周专题复习一 有理数的相关概念
一、四基训练与知识梳理
考点一 数轴
规定了________、_______和_______的直线叫做数轴．
1．下列数轴的画法正确的是（ ）
考点二 相反数
只有___ ____的两个数互为相反数．数a 的相反数是_______．
2． 12
-的相反数是 ． 考点三 绝对值
在数轴上，表示数a 的点到_______的距离，叫做
数a 的绝对值，记作a ，正数的绝对值是_______，负数
的绝对值是_______，0的绝对值是_______，即
3．－6的绝对值是 ．
4．数轴上到原点的距离等于4的数是 ．
考点四 有理数的分类
5．把下列各数的序号填在相应的数集内：
①1 ②﹣ ③+3.2 ④0 ⑤ ⑥﹣6.5 ⑦+108 ⑧﹣4 ⑨﹣6
（1）正整数集合{ …} （2）正分数集合{ …}
（3）负分数集合{ …} （4）负数集合 { …}．
6．最小的正整数是__________，最大的负整数是__________．
二、重点破解与思维拓展
重点破解：
例1 比－3.1大的非正整数的个数是（ ）
A ． 2
B ．3
C ．4
D ． 5
例2 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．3
D ．﹣3
例3点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b .对于以下结论：
甲：b -a <0； 乙：a +b >0；丙：|a |<|b |； 丁：
0b a >. 其中正确的是（ ） A ．甲乙 B ．丙丁
C ．甲丙
D ．乙丁
0 1 D
例4 绝对值不大于2的所有整数为 ．
变式：1．12
-的绝对值的相反数是____________________。 2．数轴上与2-这个点的距离等于6个单位长度的点所表示的数是 ． 例5 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如下图所示，化简： |a －b |＋|b +c |－|a －c | 。
思维拓展：
例6 如图，用菱形纸片，按规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸
片，则n 的值为（ ）
A ．505
B ．504
C ．503
D ．502
例7 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中
一共有4个小圆圈，第②
个图形中一共有10个小圆
圈，第③个图形中一共有
19个小圆圈，…，按此规
律排列，则第⑦个图形
中小圆圈的个数为（ ）
A ．64
B ．77
C ．80
D ．85
例8 如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向
左移动3 个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点A N ，如果
点A N 与原点的距离不小于20，
那么n 的最小值是 ．
例9 按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，
按照此规律方框内的数字应为 ．
有理数的概念 知识点一、有理数的概念及分类 1、正数与负数： 正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数； 负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。 正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。 “0”既不是正数，也不是负数。 在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量： 向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。 盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？ 水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？ 2、有理数：整数与分数统称为有理数 注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数； （2）无限不循环小数不是有理数，如π ； （3）正数和零统称为非负数；
注意：0 既不是正数，也不是负 数，是唯一的中性数 （4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。 3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。 例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。 4、有理数“0”的作用： 随堂练习 1、气温下降2度记?2°C，那么上升3度表示为°C . 2、用+20米表示前进20米，那么?15米表示. 3、如果向北走10 m记作+10 m，那么?6 m表示（）. A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m 4、有理数包括（）. A 、整数、分数和零 B 、正有理数、负有理数和零 C 、正数和负数D、正数和分数 5、下列说法中，正确的是（）. A 、在有理数中，零的意义表示没有 B 、一个数不是正数就是负数
有理数的混合运算 一．会用三个概念的性质 1. 如果a, b互为相反数，那么a+b=0, a=-b 2. 如果c, d互为倒数，那么cd=1, c=1/d 3. 如果︱x︱=a, 那么x=a 或 x=-a 二．运算技巧 1. 归类组合；讲不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合，将同类数（如正数或负数）归类计算 2. 凑整；将相加可得整数的数凑整，讲相加得零的数（如互为相反数）相消 3. 分解；将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式 4. 约简；将互为倒数的数或有倍数的数约简 5. 倒序相加；利用运算律，改算运算顺序，简化计算 例计算2+4+6+ (2000) 6. 正逆用运算律；正难则反，逆用运算定律以简化计算。如a(b+c)=ab+ac. 反之ab+ac=a(b+c) 三．思想方法：转化 1. 通过绝对值将加法，乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术的加法，乘法 2. 通过相反数和倒数分别将减法，除法转化为加法，乘法 3. 通过将乘方运算转化为积的形式 有理数加、减、乘、除、乘方测试（一） 一．选择题 1.计算3 -?=（） (25)
