第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。
一、(15分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在1938年提出的,碳循环反应过程如图所示。图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子p与12C核发生反应生成13N核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下一个循环。已知+e、p和He核的质量分别为0.511
ν的质量可以忽MeV/c2、1.0078 u和4.0026 u(1u≈931.494 MeV/c2),电子型中微子
e
略。
(1)写出图中X和Y代表的核素;
(2)写出一个碳循环所有的核反应方程式;
(3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、(15分)如图,在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆,轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。开始时细杆静止;有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度
v运
0动,与A球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。
(1)求碰后系统的动能(用已知条件和球C碰后的速度表出);
(2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球C的速度和系统的动能。
三、(20分)如图,一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的
瞬间,圆环质心速度v 0与竖直方向成θ(π3π
22
θ<<)角,并同时以角速度0ω(0ω的
正方向如图中箭头所示)绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所
在的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数为k ,重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。
(1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度; (3)若让θ角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。
四、(25分)如图,飞机在距水平地面(xz 平面)等高的航线KA (沿x 正方向)上,以大小为v (v 远小于真空中的光速c )的速度匀速飞行;机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P 点(其x 坐标为P x )发射扇形无线电波束(扇形的角平分线与航线垂直),波束平面与水平地面交于线段BC (BC 随着飞机移动,且在测量时应覆盖被测目标P 点),取K 点在地面的正投影O 为坐标原点。已知BC 与航线KA 的距离为
0R 。天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波,其频率为0f 。
(1)已知机载雷达天线经过A 点(其x 坐标为A x )及此后朝P 点相继发出无线电波信号,由P 反射后又被机载雷达天线接收到,求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差(频移)。
(2)已知BC 长度为s L ,讨论上述频移分别为正、零或负的条件,并求出最大的正、负频移。
(3)已知0s R L >>,求从C 先到达P 点、直至B 到达P 点过程中最大频移与最小频移之差(带宽),并将其表示成扇形波束的张角θ的函数。
已知:当1y <<2
12
y ≈+。
五、(20分)如图,“田”字形导线框置于光滑水平面上,其中每个小正方格每条边的长度l和电阻R分别为0.10 m和1.0 Ω。导线框处于磁感应强度 1.0 T
B=的均匀磁场中,磁场方向竖直向下,边界(如图中虚线所示)与de边平行。今将导线框从磁场中匀速拉出,拉出速度的大小为 2.0 m/s
v,方向与de边垂直,与ae边平行。试求将导线
=
框整体从磁场中拉出的过程中外力所做的功。
六、(23分)如图,一固定的竖直长导线载有恒定电流I,其旁边有一正方形导线框,导线框可围绕过对边中心的竖直轴O1O2转动,转轴到长直导线的距离为b。已知导线框的边长为2a(a b
<),总电阻为R,自感可忽略。现使导线框绕轴以匀角速度ω逆时针(沿轴线从上往下看)方向转动,以导线框平面与长直导线和竖直轴所在平面重合时开始计时。求在t时刻
(1)导线框中的感应电动势E;
(2)所需加的外力矩M。
p
V 1
3V 1
p 3p 2p 5V 1
七、(22分)如图,1mol 单原子理想气体构成的系统分别经历循环过程abcda 和abc a '。已知理想气体在任一缓慢变化过程中,压强p 和体积V 满足函数关系()=p f V 。 (1)试证明:理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可表示为
V pR C C dp p V
dV
π=+
+
式中,V C 和R 分别为定容摩尔热容和理想气体常数; (2)计算系统经bc '直线变化过程中的摩尔热容;
(3) 分别计算系统经bc '直线过程中升降温的转折点在p-V 图中的坐标A 和吸放热的转折点在p-V 图中的坐标B ;
(4)定量比较系统在两种循环过程的循环效率。
八、(20分)如图,介质薄膜波导由三层均匀介质组成:中间层1为波导薄膜,其折射率为1n ,光波在其中传播;底层0为衬底,其折射率为0n ;上层2为覆盖层,折射率为2n ;102n n n >≥。光在薄膜层1里来回反射,沿锯齿形向波导延伸方向传播。图中,i j θ是光波在介质j 表面上的入射角,t j θ是光波在介质j 表面上的折射角。
(1)入射角i1θ在什么条件下光波可被完全限制在波导薄膜里(即光未折射到衬底层和覆盖层中)?
(2)已知波导薄膜的厚度为d ,求能够在薄膜波导中传输的光波在该介质中的最长波长max λ。
已知:两介质j 与k 的交界面上的反射系数(即反射光的电场强度与入射光的电场强度之比)为
i t i t cos cos cos cos jk
i j j k k jk jk j j k k
n n r r e
n n ?θθθθ--=
=+
式中,i j θ和t j θ是分别是光波在介质j 的表面上的入射角和折射角,余类推;正弦函数和余弦函数在复数域中可定义为
sin 2i i e e i θθθ--=
,cos 2
i i e e θθ
θ-+=
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2015年9月19日
一、(15分)
(1)图中X 和Y 代表的核素分别为
15O 和 13C ①
(2)一个循环所有的核反应方程式依循换次序为
1213p C N +→ ② 13
13e N C e ν+→++ ③ 1314p C N +→ ④ 1415p N O +→ ⑤ 15
15e O N e ν+→++ ⑥
15124p N C He +→+ ⑦
(3)整个循环的核反应,相当于
4e 4p He 2e 2+→++ν ⑧
完成一个碳循环过程释放的核能为
4e
2
p e H (42) [(4 1.0078 4.0026)931.49420.511] MeV 25.619 MeV E m M m c ?=--=?-?-?≈
⑨
评分参考:第(1)问4分,X 和Y 正确,各2分;第(2)问6分,②③④⑤⑥⑦式各1分;第(3)问5分,⑧式2分,⑨式3分。 二、(15分) (1)(解法一)
取碰前B 球所在位置O 为原点,建立坐标系(如图)。碰撞前后系统的 动量及其对细杆中心的角动量都守恒,有
0A B x x x m m MV MV =++v v ①
A By 0y y m MV MV =++v ② 0A
B 2222
x x x L L L L
m m M V M V =+-v v ③ 式中,x v 和y v 表示球C 碰后的沿x 方向和y 方向的速度分量。由于轻
杆长度为L ,按照图中建立的坐标系有
222A B A B [()()][()()]x t x t y t y t L -+-= ④
由上式对时间求导得
A B A B A B A B [()()][()()][()()][()()]0
x x y y x t x t V t V t y t y t V t V t --+--=
⑤
在碰撞后的瞬间有
A B A B (0)(0),
(0)(0)x t x t y t y t L ====-==
⑥
利用⑥式,⑤式在碰撞后的瞬间成为
A A
B B (0)(0)y y y y
V V t V t V ≡===≡
⑦ 由①②⑦式得
A By 2y y
m
V V M ==-v
⑧
0v
C
由①②③式得
A 0()x x m
V M
=
-v v
⑨ B 0x V =
⑩ 利用⑧⑨⑩式,碰撞后系统的动能为
222222A Ay Bx By 2222
A Ay 22220111()()()22211 ()(2)
22112 ()224x y x x y x x x y
E m M V V M V V m M V V m M m m m M M
=++++
+=++++=+-+v v v v v v v v ? (解法二)
取碰前B 球所在位置O 为原点,建立坐标系(如图)。设碰撞后,小球C 的运动速率为v ,细 杆中心的运动速度为C V ,细杆绕中心转动的角速度为ω。碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的 角动量都守恒,有
0C 2x x m m MV =+v v
① C 02y y m MV =+v ②
022222
x L L L L m m M ω??=+ ???v v ③
式中,x v 和y v 表示球C 碰后的沿x 方向和y 方向的速度分量。由①②③式得
()c 02x x m
V M =
-v v ④ C 2y y m
V M =-v ⑤
()0x m ML
ω=-v v ⑥
碰撞后系统的动能为
2
22
22C C 111()(2)()22222x y x y L E m M V V M ω??=++
++? ???
