专题1二次函数
题型一二次函数的图象和性质
例 1对于抛物线y＝－x2＋2x＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x＝1；
②它的顶点坐标为(1，4)；
③它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，
0)；
④当x＞0时，y随x的增大而减小．
其中正确的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】①对称轴为x＝－b
2a ＝－
2
2×（－1）
＝1，∴①正确；②y＝
－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；
③y＝－x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，∴y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a＝－1＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．
【点悟】二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．
变式跟进
1．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图象经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( D )
A ．y ＝－(x －1)2－5
B ．y ＝2(x －1)2－14
C ．y ＝－(x ＋1)2＋5
D ．y ＝－(x －2)2＋20
2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．
(1)y ＝4x 2＋24x ＋35；
(2)y ＝－3x 2＋6x ＋2；
(3)y ＝x 2－x ＋3；
(4)y ＝2x 2＋12x ＋18.
解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，
∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，
解方程4x 2
＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72， 故它与x 轴交点坐标是? ????－52，0，? ??
??－72，0； (2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，
∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)，
解方程－3x 2＋6x ＋2＝0，
得x 1＝1＋153，x 2＝1－153
， 故它与x 轴的交点坐标是? ?????1＋153，0，? ??
???1－153，0； (3)∵y ＝x 2－x ＋3，
∴对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是? ??
??12，114，
解方程x2－x＋3＝0，无解，故它与x轴没有交点；
(4)∵y＝2x2＋12x＋18，
∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)，
当y＝0时，2x2＋12x＋18＝0，∴x1＝x2＝－3，
∴它与x轴的交点坐标是(－3，0)．
题型二二次函数的平移
例 2将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )
A．y＝－2(x＋1)2B．y＝－2(x＋1)2＋2
C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2＋1
【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．
变式跟进
3．将抛物线y＝2x2＋4x－5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C )
A．y＝2(x＋1)2－7 B．y＝2(x＋1)2－6
C．y＝2(x＋3)2－6 D．y＝2(x－1)2－6
题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016·宁夏]若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是__m＜1__．
【解析】∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m＞0，∴m＜1.
【点悟】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．
变式跟进
4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D )
A ．x 1＝1，x 2＝2
B ．x 1＝1，x 2＝3
C ．x 1＝－1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝3
【解析】 二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.
5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．
图1 第5题答图 【解析】 如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物
线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝－32
，
∵二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，∴C点坐标为(－3，0)，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是－4＜x＜－3.
题型四二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：
①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；
③4ac－b2＜8a；④1
3＜a＜
2
3
；⑤b＞c.
其中含所有正确结论的选项是( D )
图2
A．①③B．①③④
C．②④⑤D．①③④⑤
【解析】①∵函数开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故
①正确；
②∵图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误；
③∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋b ×(－
1)＋c ＝0，∴a －b ＋c ＝0，即a ＝b －c ，c ＝b －a ，∵对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a
＝1，即b ＝－2a ，∴c ＝b －a ＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4a (－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0.∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；
④∵图象与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1，
∴－2＜－3a ＜－1，∴23＞a ＞13
，故④正确； ⑤∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．
【点悟】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c )．
变式跟进
6．[2019·孝感]如图3是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①a －b ＋c >0； ②3a ＋b ＝0； ③b 2＝4a (c －n )；
④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( C )
图3
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a
＝1，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；
∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴4ac －b 2
4a
＝n ，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (c －n )，∴③正确；
∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．
题型五 二次函数的实际应用
例 5[2019·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租
金x (元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22，
∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；
(2)设每天的净收入为y 元，当0≤x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100
＝3 900.
当x ＞100时，y 2＝?
????50－x －1005x －1 100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025.
当x ＝175时，y 2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．
【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y ＝a (x －h )2＋k ，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．
变式跟进
7．[2019·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度h(m)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．
(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；
(2)当足球距离地面的高度为10 m时，求t的值；
(3)若存在实数t1，t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(m)，求m的取值范围．
解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝15(m)，
∴此时足球离地面的高度为15 m；
(2)∵h＝10，∴20t－5t2＝10，
即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋2或t＝2－2，
∴经过2＋2或2－ 2 s时，足球距离地面的高度为10 m；
(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝202－20m＞0，解得m＜20，
∴m的取值范围是0≤m＜20.
题型六二次函数的综合题
例 6[2019·浙江月考]如图4，抛物线C 1：y＝－3x2＋23x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.
