《数学物理方法》各章节作业题
要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2017级硕士生杨昊、张晓)处。例如，第一周星期四讲
完第一章，则第二周星期四上课时交第一章的作业，以此
类推。
说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。
（第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出）
希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：）
辅导答疑安排：学生与助教通过微信确定每次辅导答疑的时间和地点
辅导答疑教师：杨昊、张晓
第一部分复变函数论
“第一章复变函数的一般概念”作业题（3月8日交）
第5页（第三版）第6页（第四版）：
第1题中（1），（2），（4），（6），（10）；
第2题中（1），（2），（3），（7）；
第3题中（2），（3），（7），（8）；
第9页（第三版）第8页（第四版）：
第2题中（1），（3），（7），（9）；
第3题。
“第二章复变函数的导数”作业题（3月12日交）
第13页（第三版）第12页（第四版）：习题；
第18页（第三版）第16页（第四版）：
第1题；
第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）；
第23页（第三版）第20页（第四版）：
第1题
第3题。
“第三章复变函数的积分”作业题（3月19日交）
第38页（第三版）第31页（第四版）：
第1题，第2题；
补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分
?-l z dz α的物理意义。
补充题2：计算()?-l
n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。
“第四章 复数级数”作业题（3月29日交）
第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题；
第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）；
第60页（第三版） 第47页（第四版）：
（1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）；
第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。
“第五章 留数定理”作业题（4月5日交）
第71页（第三版） 第55页（第四版）：
第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）；
第2题中（1），（4）；
第3题；
第81页（第三版） 第63页（第四版）：
第1题中（4），（5），（7），（8）；
第2题中（4），（6）；
第3题中（1），（2），（7），（8）。
第二部分 积分变换
“第一章付里叶(Fourier)变换”作业题（4月12日交）
第91页（第三版）第72页（第四版）：
第2题；第3题；第4题中（2），（4）；第5题中（2）；
第6题中（1）。
第103页（第三版）第81页（第四版）：
第1题；第3题；第5题。
“第二章拉普拉斯(Laplace)变换”作业题（4月19日交）
第122页（第三版）第95页（第四版）：
习题中（1），（2）；
第127页（第三版）第99页（第四版）：
第1题中（2），（4）；第2题，第5题，第7题，第8题，
第10题；
第131页（第三版）第103页（第四版）：
第1题中（1），（3）；第4题，第6题，第7题，第9题。
第三部分数学物理方程
“第一章方程和定解条件的导出”作业题（4月30日交）
第152页（第三版）第121页（第四版）：
第2题，第3题，第4题，第5题；
第161页（第三版）第128页（第四版）：
第1题，第2题，第3题，第6题；
第169页（第三版）第134页（第四版）：
第1题中（1），（3），（5）；
第2题中（2），（4），
第179页（第三版）第142页（第四版）：
第1题，第2题，第4题，第5题。
“第二章直角坐标系中方程的分离变量法”作业题（5月14日交）第201页（第三版）第160页（第四版）：
第2题，第3题，第4题，第8题，第9题，第11题，
第14题，第18题，第19题，第26题。
补充题：半无界杆，杆端x=0有谐变热流Bsinωt进入。求长时间以后的杆上温度分布u(x,t)。
“第三章球、柱坐标系中方程的分离变量法”作业题（5月28日交）第237页（第三版）第190页（第四版）：第1题，第3题；
第243页（第三版）第194页（第四版）：
第3题，第4题，第5题。
“第四章球函数”作业题（6月4日交）
第296页（第三版）第240页（第四版）：
第3题，第4题，第7题，第9题；
第324页（第三版）第262页（第四版）：
第2题。
“第五章柱函数”作业题（6月14日交）
第346页（第三版）第280页（第四版）：
第5题，第7题，第11题，第13题。
“第六章非齐次泛定方程的解法”作业题（选做）