v v ⑦ 利用④⑤⑥式,系统动能⑦式可表示成 2222
0112()224x x y m M m E m m M M
+=+-+v v v v ⑧
(2)解法(一)的?式或者解法(二)的⑧式即为
2
2
22
001()21242x y M m m m M m m E m M M m M M m ++??=-
+ ?++?
?v v v +v
? 可见,在条件
0,
x y m M m =+=v v v
? 下,碰后系统动能达到其最小值
22
12m E M m =+v
? 它是小球仅与球A 做完全非弹性碰撞后系统所具有的动能。
评分参考:第(1)问10分,(解法一)①②③④⑤⑦⑧⑨⑩?式各1分;(解法二)①②式各1分,③式2分,④⑤⑥各1分,⑦式2分,⑧式1分;第(2)问5分,??式各2分,?式1分。
三、(20分)
(1)设圆环的质量为m ,它在碰撞过程中受到的地面对它的水平冲量为t I ;碰撞后圆环质心的速度大小为v ,v 与竖直向上方向的夹角(按如图所示的顺时针方向计算)为β,圆环的角速度为ω。规定水平向右方向和顺时针方向分别为水平动量和角速度的正方向。在水平方向,由动量定理有
0sin sin t m m I βθ-=v v ①
由对质心的动量矩定理有
0()()t
rm r rm r rI ωω-=- ②
按题意,圆环在弹起前刚好与地面无相对滑动,因而此时圆环上与地面的接触点的水平速度为零,即
sin 0r βω-=v ③
由题意知
00cos cos 0
k
β
θ-=-v v
④
联立①②③④式得
=
v
⑤ 001
tan (tan )
2cos r k ωβθθ=-+v ⑥ 001
(sin )
2r r
ωωθ=+v
⑦ (2)若圆环与地面碰后能竖直弹起,则其速度与竖直方向的夹角
0β=
将上式代入⑥式得,使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件为
00
sin r ωθ=-
v
⑧
在此条件下,在与地面刚刚碰后的瞬间有
0ω=,0cos k θ
=-v v ⑨
即圆环做竖直上抛运动。圆环上升的最大高度为
222222220
00cos ()222k k r h g g g
θω-===
v v v ⑩ (3)由于忽略空气阻力,圆环再次弹起后,角速度保持为ω不变,质心做以初速度
为v 的斜抛运动。圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式为
2000cos sin 2(sin )
k s r g g
θβ
θω==-+v v v
?
s 取最大值时,θ
的取值θ满足
00(cos2sin )0k ds r d g
θ
θωθθ
=-
-=v v
?
由得?式得
sin θ
?
将?代入?式得
1s =
?
2s = ?
式中1s 和2s 分别对应于
?式右端根号前取正和负号的情形。由以上两式可知,s 的最大值为
max s
?
又因为
1sin 1θ-<<
由上式得,当s 取最大值时,r 、v 0和0ω应满足
00
r ω>v ?
评分参考:第(1)问9分,①②式各2分,③④⑤⑥⑦式各1分;第(2)问4分,⑧⑨式各1分,⑩式2分;第(3)问7分,???????式各1分。
四、(25分)
(1)解法(一)
按照题给坐标系,设待测点P 的位置为P (,0,)x a ,飞机在
0t =时所在点K 的位置为(0,,0)h 。在时刻1t ,飞机所在位置A 点的坐标为1A (,,0)x x h
=,机载雷达此时发出一光信号;该信
号到达P
点,经反射后,于时刻2t 返回至飞机的机载雷达被接受,此时飞机的机载雷达的位置为2A (,,0)x x h '=,如图所示。由于光速不变,飞机做匀速直线运动,有
21()
c t t =- ①
2121()x x t t -=-v ②
式中0R 1t ',飞机所在位置A 点的坐标
为1
(
,,0)x h '
,机载雷达此时发出另一光信号;该信号到达P 点,经反射后,于时刻2
t '返回至飞机的机载雷达被接受,此时飞机的机载雷达的位置为2
(,,0)x h '。同理有 21()c t t ''=- ③
2
121()x x t t ''''-=-v ④
1
111()x x t t ''-=-v ⑤
2
22
2()x x
t t ''-=
-v 由①②式和
c < 211 11t t c c c t -== = 21) t - ⑥ 上式右端已略去了2(/)c v 级的高阶项。由⑥式解得 211P 2 112() t t x x c -≈ ≈+? =+-v ⑦ 同理,由③④式和c < 211 P 22 ()t t x x c '''-≈+-v ⑧ 由⑦⑧式得 2211 1122 2()()()t t t t x x c c '''---≈+ -v ⑨ 利用⑤式,⑨式成为 22112 11211()()2 2()) t t t t t t c c t t ''---'≈+-'≈ -v ⑩ 上式右端已略去了2(/)c v 级的高阶项。令 1 10t t T '-= ? 式中,0T 为机载雷达在发射的光信号的周期,则 2 2t t T '-= ? 是机载雷达接受到相应的光信号的周期。?式可写成 00T T -= ? 或 D 00f f f f ≡-= ? 式中1x 已用A x 替代,而 00 11 ,f f T T == 是相应的光信号的频率,D f 是接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差(频移)。?式也可写为 D 00 2cos f f f f c α≡-=-v ? 式中 cos α≡ 即α为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。 解法(二) 取航线KA 和直线BC 所构成的平面为新的坐标平面。K 为坐标原点,航线KA 为x 轴,从K 指向BC 与Z 轴交点的直线为y 轴;在时刻1t ,飞机所在位置A 点的坐标为1A (,0)x x =;目标点P 的位置P 0(,)x R 在这个坐标系里是固定的。 设机载雷达于时刻t 发出的发射信号的相位为 ()0t t =+Φω? 式中0ω和?分别是相应的角频率和初相位。机载雷达于时刻1 t 在A '点2A 1((),0)x x t '=接收到的经P 反射的信号是机载雷达于时刻1t -τ在A 点1A 1((),0)x x t =-τ发出的,其相位为 ()()101t t '=-+Φωτ? ① 式中τ为信号往返过程所需的时间,它满足 c =τ ② 21x x -=τv ③ 经过时间间隔 t ?,同理有 ()()101t t t t ''+?=+?-+Φωτ? ④ c 'τ ⑤ 2 1x x '''-=τv ⑥ 另外,由于同样的原因(飞机作匀速直线运动),还有 1 1x x t '-=?v ⑦ 2 2x x t '-=?v 设机载雷达收到的信号的圆频率为ω,则应有 ()()11t t t t ''+?-=?ΦΦω ⑧ 由②③式和c < 1 11c c c == =+ τ ⑨ 上式右端已略去了2(/)c v 级的高阶项。由⑨式解得 1P 2 112() x x c ≈ ≈? =-τv ⑩ 同理,由⑤⑥式和c < 1 P 22 ()x x c ''≈-τv ? 由①④⑧式得 00()()t t ωωτωτ'?=?--- ? 将 2πf =ω ? 代入?式,利用⑦⑩?式,在t ?很小的情形下,略去t ?的高阶项,得 D 00f f f f ≡-= ? 或 D 00 2cos f f f f c α≡-=-v ? 式中 cos α≡ 即α为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。 (2)由于机载雷达天线发射的无线电波束面的张角的限制(见图(b )),有 2ππ 22α≤≤ ? 频移D f 分别为正、零或负的条件是: 当π/2α<(A P x x <)时,频移0D f >; 当π/2θ=(A P x x =)时,即机载雷达发射信号时正好位于P 点到航线的垂足处,频移 D 0f = ? 当π/2θ>(A P x x >)时,频移0D f <。 当π/2/s L α=-A P /2s x x L -=-)时,即机载 雷达发射信号时正好位于A P (/2,,0)s x x L h =-处,正的频移最大 D10f f = ? 当π/2/s L α=+A P /2s x x L -=)时,即机载雷达发射信号时正好位于A P (/2,,0)s x x L h =+处,负的频移的绝对值最大 D20f f = ? (3)在飞机持续发射的无线电波束前沿BC 全部通过目标P 点过程中,多普勒频移的带宽为 12004sin 2D D D f f f f f c θ ?≡-==v ? 由于0s R L >>,有1θ<<,故 sin 22 θ θ ≈ 将上式代入到?式得 2D f f c θ?=v ? 评分参考:第(1)问 16 分, (解法一) ①式2分,②式1分,③式2分,④⑤⑥⑦⑧⑨⑩????式各1分; (解法二) ①式1分,②式2分,③④式各1分,⑤式2分,⑥⑦⑧⑨⑩????式各1分; 第(2)问 6分,?式2分,频移D f 分别为正、零或负的条件正确(包括?式)给2分,??式各 1分; 第(3)问 3分, ?式2分,?式1分。 五、(20分) 在de 边未出磁场的过程中,ab 、cf 和de 三边切割磁力线运动,每条边产生的感应电动势相等,但感应电流为零,故不需要外力做功 10W = ① 在de 边出磁场但cf 边未出磁场过程中,ab 和cf 两条边做切割磁力线运动,导线框的等效电路如图a 所示。等效电路中每个电阻的阻值R =1.0Ω。按如图所示电流方向,根据基尔霍夫第一定律可得 136251 6784735, , , .I I I I I I I I I I I I I +=??+=?? =+??+=+? ② 由基尔霍夫第二定律,对4个回路可列出4个独立方程 135254 36747820,20,20, 20. U I R I R U I R U I R I R U I R U I R I R I R U I R I R I R -+--=??-+-+=?? ---=??-+-=? ③ 式中,感应电动势U 为 0.20V U b l ==v ④ 联立②③④式得: 120.025A I I == ⑤ 340.050A I I == ⑥ 此时,ab 边和ed 边所受的安培力大小分别为 ab 1ab 0.0050N F BI l == ⑦ cf 3cf 0.010N F BI l == ⑧ 式中l ab 和l ed 分别为ab 边和ed 边的长度。外力所做的功为 2ab ef cf ef 0.0015J W F l F l =+= ⑨ 式中l ef 表示ef 边的长度。 在cf 边移出磁场后,只有边ab 切割磁力线运动产生感应电动势。此时,等效电路如图b 所示,电路中电动势的大小和电阻阻值不变。根据基尔霍夫定律可得 136251 6784735, , , .I I I I I I I I I I I I I +=??+=?? =+??+=+? ⑩ 和 135254 36747820,20,20, 20. U I R I R I R U I R I R I R I R I R I R I R I R I R -+-=??-++=?? ---=??-+-=? ? 联立⑩?式得 120.075A I I == ? 