(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；
(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|＞1)，变换后得到的
抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，求抛物线C 2的表达式(用k 表示)；
(3)在(2)条件下，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°.当k ＞1时，求k 的值．
图4 例6答图 解：(1)∵y ＝－3x 2＋23x ＝－3(x －1)2＋3，
∴抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点，
∵将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，
∴变换后的抛物线经过原点O ，(2，23)和(4，0)三点．
设变换后抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ，将(2，23)和(4，0)代入，
得?????4a ＋2b ＝23，16a ＋4b ＝0，解得?????a ＝－32，b ＝23，
∴变换后抛物线的表达式为y ＝－32
x 2＋23x ； (2)∵抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点，
将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物
线记作C 2，则抛物线C 2过原点O ，(k ，3k )，(2k ，0)三点，
∴抛物线C 2的表达式为y ＝－
3k x 2＋23x ；
(3)∵y ＝－3k x 2＋23x ＝－3k (x －k )2＋3k ，
∴O ，A ，C 三点共线，且顶点C 为(k ，3k )． 如答图，∵S △PAC ＝S △ABC ，k ＞1，∴BP ∥AC ，
过点P 作PD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥AO 于E .
由题意知△ABO 是边长为2的正三角形，四边形CEBP 是矩形， ∴OE ＝1，CE ＝BP ＝2k －1，∵∠PBD ＝60°，
∴BD ＝k －12，PD ＝32
(2k －1)， ∴P ?????
???k ＋32，32（2k －1）， ∴32(2k －1)＝－3k ? ????k ＋322＋23?
????k ＋32，解得k ＝92. 变式跟进
8．[2017·诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
图5
(1)求OE 的长；
(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的表达式；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，
当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ，当t 为何值时，DP ＝DQ .
解：(1)∵CE ＝CB ＝5，CO ＝AB ＝4，
∴在Rt △COE 中，
OE ＝CE 2－CO 2＝52－42＝3；
(2)设AD ＝m ，则DE ＝BD ＝4－m ，
∵OE ＝3，∴AE ＝5－3＝2，
在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即m 2＋22＝(4－m )2，
解得m ＝32
， ∴D ? ??
??－32，－5，∵C (－4，0)，O (0，0)， ∴设过O ，D ，C 三点的抛物线为y ＝ax (x ＋4)，
∴－5＝－32a ? ????－32＋4，解得a ＝43
， ∴抛物线表达式为y ＝43x (x ＋4)＝43x 2＋163
x ； (3)∵CP ＝2t ，∴BP ＝5－2t ，
由折叠的性质，得BD ＝DE ＝52
， 在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，?
????DP ＝DQ ，BD ＝ED ， ∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ (HL )，∴BP ＝EQ ，
∴5－2t ＝t ，∴t ＝53
.过关训练
1．已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是( C )
图1
A．根据图象可得该函数y有最小值
B．当x＝－2时，函数y的值小于0
C．根据图象可得a＞0，b＜0
D．当x＜－1时，函数值y随着x的增大而减小
【解析】由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y有最小值，此选项正确；B.当x＝－2时，图象在x轴的下方，函数值小于0，此选项正确；C.对称轴为x＝－1，a＞0，则b＞0，此选项错误；D.当x＜－1时，y随x的增大而减小，此选项正确．
2．抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移方法中正确的是( B )
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【解析】∵函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位长度，得y＝
(x＋2)2；然后y轴向下平移1个单位长度，得y＝(x＋2)2－1，故选B.
3．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )
A B C D
4．如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是( D )
图2
A．abc＞0 B．2a－b＝0
C．4a＋2b＋c＜0 D．9a＋3b＋c＝0
【解析】∵抛物线的开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，∴b ＞0，图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0；∵对称轴为x＝
1，∴－b
2a
＝1，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；当x＝2时，4a＋2b＋c＞0；当x＝3时，9a＋3b＋c＝0.
5．已知二次函数y＝3x2＋36x＋81.
(1)写出它的顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；
(3)求出图象与x轴的交点坐标；
(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；
(5)当x取何值时，y＜0.
解：(1)∵y＝3x2＋36x＋81＝3(x＋6)2－27，
∴顶点坐标为(－6，－27)；
(2)∵抛物线的对称轴为x＝－6，且抛物线的开口向上，
∴当x＞－6时，y随x的增大而增大；
(3)当3x2＋36x＋81＝0时，得x1＝－3，x2＝－9，
∴该函数图象与x轴的交点为(－9，0)，(－3，0)；
(4)∵抛物线的顶点坐标为(－6，－27)，
∴当x＝－6时，y有最小值，最小值为－27；
(5)∵该函数图象与x轴的交点为(－9，0)，(－3，0)，且抛物线的开口向上，
∴当－9＜x＜－3时，y＜0.