第215页（第三版）第171页（第四版）：第1题，第6题；第387页（第三版）第313页（第四版）：第1题，第3题。
线性规划建模及单纯形法 思考题 主要概念及内容： 线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式； 可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。 复习思考题： 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及它 们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个 最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什 么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情 况下，继续第二阶段？ 作业习题 1、将下列线性规划问题化为标准型
（1）?????? ?≥=--+-≥-+-≤+-++-+=0 ,,953413 223183622453max 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）?????? ?≤≥=+-+-≥-+--≤--++++=0 ,0,152342722351 232243min 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 2、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）： ??? ??≥≤++-≤++0,,124326 3323 21321321x x x x x x x x x （2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解. ??? ??? ?≥=-=+-+=+++++=)6,,1(00 310 24893631223max 615 32143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j 3、用图解法求解下列线性规划问题 （1）???????≥≤≤+≤-+=0 ,31223622max 2112 12 12 1x x x x x x x x x z （2）?????≥≥-≥++-=0 ,155356 743min 2121212 1x x x x x x x x z 4、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。 ??? ??≥≤-+≤++-+=0,,44622max 3 21321321321x x x x x x x x x x x x z 5、用单纯形法求解以下线性规划问题 （1）??? ??≥≤+-≤-+=0,533223max 2 121212 1x x x x x x x x z （2）?????≥≤-=++-=0,,12212 432max 3 213 23213 2x x x x x x x x x x z 6、用大M 法及两阶段法求解以下线性规划问题
07级工管运筹学期末习题课 一、考虑线性规划问题（P ）max 0 z CX AX b X ==?? ≥? （1） 若12,X X 均为（P ）的可行解，[0,1]λ∈，证明12(1)X X λλ+-也是（P ） 的可行解； （2） 写出（P ）的对偶模型（仍用矩阵式表示）。 二、有三个线性规划： (Ⅰ) [Min] z =CX (Ⅱ) [Min] z =CX (Ⅲ) [Min] z =CX 约束条件AX =b 约束条件AX =b 约束条件AX =b X 0 X 0 X 0 已知 X 是(Ⅰ)的最优解，X 是(Ⅱ)的最优解，X *是(Ⅲ)的最优解，Y 是(Ⅰ)的对偶问题的最优解， 试证：（1）()()'-'-≤**C C X X 0； (2) C X X Y b b ()()***-≤-。 三、已知线性规划问题 ?? ? ??=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03.00)(max 2 253232221212 143132121115 43322111Λj x t b x x a x a x a t b x x a x a x a st x x x c x c x t c z j 当1t ＝2t ＝0时，用单纯形法求得最终表如下： 要求：1. 确定23222113121121321,,,,,,,,,,a a a a a a b b c c c 的值； 2. 当2t ＝0时，1t 在什么范围内变化上述最优解不变； 3. 当1t ＝0时，2t 在什么范围内变化上述最优基不变。 1x 2x 3x 4x 5x 3x 5/2 0 1/2 1 1/2 0 1x 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 j j z c - -4 -4 -2
