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2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案理

2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案理
2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案理

第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入

第24讲平面向量的概念及其线性运算

课前双击巩固

1.向量的有关概念及表示

,

说明:零向量的方向是、.

规定:零向量与任一向量.

2.向量的线性运算

(1)

(2)

a-b=

3.向量的共线定理

向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一的实数λ,使 . 常用结论

1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和

为零向量.

2.若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任意一点,则=(+).

3.若A ,B ,C 是平面内不共线的三点,则++=0?P 为△ABC 的重心.

4.在△ABC 中,AD ,BE ,CF 分别为三角形三边上的中线,它们交于点G (如图4-24-1所示),易知G 为△ABC 的重心,则有如下结论: (1)

++=0;

(2)=(+);

(3)=(+),=(+).

图4-24-1

5.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.

题组一常识题

1.[教材改编]-+-+++= .

2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结

论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.

图4-24-2

3.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .

4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ= .

题组二常错题

◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.

5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a

的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|2a0.其中正确结论的序号

是.

6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.

7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.

课堂考点探究

探究点一平面向量的基本概念

1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是 ()

A.a=2b

B.a∥b

C.a=--b

D.a⊥b

(2)给出下列说法:

①若|a|=|b|,则a=b;

②若a∥b,b∥c,则a∥c;

③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;

④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.

其中错误说法的序号是.

[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:

(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.

(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.

(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.

(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.

式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC 上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()

A.=

B.=

C.=

D.=

图4-24-3

(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形

的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()

A.①④

B.③④

C.②③

D.①②

探究点二平面向量的线性运算

考向1平面向量加减法的几何意义

2 (1)[20172南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()

A.1∶1

B.1∶2

C.1∶3

D.2∶1

(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.

[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:

(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;

(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.

考向2平面向量的线性运算

3 (1)[20172西宁一模]如图4-24-4所示,

图4-24-4

在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()

A.+

B.-

C.+

D.-

(2)[20172长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则

=()

A. B. C. D.

[总结反思] 向量线性运算的解题策略:

(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.

考向3利用向量的线性运算求参数

4[20172运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m 的值为()

A.-2

B.-4

C.1

D.4

[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

强化演练

1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()

中职数学(高教版)授课教案复数的几何意义和三角形式

17.3复数的几何意义和三角形式 教学目标 1. 理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数,体会通过图形来讨论复数问题; 2. 知道实轴、虚轴上及各象限内的点所对应的复数的特征,掌握复数的模、幅角的概念及其计算公式,会用计算器求复数的模和幅角。 教学重点 复数的几何意义 复数的模和幅角 教学难点 复数与向量的关系;复数模的几何意义。 【教学过程】 一、问题情景 问题1:对于复数a+bi 和c+di(a,b,c,d ∈R),你认为满足什么条件时,这两个复数相等? (a=c 且b=d ,即实部与虚部分别相等时,这两个复数相等。) 问题2:若把a,b 看成有序实数对(a,b ),则(a,b )与复数a+bi 是怎样的对应关系?有序实数对(a,b )与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系?(一一对应关系) 实数可以用数轴上的点来表示 实数 一一对应 实数轴上的点 (几何模型 ) 问题3:类比实数的性质,你能否找到用来表示复数的几何模型?还能得出复数其他的一些性质吗? 二、建构数学 1、复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做_________,x 轴叫做_______,y 轴叫做______。实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示虚数。 2、复数的几何意义 复数a+bi ,即点Z (a,b )(复数的几何形式)、即向量OZ (复数的向量形式。以O 为始点的向量,规定:相等的向量表示同一个复数。) 三者的关系如右上图

练习 1.下列命题中的假命题是() (A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的数都是纯虚数。 2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的()。 (A)必要不充分 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。 二.复数的模和幅角 向量的模叫做复数Z=a+bi的模(或绝对值),记作或。如果b=0,那么Z=a+bi就是实数a,它的模等于(即实数a的绝对值)。 模的计算公式:_______________________ 注意:1._____________________________ 2.____________________________ 3._________________________________________________________________ 例3 求下列复数的模: (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)

