汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高一文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设全集U R =，集合2
{}A y y x ==，{}
lg(3)B x y x ==-，则U A
C B =（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(3,)+∞
C ．[0,3]
D ．{}(,3]3-∞-
2．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1y x
=
B ．cos y x =
C ．21y x =-+
D ．ln ||y x = 3．设1
.02=a ，25lg
=b ，10
9log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4．平面向量a 与b 的夹角为0
60，(2,0)=a ，1=b ，则+=a b （ ）
A ．3 D ．7
5．函数1
()22
x
f x e x =+
-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2?? ??? B ．1,12??
???
C ．()1,2
D ．()2,3
6．设()()1
21,1
x f x x x <<=-≥??,若()()1f a f a =+,则
1f a ??
= ???
（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
7．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，
根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为???y
bx a =+．已知
10
1
225i
i x
==∑，10
1
1600i i y ==∑，?4b
=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） .A 160 .B 163 .C 166 .D 170
8．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A
．1 B ．34 C
D ．14
9．执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。若输入的[]0,t m ∈，则实数m 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10
．若函数()sin ()f x x x x R ωω=∈，又()2,()0f f αβ=-=，且βα-的最小值为
34
π
，则正数ω的值是（ ） A ．13
B ．
2
3
C ．4
3
D ．
32
11．各项均为正数的等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，当*,2n N n ∈≥时，有()
2211
n n n
S a a n =--，则20102S S -的值为（ ） A ．50
B ．100
C ．150
D ．200
12．已知函数211|1|)22(3)(a a e x f x x x -+-=---有唯一零点，则负实数=a （ ） A ．31- B ．2
1
- C ．-3 D ．-2
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．如果31cos =
α，且α是第四象限的角，那么cos
+2
π
α=（） 。 14．设变量,x y 满足约束条件20,
220,0,3,
x y x y x y +≥??+-≥?
?≤??≤?则目标函数z x y =+的最大值为 。
15．已知向量(1,2),(,1)a b m =-=，若向量2a b +与a 平行，则m= ．
16．若lg lg 2,m n += 则
12
m n +的最小值是
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos )A A =-。 （1）求A ；
（2）若7a =，sin sin B C +=ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）
已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
(1)n n
b n a =
+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求100S 的值.
19．（本小题满分12分）
已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.
（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；
（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差； （3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．
20．（本小题满分12分）
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百
斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
附：相关系数公式∑∑∑===----=
n
i i n
i i n
i i
i
y y x x y y x x r 12
12
1)()()
)((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．
21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122,8a a ==， ()11452n n n S S S n +-+=≥. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()
1
2og 1l n n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T 。
22．（本小题满分12分）
设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；
（3）当2a ≥时，讨论()4
f x x
+
在区间()0,+∞内的零点个数．
汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高一数学 参考答案
一、选择题
二、填空题
13．
3． 14． 3 15．12- 16．5
三、解答题
17．解：（13分
…………5分
（2 ，所以13b c +=．
…………7分
…………9分 因此△ABC
…………10分
18．解：（Ⅰ）由{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-. ∵3a 是1a 和9a 的等比中项，
∴2
319a a a =，即2(22)2(28)d d +=+，解之，得0d =（舍），或2d =.……………………4分
∴1(1)2n a a n d n =+-=.……………………………………………6分 （Ⅱ）11111
()(1)2(1)21
n n b n a n n n n =
==-+++.……………………………………………9分
12100n S b b b =++
+=
111111(1)2223
100101-+-++
-1150
(1)2101101
=-=
.……………12分 19． 解：（1）由题意，得抽出号码为22
的
组
数
为
3. ………………………………………………………………………………………1分
因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. (3)
分
（2）这10名学生的平均成绩为： x =
1
10
×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， 故样本方差为：2
1
10
s =
?（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. ………………………6分 （3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：
（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………………………………………………………8分
其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………………………………………………10分
故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：7
10
p =
。 ………………………………12分 20．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++=
=，34445
45
y ++++==．…………………1分
因为
5
1
()()(3)(1)000316i
i
i x x y
y =--=-?-++++?=∑，
…………………………………………2分 ，52310)1()3()
(222225
12
=+++-+-=-∑=i i
x x
…………………………………………………3分
=
………………………………………………………4分
所以相关系数()()
0.95n
i
i x
x y y r --=
=
=≈∑．…………………5分
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．……………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：
当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元…8分
当5070X ≤≤时，共有35周，此时2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．9分
当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元．……………10分
所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005
460050
Y ?+?+?=
=元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． …………………………………………………12分 21．解：（1）∵当2n ≥时， 1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ∴14n n a a +=. ……2分
∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………………………………………………………………………3分
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ……………………………………………………4分
∴121242n n n a --=?=. ………………………………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()
()
()
()1
1
1
21221log 1log 2121n n n n n n b a n +++-=-=-=--， ………………………8分
当2n k =时，()()21243412k k b b k k -+=---=- ……………………………………………………10分 ∴()()()()()21357434122n T n n n n ??=-+-+
+---=?-=-??。 ……………………………12分
22．解：（1）2
2
(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ，
当0≤a 时，10≤，显然成立；……………………………………………………………………………1分 当0>a ，则有12≤a ，所以21≤
a .所以2
1