图6-31 人教版九年级物理《第十六章电压 电阻》练习题 一 。选择题(40分) 1．小新用西红柿制作了一个水果电池，他用一片铜片和一片锌片制作了它的两个电极， 做好该西红柿电池后，小新用电压表测量了它的电压，你觉得它的电压有多高？（ ） A ．3V B ．220V C ．1.5V D ．0.2V 2．关于电源，下列说法中正确的是( ) A ．是提供电荷量的装置 B ．是提供电流的装置 C ．是提供电压的装置 D ．是提供用电器的装置 3．用电压表分别测量电路中两盏电灯的电压，结果它们两端的电压相 等，由此判断两盏电灯的连接方式是：（ ） A ．一定是串联 B ．一定是并联 C ．串联、并联都有可能 D ．无法判断. *4．如图6-31所示，电源电压为6V ，当开关S 闭合后，只有一灯泡 发光，且电压表示数为6V ，产生这一现象的原因可能是（ ） A ．灯L 1处短路 B ．灯L 2处短路 C ．灯L 1处断路 D ．灯L 2处断路 5．图6-32所示电路中，电源电压不变，开关S 闭合，灯L 1和L 2都 正常发光，一段时间后，突然其中一灯熄灭，而电流表和电压表的示数都 不变，出现这一现象的原因可能（ ） A ．L 1短路 B ．L 2短路 C ．L 1断路 D ．L 2断路 6．由同种材料制成的三根电阻丝，已知它们的长度关系L 1＞L 2＝L 3，横截面积的关系 为S 1=S 2＜S 3,现将它们串联接入电路，关于它们的电阻和通过他们的电流，正确的是 （ ） A ．R 1＜R 2=R 3 ，I 1=I 2=I 3 B ．R 1＝R 2＞R 3， I 1=I 2＞I 3 C ．R 1＞R 2＞R 3，I 1＞I 2＞I 3 D ．R 1＞R 2＞R 3， I 1=I 2=I 3 7．在如图6-33（a ）所示电路中，当闭合开关后，两个 电压表指针偏转均为图6-33（b ）所示，则电阻R 1和R 2两端 的电压分别为（ ） A ．4.8V ， 1.2V B ． 6V ， 1.2V C ．1.2V ， 6V D ．1.2V ， 4.8V 8．一个灯泡接在三节串联的铅蓄电池上，才能正常发光 如果现在用两个同样的灯泡串联后仍接在这个铅蓄电池上，则这两个灯泡将（ ） A ．较亮 B ．较暗 C ．正常发光 D ．烧坏 9.如图6-34所示.开关S 闭合后，将电压表并联在ab 处时读数是0V ；并联 在bc 处时读数是6V ，整个电路中没有电流，其电路故障是（ ） A. L 1灯丝断路 B.L 2灯丝断路 C.电池耗尽无电压 D.L 2灯丝短路 10.某同学使用电压表时，估计待测电路中的电压应选用0~3V 的量程，但他误 用0~15V 的量程来测量。这样做的结果是 ( ) A.指针摆动角度大，会损坏电压表 B.指针摆动角度小，会损坏电压表 C.指针摆动角度小，读数比较准确 D.指针摆动角度小，读数不够准确 图6-32 图6-34 图6-33 2
第十六章《电压电阻》单元复习课 【复习目标】： 1.学生能初步认识电压，知道电压的作用及电源是提供电压的装置 ;学生知道电压的单位及单位换算，能记住常见电压值 ; 学生能认识电压表，了解电压表的用途与符号，并会正确使用用电压表测电压（包括连接、读数、选择量程）。 2、学生知道串联电路和并联电路的电压的特点及应用。 3、学生知道电阻的单位及换算，能够理解电阻是导体本身的一种性质，用控制变量法研究电 阻的大小与导体的材料、长度、横截面积和温度的关系。 4、了解变阻器的构造，理解它的工作原理，知道正确使用变阻器的方法。 5、运用串、并联电路的电流与电压关系去分析简单的电路问题等。 【重点、难点】： 1.【重点】：（ 1） . 电压表的使用方法 ; （ 2） . 运用串并联电路中的电压规律解题； （ 3） . 变阻器的使用方法及在电路中的作用。 2.【难点】：（ 1） . 电路的连接； （2） . 变阻器的使用，会用控制变量法探究影响电阻大小的几个因素； （3） . 识别电压表测的是哪段电路两端的电压；进行电路故障分析。 【学具准备】多媒体课件和学生导学案 【前置准备】多媒体展示本章思维导图 【教学过程】：
1.【视频播放】：《电人的烦恼》 ------ 现实版的“霹雳贝贝”片段 2.【设疑】：众说周知 : 不高于 36V 电压为安全电压。“手拿菜刀砍电线，一路火花带闪电。”为什么视频中 220 伏电压穿胸，灯泡竟然亮了起来，人却安然无恙？ （设计意图：通过观看视频《电人的烦恼》 ------ 现实版的“霹雳贝贝”片段，激发学生学习 兴趣；设疑，进一步激发学生探索知识的欲望。） 二、专题复习·画龙点睛 （一）、考点一：电压及电压表的使用 1.【回眸要点·夯实基础】 （1）．要在一段电路中产生电流，它的两端要有，所以的作用是使电路中产生电流。是提供电压的装置。 （2）. 电压的单位是, 1V=mV,1mV=μ V。 （3）. 一节干电池的电压 _____一个蓄电池的电压 _____. 对入体的安全电压.家庭照明电路电压 _______. 动力电压 ________. （4）．正确使用电压表要注意： ①. 电流只能从电压表的接线柱流入，接线柱流出； ②. 电压表应该联在电路中； ③. 被测电压超过电压表的量程； ④. 读数时，应该认清所用量程及其对应的分度值，如果选用0～ 15 V的量程，则其分度值为； ⑤. 如果把电压表直接与电源两极相连；则测量的是两端的电压。 【答案】：（ 1）．电压、电压、电源（2）.V、1000、1000 （3）.1.5V 、 2V、不超过 36V、 220V、 380V（ 4）．正、负、并、不、 0.5V、电源