此时,ab 边受到的安培力为 ab 10.015N ab F BI l == ? 外力所做的功为 3ab af 0.0015J W F l == ? 整个过程中外力做的功为 1230.0030J W W W W =++= ? 评分参考:①式1分,②③④式各2分,⑤⑥⑦⑧⑨式各1分,⑩?式各2分,????式各1分。 六、(23分) (1)设t 时刻导线框平面与长直导线和转轴组成平面之间的夹角为θ的值为t θω=,如图a 所示(俯视图),导线框旋转过程中只有左、右两边(图中分别用A 、B 表示)切割磁力线产生感应电动势。A 、B 两条边的速度大小相等, a ω=v ① A 、 B 处对应的磁感应强度大小分别为 112I B r μπ= ② 0 222I B r μπ= ③ 其中,0μ为真空磁导率,r 1、r 2分别为A 和B 到长直导线的垂直距离。A 、B 两边对应的感应电动势分别为 20111 1 2 02222 2 2sin sin 2sin sin a I E B a r a I E B a r ==== 1ωμχχπωμχχπv v ④ 式中1π 2 -χ、2π2-χ分别为A 、B 的速度方向与r 1、r 2的夹角。 根据几何关系得 12=+=-χθα χθβ ⑤ 其中α、β分别为r 1、r 2与x 方向的夹角。⑤式代入④式得导线框中的感应电动势为 2011212sin()sin()a I E E E r r ?? +-=+=+???? ωμθαθβπ ⑥ 根据几何关系及三角形余弦定理得α、β、r 1、r 2与a 、b 、θ之间的关系为 11 cos cos sin sin b a r a r θαθα-? =?? ? ?=?? ⑦ 22 cos cos sin sin b a r a r θβθβ+? =?? ? ?=?? ⑧ 222 1222 2 2cos 2cos r a b ab r a b ab θ θ?=+-?=++? ⑨ 将⑦⑧⑨式代入⑥式得导线框的感应电动势为 202222 2 02222 sin 112cos 2cos sin 11 2cos 2cos a Ib E a b ab a b ab a b I t a b ab t a b ab t ωμθπθθμωωπωω??=+ ?+-++?? ??=+ ?+-++?? ⑩ (2)(解法一) 导线框在电流I 的磁场中旋转,受到安培力相对于轴的合力矩0M 的作用,要使导线框保持角速度为ω的匀速旋转,所加的外力矩M 必须满足 00M M += ? 正方形导线框上、下两边所受安培力的方向与转轴平行,力矩为零,只有导线框左、右两边(分别用A 、B 表示)受到的安培力1F 和2F 对合力矩有贡献,如图b 所示(俯视图)。由②③式和安培力公式得1F 和2F 的大小为 1112aIi F aiB r μπ== ? 0 2222aIi F aiB r μπ== ? 式中i 为导线框中的感应电流。由欧姆定律有 202222 sin 112cos 2cos a Ib t E i R R a b ab t a b ab t ωμωπωω??==+ ?+-++?? ? 安培力的合力矩为 01122 12122012cos()cos() 22 sin()sin() sin()sin()M F d F d F a F a F a F a a Ii r r =+=--+-+=++-?? +-=+???? ππ θαθβθαθβμθαθβπ ? 其中,d 1和d 2分别为F 1和F 2与转轴之间的垂直距离,2--πθα和2 -+π θβ分别为d 1和d 2与A 、 B 连线之间的夹角。 将⑦⑧⑨?式代入?式得需要加的外力矩为 2002222 2 24222022222 2 2422 220222222 sin 112cos 2cos sin 112cos 2cos 4()sin ()4cos a Iib t M M a b ab t a b ab t a b I t R a b ab t a b ab t a b I a b t R a b a b t μωπωωμωωπωωμωωπω?? =-=-+ ?+-++?? ?? =-+ ?+-++?? ??+=- ?+-?? ? (2)(解法二) 导线框在电流I 的磁场中旋转,受到安培力相对于轴的合力矩0M 的作用,要使导线框保持角速度为ω的匀速旋转,所加的外力矩M 必须满足 00M M += ? 此时,安培力的合力矩的功率P 0应与导线框中感应电流的功率P i 相等,即 0i P P = ? 式中 2 24222 22022222 sin 112cos 2cos i a I b t E P R R a b ab t a b ab t ωμωπωω?? ==+ ?+-++?? ? 安培力的合力矩为 2 422220 0022222 sin 112cos 2cos i P P a I b t M R a b ab t a b ab t ωμωωωπωω?? ===+ ?+-++?? ? 由?式可得,外力矩M 为 2 4222 20022222 2 242222 222222 sin 112cos 2cos 4()sin ()4cos a I b t M M R a b ab t a b ab t a b I a b t R a b a b t ωμωπωωμωωπω?? =-=-+ ?+-++?? ??+=- ?+-?? ? 评分参考:第(1)问13分,①②③式各1分,④式2分,⑤式1分,⑥式2分,⑦⑧⑨式各1分,⑩式2分; 第(2)问10分,(解法一)??式各2分,??式各1分,??式各2分;(解法二)?????式各2分。 七、(22分) (1)根据热力学第一定律,有 dU Q W δδ=+ ① 这里,对于1mol 理想气体经历的任一缓慢变化过程中,Q δ,W δ和dU 可分别表示为 Q C dT πδ=,W pdV δ=-,V dU C dT = ② 将理想气体状态方程 pV RT = 两边对T 求导,可得 dV dp dV p V R dT dV dT += ③ 式中利用了 dp dp dV dT dV dT = 根据③式有 dV R dp dT p V dV = + ④ 联立①②④式得 V pR C C dp p V dV π=+ + ⑤ (2)设bc '过程方程为 p V αβ=- ⑥ 根据 V pR C C dp p V dV π=+ + 可得该直线过程的摩尔热容为 2V V C C R V παβαβ-=+ - ⑦ 式中,V C 是单原子理想气体的定容摩尔热容,3 2 V C R =。对bc '过程的初态11(3,)p V 和终态 11(,5)p V ,有 11 11 35p V p V αβαβ=-=- ⑧ 由⑧式得 111 7, 22p p V αβ= = ⑨ 由⑥⑦⑧⑨式得 1 1 835414V V C R V V π-= - ⑩ (3)根据过程热容的定义有 Q C T π?= ? ? 式中,Q ?是气体在此直线过程中,温度升高T ?时从外界吸收的热量。由⑩?式得 1 1 414835V V T R Q V V -?=?- ? 11835414V V T Q V V R -??= - ? 由?式可知,bc '过程中的升降温的转折点A 在-p V 图上的坐标为 1177 (,)24 A V p ? 由⑩式可知,bc '过程中的吸放热的转折点B 在-p V 图上的坐标为 113521 (,)816 V p B ? (4)对于abcda 循环过程,ab 和bc 过程吸热,cd 和da 过程放热 ()()()()11 11 1.53 2.515ab V b a b a bc p b a c b Q nC T T RT RT pV Q nC T T RT RT pV =-=-==-=-= ? 式中,已利用已知条件1mol n =,单原子理想气体定容摩尔热容32V C R =,定压摩尔热容5 2 p C R =。 气体在abcda 循环过程的效率可表示为循环过程中对外做的功除以总吸热,即 11 11 40.2218abcda abcda ab bc W pV Q Q pV η===+ ? 对于abc a '循环过程,ab 和bB 过程吸热, ''和Bc c a 过程放热。由热力学第一定律可得,bB 过程吸热为 ()()()1111 1 3=11.392 bc bB bB V B b B B Q U W nC T T p p V V pV '=?-=-++- ? 所以,循环过程abc a '的效率为 11 1140.27814.39abc a abc a ab bc W pV Q Q pV η'''===+ ? 由??式可知 abc a abcda ηη'> ? 评分参考:第(1)问5分,①②③④⑤式各1分;第(2)问5分,⑥⑦⑧⑨⑩式各1分;第(3)问7分,?式1分,??式各2分,??式各1分;第(4)问5分,?????式各1分。 八、(20分) (1)对于光线在波导层和衬底层的折射情况,根据折射定律有 1i10t0sin sin n n θθ= ① 若要求光线不会折射到衬底中,即发生全反射,应有 i110 C θθ≥ ② 式中,10 C θ为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角 010 C 1arcsin n n θ?? = ??? ③ 同理应有 i212 C θθ≥ ④ 式中,12 C θ为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角 212 C 1arcsin n n θ?? = ??? ⑤ 由题设102n n n >≥,可知 10 C 12 C θθ≥ ⑥ 所以,当入射角0i11arcsin n n θ?? ≥ ??? 时,光被完全限制在波导薄膜里。 (2)考虑光波在波导薄膜中传播时处于临界的全反射状态。此时光波的波长可由光的入射角 0i11arcsin n n θ?? = ? ?? 决定。此时光在介质1n 与0n 交界面的反射处于全反射 的临界状态,光在介质1n 与2n 交界面的反射也为全反射。如右图所示,10?和12?分别为1和0界面以及1和 2界面上的反射引入的相位(1010i r e ?-=和1212i r e ?-=)。过1和2界面上的反射点做直线(虚线)垂直于光线A , 设光线A 到虚线之前的路程长为l 。此后,光线A 与再经过两次反射的光线B 之间的相位差应该为2π的整数倍,以致光可在波导薄膜中传输。故 i11012 i1i1i1 1012 i1 1012 1012 2sec 222sec 2tan sin 24cos d l m d d d θππ??λ θθθπ??λ πθ??λ ??-=---=--=--- ⑦ 式中,0,1,2,3,m =,λ为所传输光波在波导薄膜介质中的波长。 考虑介质1n 与0n 交界面的反射,由①式得 1i1 t00sin sin 1n n θθ== ⑧ 考虑到⑧式,在介质1n 与0n 交界面的反射系数为 1i10t01i1 101i10t01i1 cos cos cos 1cos cos cos n n n r n n n θθθθθθ-===+ ⑨ 由上式可以得到介质1n 与0n 交界面的反射相位 100?= ⑩ 再考虑介质1n 与2n 交界面的反射,由①式得 1i1t222 sin sin n n n n θθ== ? 按照题给的推广的定义,上式右边大于或等于1也并不奇怪。当02n n >时,按照题给的推广的正弦和余弦的定义可知,t 2cos θ是一个纯虚数,可以写为 t2cos θ= ? 