6．已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图象与y轴的交点坐标．
解：(1)由顶点A(－1，4)，可设二次函数关系式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)．
∵二次函数的图象过点B(2，－5)，
∴－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1.
∴二次函数的关系式是y ＝－(x ＋1)2＋4；
(2)令x ＝0，则y ＝－(0＋1)2＋4＝3，
∴图象与y 轴的交点坐标为(0，3)．
7．如图3，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点．
图3
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；
(3)点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标． 解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中， 得?????1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得?
????b ＝－2，c ＝－3， ∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3.
∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，
∴顶点坐标为(1，－4)；
(2)由图可得当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0；
(3)∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4.
设P (x ，y )，则S △PAB ＝12
AB ·|y |＝2|y |＝10， ∴|y |＝5，∴y ＝±5.
①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5，解得x 1＝－2，x 2＝4，
此时P点坐标为(－2，5)或(4，5)；
②当y＝－5时，x2－2x－3＝－5，方程无解．
综上所述，P点坐标为(－2，5)或(4，5)．
8．如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)已知墙的最大可用长度为8 m，
①求所围成花圃的最大面积；
②若所围花圃的面积不小于20 m2，请直接写出x的取值范围．
图4
解：(1)S＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；
(2)①S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，
由24－4x≤8，24－4x＞0，解得4≤x＜6，
当x＝4时，花圃有最大面积为32；
②令－4x2＋24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5，
∵墙的最大可用长度为8，即24－4x≤8，
∴x≥4，∴4≤x≤5.
9．[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润__2__000__元；
(2)若设后来该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元．
①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并求出当x取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？
解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100×(100－80)＝2 000(元)；
(2)①设该商品每件降价x元，依题意，得
(100－80－x)(100＋10x)＝2 090，
即x2－10x＋9＝0，解得x1＝1，x2＝9.
答：每件商品应降价1元或9元；
②根据题意得y＝(100－80－x)(100＋10x)
＝－10x2＋100x＋2 000，
当x＝－b
2a
＝5时，y最大＝2 250元，
答：该经营者所获最大利润为2 250元．
10．[2018·泰安]如图6，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx ＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.
图6
(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；
(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积．
解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2＋9，
把A (0，5)代入得4a ＋9＝5，解得a ＝－1，
∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5；
(2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝5，∴E (－1，0)，B (5，0)，
设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n ，
把A (0，5)，B (5，0)代入，得m ＝－1，n ＝5，
∴y ＝－x ＋5，
设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则D (x ，－x ＋5)，PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x ，∵AC ＝4，
∴四边形APCD 的面积＝12AC ·PD ＝12
×4×(－x 2＋5x )＝－2x 2＋10x ， 当x ＝－102×（－2）＝52时，四边形APCD 的面积最大，最大面积为252
. 11．[2017·双台子区校级一模]如图7，在平面直角坐标系中，二次
函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于c (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点．
(1)求出二次函数的表达式；
图7
(2)连结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 的坐标和四边形ACPB 的最大面积．
解：(1)把B (3，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，
得?????9＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得?
????b ＝－2，c ＝－3， ∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；
(2)存在．理由如下：
如答图①，作OC 的垂直平分线交直线BC 下方的抛物线于点P ，垂足为点E .则PO ＝PC ，
∵△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，
∴OP ′＝OP ，CP ′＝CP ，∴OP ′＝OP ＝CP ′＝CP ，
∴四边形POP ′C 为菱形，∵C 点坐标为(0，－3)，
∴E 点坐标为?