2. B.－1000 D.－30 3. 计算2223(23)-?--?=( ) 4. B.－54 C.－72 D.－18 5. 计算1 1(5)()555 ?-÷-?= 6. C.－5 7. 下列式子中正确的是（ ） 8. A.4232(2)(2)-<-<- B. 342(2)2(2)-<-<- 9. C. 4322(2)(2)-<-<- D. 234(2)(3)2-<-<- 10. 422(2)-÷-的结果是（ ） 11. B.－4 D.－2 12. 如果210,(3)0a b -=+=，那么1b a +的值是（ ） 13. A.－2 B.－3 C.－4 二.填空题 1.有理数的运算顺序是先算 ，再算 ，最算 ；如果有括号，那么先算 。 2.一个数的101次幂是负数，则这个数是 。 3.7.20.9 5.6 1.7---+= 。 4.2 3 2(1)---= 。 5.67 ()()51313 -+--= 。 6.211()1722- --+-= 。 7.737 ()()848 -÷-= 。 8.21 (50)()510 -?+ = 。 三.计算题、2 (3)2--? 12411()()()23523+-++-+- 11( 1.5)4 2.75(5)42 -+++-
第一讲有理数 【1.1正数与负数】 知识点对应训练 知识点1：正数、负数的概念 像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫，根据需要， 有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。正数 前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加 上“—”号的数叫。如-6，，…。“-6”读 作。 【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10，1，-0.5，0，36，52 -，15％，-60， 53 1 -，22.8 解： 1、下列各数 -11 ，0.2，81 -， 7 4 +，1， -1， -a， -30％中， （）一定是正数， （）一定是负数。 知识点2：对“0”的理解。 0既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。它 的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。 【例2】对于“0”的说法正确的有（） ①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度； ③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。 解： 2下列说法正确的有（）。 ①0是最小的自然数； ②0是整数也是偶数； ③0既非正数也非负数； ④一个数不是正数就是负数； ⑤负数也叫非正数。 ⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数． 知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。 相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是 它们都具有数量，而且一定是量。 【例3】下面问题中： （1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变 化记作-3m。 （2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降 3kg，记作-3kg （3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500 元。 （4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m. （5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m. 表述有错误的是（）。 3、用正数和负数表示同一问题中具有相反 意义的量。 ①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局， 记作+2；则三班输一局，记作。 ②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约 15度电记作。 ③如果高于海平面100m记作+100m，那么低 于海平面36m记作。 ④我校的入学检测中，以60分为标准，若 王飞得了85分记作+25分，那么，张生得 了45分记作。
《有理数》课标解读与教材分析 113中刘阳平 本章的主要内容是有理数的有关概念及其运算。教材从实例出发，由实际需要引入负数，有理数的一些概念，在此基础上，依次学习有理数的加减法，乘除法和乘方运算，并配合有理数的运算，学习科学记数法、近似数和有效数字的基本知识，以及使用计算器作简单的有理数运算。 一、教学目标 根据《数学课程标准》中的陈述，我们得到本章的教学目标如下： （1）.使学生体会具有相反意义的量，并能用有理数表示。 （2）.能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义。 （3）.会求有理数的相反数和绝对值(绝对值符号内不含字母)。 （4）.会比较有理数的大小。 （5）.了解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除法和乘方的运算法则，能进行有理数的加、减、乘、除法、乘方运算和简单的混合运算。 （6）.会用计算器进行有理数的简单运算。 （7）.理解有理数的运算律，并能用运算律简化运算。 （8）.能运用有理数的运算解决简单的问题。 （9）.了解科学记数法、近似数和有效数字的有关概念，能对较大的数字信息作合理的解释和推断。 二、知识结构 本章的知识结构如图 （1）数形结合思想。本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点——数轴。有了数轴这个基础，数与形就联系起来了，就可以用数形结合思想解决问题了，，如巩固“具有相反意义的量”的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小比较的道理，理解有理数加法，乘法的意义，掌握运算法则等内容都渗透着数形结合的思想。 （2）分类讨论的思想。本章中关于有理数的分类，就利用了这一思想。 （3）初步的算法思想。有理数的运算法则是学生在中学学习的第一个运算法则，也是第一次渗透这种算法思想。所以《标准》的要求为“掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算”。 （4）对立统一思想。由于本章引入了负数、相反数和倒数的概念，使加与减、乘与除统一起来，在小学数学中，加法与减法、乘法与除法都是对立的，现在则不同了，所以，在这一章中，特别有利于对学生进行“对立统一”思想方法的教