考虑到?式,则在介质1n 与2n 交界面的反射系数为 1i12t2 121i12t2 cos cos exp 2cos cos n n r i n n θθθθ?-== =- +? ? 由上式可以得到介质1n 与2n 交界面的反射相位为 12?= ? 将⑩和?式代入到⑦式中得,在给定m 的情况下能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长(截止波长)为 λ= ? 式中,0,1,2,3,m =。当0m =时可得,能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长为 max λ ? 评分参考:第(1)问10分,①②式各2分,③④式各1分,给出“入射角0i11arcsin n n θ?? ≥ ??? 时,光被完全限制在波导薄膜里”的结论给2分,⑤⑥式各1分;第(2)问10分,⑦式2分,⑨⑩ ??????式各1分。 第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、(23分)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速度为零),落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机,用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片,照相机的曝光时间极短,可忽略不计。从所拍到的照片发现,每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离(用H 表示)的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 二、(25分)如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为2l ,两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M 的小球A ,以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D 的速度,并详细讨论以后可能发生的运动情况。 三、(23分)有一带活塞的气缸,如图1所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片,转轴伸到气缸外,外界可使轴和叶片一起转动,叶片和轴以及气缸壁和活塞都是 绝热的,它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动,而令活塞缓慢移动,则在这 种过程中,由实验测得,气体的压强p 和体积V 遵从以下的过程方程式 图1 其中a ,k 均为常量, a >1(其值已知)。可以由上式导出,在此过程中外界对气体做的功为 式中2V 和1V ,分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动,而使叶片以角速度ω做匀角速转动,已知在这种过程中,气体的压强的改变量p ?和经过的时间t ?遵从以 图2 下的关系式 式中V 为气体的体积,L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。 上面并没有说气体是理想气体,现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识,求出图2中气体原来所处的状态A 与另一已知状态B 之间的内能之差(结果要用状态A 、B 的压强A p 、B p 和体积A V 、B V 及常量a 表示) 四、(25分)图1所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能,称为整流倍压电路。图中1D 和2D 是理想的、点接触型二极管(不考虑二极管的电容),1C 和2C 是理想电容器,它们的电容都为C ,初始时都不带电,G 点接地。现在A 、G 间接上一交变电源,其电压A u ,随时间t 变化的图线如图2所示.试 最新全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 说明:所有答案 (包括填空)必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、(12分)2013年6月20日,“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了我国首次太空授课. 授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面张力引起的效应. 视频中可发现漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中(平时在地球表面附近,重力的存在会导致液滴下降太快,以至于很难观察到液滴的这种“脉动”现象). 假设液滴处于完全失重状态,液滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化(振动),如图所示. (1)该液滴处于平衡状态时的形状是__________; (2)决定该液滴振动频率f 的主要物理量是________________________________________; (3)按后面括号中提示的方法导出液滴振动频率与上述物理量的关系式.(提示:例如,若认为,,a b c 是决定该液滴振动频率的相互独立的主要物理量,可将液滴振动频率f 与,,a b c 的关系式表示为αβγ∝f a b c ,其中指数,,αβγ是相应的待定常数.) 二、(16分) 一种测量理想气体的摩尔热容比/p V C C γ≡的方法(Clement-Desormes 方法)如图所示:大瓶G 内装满某种理想气体,瓶盖上通有一个灌气(放气)开关H ,另接出一根U 形管作为压强计M .瓶内外的压强差通过U 形管右、左两管液面的高度差来确定. 初始时,瓶内外的温度相等,瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高,记录此时U 形管液面的高度差i h .然后打开H ,放出少量气体,当瓶内外压强相等时,即刻关闭H . 等待瓶内外温度又相等时,记录此时U 形管液面的高度差f h .试由这两次记录的实验数据i h 和f h ,导出瓶内 气体的摩尔热容比γ的表达式.(提示:放气过程时间很短,可视为无热量交换;且U 形管很细,可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变化前后的体积变化) 三、(20分)如图所示,一质量为m 、底边AB 长为b 、等腰边长为a 、质量均匀分布的等腰三角形平板,可绕过光滑铰链支点A 和B 的水平轴x 自由转动;图中原点O 位于AB 的中点,y 轴垂直于板面斜向上,z 轴在板面上从原点O 指向三角形顶点C . 今在平板上任一给定点000M (,0,)x z 加一垂直于板面的拉 振动的 液滴 M 0 A B x Q ? O y z C 2015年9月19日 一、(15分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在1938年提出的,碳循环反应过程如图所示。图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子p与12C核发生反应生成13N核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下一个循环。已知+e、p和He核的质量分别为MeV/c2、u和u(1u≈ MeV/c2),电子型中微子eν的质量可以忽略。 (1)写出图中X和Y代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。 二、(15分)如图,在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆,轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。开始时细杆静止;有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度 v运 0动,与A球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球C 碰后的速度表出); (2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球C 的速度和系统的动能。 三、(20分)如图,一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的 瞬间,圆环质心速度v 0与竖直方向成θ(π3π 22 θ<<)角,并同时以角速度0ω(0ω的 正方向如图中箭头所示)绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数为k ,重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。 (1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度; (3)若让θ角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。 四、(25分)如图,飞机在距水平地面(xz 平面)等高的航线KA (沿x 正方向)上,以大小为v (v 远小于真空中的光速c )的速度匀速飞行;机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P 点(其x 坐标为P x )发射扇形无线电波束(扇形的角平 第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (本题共七大题,满分160分) 一、(20分)如图所示,一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端,弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出竖直导轨),从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。一小球B 放在光滑的水平台面上,台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方,到P 端的距离为m h 80.9=。平板静止在其平衡位置。水球B 与平板PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度0μ,使它从水平台面抛出。已知小球B 与平板发生弹性碰撞,碰撞时间极短,且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞,0μ的值应在什么范围内?取2 /8.9s m g = 二、(25分)图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动,A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连,可绕连接处转动(类似铰链)。