高考数学三角函数与平面向量复习精选

高考数学三角函数与平面向量复习 三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分,它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容,除了要较好的把握知识体系之外,更要把握有关题型、易错点. 一、三角函数问题 1.三角函数的图像和性质 (1)具体要求: ①了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; ②借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π ±α,π±α的正弦、余弦、正切),能画出 y=sinx ,y=cosx ,y=tanx 图像,了解三角函数的周期性; ④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-2π,2π )上的性质(如单调性、最大 和最小值、图象与轴交点等); ⑤理解同角三角函数的基本关系式: sin 2x+cos 2 x=1,x x cos sin =tanx. ⑥结合具体实例,了解y=Asin(ωx+?)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+?)的图 像,观察参数A ,ω,?对函数图像变化的影响; ⑦会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (2)题型示例:这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用,与向量进行综合命题是近年来的发展趋势. 例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+?)( A >0,ω>0,∣?∣<2π )的图像在y 轴上的截距为1,它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2). (1)求f (x)的解析式; (2)用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图; (3)写出函数f (x)的单调区间;

2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算 1.平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角,则m =( ) A .-2 B .-1 C . 1 D .2 2. 在下列向量组中,能够把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3.已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( ) A .-92 B .0 C .3 D.152 4.设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________. 考点3 平面向量的数量积及应用 5.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=___. 6.设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=___. 7.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的 夹角为β,则cos β=________. 8.若向量a ,b 满足:=1,(a +b )⊥a ,(+b )⊥b ,则|=______. 9.设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则=______. 10.在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6 时,△ABC 的面积为______. 考点4 单元综合 11.在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足 |CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________. 练习: 1.已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 .

复数、平面向量与算法(教师版)

高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式,避免卡壳 1.复数z =a +b i(a ,b ∈R )概念 (1)分类:当b =0时,z ∈R ;当b ≠0时,z 为虚数;当a =0,b ≠0时,z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z - =a -b i. (3)z 的模|z |=a 2+b 2. 2.复数的四则运算法则 (a +b i)±(c +d i)=(a ±c )+(b ±d )i ; (a +b i)(c +d i)=(ac -bd )+(bc +ad )i ; (a +b i)÷(c +d i)= ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+ d 2 i(a ,b ,c ,d ∈R ,c +d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件:a ∥b a =λb . 两个非零向量垂直的充要条件:a ⊥b a ·b =0|a +b |=|a -b |. (2)若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2+y 2. (3)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1 )2. (4)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,则cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构;(2)条件结构;(3)循环结构. 活用结论规律,快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2=±2i ; (2) 1+i 1-i =i ,1-i 1+i =-i ; (3)i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z - =|z |2 =|z - |2. 4.三点共线的判定

高考文科数学二轮专题复习:11 复数

专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算.引入虚数,这是中学阶段对数集的最终扩充.需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系,掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除),了解复数的几何表示.由于向量已经单独学习,因此复数的向量形式与三角形式就不作要求,主要解决代数形式. 【知识要点】 1.复数的概念中,重要的是复数相等的概念.明确利用“转化”的思想,把虚数问题转化为实数问题加以解决,而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现. 2.复数的代数形式:z =a +bi (a ,b ∈R ).应该注意到a ,b ∈R 是与z =a +bi 为一个整体,解决虚数问题实际上是通过a ,b ∈R 在实数集内解决实数问题. 3.复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算. 【复习要求】 1.了解数系的扩充过程.理解复数的基本概念与复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时,复数z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决. 解:(1)当m 2-5m -6=0,即m =-1或m =6时,复数z 为实数; (2)当,即m =4时,复数z 为纯虚数; (3)当,即m =-1时,复数z 为零. 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义,需要对复数的实部、虚部加以研究.应该注意到复数的实部、虚部都是实数,解决复数的问题时实际上是在进行实数运算.这一点大家在后面的运算中更加能够体会到. 例2 判断下列命题的对错: ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m

高中数学平面向量复习题及答案

向量 1、在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则( ) A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是( ) A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中,正确的结论为( ) (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件;(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件;(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件;(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1,|AC u u u r |=2,若∠BAC =60°,则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ,且|AB u u u r |=|AD u u u r |,则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证:KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点,最后又改变方向,向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D },求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、(A B +CD )+B C B 、(A D +MB )+(BC +CM ) C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与AB 共线的是 ( ) 第9题图

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()

A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

第六章 平面向量与复数

第六章 平面向量与复数 , 第32课 向量的概念与线性运算 激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简:AB →+CD →+DA →+BC → =________. 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题:①若a ∥b ,则a =b ;②若|a|=|b |,则a =b ;③若|a|>|b|,则a>b ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .其中正确的个数是________. 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ,b ,“a ∥b ”是“a +b =0”成立的________条件. (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF → =________. 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中,若|AB →|=|AC →|=|AB →-AC → |,则△ABC 的形状是________. 知识梳理 1. 向量的有关概念 向量:既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的________(或模). 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量:____________,记作____,其方向是任意的. (2) 单位向量:________________________. (3) 平行向量:________________________,平行向量又称为共线向量,规定0与任一向量共线. (4) 相等向量:________________________. (5) 相反向量:________________________. 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时,将两个已知向量平移到公共起点,和向量是____________的对角线所对应的向量. (2) 运用向量加法的三角形法则时,要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以____________为起点,即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量. 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点,差向量是________的终点指向________的终点的向量.注意方向指向被减向量.