????0，－32，∴点P 的纵坐标为－32，
第1章三角形的初步知识 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。 三角形任何两边的和大于第三边。 三角形的内角和等于180. 锐角三角形：三个内角都是锐角。 直角三角形：有一个内角是直角。 钝角三角形：有一个内角是钝角。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 能够重合的两个图形称为全等图形。 能够重合的两个三角形叫做全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点。互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（SAS的推论） 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 角平分线上的点到角两边的距离相等。（AAS的推论） 全等三角形的判断定理：SSS、SAS、ASA、AAS是根据三角形的稳定性推导的。 第2章图形和变换 如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 对称轴垂直平分线连结两个对称点之间的线段。 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫反射变换，简称反射。经变换所得的新图形叫做原图形的像。 轴对称变换不改变原图形的形状和大小。 由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。
最新浙教版七年级下册数学知识点总结及例题 第1章平行线 1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行． 2．平行线的定义：在同一平面内 ．．．．．．，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？ 3．平行线的基本事实：经过直线外 ．．．一点，有且只有一条直线与这条直线平行．思考：为什么要经过“直线外”一点？ 4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论） 5．★★★★★同位角、内错角、同旁内角 判断过程：①画出给定的两个角的边（共三条边），公共边就是截线，剩下两条边就是被截线； ②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断． 同位角：在截线的同旁，被截线的同一侧． 内错角：在截线的异侧，被截线之间． 同旁内角：在截线的同旁，被截线之间． 练习：如图，∠1和∠2是一对___________；∠2和∠3是一对___________； ∠1和∠5是一对___________；∠1和∠3是一对___________； ∠1和∠4是一对___________；∠4和∠5是一对___________； 6．★★★★★平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）平行线的定义：在同一平面内 ．．．．．．，不相交的两条直线平行； （5）平行于同一条直线的两条直线平行；（不必在同一平面内） （6）在同一平面内 ．．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 练习：如图，要得到AB∥CD，那么可添加条件______________________________．（写出全部）7．★★★★★平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补． 练习：如图，已知∠1＝58°，∠3＝42°，∠4＝138°，则∠2＝________°.
金华市婺城区中考数学调研卷（3） 试 卷 Ⅰ 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 1．计算2010 ) 1(-的结果是……………………………………………………………（ ） A.－1 B.1 C.－2010 2．一堵8米长、3米高的墙上，有一个2米宽、1米高的窗户﹒下面图形所描述的可能 是这堵墙的是………………………………………………………………………（ ） A. B . C. D. 3．在平面直角坐标系中，点(25)A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是…（ ） A.（5-，2-） B.（2-，5-） C.（2-，5） D.（2，5-） 4．若两圆的直径分别为2cm 和10cm ，圆心距是8cm ，则这两圆的位置关系是…（ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 5．下面的图标列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系： 下面式子中能表示这种关系的是……………………………………………………（ ） A.2 d b = B.d b 2= C.2 d b = D.25-=d b 6．已知关于x 方程062 =--kx x 的一个根是3=x ，则实数k 的值为……（ ） B.－1 D.－2 7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于…………（ ） ° ° ° ° 8．如图，为了估计池塘岸边A 、B 两点间的距离，小明在池 塘一侧选取一点O ，现测得15=OA 米，10=OB 米，那 么A 、B 两点间的距离不可能．．．是（ ） A.25米 B.15米 C.10米 D.6米 d 50 80 100 150 b 25 40 50 75 30° 45° α
结点总识学册九教人版年级下数知反比例函数 26 一、反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量 x的指数为，在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点． 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量， 函数值，所以它的图像0?y0?x与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质
1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图像： （1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。越小，图像的弯曲度越大。（2）图像的位置和性质： 时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x当的增大而减小； 的增大而增大。x随y时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，当． ）在双曲线的）在双曲线的一支上，则（，（，3）对称性：图像关于原点对称，即若（ba ，）对称，即若（另一支。图像关于直线a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（ 在双曲线的另一支上。． 4．k的几何意义 上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于）是双曲线（如图 1，设点Pa，bB点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC ⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
