椭圆的定义及标准方程
一、精讲精练
第一定义：平面内与两个定点21,F F 的距离和等于常数|)|2(221F F a a >的点M 的轨迹叫做椭圆，定点21,F F 叫做椭圆的焦点，||21F F 叫做椭圆的焦距.
用集合语言叙述为“点集|}|2,2|||||{2121F F a a MF MF M P >=+=，其中21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距”. 注意:
（1）只有当||221F F a >时，动点M 的轨迹才是椭圆.而当||221F F a <时，动点M 的轨迹不存在；当||221F F a =，动点M 的轨迹是线段21F F .
（2）定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和为a 2）.
【例1】下列命题是真命题的是_____________（将所有真命题的序号都填上）. ①已知定点),01(),01(21，，F F -则满足2||||21=+PF PF 的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点),02(),02(21，，F F -则满足4||||21=+PF PF 的点P 的轨迹为线段； ③到定点)03(),03(21，，F F -距离相等的点的轨迹为椭圆.
【变式】设21,F F 为定点，6||21=F F ，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
（2）根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中2
x 项和2
y 项的分母哪个更大一些，
即“谁大在谁上”.如方程为14
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2=+x y 的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标)10(),10(21，，F F -，焦距2||21=F F .
注意：
正确理解“标准方程”中的“标准”的意义 （1）两个焦点21,F F 在坐标抽上； （2）线段21F F 的中点是坐标原点.
只有同时满足这两个条件时，所得到的方程才是标准方程.
o F 1F 2
B 2
O F 2
F 1
A 2A
【例2】已知方程
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x y k k +=--表示椭圆，求k 的取值范围。
【变式】已知椭圆22sin cos 1(02)x y αααπ-=≤≤的焦点在y 轴上，则α的取值范围是（ ）
A.3(,)4ππ
B.3(,)44ππ
C.(,)2ππ
D.3(,)
24ππ
【例3】（2014 湖南师大附中测试）求焦点在坐标轴上，且经过)132()23(，和，-B A 两点的椭圆的标准方程.
【变式】两个焦点的坐标分别为)0,4()0,4(和-，且椭圆过点)0,5(，求该椭圆的标准方程.
【例4】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点12),(P P .
（2）已知椭圆过点(2,6)-，且2a b =，求椭圆的标准方程。
【变式】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x 轴上，且椭圆经过点(2,0),(0,1).
（2）求与椭圆2244x y +=有公共焦点，且经过(2,1)A 的椭圆的标准方程
【例5】一动圆与已知圆221:(3)1O x y ++=外切，与圆222(3)81O x y -+=内切，求动圆圆心的轨迹方程。
【拓展】（2014 青岛师大附中检测）如图点B 坐标为)0,2(，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，POB ∠的平分线交直线PB 于Q ，求点Q 的轨迹方程.
1. 椭圆上一点P 与椭圆两焦点21,F F 构成的12F PF ?称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.
2. 对于求焦点三角形的面积，若已知21PF F ∠，可以利用S =
1
sin 2
ab C ，把||||21PF PF ?看成一个整体，运用公式
||||2|)||(|||||212
212221PF PF PF PF PF PF ?-+=+及余弦定理求出||||21PF PF
?，而无需单独求出，这样可以减少运算量.
【例6】已知P 为椭圆
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2=+y x 上的点，21,F F 是椭圆的两个焦点，?=∠6021PF F ，求12F PF ?的面积S .
【变式】椭圆12
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2=+y x 的焦点为21F F ，，点P 在椭圆上，若4||1=PF ，则=||2PF ________；21PF F ∠的大小为__________.
【例7】如图所示，B A ,是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 交椭圆于M 点，2||=
OF ，若OA MF ⊥，求椭圆的方程.