高中二年级上 数学 第七章 数列与数学归纳法
7.5 数学归纳法的应用（1）
一、填空题
1．用数学归纳法证明：当*
∈N n 时，153222221-+++++n 是31的倍数；当1=n 时，原式为 ，从1+→k k 时，需添加的项是 .
2．用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．
3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a= ，b ，c= ________．
4．用数学归纳法证明23212
42
n n n +=++++ ，则当+=k n 1时左端应在k n =的基础上加上 ．
5. 已知n
n n n n f 21312111)(+++++++= ，则=+)1(n f ________ ___。 6．已知平面内有n 条直线(n ∈N *)，设这n 条直线最多将平面分割成f (n )个部分，则f (n ＋1)等于 .
7. 证明)(2
1214131211*N n n n ∈>-+++++ ，假设k n =时成立，当+=k n 1时，左端增加的项数是 项.
8. 记凸k 边形的内角和为)(k f ，则凸1+k 边形的内角和)()1(k f k f =++ .
9. 用数学归纳法证明“凸n 边形的对角线有
2
)3(-n n 条”的第一步是验证n= 成立。 10. 已知数列}{n a 的递推公式：11-=a ，n n n a a a -+=+111，*∈N n ，则=2018a 。
二、选择题
11．利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
<1(n ∈N *，且n ≥2)时，第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是 （ ）
A ．增加了12k ＋1这一项
B ．增加了12k ＋1和12k ＋2
两项 C ．增加了12k ＋1和12k ＋2
两项，同时减少了1k 这一项 D ．以上都不对 12．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是 ( )
A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确
B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确
C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确
D ．假使n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N *)
13．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是 ( )
A ．P (6)成立则P (5)成立
B ．P (6)成立则P (4)成立
C ．P (4)成立则P (6)成立
D ．对所有正整数n ，P (n )都成立
14. 某个命题与自然数n 有关，若)(*
N n k n ∈=时命题成立，那么可推得当+=k n 1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得
A. 当时，该命题不成立
B. 当时，该命题成立
C. 当n=4时，该命题不成立
D. 当n=4时，该命题成立
三、解答题
15、用数学归纳法证明：当n 为任意正整数时，11649-+n n
能被64整除
16．平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成
个部分。
17．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n .
18. 求证：n
n n n n 21
21
11
21
121
4131211+++++=--++-+-
19. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式2
12)1211()511)(31
1(+>-+++n n 成立。
20. 若不等式24131312111a n n n n >++++++++ 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。