有理数的概念知识梳理 有理数的概念一、目标认知学习目标： 了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。 重点： 有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小 难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。 二、知识要点梳理 知识点一：负数的引入 要点诠释： 正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。 知识点二：正数和负数的概念 要点诠释： （1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。 （2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 （3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： （1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号， 例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数， 若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0； 当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。 知识点三：有理数的有关概念 要点诠释： 1、有理数：整数和分数统称为有理数。 注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。 但是本节中的分数不包括分母是1的分数。 （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。 2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、 3、0、－1、－2、－3等等。 3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。 知识点四：有理数的分类 要点诠释： 1、按整数、分数的关系分类： 2、按正数、负数与0的关系分类： 注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是非正数。 知识点五：数轴的概念 要点诠释： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 知识点六：数轴的画法
一对一七年级数学教师辅导讲义
③正有理数、０统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小)数 ⑴最小的自然数是０，无最大的自然数; ⑵最小的正整数是１,无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数 5．a可以表示什么数 ⑴ａ>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示ａ是负数；反之,a是负数，则a＜0 ⑶a=0表示a是0;反之,ａ是０,,则ａ=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。 相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是０。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负; ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是０。 ２.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是０； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a,b互为相反数,则ａ＋ｂ=０ 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数;互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5)； ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简（如;5ａ+b的相反数是-(5a+b）。化简得－5ａ-b); ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如:-5的相反数是-（-５），化简得5）
熟练应用有理数的运算法则进行有理数运算和整式运算 【问题精讲】 1.要理解相反数、绝对值、倒数、平方、立方等概念的意义和它们之间的联系与区别，这样才能正确解决有关这些概念的问题。 例1 . 相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是正数和零；倒数等于本身的数是1 和-1；平方数等于本身的数是0和1；立方数等于本身的数是-1、0和1。 2.数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有了数轴就使得在数和表示形的最基本元素——点之间建立起了对应关系，为我们利用数形结合的思想解决数学问题奠定了基 础。 通过对数轴上的点所在位置的观察和比较，我们可以知道这些点所表示的数的符号性质和大小关系，从而有利于问题的解决。 例2. a、b、c三数在数轴上对应点如图所示，其中|a|=|c|，则化简|b-c|-|a-b|-|a-c+2b|的结果是什么？（） 解：由图可知： b<0，c<0，a>0，|a|=|c|，|b|>|c| ∴b-c<0，a-b>0，a-c+2b=2a+2b<0 ∴|b-c|-|a-b|-|a-c+2b| =-(b-c)-(a-b)+(a-c+2b) =-b+c-a+b+a-c+2b =2b 化简绝对值的方法是看绝对值符号的式子的符号，而这一符号则又是通过数轴判断出来的。 3.有理数的运算顺序：（1）在加、减、乘、除和乘方五种运算中，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方是三级运算。在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算。即先乘方，再乘、除，最后再算加、减。（2）如有括号，先进行括号的运算。（3）如果只有同一级运算，就从左到右依次运算。（4）根据运算律可以改变上述的运算顺序。 例3，计算： (1) (2) (3) 解：(1)原式 (2)：原式×(-7)×(-7)×7=49 (3)：原式 分析：有理数运算在掌握有理数运算法则的基础上要过两关：一是符号关；二是简便运算关。
