带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中做偏转运动
1.如图所示的真空管中，质量为m,电量为e的电子从灯丝F发出，经
过电压U i加速后沿中心线射入相距为d的两平行金属板E、C间的匀
强电场中，通过电场后打到荧光屏上，设E、C间电压为U2, B>C
板长为l i,平行金属板右端到荧光屏的距离为
I 2，求：
⑴电子离开匀强电场时的速度与进入时速度间的夹角.
⑵电子打到荧光屏上的位置偏离屏中心距离.
解析：电子在真空管中的运动过分为三段，从F发出在电压U i
作用下的加速运动；进入平行金属板B、C间的匀强电场中做类
平抛运动；飞离匀强电场到荧光
屏间的匀速直线运动.
2
eU1mv1
2
电子进入B、C间的匀强电场中，在水平方向以作
用做初速度为零的加速运动，其加速度为：
eE eU 2 a =
m dm
⑵电子通过匀强电场时偏离中心线的位移
1 eU
2 I： U2I；
------- ?---- = --------
2
2 dm v1 4U1d
电子离开电场后，做匀速直线运动射到荧光屏上，竖直方向的位移
电子打到荧光屏上时，偏离中心线的距离为
U2I1 I1
“yr 二禹（“）
⑴设电子经电压U i加速后的速度为v i,根据动能定理有:
电子通过匀强电场的时间
电子离开匀强电场时竖直方向的速度V y为:
V y 二at
电子离开电场时速度V2与进入电场时的速度V i夹角
为a （如图5）则
eU 2J
m dv 1
tg -
V y eU2I1 v1
mdv2
U2I1
2U1d
= arctg
U2I1
2U i d
3 y2 Ttg：
U2I1I2
2U1d
v i的速度做匀速直线运动，竖直方向受电场力的
y^^at2
2
h
2.如图所示，在空间中取直角坐标系 Oxy ，在第一象限内平行于 y 轴的虚线MN 与y 轴距离为d , 从y 轴到MN 之间的区域充满一个沿 y 轴正方向的匀强电场，场强大小为 E 。初速度可以忽略的电 子经过另一个电势差为 U 的电场加速后，从 y 轴上的A 点以平行于x 轴的方向射入第一象限区域, A 点坐标为(0，h )。已知电子的电量为 e ，质量为 m ，加速电场的电势差
略不计，求:
(1)电子从A 点进入电场到离开该电场区域所经历的时间
t 和离开电场区域时的速度 v ;
电子经过x 轴时离坐标原点 O 的距离I 。 解析:
x ，= v o t ' , y ，= h — y = h — ； t = V y t ' 则 l = d + x'= d + V o t ' d + v o (——严)=
V y 2 代入解得
带电粒子在电场中做圆周运动
3. 在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为 小球，另一端固定于 O 点。将小球拉起直至细线与场强平行，然后 无初速释放，则小球沿圆弧作往复运动。已知小球摆到最低点的另 一侧，线与竖直方向的最大夹角为 二(如图)。求：
(1) 匀强电场的场强。
(2) 小球经过最低点时细线对小球的拉力。
解：(1)设细线长为I ，场强为E ，因电量为正，故场强的方向为水平向右。
从释放点到左侧最高点，由动能定理有 W G ，W E
=0，故mglcosv - qEl (1 si nd)，解得
mg cos )
电子的重力忽
由 eU = 2 mv o * 2
设电子从MN 离开，则电子从 A 点进入到离开匀强电场区域的时间
2 Ed 2
at = EU
Ed 2
>Ed ，说明 y < h , 4h
(1)
得电子进入偏转电场区域的初速度
V 0
d
, m 1 t =
v o = d
莉；y =
1
因为加速电场的电势差 说明以上假设正确
离开时的速度 v = V o 2 + v y 2 = m eEd m 2eU =
m 2eU
2eUeE 2d 2 m +
2mU
(2)设电子离开电场后经过时间
t 到达x 轴, 在x 轴方向上的位移为
d +vo h - 2 = d +vo h V y 2 2 V y
m 、电量为+ q 的带电
U 所以 v y = at = eE d
m
O
2
由牛顿第二定律得 T 「mg =m V ，联立解得T =mg[3 2c °^-]
l 1+sin 日
4.