当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时,AB 杆处于竖直位置。BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角,已知AB 杆的长度为l ,BC 杆和CD 杆的长度由图给定。求此时C 点加速度c a 的大小和方向(用与CD 杆之间的夹角表示) 三、(20分)如图所示,一容器左侧装有活门1K ,右侧装有活塞B ,一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室,M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定,拔掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。 第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷 l—5 6 7 8 总分 9 10 11 12 13 14 15 16 本卷共l6题,满分200分。 一、选择题.本题共5小题,每小题6分.在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的小题有多项符合题意。把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分. 1. 2014年3月8日凌晨2点40分,马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系.2014年3月24日晚,初步确定失事地点位于南纬31o52′、东经115 o52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域.有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星,每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照,则 A. 该卫星一定是地球同步卫星 B. 该卫星轨道平面与南纬31 o 52′所确定的平面共面 C. 该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍 D. 地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍 2. 23892U(铀核)衰变为22288Rn(氡核)要经过 A. 8次α衰变,16次β衰变 B. 3次α衰变,4次β衰变 C. 4次α衰变,16次β衰变 D. 4次α衰变,4次β衰变 3.如图,一半径为R的固定的光滑绝缘圆环,位于竖直平面内;环上有两个相 同的带电小球a和b(可视为质点),只能在环上移动,静止时两小球之间的距离 为R。现用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c,然后撤除外力.下列说法 正确的是 A. 在左球a到达c点的过程中,圆环对b球的支持力变大 B.在左球a到达c点的过程中,外力做正功,电势能增加。 C. 在左球a到达c点的过程中,a、b两球的重力势能之和不变 D. 撤除外力后,a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒 4.如图,O点是小球平抛运动抛出点;在O点有一个频闪点光源,闪光频率 为30Hz;在抛出点的正前方,竖直放置一块毛玻璃,小球初速度与毛玻璃平 面垂直.在小球抛出时点光源开始闪光.当点光源闪光时,在毛玻璃上有小球 的一个投影点.已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1.20 m,测得第一、二个 投影点之间的距离为0.05 m.取重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是 A. 小球平抛运动的初速度为4m/s B.小球平抛运动过程中,在相等时间内的动量变化不相等 C.小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大 D. 小球第二、三个投影点之间的距离0.15m 2016全国初中物理竞赛复赛试题(含答案) 初中物理是义务教育的基础学科,一般从初二开始开设这门课程,教学时间为两年。一般也是中考的必考科目。随着新高考/新中考改革,学生的综合能力越来越重要,录取方式也越来越多,三位一体录取方式十分看重学生的课外奖项获取。万朋教育小编为初中生们整理了2016年全国初中物理竞赛试卷和答案,希望对您有所帮助。 第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共8题,满分160分。 一、(17分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ;物块边长为b ,密度为'ρ,且ρρ<'。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 解: 由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向 建立坐标系,以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= ( x b ≤) (1) 式中 g 为重力加速度.物块的重力为 3 g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ,根据牛顿第二定律有 3 g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'?? =- - ?'? ? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系,简称X 系. 新旧坐标的关 系为 X x b ρρ ' =- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =,则0a =,对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ ' = (7) 物块运动方程在 X 系中可写为 ()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 'g b ρωρ= (10) 在(8)和(9)式中 A 和?分别是振幅和初相位,由初始条件决定. 在物块刚被释 放时,即0t =时刻有x =0,由(5)式得 第28届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、(20分)如图所示,哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动,其周期T为76.1年。1986年它过近日点P0时,与太阳S的距离r0=0.590AU,AU是天文单位,它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间,彗星到达轨道上的P点,SP与SP0的夹角θP=72.0°.已知:1AU=1.50×1011m,引力常量G=6.67×10-11m3?kg-1?s-2,太阳质量m S=1.99×1030kg.试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向(用速度方向与SP0的夹角表示)。 二、(20分)质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置,A点与水平地面接触,与地面间的静摩擦因数为μA, B、D两点与光滑竖直墙面接触,杆A B和CD接触处的静摩擦因数为μC,两杆的质量均为m,长度均为l. (1)已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ,求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件(用α及已知量满足的方程式表示)。 (2)若μA=1.00,μC=0.866,θ=60.0°,求系统平衡时α的取值范围(用数值计算求出)。 三、(25分)人造卫星绕星球运行的过程中,为了保持其对称轴稳定在规定指向,一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向,又要求减慢或者消除卫星的旋转。减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法,其原理如图。 设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒,其横截面如图所示。图中O是圆筒的对称轴。两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'(位于圆筒直径两端)处,另一端各拴有一质量为m/2的小球。正常情况下,绳绕在圆筒外表面上,两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0'处,与卫星形成一体,绕卫星的对称轴旋转。卫星自转的角速度为ω0.若要使卫星减慢或停止旋转(消旋),可瞬间撤去插销释放小球,让小球从圆筒表面甩开,在甩开的整个过程中,从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时,立即使绳与卫星脱离,接触小球与卫星的联系,于是卫星停止转动。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q'处。试求: (1)当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l; (2)绳的总长度L; (3)卫星从ω0到停转所经历的时间t. m /2 一、 由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系,以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= (x b ≤) (1) 式中g 为重力加速度.物块的重力为 3g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ,根据牛顿第二定律有 3g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'??=-- ?'?? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系,简称X 系. 新旧坐标的关系为 X x b ρρ'=- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =,则0a =,对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ '= (7) 物块运动方程在X 系中可写为 ()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 ω= (10) 在(8)和(9)式中A 和?