第十六章《电压电阻》复习提纲 一、电压（U） （一）电压的作用 1．电压是形成电流的原因：电压使电路中的自由电荷定向移动形成了电流。电源是提供电压的装置。 2．电路中获得持续电流的条件：①电路中有电源（或电路两端有电压）；②电路是连通的。 注：说电压时，要说“某某”两端的电压，说电流时，要说通过“某某”的电流。 3．在理解电流、电压的概念时，通过观察水流、水压的模拟实验帮助我们认识问题，这里使用了科学研究方法“类比法” （类比是指由一类事物所具有的属性，可以推出与其类似事物也具有这种属性的思考和处理问题的方法） （二）电压的单位 1．国际单位：伏特（V）常用单位：千伏（kV）、毫伏（mV）、微伏（μV）换算关系：1Kv＝103V1V＝103mV 1mV＝103μV 2．记住一些电压值：一节干电池1．5V 一节蓄电池2V 家庭电压220V 人体的安全电压不高于36V （三）电压测量： 1．仪器：电压表，符号：○V 2．量程和分度值: 电压表有三个接线柱，两个量程．使用“-”和“3”两个接线柱时，量程是0～3 V，分度值“0.1 V”；使用“-”和“15”两个接线柱时，量程是0～15 V，分度值“0.5 V”．(大量程是小量程的5倍，大分度值也是小分度值的5倍)，指针位置相同，则示数也是5倍关系 3．使用规则：两要、一不 ①电压表要并联在电路中。 ②电流要从电压表的“正接线柱”流入，“负接线柱”流出。否则指针会反偏。 ③被测电压不要超过电压表的最大量程。 Ⅰ危害：被测电压超过电压表的最大量程时，不仅测不出电压值，电压表的指针还会被打弯甚至烧坏电压表。 Ⅱ选择量程：实验室用电压表有两个量程，0～3V和0～15V。测量时，先选大量程，用开关试触，若被测电压在3V—15V可直接测量，若被测电压小于3V则换用0～3V量程，若被测电压大于15V则换用更大量程的电压表。 调零；读数时看清量程和分度值；正接线柱流入，负接线柱流出；不能超过量程。 （五）利用电流表、电压表判断电路故障 1．电流表示数正常而电压表无示数： “电流表示数正常”表明主电路为通路，“电压表无示数”表明无电流通过电压表，则故障原因可能是：①电压表损坏；②电压表接触不良；③与电压表并联的用电器短路。 2．电压表有示数而电流表无示数 “电压表有示数”表明电路中有电流通过，“电流表无示数”说明没有或几乎没有电流流过电流表，则故障原因可能是：①电流表短路；②和电压表并联的用电器开路，此时电流表所在电路中串联了大电阻（电压表内阻）使电流太小，电流表无明显示数。 3．电流表电压表均无示数 “两表均无示数”表明无电流通过两表可能是：①两表同时短路外；②最大的可能是主
《 运筹学》综合练习题 第一章 线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页1.1题 2、教材44页1.4题 3、教材45页1.8题 4、教材46页1.13题 5、教材46页1.14题 6、补充：判断下述说法是否正确 ● LP 问题的可行域是凸集。 ● LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。 ● LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 ● 若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. ● 求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 "-'=j j j x x x ,其中∶ ≥"' j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现 "' j j x x . ● 当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可 断言原LP 模型一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于0.2%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元
2013版人教版九年级物理《第十六章电压电阻》知识点汇总 第一节电压 1、电压： 电压使电路中自由电荷定向移动形成电流，电源是提供电压的装置。 电压的符号是U，单位为伏特（伏，V）。比伏特大的有千伏（kV），比伏特小的有毫伏（mV），1 kV＝103 V，1V＝103mV，1 kV＝106 mV 要在一段电路中产生电流，它的两端就要有电压。 2、电压表： 测量电路两端电压的仪表叫电压表，符号为○V，其内阻很大，接入电路上相当于开路。 量程使用接线柱* 表盘上刻度位置大格代表值小格代表值 0～3V “-”和“3”下一行1V 0.1V 0～15V “-”和“15”上一行5V 0.5V 在0～15V量程读出的示数是指针指向相同位置时，在0～3V量程上读出的示数 的5倍。 * 部分电流表的三个接线柱是“+”、“3”和“15”。这时“3”和“15”是负 接线柱，电流要从“+”流入，再从“3”和“15”流出。 正确使用电压表的规则： ①电压表必须和被测的用电器并联。 如果与被测用电器串联，会因为电压表内阻很大，此段电路开路而无法测此用电器两段的电压。