有理数的相关概念 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
第一讲有理数的相关概念 【知识要点及巩固】 一、有理数基本概念 1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正 数。正数都大于0。 2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做 负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 注意：正数和负数是表示相反意义的量。 如：南为正方向，向南km 3 -。 3表示为km 1表示为km +，那么向北km 1 3、有理数：整数与分数统称为有理数。 4、无理数：无限不循环小数，如π。 5.有理数的分类： 6.几个重要概念： 注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否 ⑴ 一个有理数不是整数就是分数 （ ） ⑵ 一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑶ 一个整数不是正的，就是负的 （ ） ⑷ 一个分数不是正的，就是负的 （ ） 例2： 1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中： -7.2，4 3 ，-9, 1.4，0, 3.14，π，5 412，-2.5， 121121112.0，3 6 整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？ 例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？ （3）第2014个数是正数还是负数排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置
七年级奥数教学讲义 七年级奥数讲义 第一章《有理数》 要求：掌握基本概念和基本运算技能会灵活应用运算律和运算法则解题。 同号相加号不差，绝对值要相加；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑； （异号相加取绝大，大绝要把小绝压；）谁同0加谁当家，相反数相加0自夸。 遇到减法细观察，改变符号再相加。乘除符号意义大，同正异负莫出差； 谁同0乘0自夸，互为倒数1当家。混合运算顺序化，乘方乘除再相加； 运算律的好处大，合理运用能简化；分配侓，别漏乘，定符号，再相乘。 括号由里小中大，切记负号别拉下。认真仔细基础打，长大当个科学家。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 1-1 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 注：“0”的9 种说法：（1）既不是正数也不是负数的数．（2）最大的非正数．（3）最小的非负数．（4）与其相反数相等的数．（5）最小的非负整数．（6）最大的非正整数．（7）最小的自然数．（8）绝对值最小的有理数．（9）没有倒数的数． 4、有理数的概念 【定义】：整数与分数统称为有理数（注意：所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。） ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数
有理数的计算方法与技巧 有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。 一、四个原则： ①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。 二、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) = (－0.5 + 2.75) + (3 41－721) = 2.25－4 41 =－2
解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) =－0.5 + 341+ 2.75－72 1 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －2 1)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． ②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例：计算：--+-+-116223445513116 38. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。 解：原式=-++--+-()()(.)116116223513445 38 =-+=-81 7 例：计算：19＋299＋3999＋49999 解：19＋299＋3999＋49999 =20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．
有理数的有关概念和分类 知识要点 1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number ），例如：12，-53 ，155 ，实际上所有的整数都可以写成分数的形式． 2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： 3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数 4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；②从直观上看a a -与是互为相反数。 一、夯实基础 (一)选择题 1.下列表示的数轴中，正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 2.有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( ) A ．b ＞c ＞0＞a B ．a ＞b ＞c ＞0 C ．b ＞0＞a ＞c D ．a ＞c ＞b ＞0 3.如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则点D 所表示的数是( ) A ．