如图所示，水平轨道与直径为 d=0.8m 的半圆轨道相
接，半圆轨道的两端点
A 、
B 连线是一条竖直
线，整个装置处于方向水平向右， 大小为103V/m 的匀强电场中，一小球质量 m=0.5kg,带有q=5X10-3C 电量的正电荷，在电场力作用下由静止开始运动，不计一切摩擦， g=10m/s 2,
(1)若它运动的起点离 A 为L ,它恰能到达轨道最高点 B ,求小球在B 点的速度和L 的值.
从静止运动到B 有
2
v ---
mg =m ,v = . Rg =2m/s,
R
qEL -mgd
1
2
mv B 2
2qEL -2mgd
（2 分）
t = ^2^ = 0.4s x = v ；t =善J2m s = J d 2 + x 2
5.如图所示，在 E = 103
V/m 的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置， 水
平绝缘轨道 MN 连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径 R= 40cm, 一4C 的小滑块
质量为 m = 40g ，与水平轨道间的动摩因数 」=0.2 ，取g = 10m/s 2： (1) 要小滑块能运动到圆轨道的最高点 L ,滑块应在水平轨道上离 N 点多远处释放? (2) 这样释放的滑块通过 P 点时对轨道压力是多大？ ( P 为半圆轨道中点) d *t 2
二 2.4m ,轨道与一 一带正电荷
q = 10
，求： (2)若它运动起点离 A 为L=2.6m , 且它运动到B 点时电场消失, 它继续运动直到落地，求落地点
与B 点的距离.
(1)因小球恰能到 B 点，则在
B 点有
2 mv B
mg =
d/2
=2m /s （ 1 分）
小球运动到 B 的过程，由动能定理
1 2 qEL - mgd
mv B
2 （1 分）
1 mv B mgd
qE
：mg d
qE
（1 分）
(2)小球离开B 点,
电场消失, 小球做平抛运动，设落地点距 B 点距离为 s , 由动能定理小球
gd
（1 分）V B
解析：(1)滑块刚能通过轨道最高点条件是
2.如图所示，在空间中取直角坐标系Oxy，在第一象限内平行于y轴的虚线MN与y轴距离为d,
EqS —,!mgS—mg 2R = 1 mv2
滑块由释放点到最高点过程由动能定理:
代入数据得：S= 20m
(2)滑块过P点时，由动能定理:
在P点由牛顿第二定律:
2
mv p
代入数据得：N = 1.5N
m
S =
Eq _|Jmg
DUD 1 2 1 2
—mgR—EqR mv —mv P
2 2
>2( g H 旦)R
m
2
V p二
v2
N -Eq = R
.N =3 mg Eq
6.如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点0,用一根长度为丨=0.40 m的绝缘
细线把质量为m=0.20 kg，带有正电荷的金属小球悬挂在
竖直方向的夹角为^=37°.现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，求:
o点，小球静止在B点时细线与
(1)小球
运动通过最低点C时的速度大小.(2)小球通过最低点C时细线对小球的拉力大小.(3)如果要使小
球能绕o点做圆周运动，则在A点时沿垂直于OA方向上施加给小球的初速度的大小范围。(g 取10
2
m/s , sin 37°=0.60, cos 370=0.80)
解: (1)小球受到电场力gE逼力吨和鍵的拉力咋用处于静
11,根擔并点力平輻条件
有:
= mg tun 37* =
—
对于小球从A点运动到C贰的过程.根据动能定理有：
mg! ~ qEi -规能，
篇得小球通过C点时的速度吟=吨-时--J2
(2)设小球在最低点时细线对小球的拉力为八瞿据牛顿第二定律有；
T _谧
f ? m
g = m
解得：T=3 N
7.如图所示，在匀强电场中一带正电的小球以某一初速度从绝缘斜面上滑下，并
沿与斜面相切的绝缘圆轨道通过最高点. 已知斜面倾角为300,圆
轨道半径为R,匀强电场水平向右，场强为E,小球质量为m，带电
量为仝叩，不计运动中的摩擦阻力，则小球至少应以多大的初速度
3E
滑下？在此情况下，小球通过轨道最高点的压力多大？
解析：小球的受力如图9所示，从图中可知：
