力:沿坐标轴正方向为正、沿坐标轴负方向为负。 面力:沿坐标轴正方向为正、沿坐标轴负方向为负。 正的切应力对应正的切应变。(图)τxy与τyx均为正的切应力，它们的作用是使DA与DB间的夹角有减小的趋势，而根据切应变定义，此时应变为正。 3、简述平面问题的几何方程是如何得到的, a、先求出一点沿坐标轴x、y的线应变ξx、ξy。
《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2－1 是 2－2 是 2－3 按习题2－1分析。 2－4 按习题2－2分析。 2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。 2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。 2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。 2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。 2－10 参见本章小结。 2－11 参见本章小结。 2－12 参见本章小结。 2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）应力边界条件（假设)。 2－14 见教科书。 2－15 见教科书。 2－16 见教科书。 2－17 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 2－18 见教科书。 2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。 第三章习题的提示与答案 3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力， （3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3－3 见3-1例题。 3－4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是： 主要边界： 所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；上边界有向下的法向面力q。 次要边界： x=0面上无剪切面力作用；但其主矢量和主矩在x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。 3－5 按半逆解法步骤求解。 （1）可假设 （2）可推出 （3）代入相容方程可解出f、，得到 （4）由求应力。 （5）主要边界x=0,b上的条件为 次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 读者也可以按或的假设进行计算。 3－6 本题已给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即 而在次要边界y=0 上，已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0， 使本题无解），可用积分条件代替： 3－7 见例题2。 3－8 同样，在的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。
弹性力学教材习题及解 答 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃 钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没 有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力 应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足 线性弹性关系。 2－1. 选择题 a.所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不 同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截 面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边
界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。 2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如