分别是振幅和初相位,由初始条件决定. 在物块刚被释放时,即0t =时刻有x =0,由(5)式得 (0)X b ρρ '=- (11) (0)0V = (12) 由(8)至(12)式可求得 A b ρρ '= (13) ?=π (14) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得 ()()cos X t b t ρωρ '=+π (15) ()()V t t ω=+π (16) 由(15)式可知,物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期;但物块的运动始终由(15)表示是有条件的,那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此,必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然,在x 系中看,物块下底面坐标为b 时,物块刚好被完全浸没;由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为 b 1X X b ρρ'??==- ?? ? (17)即物块刚好完全浸没在湖水中时,其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在 振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ,下面分两种情况讨论: I .b A X ≤. 由(13)和(17)两式得 ρρ'≥2 (18) 在这种情况下,物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而,物块从初始位置起,经一个振动周期,再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 22T ωπ= = (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间 放大发发呆 第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2015年9月19日 说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、(15分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在1938年提出的,碳循环反应过程如图所示。图中p 、+e 和e ν分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子p 与12C 核发生反应生成13N 核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下一个循环。已知+e 、p 和He 核的质量分别为0.511 MeV/c 2、1.0078 u 和 4.0026 u (1u≈931.494 MeV/c 2),电子型中微子e ν的质量可以忽略。 (1)写出图中X 和Y 代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。 二、(15分)如图,在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆,轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和B 。开始时细杆静止;有一质量为m 的小球C 以垂直于杆的速度0v 运动,与A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球C 碰后的速度表出); (2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球C 的速度和系统的动能。 三、(20分)如图,一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的 瞬间,圆环质心速度v 0与竖直方向成θ(π3π 22 θ<<)角,并同时以角速度0ω(0ω的 正方向如图中箭头所示)绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所 在的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数为k ,重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。 (1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度; (3)若让θ角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、(20分)某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置,其中A 、B 、C 为3个容器,D 、E 、F 为3根细管,管栓K 是关闭的.A 、B 、C 及细管D 、E 中均 盛有水,容器水面的高度差分别为1h 和1h 如图所示.A 、B 、C 的截 面半 径为12cm ,D 的半径为0.2cm .甲向同伴乙说:“我若拧开管栓K ,会有水从细管口喷出.”乙认为不可能.理由是:“低处的水自动走向高外,能量从哪儿来?”甲当即拧开K ,果然见到有水喷出,乙哑口无言,但不明白自己的错误所在.甲又进一步演示.在拧开管栓K 前,先将喷管D 的上端加长到足够长,然后拧开K ,管中水面即上升,最后水面静止于某个高度处. (1).论证拧开K 后水柱上升的原因. (2).当D 管上端足够长时,求拧开K 后D 中静止水面与A 中水面的高度差. (3).论证水柱上升所需能量的来源. 二、 (18 分) 在图复19-2中,半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场,磁场方向垂直纸面指向纸外, 磁感应强度B 随时间均匀变化,变化率/B t K ??=(K 为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场,沿图中AC 弦的方向画一直线,并向外延长,弦AC 与半径OA 的夹角/4απ=.直线上有一任意点,设该点与A 点的距离为x ,求从A 沿直线到该点的电动势的大小. 三、(18分)如图复19-3所示,在水平光滑绝缘的桌面上,有三个带正电的质点1、2、3,位于边长为l 的等边三角形的三个顶点处。C 为三角形的中心,三个质点的质量皆为m ,带电量皆为q 。质点 1、3之 间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连,在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零,在此后运动过程中,当质点3运动到C 处时,其速度大小为多少? 四、(18分)有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数.在图复19-4-1中,E 为电压可调的直流电源。K 为开关,L 为待测线圈的自感系数,L r 为线圈的直流电阻,D 为理想二极管,r 为用电阻丝做成的电阻器的电阻,A 为电流表。将图复19-4-1中a 、b 之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内,图复19-4-2中其它装置见图下说明.其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有 第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题 1.如图所示,有一由匀质细导线弯成的半径为α的圆线和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路(电路中各段的电阻值见图)。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场,磁感应强度B随时间t均匀减小,其变化率的大小 为一已知常量k。已知2r 1=3r 2 。求:图中AB两点的电势差U A -U B 。 2.长度为4毫米的物体AB由图所示的光学系统成像,光学系统又一个直角棱镜、一个汇聚透镜和一个发散透镜组成,各有关参数和几何尺寸均标示于图上,求:像的位置;像的大小,并作图说明是实像还是虚像,是正立还是倒立的。 3.如图所示,四个质量均为m的质点,用同样长度且不可伸长的轻绳连接成菱形ABCD,静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短CA 方向的冲击,当冲击结束的时刻,质点A的速度为V,其他质点也获得一定 的速度,∠BAD=2α(α<π/4)。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。 4.在一个半径为R的导体球外,有一个半径为r的细圆环,圆环的圆心与导体球心的连线长为a(a>R),且与环面垂直,如图所示。已知环上均匀带电,总电量为q,试问: 1.当导体球接地时,球上感应电荷总电量是多少? 2.当导体球不接地而所带总电量为零时,它的电势如何? 3.当导体球的电势为V O 时,球球上总电荷又是多少? 4.情况3与情况1相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何? 5.情况2与情况1相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何? 〔注〕已知:装置不变时,不同的静电平衡 带电状态可以叠加,叠加后仍为静电平衡状 态。 5、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球(布的质量可忽略不计), 直径为d=2.0米,球内充有压强P 1.005×105帕的气体,该布料所能承受 的最大不被撕破力为f m =8.5×103牛/米(即对于一块展平的一米宽的布料,沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×103牛时,布料将被撕 破)。开始时,气球被置于地面上,该处的大气压强为P ao =1.000×103帕, 温度T =293开,假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化,压强的变 化为α p =-9.0帕/米,温度的变化为α T =-3.0×10-3开/米,问该气球上升到 多高时将撕破?假设气球上升很缓慢,可以为球内温度随时与周围空气的温度保持一致,在考虑气球破裂时,可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。 6.有七个外形完全一样的电阻,已知其中6个的阻值相同,另一个的阻值不同,请按照下面提供的器材和操作限制,将那个限值不同的电阻找出,并指出它的阻值是偏大还是偏小,同时要求画出所用电路图,并对每步判断的根据予以论证。 