解直角三角形单元达标检测 （时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA=sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．22 C ．10或27 D ．无法确定 3．已知锐角α，且tan α=cot37°，则a 等于（ ） A ．37° B ．63° C ．53° D ．45° 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c= sin a A B ．c=cos a A C ．c=a ·tanA D ．c=a ·cotA 5．如图是一个棱长为4cm 的正方体盒子，一只蚂蚁在D 1C 1的 中点M 处，它到 BB 的中点N 的最短路线是（ ） A ．8 B ．26 C ．210 D ．2+25 6．已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于 12 B ．小于1 2 C ．大于32 D ．小于32 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ． 23 3 9．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．32 3 C ．10 D ．12 10．已知sin α= 1 2 ，求α，若用计算器计算且结果为“”，最后按键（ ） A ．AC10N B ．SHIET C ．MODE D ．SHIFT “” 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，3×3?网格中一个四边形ABCD ，?若小方格正方形的边长为1，? 则四边形ABCD 的周长是_______． 12．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 13．若sin28°=cos α，则α=________． 14．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 15．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 16．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm ，将一根筷子插入其中， 杯外最长4厘
七年级下数学专题练习----选择题 班级 学号 姓名 1．下列计算正确的是（ ） A ．246x x x += B ．235x y xy += C ．632x x x ÷= D ．326 ()x x = 2．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2等于（ ） A ．32° B ．58° C ．68° D ．60° 3．下列四个多项式，能因式分解的是（ ） A ．a －1 B ．2a ＋1 C ．2x －4y D ．2x －6x ＋9 4．如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角形板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若∠1＝25°，则∠2的度数为 （ ） A ．20° B ．25° C ．30° D ．35° 5．已知m 6x =，3n x =，则2m n x -的值为:（ ） A ．9 B ． 43 C ．3 4 D ．12 6．计算 2 21 93 m m m --+的结果为： （ ） A ． 13m + B ．－13m - C ．－13m + D ．1 3 m - l 1 2 A m C B
7．若分式 2 1 +-x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－2 D ．1或－2 8．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是 A ．a 2-b 2=（a ＋b ）（a －b ） B ．（a ＋b ）2=a 2＋2ab ＋b 2 C ．（a －b ）2=a 2－2ab ＋b 2 D ．a 2－b 2=（a －b ）2 9．下列各式运算正确的是（ ） A ．33mn n n -= B ．3 3 y y y ÷= C ．326 ()x x = D ．236a a a ?= 10．如图，AB ∥CD ∥EF ，BC ∥AD ，AC 平分∠BAD 且与EF 交于点O ，那么与∠AOE 相等的角有（ ） A ．5个 B ．4 个 C ．3个 D ．2个 11．如图，下列判断正确的是 （ ） A ．若∠1=∠2，则AD ∥BC B ．若∠1=∠2．则AB ∥CD C ．若∠A=∠3，则 A D ∥BC D ．若∠A+∠ADC=180°，则AD ∥BC 12．若2n x =，则3n x 的值为 （ ）
九年级（下册） 1. 解直角三角形 1.1. 锐角三角函数 锐角a 的正弦、余弦和正切统称∠a 的三角函数。 如果∠a 是Rt △ABC 的一个锐角，则有 ;t ;c ;sin 的邻边 的对边斜边 的邻边斜边的对边A A anA A osA A A ∠∠=∠=∠= 1.2. 锐角三角函数的计算 1.3. 解直角三角形 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。 2. 直线与圆的位置关系 2.1. 直线与圆的位置关系 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点；当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 直线与圆的位置关系有以下定理： 相离；直线与相切； 直线与相交； 直线与，那么， 的距离为到直线，圆心的半径为如果O ⊙r d O ⊙r d O ⊙r d d l O r O ⊙?>?=?<
直线与圆相切的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 圆的切线性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线。 2.2.切线长定理 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。 2.3.三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 3.三视图与表面展开图 3.1.投影 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。 可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。 3.2.简单几何体的三视图 物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。 主视图、左视图和俯视图合称三视图。 产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。 3.3.由三视图描述几何体 三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。 3.4.简单几何体的表面展开图 将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。 圆柱可以看做由一个矩形ABCD绕它的一条边BC旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。AD旋转所成的面就是圆柱的侧
2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D.32 3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33 4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A ．3 m B ．3 5 m C ．12 m D ．6 m 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋18 九年级（下册） 1. 解直角三角形 1.1. 锐角三角函数 锐角a 的正弦、余弦和正切统称∠a 的三角函数。 如果∠a 是Rt △ABC 的一个锐角，则有 ;t ;c ;sin 的邻边的对边斜边 的邻边斜边 的对边A A anA A osA A A ∠∠=∠=∠= 1.2. 锐角三角函数的计算 1.3. 解直角三角形 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。 2. 直线与圆的位置关系 2.1. 直线与圆的位置关系 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点；当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 直线与圆的位置关系有以下定理： 相离； 直线与相切； 直线与相交； 直线与，那么， 的距离为到直线，圆心的半径为如果O ⊙r d O ⊙r d O ⊙r d d l O r O ⊙?>?=?< 直线与圆相切的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 圆的切线性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线。 2.2. 切线长定理 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。 