如果被测用电器在支路上，这时电压表测的是其他支路两端的电压；如果被测用电器在干路上，则整个电路便成开路了，这时电压表测的是电源电压。 ②“+”“－”接线柱的接法要正确，必须使电流从“＋”接线柱流进电压表，从“－”接线柱流出来。 否则电压表的指针会反向偏转。 ③被测电压不能超过电压表量程。若不能预先估计待测电压的大小时，应选用最大量程进行试触。 若被测电压超过电压表的量程将使指针转出刻度范围把指针打弯或把电压表烧坏。若指针偏转超过最大值则应断开开关检查；如果指针偏转幅度太小（小于3V），会影响读数的准确性，应选用小量程档。 ④电压表的两个接线柱可以直接连到电源的两极上，此时测得的是电源的电压值。 使用电表前，如果指针不指零，可调整中央调零螺旋使指针调零。 常见的电压：家庭电路电压——220V 对人体安全的电压——不高于36V 一节干电池的电压——1.5V 每节铅蓄电池电压——2V 3、电池组电压特点： ①串联电池组的电压等于每节电池电压之和； ②并联电池组的电压跟每节电池的电压相等。
习题及参考答案 第3章 刚体力学 参考答案 思考题 3-1刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 （A ）刚体不受外力矩的作用。 （B ）刚体所受合外力矩为零。 (C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 (D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 答：（B ）。 3-2如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻 绳的定滑轮。A 滑轮挂一质量为M 的物体， B 滑轮受拉力F ，而且F =Mg 。设A 、B 两 滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮 轴的摩擦，则有 （A ）βA = βB （B ）βA > βB （C ）βA < βB （D ）开始时βA = βB ，以后βA < βB 答：（C ）。 3-3关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B)取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 (D)只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无 答：（C ）。 3-4一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对转轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。 答：（C ）。 3-5光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点o 且垂直于 杆的竖直光滑固定轴自由转动，其转动惯量为2 13mL ， 起初杆静止，桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向 运动，如图所示，当两小球同时与杆的两个端点发生完全 非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 A M F 思考题3-2图 v 思考题3-5图
最全的运筹学复习题及 答案78213
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
第十六章电压电阻 第1节电压 ●教学目标 一、知识目标 1．初步认识电压，知道电压的作用，电源是提供电压的装置； 2．知道电压的单位，能对电压的不同单位进行换算； 3．记住干电池、家庭电路及人体安全电压的电压值； 4．知道电压表的用途及符号，会正确使用电压表，能正确地读出电压表的示数。 二、能力目标 1．通过实验观察小灯泡亮度的变化，获得电路中电流的强弱信息，使学生具有初步的观察能力、分析和推理的能力。 三、德育目标 1．通过对学生正确使用电压表技能的训练使学生学会阅读说明书，养成严谨的科学态度和工作作风。 教学重点建立电压的初步概念；通过实验观察理解电压的作用。 教学难点电压表的正确选择、连接及读数 教学方法实验法、观察法 教具准备干电池若干、灯座、小灯泡、开关、导线若干、电压表、电流表、投影仪、家用手电筒教学过程 一、引入新课 电与我们的生活息息相关。“电压”这个词听起来也不陌生。同学们知道哪些知识与电压有关呢？ 手电筒里电池有电压，电压值是1.5 V。电子表和电动玩具车里用的电池也有电压。高压线上有电压，人不能靠近。 ……到底什么是电压？电压是哪来的？ 同学们说得都很好。下面我们一起来探究什么是电压。 二、进行新课 ［探究］什么是电压？ 请两位同学在黑板上画出串联电路图并利用干电池、小灯泡及导线、开关连接串联电路。电路检查无误后，闭合开关，请同学们观察。 取走干电池，补上一段导线，再闭合开关，请同学们观察。［生］小灯泡不亮。 导线和灯丝都是金属制成的，不是有大量自由移动的电子吗？为什么灯不发光呢？ 只有电子产生了定向移动，才能形成电流，小灯泡才会发光。 