提供的器材有:1电池;2一个仅能用来判断电流方向的电流表(量程足够),它的零刻度在刻度盘的中央,而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的;3导线若干 操作限值:全部过程中电流表的使用不得超过三次。 最新 全国中学生物理竞赛复赛试题 一、(15分)一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上,开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度,其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、(20分)一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上,杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α(α为常数)的小物块B ,杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上(C 与杆密接),可沿杆滑动,环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ,劲度系数为k ,两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ,并与之发生完全弹性正碰,碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r (r >l )处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ,求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量; 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动,求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件. 三、(25分)一质量为m 、长为L 的匀质细杆,可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆, 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时,其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中,k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下,两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系(随质心平动的参考系)中的动能之和,求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示:如果)(t X 是t 的函数,而))((t X Y 是)(t X 的函数,则))((t X Y 对t 的导数为 总评 这套题作为复赛题的难度还是比较大的。从这套题我们大概可以看出来,计算量增大、基础知识向大学普通物理靠拢(甚至直接用普通物理作为最底层的基础)、微积分作为最基本的数学工具、题目模型直接采用现实科研前沿模型已经成为物理竞赛的趋势。这一套题从题型、模型新颖程度、计算量和阅读分析能力上来看逐渐向国际比赛的风格靠拢,是一套非常优秀的考题(虽然对于基础不扎实的考生来说并不友好)。 第一题 热学题,采用了现实生活中的装置作为模型,比较考验抽象出模型的能力。该题计算量较大,加上需要自己理解模型,对于未经过此类建模计算题目训练的同学难度较大。较有区分度。 第二题 这套卷子为数不多的较为常规的题目。第一问考察刚体的动力学,第二题运动学分析。考查基础知识,对刚体力学基础扎实的同学来说应该不难。但要注意计算的仔细程度,第二问的运动学量矢量运算稍显复杂。 第三题 考察交流电路系统。需要对交流电路的微分方程有一个扎实的基础知识。虽然这道题给出了解的形式降低了一部分难度,但是具体的计算量还是较大的。对于理解谐振系统的解的物理意义的要求也很高。同时交流电也是一个冷门考点,如果考生在备赛的时候忽略了这一部分知识的复习,那么这道题拿到高分的希望渺茫。 第四题 基础的高能粒子物理题目。回旋加速器应该是很常见的模型,具体原理应该要求考生掌握。这套卷子中的常规送分题目,要把握好。 第五题 相对论题目,内容比较基础,但涉及到繁杂的参照系变换。对于在平时学习中弄不清参照系变换的考生有极大的考验。并且由于过程繁杂,这道题对考生的细心程度和阅读理解能力造成了了不小的考验。 第六题 光学题,并且和相对论结合。这道题的模型和科研前沿结合较为紧密,并考察了光在介质中的传播的相对论变换。计算量相对不大,但对于平时只练习常规题目的考生来说是个很大的挑战。 第七题 引力波。这直接用了近年来的科研最前沿的模型。但冷静分析后在这道题里面引力波只是一个“能量损失的原因”,并不需要分析引力波的具体物理机制。第一问考察量纲分析的基础知识,后两问是一个能量逐渐损失的二体运动,需要由能量损失计算角速度随时间的关系然后积分求角位移。物理实质实际上很简单,但计算量较大。 第八题 实际上如果学过光的偏振的话,这道题实际上很简单,都是基础知识,除了阅读量比较大。但问题是……它考的是偏振。光的偏振是比较难的知识,在竞赛中也是新加入考纲,以前考的并不多(或者是复赛从来没考过?),加上这是最后一题,考虑到紧张等其他因素,没学好这一部分知识的同学基本上不会得到很多分数…… 试卷 第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题 一、(15分)一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上,开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度,其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、(20分)一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上,杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α(α为常数)的小物块B ,杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上(C 与杆密接),可沿杆滑动,环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ,劲度系数为k ,两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ,并与之发生完全弹性正碰,碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r (r >l )处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ,求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量; 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动,求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件. 三、(25分)一质量为m 、长为L 的匀质细杆,可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆, 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时,其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中,k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下,两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系(随质心平动的参考系)中的动能之和,求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示:如果)(t X 是t 的函数,而))((t X Y 是)(t X 的函数,则))((t X Y 对t 的导数为 d (())d d d d d Y X t Y X t X t = 例如,函数cos ()t θ对自变量t 的导数为 dcos ()dcos d d d d t t t θθθθ= 四、(20分)图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口(朝上)金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为 q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下(所谓缓慢,意指在G 和容器口之间总 是只有一滴液滴). 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小,容器足够大,容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零,求容器可达到的最高电势max V . 第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2015年9月19日 一、(15分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在1938年提出的,碳循环反应过程如图所示。图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子p与12C核发生反应生成13N核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下一个循环。已知+e、p和He核的质量分别为0.511 ν的质量可以忽MeV/c2、1.0078 u和4.0026 u(1u≈931.494 MeV/c2),电子型中微子 e 略。 (1)写出图中X和Y代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。 二、(15分)如图,在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆,轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。开始时细杆静止;有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度 v运 0动,与A球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球C碰后的速度表出); (2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球C的速度和系统的动能。 