2.3. 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 3. 三视图与表面展开图 3.1. 投影 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。 可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。 3.2. 简单几何体的三视图 物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。 主视图、左视图和俯视图合称三视图。 产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。 3.3. 由三视图描述几何体 三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。 3.4. 简单几何体的表面展开图 将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。 圆柱可以看做由一个矩形ABCD 绕它的一条边BC 旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。AB 、CD 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD 不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线。 圆锥可以看做将一根直角三角形ACB 绕它的一条直角边(AC)旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体。直角边BC 旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB 旋转所成的面就是圆锥的侧面，斜边AB 不论转动到哪个位置，都叫做圆锥的母线。 一个底面半径为r ，母线长为l 的圆锥，它的侧面展开图是一个半径为母线长l ，弧长为底面圆周长r π2的扇形，由此得到的圆锥的侧面积和全面积公式为： ；； 全侧rl r S rl S πππ+==2 若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ，则由r l o πθπ2180=，得到圆锥侧面展开图扇形的圆心角 度数的计算公式： o l 360r ?=θ 浙教版七年级下册数学各章知识点 第一章：平行线与相交线 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 两 直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 余角、对顶角 二、 要点诠释 1. 两条直线的位置关系 （ 1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。 （2）平行线：在同一平面内，不 相交的两条直线交平行线。 2. 几种特殊关系的角 （ 1）余角和补角： ①定义： 如果两个角的和是直角， 称这两个角互为余角； 如果两个角的和是平角， 称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 （2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。 （ 3）同位角、内错角、同旁内角 两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。 ① 在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。 ② 在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。 ③ 在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。 三、主要内容 （ 1）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角相等，两直线平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 （ 2）平行线的性质 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 知识结构 平行线与相交线 平行线 直线平行的判 定 直线平行的性质 尺规作图 相交线：补 角、 期中检测题 【本检测题满分:120分，时间:120分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的正弦值和正切值（ ） A.都缩小12 B.都扩大2倍 C.都没有变化 D.不能确定 2. 如图是教学用的直角三角板，边AC =30 cm ，∠C =90°， tan ∠BAC =，则边BC 的长为（ ） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm 3.一辆汽车沿坡角为的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ） A.500sin B.500sin α C.500cos D.500cos α 4.如图，在△中，=10，∠=60°，∠=45°， 则点 到的距离是（ ） A.10 C.15 D.15 105. tan 60? 的值等于（ ） A.1 D.2 6.计算6tan 452cos 60?-? 的结果是( ) A. B.4 C. D.5 7.如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =?== 则sin A 的值是( ) A.34 B.34 C.35 D.45 8.上午9时，一船从处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达处，如图所示，从，两处分别测得小岛在北偏东45°和北偏东15°方向，那么处与小岛的距离为（ ） A.20海里 海里 第7题图 A B 第2题图 9. （2012?山西中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上一点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O 第9题图 10. 如图， 是的直径，是的切线，为切点，连结交⊙于点,连结,若∠＝45°,则下列结论正确的是（ ） A ． B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.在离旗杆20 m 的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为，如果测角仪高1.5 m ， 那么 旗杆的高为________m. 12.如果sin =，则锐角的余角是__________. 13.已知∠为锐角，且sin =817 ，则tan 的值为__________. 14.如图，在离地面高度为5 m 的处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角， 则拉线 的长为__________m(用的三角函数值表示). 15.（2014·成都中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，第14题图 解直角三角形单元达标检测 （时间： 90 分钟，分值： 100 分） 一、选择题（每题 3分，共 30 分） 1．在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ． sinA=sinB B ．cosA=sinB C ． sinA=cosB D ．∠ A+∠ B=90° 2．直角三角形 的两边长分别是 6， 8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．2 2 C ．10或 2 7 D ．无法确定 3．已知锐角 α，且 tan α =cot37 °，则 a 等于（ ） A ． 37° B ．63° C ． 53° D ．45° 4．在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，当已知∠ A 和 a 时，求 c ，应选择的关系式是（ ） aa A ．c= B ． c= C sin A cosA 中点 M 处，它到 BB 的中点 N 的最短路线是（ ） A ．8 B ． 2 6 C ．2 10 D ．2+2 5 A ． 30° B ．45° C ． 60° D ． 75 7．当锐角 α >30°时，则 cos α 的值是（ ） A ．