取走电源，换上导线，导线中虽然有大量的自由电子，但不发生“定向”移动，所以没有电流，小灯泡不亮。 ［生］电路中必须有电源，才能使电路中的自由电子产生定向移动，电路中才会有电流。 也就是电源的两极间存在着某种“力量”迫使整个电路中的电子产生了定向移动。我们就把电源两极间的这种作用称为“电压”。 ［板书］电压是使电路中形成电流的原因，而电源是提供电压的装置。不同的水泵可以使水管两端产生不同的水压，不同的电源在电路两端产生的电压也不相同。 改变电路中接入的电池的多少，请同学们仔细观察，灯泡的亮度相同吗？ 接入两节电池时比用一节电池时灯亮。 这样的现象说明了什么问题呢？ 用一节电池做电源和两节电池做电源的电压不同，不同的电压产生的效果不同。 电源的电压越大，电路中的电流就越大，灯泡就越亮。 电压的符号是“U”。电压的单位是“伏特”，简称为“伏”，单位符号是“V”。电压常用的单位还有：“毫伏（mV）”“微伏（μV）”“千伏（kV）”它们之间的换算关系是：1 kV=103V 1 mV=10-3V 1 μV=10-6
《运筹学参考综合习题》 （我站搜集信息自编，非南邮综合练习题，仅供参考） 资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师） 可能出现的考试方式（题型） 第一部分填空题（考试中可能有5个小题，每小题2分，共10分） ——考查知识点：几个基本、重要的概念 第二部分分步设问题（即是我们平常说的“大题”，共90分） ——参考范围： 1、考两变量线性规划问题的图解法（目标函数为max z和min z的各1题） 2、考线性规划问题的单纯形解法（可能2个题目：①给出问题，要求建立线性规划模型，再用单纯形迭代表求解；②考查对偶问题，要求写出原问题的线性规划模型之后写出其对偶问题的线性规划模型，然后用大M法求解其对偶问题，从而也得到原问题的最优解） 3、必考任务分配（即工作指派）问题，用匈牙利法求解。 4、考最短路问题（如果是“动态规划”的类型，则用图上标号法；如果是网络分析的类型，用TP标号法，注意不要混淆） 5、考寻求网络最大流（用寻求网络最大流的标号法） 6、考存储论中的“报童问题”（用概率论算法模型解决） ——未知是否必考的范围： 1、运输规划问题（用表上作业法，包括先求初始方案的最小元素法和将初始方案调整至最优的表上闭回路法）； 2、求某图的最小生成树（用破圈法，非常简单） ※考试提示：可带计算器，另外建议带上铅笔、直尺、橡皮，方便绘图或分析。
第一部分 填空题复习参考 一、线性规划部分： ㈠基本概念：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 由图解法得到的三个结论：①线性规划模型的可行解域是凸集； ②如果线性规划模型有唯一的最优解的话，则最优解一定是凸集（可行解域）的角顶； ③任何一个凸集，其角顶个数是有限的。 ㈡有关运输规划问题的概念：设有m 个产地A i （i=1，2，…，m ），n 个销地B j （j=1，2，…，n ）, A i 产量（供应量）S i ，B j 销量（需求量）d i ，若产、销平衡，则：∑∑===n j j m i i d s 1 1 二、网络分析中的一些常用名词： 定义：无方向的边称为边；有方向的边称为弧。 定义：赋“权”图称为网络。 定义：有向图中，若链中每一条弧的走向一致，如此的链称为路。闭链称为圈。闭回路又称为回路。 定义：在图G 中任两点间均可找到一条链，则称此图为连通图。无重复边与自环的图称为连通图。 定义：树是无圈的连通图。 树的基本性质：①树的任两点之间有且只有一条链； ②若图的任两点之间有且只有一条链，则此图必为树；
二章 2-２质量为1６kg 的质点在xOy 平面内运动,受一恒力作用,力的分量为f x ＝6N,ｆy =－7N. 当t ＝0时,x =ｙ＝0,v ｘ＝－２m·s － 1，v y ＝0．求当ｔ＝2s 时质点的位矢和速度． 解：2s m 8 3 166-?=== m f a x x 2s m 16 7 -?-= = m f a y y (１） ??--?-=?-=+=?-=?+-=+=201 01 200s m 8 7 2167s m 4 5 2832dt a v v dt a v v y y y x x x 于是质点在s 2时的速度 1s m 8 745-?--=j i v (2） m 8 74134)16 7(21)483 2122(2 1)21(220j i j i j t a i t a t v r y x --=?-+??+?-=++= ２-6一颗子弹由枪口射出时速率为ｖ0m·s －１ ,当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力 为F ＝(a －b ｔ)N(a ，b 为常数），其中ｔ以s 为单位： (１）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2）求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量. 解: （１）由题意，子弹到枪口时，有 0)(=-=bt a F ,得b a t = (2）子弹所受的冲量 ?-=-=t bt at t bt a I 022 1 d )( 将b a t = 代入,得 b a I 22= (3)由动量定理可求得子弹的质量 2 02bv a v I m = =