E
图8
速度最小，为V B = Rg ' =. 2 3 Rg ，由功能关系可得:
^mv A^^mv B +2Rmg ，
2 2
此即为小球沿斜面下滑的最小速度. 设C 点的速度为V c ，贝V
1 2
mv c 2
V c = J v B
十29只(1 -cos 日)=”竽 Rg + 竽 Rg (1 -弓)
2
小于球通过最高点C 时，向心力由重力和轨道压力提供，因而有：
mv C
N mg =只
2
mv C m(2￡3 —2)Rg
厂
N C
- mg
mg=(2.3-3)mg
三、带电粒子在交变电场中的偏转
8?如图甲所示，A 、B 是在真空中平行放置的金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀 强电场。 A 、B 两板间距d =15cm 。今在A 、B 两极上加如图乙所示的电压，交变电压的周期
T =1.0 X 0-6s ； t =0时，A 板电势比B 板电势高，电势差 U ° =108V 。一个荷质比 卫=1.0沐0*C/kg 的 m 带负电的粒子在t =0时从B 板附近由静止开始运动，不计重力。问：
(1) 当粒子的位移为多大时，粒子速度第一次达到最大值？最大速度为多大? (2) 粒子运动过程中将与某一极板相碰撞，求粒子撞击极板时的速度大小。
u/V
U o
:T/2 T 3T/2 : 2T
1
I ? ( ： I 1 I F
T/3 5T/6 4T/3
:
t
解：⑴ 带负电的粒子电场中加速或减速的加速度大小为
t g 「=qE 3mgE ,3 mg 3Emg 3 ?所以带电小球所受重力和电场力的合力始终垂直于斜面，
小球在斜面上做匀速直线运动，其中 F 亠 cos 6
2.. 3 T mg
把小球看作处于垂直斜面向下的等效力场
F 中，等效力加速度
g'= m F
二2, 3
g ,小球在E 点的 3
I 2
V A 二 V B 4Rg ,
二
镖 Rg+4R^g =
1033
Rg
1 2
mv B 二 mg 'R(1 _cosn)
2
-U 0 1
qU ii 2 a=d = 7.2 K0 m/s
md
5
v =at =2.4 X 0 m/s
（2） —个周期内粒子运动的位移为 s 0 =2 X —a — — 2 x 1a~T =6 xio_2m
2
T 丿 2 W 丿 由此可以判断粒子在第三个周期内与 B 板碰撞，因为n 二丄=2.5
S 0
—2
在前两个周期内粒子运动的位移为 S 2 =2s o =12 X 10 m
在第三周期内粒子只要运动 .-s =3cm 即与B 板碰撞，可知在第三周期的前 —内某时刻就与 B 板
3
碰撞。v = 2a i s =2 . 0 X io ' m/s 9.两块水平平行放置的金属板如图 （甲）所示，大量电子（已知电子质量为 m 、电荷量为e ）由静止开
始，
经电压为U o 的电场加速后，连续不断地从两板正中间沿水平方向射人两板间?当两板均不带电时， 这些电子通过两板之间的时间为
3切 当在两板间加如图（乙）所示的周期为 2址 幅值恒为U 的周期
性电压时，恰好能使所有电子均从两板间通过?求 （1）这些电子飞离两板间时，侧向位移 （即竖直方向上的位移）的最大值S ymax ； （2）这些电子飞离两板间时，侧向位移的 最小值S ymin 。
[ii
可猎电■于的flfc 小側 穆 为
荷量为q 的粒子组成的粒子束，从 AB 的中点O 以平行于金属板方向 OO 勺速度v o = 3qUo
—射入,
10.如图（a ），平行金属板 A 和B 间的距离为 d , 现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压,
t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为
U ）,反向值也为 U.现有由质量为 m 的带正电且电
3dm
当粒子的位移为
4.0 102m ，速度最大值为 (HO (i)
【A JBU H 电子新畫砸轴力的力向为*轴肝商向'电于在r -0 和￡ - 5时进人两板佃后潜电 场力右向的述償 5斯时间f 变化的巧“ t
禹*分别如网和151"）所示
（[）逊电沪谧两板闻电锁刀n 連时加速度的大小为*（. wi 根何距为E ?冇 CP
=5（5
a md
由 曲 5 ）可得电于的册 大时移为