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2)

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7)

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1.复数2 1i =+( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i + 2.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55??- ?? ? D .43,55?? - ??? 3.复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.已知复数()123z i i +=- (其中i 是虚数单位),则z 在复平面内对应点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A B .C .D .6.设1z 是虚数,211 1 z z z =+是实数,且211z -≤≤,则1z 的实部取值范围是( ) A .[]1,1- B .11,22?? - ??? ? C .[]22-, D .11,00,22 ????-?? ????? ? 7.设2i z i +=,则||z =( ) A B C .2 D .5 8.若复数2i 1i a -+(a ∈R )为纯虚数,则1i a -=( ) A B C .3 D .5 9.在复平面内,复数z 对应的点为(,)x y ,若2 2 (2)4x y ++=,则( ) A .22z += B .22z i += C .24z += D .24z i += 10.已知i 是虚数单位,a 为实数,且3i 1i 2i a -=-+,则a =( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1 11.复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 12.已知i 是虚数单位,2i z i ?=+,则复数z 的共轭复数的模是( ) A .5 B C D .3

中职数学数列教案

x x 职业技术教育中心教案

复习引入: 新授: 1. 数列的定义 我们把按一定次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 数列的一般形式可以写成 a1, a2, a3, …,a n,…. 简记作{a n}.其中a1叫做数列的第1项(或首项),a2叫做数列的第2项, …,a n叫做数列的第n 项(n是正整数). 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. 课内练习1 2. 数列的表示形式 数列除了表示成上述形式以外,根据实际情况需要,只要不改变有序这个特,也能以其他形式表示.例如体温记录数列(1),表示成下面的表可能更合适: 当一个有穷数列,随着项号变化,其对应的项的变化没有规律,且数据又要求比较准确时,通常会以列表方式表示.列表表示的一般形式是 在医疗单位,表示病员体温记录的数列(1),更常用的是如下图象表示形式,: 图1-3 图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色.当数列项数不太多而又需要明显地表明其变化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等),把数列用图象形式表示出来,无疑是上策. 3. 数列的通项 对于习惯于以式作为研究对象的你来讲,最乐意见到的,是数列{a n}的第n项a n与n(n是

正整数)之间的关系可以用一个公式 a n =f (n ),n =1,2,3, … 来表示.公式就叫做这个数列的通项公式. 数列的通项公式表示了数列中的任何一项,为了求得第n 项,只要把n 代入到公式中就行了,而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。 例1 根据数列{a n }, {b n }的通项公式,写出它的前5项: (1)a n = 1+n n ; (2)b n =n n 2 1)(-. 例2 写出一个数列的通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)1 1, 2 1, 3 1, 4 1, …; (2)2, -4, 6, -8, …. 课内练习2 1. 怎样表示下面的数列比较合适? (1)全年按月顺序排列的月降水量; (2)打靶10次,按打靶顺序排列的中靶环数; (3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列; (4)一年中12个月的营业额. 2. 已知数列的通项,求其前4项: (1)a n =10n ;(2)b n =n n 1 1+-)(;(3)c n =31n ;(4)d n =n (n +2). 3. 已知数列的前4项,试求出其通项公式: (1)2, -4, 6, -8, 10, …; (2)1, -1, 1, -1, …; (3) 21, 21, 21, 21,…; (4)21, 45, 89, 16 13,…. 4. 已知数列{a n }的通项公式a n =1 2+n n ,8.1是这个数列中的项吗?如果是,是第几项? 小结 作业