2-8如题２－8图所示,一物体质量为2kg ，以初速度v ０=３m·s -1从斜面Ａ点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止,然后又被弹回．求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 . 题2-８图 解： 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 ??? ???+-=-37sin 212122mgs mv kx s f r 22 2 137sin 21kx s f mgs mv k r -?+= 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据,解得 -1m N 1390?=k 再次运用功能原理，求木块弹回的高度h ' 2o 2 1 37sin kx s mg s f r -'='- 代入有关数据,得m 4.1='s ， 则木块弹回高度 m 84.037sin o ='='s h 五章 5-7试说明下列各量的物理意义． (1) 12 kT ；(2）32kT ;(3)2i k Ｔ; (4）2mol M i M RT ；(5）2i R Ｔ；(６)32 R Ｔ. 解：(1)在平衡态下,分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k 2 1 T ． (2)在平衡态下,分子平均平动动能均为 kT 2 3 ． (3)在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量均为 kT i 2 . (4)由质量为M ,摩尔质量为mol M ,自由度为i 的分子组成的系统的内能为 RT i M M 2 mol .
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。 六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。 八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3 六、已知线性规划问题 应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25 七、已知线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4 其对偶问题的最优解为Y l﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。 七、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： 八、已知线性规划问题
二章 2-2 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为f x ＝6 N ，f y ＝－7 N.当t ＝0时，x ＝y ＝0，v x ＝－2 m·s － 1，v y ＝0.求当t ＝2 s 时质点的位矢和速度. 解： 2s m 8 3166-?===m f a x x (1) 于是质点在s 2时的速度 (2) 2-6 一颗子弹由枪口射出时速率为v 0 m·s － 1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F ＝(a －bt )N(a ，b 为常数)，其中t 以s 为单位： (1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量. 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(=-=bt a F ,得b a t = (2)子弹所受的冲量 将b a t = 代入，得 (3)由动量定理可求得子弹的质量 2-8 如题2-8图所示，一物体质量为2 kg ，以初速度v 0＝3 m·s － 1从斜面A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为8 N ，到达B 点后压缩弹簧20 cm 后停止，然后又被弹回.求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度. 题2-8图 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据，解得 再次运用功能原理，求木块弹回的高度h ' 代入有关数据，得 m 4.1='s , 则木块弹回高度 五章 5-7 试说明下列各量的物理意义. (1) 12 kT ； (2)32kT ； (3)2i kT ； (4)2mol M i M RT ； (5) 2i RT ； (6) 32 RT . 解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k 2 1 T ． (2)在平衡态下，分子平均平动动能均为 kT 2 3.