大于 1 B ．小于 1 C ．大于 3 D ．小于 3 2 2 2 2 8．小明沿着坡角为 30°的坡面向下走了 2 米，那么他下降（ ） A ．1 米 B ． 3 米 C ． 2 3 D ． 23 3 9．已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， 4 tanA= ， 3 BC=8， 则 AC 等于（ ） A ． 6 B ． 32 C ． 3 10 D ．12 10．已知 sin α = 1 1 ，求 α ，若用计算器计算且结果为“” ，最后按键 2 A ． AC10N B ． SHIET C ．MODE D ． SHIFT “” 二、填空题（每题 3分，共 18 分） 11．如图， 3× 3?网格中一个四边形 ABCD ， ?若小方格正方形的 边长为 1， ?则四边形 ABCD 的周长是 ____ ． 12．计算 2sin30 °+2cos60°+3tan45 ° = _________ ． 13．若 sin28 ° =cos α ，则 α= _______ ． 14．已知△ ABC 中，∠ C=90°， AB=13，AC=5，则 tanA= __ 15．某坡面的坡度为 1： 3 ，则坡角是 _______ 度． c=a · tanA D c=a · cotA 5．如图是一个棱长为 4cm 的正方体盒子，一只蚂蚁在 D 1C 1的 6．已知∠ A 是锐角，且 sinA= 3 ，那么∠ A 等于（ 2 九年级（下册） 1.解直角三角形 1.1.锐角三角函数 锐角a的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数。 如果∠a是Rt△ABC的一个锐角，则有 ; t ; c ; sin 的邻边 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A anA A osA A A ∠ ∠ = ∠ = ∠ = 1.2.锐角三角函数的计算 1.3.解直角三角形 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。 2.直线与圆的位置关系 2.1.直线与圆的位置关系 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点；当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 直线与圆的位置关系有以下定理： 相离；直线与相切； 直线与相交； 直线与，那么， 的距离为到直线，圆心的半径为如果O ⊙r d O ⊙r d O ⊙r d d l O r O ⊙?>?=?< 直线与圆相切的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 圆的切线性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线。 2.2. 切线长定理 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。 2.3. 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 3. 三视图与表面展开图 3.1. 投影 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。 可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。 七年级（下册） 1.平行线 1.1.平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 “平行”用符号“//”表示。 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 1.2.同位角、内错角、同旁内角 如图所示： 同位角：∠1和∠5 内错角：∠3和∠5 同旁内角：∠4和∠5 1.3.平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。(同位角相等，两直线平行) 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。(内错角相等，两直线平行) 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。(同旁内角互补，两直线平行) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 1.4.平行线的性质 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。(两直线平行，同位角相等) 两条直线被第三条直线所截，内错角相等。(两直线平行，内错角相等) 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。(两直线平行，同旁内角互补) 1.5.图形的平移 图形平移的定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。 图形平移的性质： （1）图形平移不改变图形的形状和大小。 （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 图形平移的描述：要描述一个平移，必须先指出平移的方向和距离。平移的方向和距离是决定平移的因素。 平移图形的画法： （1）找出原图形的关键点（如顶点或者端点） （2）按平移的方向和距离分别描出各个关键点平移后的对应点 （3）按原图将各对应点顺次连接 2.二元一次方程组 2.1.二元一次方程 像0.6x + 0.8y = 3.8这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 2.2.二元一次方程组 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 《分式》教案 教学目标 1．能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感． 2．了解分式的概念，明确分式与整式的区别． 教学重难点 教学重点：了解分式的概念． 教学难点：能用分式表示现实情景中的数量关系． 教学过程 复习与情境导入（填空） （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为______米． （2）面积为S 平方米的长方形一边长为a 米，则它的另一边长为______米． （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的住售价是____元． （4）根据一组数据的规律填空：1， 41，91，161……________（用n 表示）． 议一议 代数式 n m a n n x x -1802-3024002400，）（，，?+，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ 整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式．如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而获得分式的概念．教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背． 巩固应用 例：对于分式a a 21+： （1）当a =1，2时，求分式 a a 21+的值； （2）当a 取何值时，分式a a 21+有意义？ 答案：（1）当a =1时，；1121121=?+=+a a 当a =2时，；4 3221221=?+=+a a （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义． 由分母2a =0，得a =0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式a a 21+有意义． 对于例题（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a 本身是可以表示任何数的，但这里a 作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）． 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -． 2、探究1、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）2-x x ； （2）2 41+-x x ． 