第三章 不等式
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A ．z ＝6x ＋4y
B ．z ＝5x ＋4y
C ．z ＝x ＋y
D ．z ＝4x ＋5y
解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ，即目标函数z ＝6x ＋4y .
答案：A
2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.?????x ＋y ≤10，
2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N
z ＝20x ＋40y
B.?????x ＋y ≥10，
2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N
z ＝20x ＋40y
C.????
?x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，
z ＝20x ＋40y D.?????x ＋y ≤10，
2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N
z ＝40x ＋20y
解析：由题意可知选A. 答案：A
3．实数x ，y 满足?????x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝
y －1x
的取值范围是(
)
A ．[－1，0]
B ．(－∞，0]
C ．[－1，＋∞)
D ．[－1，1)
解析：作出可行域，如图所示，y －1
x 的几何意义是点(x ，y )与点
(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k 1最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，所以k l <1.综上，k ∈[－1，1)．
答案：D
4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
品种 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50，0
B ．30，20
C ．20，30
D ．0，50
解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件
??
?x ＋y ≤50，
1.2x ＋0.9y ≤54，
画出可行域如图，得最优解为A (30，20)，故选B.
答案：B
5．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为( )
A ．2，4
B ．3，3
C ．4，2
D ．不确定
解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则
??
???100x ＋160y ≤800，x ≥1，
y ≥1，
x ，y ∈N *
.
求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．
答案：B 二、填空题
6．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么
?????
??1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0
①
目标函数z ＝2 100x ＋900y . 二元一次不等式组①等价于 ?????
??3x ＋y ≤30010x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.
② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域．
将z ＝2 100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z
900，平行直线y ＝－73x ，
当直线y ＝－73x ＋z
900
经过点M 时，z 取得最大值．
解方程组???10x ＋3y ＝900，
5x ＋3y ＝600
得M 的坐标(60，100)．
所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元． 答案：216 000
7．若x ，y 满足约束条件????
?x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为
________．
解析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目
标函数z ＝x ＋y 经过点A ?
?
???1
，12时取得最大值，即z max ＝1＋12＝32.
答案：3
2
8．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．
解析：|x |＋|y |≤2可化为
??
???x ＋y ≤2（x ≥0，y ≥0），x －y ≤2（x ≥，y <0），－x ＋y ≤2（x <0，y ≥0），－x －y ≤2（x <0，y <0），
作出可行域，为如图所示的正方形内部(包括边界)，
容易得到整点个数为13个．
答案：13 三、解答题
9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：
达到最大，最大收益是多少？
解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z ，则目标函数为z ＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条
件为?????20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即??
???2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，
作出可行域如图阴影部分所示，
作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过
点M 时，z 取得最大值，解???2x ＋3y ＝30，
2x ＋y ＝22，
得M (9，4)，
所以z max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：
资金
每台空调或
冰箱所需资金/元 月资金供 应数量/元 空调
冰箱 成本 3 000 2 000 30 000 工人工资 500 1 000 11 000 每台利润
600
800
——
大？最大利润是多少？
解：设空调和冰箱的月供应量分别为x ，y 台，月总利润为z 元， 则????
?3 000x ＋2 000y ≤30 000，500x ＋1 000y ≤11 000，x ，y ∈N *
，
z ＝600x ＋800y ，作出可行域(如图所示)．
因为y ＝－34x ＋z 800，表示纵截距为z
800，斜率为k ＝－ 34的直线，
当z 最大时z 800最大，此时，直线y ＝－34x ＋z
800必过四边形区域的顶
点．
由???3 000x ＋2 000y ＝30 000，500x ＋1 000y ＝11 000，
得交点(4，9)，所以x ，y 分别为4，9时，z ＝600x ＋800y ＝9 600(元)．
所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．
B 级 能力提升
1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：
产品 用煤/吨 用电/千瓦
产值/万元
甲产品 7 20 8 乙产品
3
50
12
电至多450千瓦，则该厂最大日产值为( )
A ．120万元
B ．124万元
C ．130万元
D ．135万元
解析：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值z ＝8x ＋12y ，线性约束条件为????
?7x ＋3y ≤56，20x ＋50y ≤450，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所
示，
把z ＝8x ＋12y 变形为一簇平行直线系l ：y ＝－812x ＋z
12，由图可
知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z
12
最大，即z 取最大值，
解方程组???7x ＋3y ＝56，
20x ＋50y ＝450，
得M (5，7)，
z max ＝8×5＋12×7＝124，所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元．
答案：B
2．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．则该公司可获得的最大收益是________万元．
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟
和y 分钟，总收益为z 元，由题意得?????x ＋y ≤300，
500x ＋200y ≤90 000，
x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .
二元一次不等式组等价于?????x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，
x ≥0，y ≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．
联立???x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，
解得x ＝100，y ＝200.
所以点M 的坐标为(100，200)．
所以z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
答案：70
3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.
(2)约束条件为：
?????5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y ≥0，
x ∈N ，
y ∈N ，
整理得?????x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ， y ∈N.
目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，
如图所示，作出可行域，初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，
由???x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得???x ＝50，y ＝50.
最优解为A (50，50)，所以W max ＝550(元)．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．