三、(20分)如图,一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的 瞬间,圆环质心速度v 0与竖直方向成θ(π3π 22 θ<<)角,并同时以角速度0ω(0ω的 正方向如图中箭头所示)绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所 在的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数为k ,重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。 (1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度; (3)若让θ角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。 1 / 2 第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题 全卷共六题,总分为140分。 一、(20分)一汽缸的初始体积为0V ,其中盛有2mol 的空气和少量的水(水的体积可以忽略)。平衡时气体的总压强是3.0atm ,经做等温膨胀后使其体积加倍,在膨胀结束时,其中的水刚好全部消失,此时的总压强为2.0atm 。若让其继续作等温膨胀,使体积再次加倍。试计算此时: 1.汽缸中气体的温度; 2.汽缸中水蒸气的摩尔数; 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 二、(25分)两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L ,相距为d ,被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该入射光线应满足什么条件? 2. 根据所得结果,分别画出各种可能条件下的光路示意图。 三、(25分)用直径为1mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm 的圆环。圆环处于超导状态,环内电流为100A 。经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于610A -。试估算该超导材料电阻率数量级的上限。 提示:半径为r 的圆环中通以电流I 后,圆环中心的磁感应强度为02I B r μ= ,式中B 、I 、 r 各量均用国际单位,720410N A μπ=??--。 四、(20分)经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是M ,两者相距L 。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期T 计算。 2. 若实验上观测到的运动周期为T 观测, 且:(1)T T N =>观测计算。为了解释T 观测与T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型,我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质,而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 五、(25分)六个相同的电阻(阻值均为R )连成一个电阻环,六个接点依次为1、2、3、4、5和6,如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为1D 、2D 、┅5D 。 现将2D 的1、3、5三点分别与1D 的2、4、6三点用导线连接,如图复16-5-2所示。然后将3D 的1、3、5三点分别与2D 的2、4、6三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将5D 的1、3、5三点分别连接到4D 的2、4、6三点上。 1.证明全部接好后,在1D 上的1、3两点间的等效电阻为 724627 R 。 1999年 2015年9月19日 说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、(15分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在1938年提出的,碳循环反应过程如图所示。图中p 、+e 和e ν分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子p 与12C 核发生反应生成13N 核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下一个循环。已知+e 、p 和He 核的质量分别为 MeV/c 2、 u 和 u (1u≈ MeV/c 2),电子型中微子e ν的质量可以忽略。 (1)写出图中X 和Y 代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。 二、(15分)如图,在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆,轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和B 。开始时细杆静止;有一质量为m 的小球C 以垂直于杆的速度0v 运动,与A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球C 碰后的速度表出); (2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球C 的速度和系统的动能。 三、(20分)如图,一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的 瞬间,圆环质心速度v 0与竖直方向成θ(π3π 22 θ<<)角,并同时以角速度0ω(0ω的 正方向如图中箭头所示)绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所 在的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数为k ,重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。 (1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度; (3)若让θ角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。 四、(25分)如图,飞机在距水平地面(xz 平面)等高的航线KA (沿x 正方向)上,以大小为v (v 远小于 第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、(23分)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速度为零),落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机,用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片,照相机的曝光时间极短,可忽略不计。从所拍到的照片发现,每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离(用H 表示)的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 二、(25分)如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为2l ,两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M 的小球A ,以一给定速度0v 三、(23有一定 气缸外,塞都是 程中,由图1 其中a ,k 。可以由上式导出,在此过程中外界对气体做的功为 式中2V 和做匀角速转动,已知在这种过程中,气体的压强的改变量式中V A 、 B 的压强四、(25整流倍压电路。图中1D 和2D 是理想的、点接触型二极管(不考虑二极管的电容),1 C 和2C 是理想电容器,它们的电容都为C ,初始时都不带电,G 点接地。现在A 、G 间接上一交变电源,其电压A u ,随时间t 变化的图线如图2所示.试分别在图3和图4中准确地画出 D 点的电压D u 和B 点的电压B u 在t =0到t=2T 时间间隔内随时间t 变化的图线,T 为交变电压A u 的周期。 图2图1 图3 图4 五、(25分)磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统,利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统,在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁场,磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度B 随时间t 和空间位置x 变化规律为 式中0B 、ω、k 均为已知常量,坐标轴x 与轨道平行。在任一时刻t ,轨道平面上磁场沿x 方向的分布是不均匀的,如图所示。图中Oxy 平面代表轨道平面,“×”表示磁场的方向垂直Oxy 平面指向纸里,“·”表示磁场的方向垂直Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时B 取正值。“×”和“·”的疏密程度表示沿着x 轴B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直的金属框边MN 的长度为l ,与轨道平行的金属框边MQ 的长度为d ,金 2.六、(23镜的 直长圆筒内。、 2f 和 3f 的透镜观察 屏P 由三S 1.试在图2.图2 七、(16分)串列静电加速器是加速质子、重离子 进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备,右图是其构造示意图。S 是产生负离子的装置,称为离子源;中间部分N 为充有氮气的管道,通过高压装置H 使其对地有61000.5?V 的高压。现将 氢气 通人离子源S ,S 的作用是使氢分子变为氢原子,并使氢原子粘附上一个电子,成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子(其初速度为0)在静电场的作用下,形成高速运动的氢负离子束流,氢负离子束射入管道N 后将与氮气分子发生相互作用,这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子,又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
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