10 B ．9 C ．6 D ．0 4. 下 列 结 论 正确 的 有 （ ） ①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若a ＜－1，则a ，－a ，1a ，-1 a 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． 6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3 B ．－1 C ．5 D ．－1或3 7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等 D ．n 与q 相等 8. 已知两个有理数a ，b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0 C ．a ，b 异号 D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大 9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s,到达点A 后立即返回,运动7s 到达点B,若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度,则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) ??? ? ?????????? ???负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0???? ?? ???????? ?负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数有理数0
有理数的相关概念 教学目标： 掌握有理数的基本性质及相关概念并能实现灵活应用； 教学重难点分析： 重点：1、有理数中的知识与概念； 难点：1、绝对值、有理数知识的灵活应用； 知识点梳理： 1、正数与负数； 3、数轴； 4、相反数； 5、绝对值； 6、有理数比较大小； 知识点1、正数与负数 【例1】在8.5，-2.1，+4,0.6，，0中，是负数的是_________。 【例2】水位上升20m记作+20m，则-30m表示______________，水位不升不降记为__________。 【例3】某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在____℃至_____℃范围内保存才合适。 【例4】某图纸上说明：一种零件的直径是mm，下列尺寸合格的是【】 A.30.05mm B.29.08mm C.29.97mm D.30.01mm 【例5】七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均分数为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分，则这五名同学的实际成绩分别是多少分？
【随堂练习】 1、把下列各数分别填入相应的集合里． ()88.1,5,2006,14.3,722,0,34,4++----- 正数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 整数集合：｛ …｝； 分数集合：｛ …｝。 2、上升3.5米记作_________米；下降5.3米记作__________米。 3、某冷库的温度是16-℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是__________。 4、某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 克至 克. 5、排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的。现检查4个排球的质量，超过规定质量的记做正数，不足规定质量的记做负数。1—4号排球检查结果如下＋15，－10，＋30，－20，那么哪一号排球的质量好些【 】 A.1号 B.2号 C.3号 D.4号 6、某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“60030（ml ）”的字样，那么30ml 表示什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，588ml ，568ml ，628ml ，问抽查的产品是否合格？ 7、光明牛奶再一次质量检测中，测得七袋牛奶的质量分别为498克、500克、503克、496克、497克、502克、504克。这七袋牛奶质量的平均值是多少？ 以平均值为标准（超出为正、低于为负），用正、负数分别表示出他们对应的数。
华东师大版七年级数学练习卷（二） 班级＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿ 座号＿＿＿＿ （有理数的概念） 一、填空题：（每题 2 分，共 24 分） １、如果零上 5℃记作＋5℃,那么零下3℃记作＿＿＿＿＿。 ２、－2 的相反数是＿＿＿＿＿。 ３、化简：－（＋3）＝＿＿＿＿＿。 ４、－ 的绝对值是＿＿＿＿＿。 ５、绝对值为 2，符号是“－”的数是＿＿＿＿＿。 ６、化简：－ ＝＿＿＿＿＿。 ７、比较大小：0＿＿＿＿－3 ８、绝对值小于 3 的整数有＿＿＿＿＿个。 ９、一个数的相反数是它本身，这个数是＿＿＿＿＿。 10、－（－2）表示的意义是 －2 的＿＿＿＿＿数。 11、比 －2 大而比 3 小的整数有＿＿＿＿＿个。 12、在数轴上与原点距离为 2 个单位的点所表示的数是＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 3 分，共 18 分） １、下列各数中，是正数的有（ ） －3，－（－1），＋（－），０，，－ Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个 ２、如果向东为正，那么－6千米就是表示（ ） A 、向东走 6 千米 B 、向北走 6 千米 C 、向南走 6 千米 D 、向西东走 6 千米 ３、下列各组数中，互为相反数的是（ ） A 、－0.75 和 Ｂ、－ 和 0.2 Ｃ、 和 Ｄ、2 和 －(－2) ４、下列各图中，所表示的数轴正确的是（ ） Ａ、 Ｃ、 Ｄ、 ５、a 为有理数，则下列结论正确的是（ ） A 、－a 的负有理数 B 、 是正数 Ｃ、 是非负数 Ｄ、＝a ６、有理数 a 、b 在数轴上对应点如图所示，下列各式正确的是（ ） Ａ、 ＞ b Ｂ、a ＜ －b Ｃ、a ＞ b Ｄ、 ＜ 三、１、画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： 0 -1 1 2 0 -1 1 2h ttp