(完整版)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知,A (2,3),B (-4,5),则与AB 共线的单位向量是 ( ) A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 ( ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2,1),OA =(1,7),OB =(5,1),设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点),那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b -a)y -a=0和ax+4by+b=0的方向向量,则 a, b 的值分别可以是 ( ) A 、 -1 ,2 B 、 -2 ,1 C 、 1 ,2 D 、 2,1 6、若向量a =(cos ,sin ),b =(cos ,sin ),则a 与b 一定满足 ( ) A 、a 与b 的夹角等于 - B 、(a +b )⊥(a -b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴,y 轴正方向上的单位向量,j i OP sin 3cos 3 ,i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角,则等于 ( ) A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ,已知两个向量 sin ,cos 1 OP , cos 2,sin 22 OP ,则向量21P P 长度的最大值是( ) A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2,0),B(4,0),动点P 在抛物线y 2=-4x 运动,则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标

20高考数学平面向量的解题技巧

20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题. 【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,则MN =______.(用a b 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12 AM a b =+,所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量=CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 21-- (C ) BA BC 21- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 (C )???- ??31,322 (D )???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解:设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5

第06练-平面向量与复数(解析版)

第06练-平面向量与复数 一、单选题 1.已知复数2a i i +-是纯虚数(i 是虚数单位),则实数a 等于 A .-2 B .2 C .1 2 D .-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=,选C. 2.设i 为虚数单位,复数z 满足21i i z =-,则复数z 的共轭复数等于( ) A .1-i B .-1-i C .1+i D .-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则解得1i z =-+,结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-,∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+, ∴复数z 的共轭复数等于1i --,故选B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.虚数()2++x yi ,,x y R ∈,当此虚数的模为1时,y x 取值范围为( ) A .???? B .???? ?? ???? U C .?? D .)( ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 虚数()2++x yi ,得0y ≠,根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠, y x 表示圆上点(去掉与x 轴交

点)与坐标原点的连线的斜率,当连线为圆的切线时为最大和最小值,即可求出结论. 【详解】 虚数()2++x yi ,得0y ≠, 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1, 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠, y x ∴表示圆上的点(去掉与x 轴交点)与坐标原点的连线斜率, 0y x ∴≠,当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时, y x 取得最值,如下图所示,圆心C ,切点分别为,A B , 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= , 切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - , 所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】 本题以虚数的模的背景,考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系,要注意虚数条件,不要忽略,属于中档题. 4.设复数11i z i =+,21z z i =,12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ,OQ uuu v (O 为原点),则OP OQ ?=u u u v u u u v ( ) A .1 2 - B .0

浙江省名校协作体高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题 1.已知复数1=-i z i ,其中i 为虚数单位,则||z =( ) A . 12 B . 22 C .2 D .2 2.已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数,则实数m =( ) A .-1 B .0 C .1 D .0或1 3.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是1z ,2z ,则12z z -=( ) A 2 B .2 C .2 D .8 4.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A 5B .52C .32D .255.已知复数5 12z i =+,则z =( ) A .1 B 5 C 5 D .5 6.若复数z 满足421i z i +=+,则z =( ) A .13i + B .13i - C .3i + D .3i - 7.设复数z 满足方程4z z z z ?+?=,其中z 为复数z 的共轭复数,若z 2,则z 为( ) A .1 B 2 C .2 D .4 8.若复数()4 1i 34i z += +,则z =( ) A . 4 5 B . 35 C . 25 D . 25 9.若1i i z ,则2z z i ?-=( )

A . B .4 C . D .8 10.设复数z 满足41i z i =+,则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 11.已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数,则a b +=( ) A .4 B .2 C .0 D .1- 12.复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线,对应的点在第三象限,且10z =,则z =( ) A .68i + B .68i - C .68i -- D .68i -+ 13.已知i 是虚数单位,设复数22i a bi i -+=+,其中,a b ∈R ,则+a b 的值为( ) A .7 5 B .75- C . 15 D .15 - 14.若i 为虚数单位,,a b ∈R ,且2a i b i i +=+,则复数a bi -的模等于( ) A B C D 15.题目文 件丢失! 二、多选题 16.已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位),则下列说法错误的是( ) A .z 的实部为2 B .z 的虚部为1 C .z i = D .||z =17.已知复数z 满足2 20z z +=,则z 可能为( ). A .0 B .2- C .2i D .2i+1- 18.已知复数z 满足2 20z z +=,则z 可能为( ) A .0 B .2- C .2i D .2i - 19.下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题,其中真命题是( ) A .||z = B .22z i = C .z 的共轭复数为1i -+ D .z 的虚部为1- 20.已知复数12z =-,则下列结论正确的有( ) A .1z z ?= B .2z z = C .31z =- D .2020122 z =- + 21.已知复数(),z x yi x y R =+∈,则( ) A .2 0z B .z 的虚部是yi

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