探究2、当x 是什么数时，分式 522-+x x 的值是零？ 根据分式的意义判断；可类比分数有意义来解决该问题；可类比分数值为0来解决． 探究3、x 取何值时，分式1 1-+x x 的值为正？可能为负吗？ 探究4、x 取何整数值时， 1 6-x 的值为整数？ 练习：讨论探索 当x 取什么数时，分式224 x x --，（1）有意义；（2）值为零？ 例3、已知分式b ax a x +-2，当x =3时，分式值为0，当x =-3时，分式无意义，求a ，b 的值．可类比分数来解． 五．回顾 想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？ 通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． 上章节知识点回顾： 1，证明圆周角定理 2，证明重心定理 3，射影定理（本章节附加内容，证明过程） 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB BD BC ?=2 解直角三角形（全章复习） 一． 教学目标 (1) 了解三角函数的定义，熟练掌握正弦、余弦、正切的相关计算 (2) 学会运用直角坐标轴比较各角度正弦、余弦和正切的值的大小 (3) 能够运用三角函数解决实际中一些简单问题 二． 教学重点与难点 重点：正弦、余弦以及正切的相关计算并运用三角函数解决一些简单的实际问题 难点：运用直角坐标轴比较各种角度的正弦、余弦和正切值的大小 三． 教学内容 1、三角函数的定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也 随之确定. ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝ 斜边 的对边 A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA= 斜边 的邻边 A ∠ ∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即 锐角A 的正弦、余弦和正切 统称∠A 的三角函数. tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 思考：在钝角三角形中怎么表示正弦、余弦和正切 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中A 前面的“∠”一 般省略不写。 思考：（1）根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗正切三角函数值 的取值范围呢 0＜sina ＜1，0＜cosa ＜1. （2）在非三角形中，角度的取值范围是多少呢相对应的 三角函数值的取值范围呢（了解） 2， （逆向思维，已知三角函数值，求角度） 三角函数角 sin α cos α tan α 30° 2 1 23 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 2 3 2 1 3 90° 120° 150° （补充）各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 2 2=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线 一、知识结构 ?????? ??? ??? ??? ???????????? ??? ??????????? ?? ? ?同位角相等，两直线平行 直线平行的判定内错角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等 平行线与相交线 两直线平行，同旁内角互补 作一条线段等于已知线段 尺规作图 作一个角等于已知角 相交线：补角、余角、对顶角 二、要点诠释 1.两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线交平行线。 2.几种特殊关系的角 （1）余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角。②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。（2）对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。 （3）同位角、内错角、同旁内角 两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。 ①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。 ②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角。 ③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。 三、主要内容 （1）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角相等，两直线平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 （2）平行线的性质 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 第二章：二元一次方程组 2.1二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 2.2二元一次方程组 由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 2.3解二元一次方程组 ①消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是： 1.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示； 2．用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值； 3.把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值； 4．写出方程组的解。 ②对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。 通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。这 第19周第3课时上课时间1月4日（星期四）累计教案83个 课题：4.1投影与盲区 教学目标： 1、经历实践、探索的过程，了解视点、视线、视角与盲区的概念； 2、体会视点、视线、视角、盲区在现实生活中的应用； 3、了解视点、视线、视角、盲区与中心投影的关系，感受其在生活中的实用价值。 教学重点：应用盲区的意义解释简单的现实现象。 教学难点：在简单的平面图和立体图中表示视线、视角和盲区。 教学过程： 一、创设情境，引入新课 （出示投影）你知道为什么飞机超低空飞行时，雷达很难发现它？ 下图是人观察事物时的直观图，在这个图上涉及了哪些数学知识？（视线，视角，视点）你能试着给它们下定义吗？ 人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所成的角叫做视角。 做一做：课本：第70页 强调：视角与仰角和俯角的区别。 二、盲区的概念 如图4-2，小明在点O能看见站在幕布后面点C的小华吗？如果小明的位置不变，小华应怎样移动自己的位置，才能使小明看到自己？为什么？ 学生讨论后得出：不能；移到幕布前∠AOB的范围内；因为小华在幕布后面的区域是小明视线不能到达的区域，要使小明看到自己，必须要移到小明视线能到达的区域。 教师追问：那么图中阴影部分的区域叫做什么？为什么？ 小结：我们把视线不能到达的区域叫做盲区，如图4-2中的阴影部分的区域就是盲区。 如图4-3，∠AO1D，∠BO2C，分别表示人的双目水平位置上的最大视角(约120°)，在这个图上什么地方是盲区，什么地方是人眼看得最清晰的区域？ 盲区的意义还不局限于人观察景物，那么盲区的意义还有哪些应用呢？学生举例 三、应用新知 例如图4-4，A，B表示教室的门框位置。小聪站在教室内的点P位置，小慧、小红、张杰三位同学分别站在教室外点C，D，E的位置。这三位同学中，小聪能看见谁？看不见谁？请用盲区的意义给出解释。 解：如图4-5，作射线PA，PB.图中阴影部分表示小聪观察教室外时的盲区.小慧、小红、张杰三位同学中，只有张杰在盲区内，所以小聪能看见的是小慧、小红，看不见的是张杰.浙教版九年级数学下册知识点汇总
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