《运筹学》--- 数据、模型与决策练习题 2010年9月 一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30
运筹学作业2（清华版第二章部分习题）答案
解：根据原一对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为: m n maxw a i U i i 1 j 1 b j V j U i V j C ij i 1,111 |,m; j 1,川 ,n 2. 2判断下列说法是否正确，为什么？ （1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解; 答：错。 运筹学作业2 （第二章部分习题）答案 2. 1题（P. 77）写出下列线性规划问题的对偶问题： maxz 2x 1 2x 2 4x 3 s.t x 1 3x 2 4x 3 2 (1) 2x 1 x 2 3x 3 3 x 1 4x 2 3x 3 5 x 1 0, x 2 0,x 3无约束 解：根据原一对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为: maxw 2y 3y 2 5y 3 s.t y i 2y 2 y 3 2 3y i 讨2 4y3 2 4y i 3y 2 3y 3 4 y i 0 ，y 2 °』3 0 (2) min z qX j i 1 j 1 qX j a i ,i 1,|| ,m 1 CM b j , j 1,|| ,n 1 0,i 1,|||,m;j 1」|| m n n j 1 n j 1 ,n X j U i 无约束，v j 无约 束
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。 max z 3 X i X2 例如原问题X i X2 1有可行解，但其对偶问题 s.t. x2 3 X i 0, X2 0 min w y i 3 y 2 y i 3无可行解。 s.t. y i y2 i y i 0, y2 0 （2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：错，如（i）中的例子。 （3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极 小,原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函 数值。 答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。 （4）任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 答：正确。 2. 5给出线性规划问题 max z X i 2 X2X3 X i X2 X3 2 X i X2 X3 i s.t. 2 X i X2 X 3 2 X i 0, X2 0, X3 0 写出其对偶问题；（2）禾I」用对偶问题性质证明原问题目标函数值z i
1．已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形表法迭代后得到的表1，试求括号中未知数a-l的数值。 解： （1）X5是基变量，检验数l=0 （2）x1是基变量，则，g=1，h=0 （3）x4行乘以1/2得到迭代后的x1行 所以，f=6*1/2=3, b=2，c=4，d=-2 （4）x4行乘以1/2加到x5行上，得到迭代后的x5行 所以，c*1/2+3=i，i=5，d*1/2+e=1, e=2 （5）迭代前为初始单纯形表，价值系数为初始表检验数 所以，x2价值系数为-1，x3价值系数为2，x4价值系数为0 则，-7=-1-（2a-0*i），所以a=3 j=2-（-a）=5；k=0-（1/2*a+1/2*0）=-3/2 即，a=3，b=2，c=4，d=-2，e=2, f=3, g=1, h=0, i=5, j=5, k= -3/2, l=0 2.已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯
解：初始单纯形表中的单位矩阵，在最终单纯形表中变化为B -1 (1) ????????????--=-21043041411 h i l B ????? ?????=????????????????????? ?--==-2/54/254/520152********** 'b h i l b B b 在最终表中，x 4是基变量，所以l =1 所以，b=10，i=-1/4，h=-1/2 (2) ????? ?????=??????????????????????----==-0102121210414304141111'1a p B p 则a=2 （3）???? ??????=??????????????????????----==-1001121210414304141121'2c p B p 则c=3 以此类推其它未知数取值。 即，a=2 b=10 c=3 d=1/4 e=5/4 f=-1/2 g=-3/4 h= -1/2 i= -1/4 j= -1/4 k=0 l=1 3.给出线性规划问题 ???? ? ????=≥≤++ ≤+ + ≤+≤+++++=) 4,...,1(09 66283.42max 3 214 3 2 2 1 42 14 321j x x x x x x x x x x x x st x x x x z j 要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接写出对偶问题的最优解。 解：（1）其对偶问题为 ???? ?????=≥≥+≥+ ≥++ +≥+++++=) 4,...,1(01 14322.9668min 3 14 3 432 142 1 4321j y y y y y y y y y y y y st y y y y w j （2）根据对偶理论知，4,2,2321===x x x 均绝对大于零，所以其变量对应的对偶问题