有理数综合训练（讲义） ? 课前预习 1. 思考下列问题： （1）什么是数轴，数轴的作用有哪些？ （2）什么是相反数，怎么找一个数或一个式子的相反数？ （3）什么是绝对值，绝对值法则是什么？ 2. 学习定义概念一般按照“关键词拆解；典型例子；反例或特例；正反面对比”的 顺序进行．以相反数为例，请回答下列问题： （1）相反数的定义是什么？ （2）-a 表示什么？-(-a )表示什么？ （3）在数轴上两个相反数有什么特征？ （4）互为相反数的两个数和是多少？ （5）“一个数的相反数一定是负数”对吗？请举例说明． （6）“符号不同的两个数互为相反数”对吗？请举例说明． 3. 下列说法中正确的是___________． ①一个数的绝对值一定是正数； ②只有负数的绝对值是它本身； ③互为相反数的两个数的绝对值相等； ④若|x |=|y |，则x =-y ； ⑤若x =-y ，则|x |=|y |； ⑥若a ＜b ，则|a |＜|b |． 4. 下列各式一定成立吗？ ①22()a a =-； ②33()a a =-； ③22a a -=-； ④33a a =．
? 知识点睛 1. 学习定义概念分以下几个层次： ①定义概念中要点拆解（关键词拆解）； ②举例子（什么是，什么不是），举特例； ③概念辨析（正反对比，等价表述，数学表示）； ④固定情景下应用，知识间组合应用； ⑤迁移类比． ? 精讲精练 1. 对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ） A ．-a 2-b 2 B ．-a C ．-|a +1| D ．-|a |-1 2. 如果m n =，那么m ，n 的关系是（ ） A ．互为相反数 B ．相等 C ．m n =±且0n ≥ D ．m 是n 的绝对值 3. 已知a ，b 为有理数，下列说法： ①若a ，b 互为相反数，则1a b =-； ②a 2=(-a )2，a 3=|a 3|； ③若a +b ＜0，ab ＞0，则|3a +4b |=-3a -4b ； ④若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ⑤若a +b =0，则a 3+b 3=0； ⑥若|a -b |+a -b =0，则b ＞a ； ⑦|a |-a 的结果必为负数． 其中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知有理数a ，b 满足20ab <，0a b +>，且2a =，3b =，则21 (1)3 a b - +-的值为__________．
【中考命题趋势】 本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。 【知识点归纳】 一、有理数的基本概念 考点1．负数 ⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4) -） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 ???????????????????????????????????????????????????????负数，有理数数轴相反数概念绝对值有理数的大小比较倒数加法减法乘法有理数 运算除法乘方混合运算科学记数法近似数和有效数字
例题： 例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。 例2：收入—2000元，表示 。 考点2．有理数 ⑴定义： 整数： 正整数、零和负整数统称为整数。() ...2,1,0,1,2....-- 自然数：正整数和零。()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5????- ??? ???????? 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。 【注】π，以及π的倍数都不是分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 ⑵ 有理数分类 ① 按有理数的定义分类 ②按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 ⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数） ⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。 ⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有。 最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 有理数相关的概念 一、选择题 1. （2011江苏连云港，9，3分）写出一个比－1小的数是______． 考点：有理数大小比较。 专题：开放型。 分析：本题答案不唯一．根据有理数大小比较方法可得． 解答：解：根据两个负数，绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，所以可以填﹣2．答案不唯一． 点评：比较有理数的大小的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 2. （2011?南通）如果60m 表示―向北走60m‖，那么―向南走40m ‖可以表示为（ ） A 、﹣20m B 、﹣40m C 、20m D 、40m 考点：正数和负数。 分析：本题需先根据已知条件得出正数表示向北走，从而得出向南走需用负数表示，最后即可得出答案． 解答：解：60m 表示―向北走60m‖，那么―向南走40m‖可以表示﹣40米．故选B ． 点评：本题主要考查了正数和负数，在解题时要能根据正数和负数分别表示什么意义是本题的关键． 3. （2011陕西，1，3分） 32-的相反数是（ ） A ．2 3- B ．2 3 C ． 3 2 D ．3 2- 考点：倒数。 专题：计算题。 分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1 除以这个数． 解答：解：3 2- 的倒数为， 1÷（3 2- ）=2 3- ， 故选：A ． 点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用1除以这个数即是．
4.（2011四川广安，1，3分）一3的倒数是（） A．1 3 B． 1 3 -C． 1 3 ±D．3 考点：倒数专题：有理数 分析：乘积等于1的两个数互为倒数，所以－3的倒数是1÷（－3）＝ 1 3 -． 解答：B 点评：一般地，()0 a a≠的倒数为1 a ，并且一个数与它的倒数符号相同． 5.（2011四川凉山，1，4分）0.5 -的倒数是（） A．2 -B．0.5C．2 D．0.5 - 考点：倒数． 专题：计算题． 分析：根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，－0.5×（－2）＝1即可解答．解答：解：根据倒数的定义得：－0.5×（－2）＝1，因此倒数是－2．故选A． 点评：本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 6.（2011台湾，10，4分）在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为何（） A．13 B．14 C．16 D．17 考点：有理数大小比较。 分析：根据45的因子有1，3，5，9，15，全部删除后，即可得出第10个数的值． 解答：解：∵1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除， 而45的因子有1，3，5，9，15，所以全部删除后， 由小到大排列，第10个数为：14． 故选：B． 点评：此题主要考查了有理数中数的因子的性质，找出45的因子是解决问题的关键． 7.（2011重庆市，1，4分）5的倒数是
有理数运算的几种特殊方法 王尧兴 有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 一、倒序相加法 例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。 分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。 解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。① 再将S各项倒过来写为 S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。② \ 将①，②两式左右分别相加，得 从而有 说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。 另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数 用n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式： 来计算。 二、错位相减法 例2 计算的值。 分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。 解：设，① 所以②
【 ②－①，得，所以。 说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。 三、裂项相减法 例3 计算 分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋……＋100想到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。 解：原式 说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用。 … 四、换元法 在有理数运算及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。 例4 计算： 分析：四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示它以简化计算。
课 题 一、有理数的基本概念 考点1．负数 ⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4) -） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 例题： 例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。 例2：收入—2000元，表示 。 考点2．有理数 ⑴定义： 整数： 正整数、零和负整数统称为整数。() ...2,1,0,1,2....-- 自然数：正整数和零。()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5????- ??? ???????? 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。 【注】π，以及π的倍数都不是分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 ⑵ 有理数分类 ① 按有理数的定义分类 ②按正负分类 正整数 正整数
整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 ⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数） ⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。 ⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有。 最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。 例题： 例1：7 6%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31 -?--??，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。 例2：下列说法正确的是：（ ） ⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。 ⑶ 一个有理数不是分数就是正数。 ⑷ 整数不是奇数就是偶数。 ⑸ 0是最小的有理数。⑹ 3.1415926 不是分数 ⑺ 正整数和负整数统称为整数。⑻ 奇数是正数 ⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽ —0.6是分数 ⑾ 0不是正数也不是负数。 ⑿ 0是自然数，不是整数。 ⒀ 没有最小的有理数。 【中考链接】 例⒈（2009绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“－5℃”表示的意思是 。 例⒉（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A ．-1 B. 0 C.1 D.2 例⒋（2010新疆乌鲁木齐）在2,1,2,0--这四个数中负整数是（ ）