当前位置:文档之家› 概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章
概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章

第六章参数估计

6.1 点估计问题概述

习题1

总体X在区间[0,θ]上均匀分布,X1,X2,?,Xn是它的样本,则下列估计量θ是θ的一致估计是().

(A)θ=Xn; (B)θ=2Xn;

(C)θ=Xˉ=1n∑i=1nXi; (D)θ=Max{X1,X2,?,Xn}.

解答:

应选(D).

由一致估计的定义,对任意?>0,

P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣

=P(-?+θ

=F(?+θ)-F(-?+θ).

因为

FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ, 及

F(x)=FMax{X1,X2,?,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x),

所以

F(?+θ)=1, F(-?+θ)=P(Max{X1,X2,?,Xn}<-?+θ)=(1-xθ)n,

P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣

习题2

设σ是总体X的标准差,X1,X2,?,Xn是它的样本,则样本标准差S是总体标准差σ的().

(A)矩估计量; (B)最大似然估计量; (C)无偏估计量; (D)相合估计量.

解答:

应选(D).

因为,总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差;样本方差是总体方差的无偏估计,但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见,样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.

习题3

设总体X的数学期望为μ,X1,X2,?,Xn是来自X的样本,a1,a2,?,an是任意常数,验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai(∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量.

解答:

E(X)=μ,

E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai?∑i=1naiE(Xi) (E(Xi)=E(X)=μ)

=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,

综上所证,可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量.

习题4

设θ是参数θ的无偏估计,且有D(θ)>0, 试证θ2=(θ)2不是θ2的无偏估计. 解答:

因为D(θ)=E(θ2)-[E(θ)]2, 所以

E(θ2)=D(θ)+[E(θ)]2=θ2+D(θ)>θ2,

故(θ)2不是θ2的无偏估计.

习题5

设X1,X2,?,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本,试求λ2的无偏估计量.

解答:

因X服从参数为λ的泊松分布,故

D(X)=λ, E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,

于是E(X2)-E(X)=λ2, 即E(X2-X)=λ2.

用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相应的总体矩E(X2),E(X), 便得λ2的无偏估计量

λ2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ.

习题6

设X1,X2,?,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体,试求p2的无偏估计量.

解答:

因总体X~b(n,p), 故

E(X)=np,

E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2

=np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,

E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,

于是,用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量

p2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).

习题7

设总体X服从均值为θ的指数分布,其概率密度为

f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,

其中参数θ>0未知. 又设X1,X2,?,Xn是来自该总体的样本,试证:Xˉ和n(min(X1,X2,?,Xn))都是θ的无偏估计量,并比较哪个更有效.

解答:

因为E(X)=θ, 而E(Xˉ)=E(X),所以E(Xˉ)=θ, Xˉ是θ的无偏估计量.设

Z=min(X1,X2,?,Xn),

因为

FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,

FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,

所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0,这是参数为nθ的指数分布,故知E(Z)=θn, 而

E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ,

所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小.

由于D(X)=θ2, 故D(Xˉ)=θ2n.

又由于D(Z)=(θn)2, 故有

D(nZ)=n2D(Z)=n2?θ2n2=θ2.

当n>1时,D(nZ)>D(Xˉ),故Xˉ较nZ有效.

习题8

设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样,试验证

m1=23X1+13X2, m2=14X1+34X2, m3=12X1+12X2,

都是m的无偏估计量;并问哪一个估计量的方差最小?

解答:

因为X服从N(m,1), 有

E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),

E(m1)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m,

D(m1)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,

同理可得:E(m2)=m,D(m2)=58, E(m3)=m,D(m3)=12.

所以,m1,m2,m3都是m的无偏估计量,并且在m1,m2,m3中,以m3的方差为最小.

习题9

设有k台仪器. 已知用第i台仪器测量时,测定值总体的标准差为σi(i=1,2,?,k), 用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次,分别得到X1,X2,?,Xk. 设仪器都没有系统误差,即E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 问a1,a2,?,ak应取何值,方能使用θ=∑i=1kaiXi估计θ时,θ是无偏的,并且D(θ)最小?

解答:

因为E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 故

E(θ)=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,

欲使E(θ)=θ, 则要∑i=1kai=1.

因此,当∑i=1kai=1时,θ=∑i=1kaiXi为θ的无偏估计, D(θ)=∑i=1kai2σi2, 要在∑i=1kai=1的条件下D(θ)最小,采用拉格朗日乘数法.

L(a1,a2,?,ak)=D(θ)+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),

{?L?ai=0,i=1,2,?,k∑i=1kai=1,

即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2;

又因∑i=1kai=1,所以λ∑i=1k12σi2=1, 记∑i=1k1σi2=1σ02, 所以λ=2σ02, 于是

ai=σ02σi2 (i=1,2,?,k),

故当ai=σ02σi2(i=1,2,?,k)时,θ=∑i=1kaiXi是θ的无偏估计,且方差最小.

习题6.2 点估计的常用方法

习题1

设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本,x1,x2,?,xn为一相应的样本值,求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大似然估计量.

(1)f(x)={θcθx-(θ+1),x>c0,其它, 其中c>0为已知,θ>1,θ为未知参数.

(2)f(x)={θxθ-1,0≤x≤10,其它, 其中θ>0,θ为未知参数.

(3)P{X=x}=(mx)px(1-p)m-x, 其中x=0,1,2,?,m,0

解答:

(1)E(X)=∫c+∞x?θcθx-(θ+1)dx=θcθ∫c+∞x-θdx=θcθ-1,解出

θ=E(X)E(X)-c,

令Xˉ=E(X),于是θ=XˉXˉ-c为矩估计量,θ的矩估计值为θ=xˉxˉ-c,其中

xˉ=1n∑i=1nxi.

另外,似然函数为

L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θncnθ(∏i=1nxi)-(θ+1),xi>c,

对数似然函数为

lnL(θ)=nlnθ+nθlnc-(θ+1)∑i=1nlnxi,

对lnL(θ)求导,并令其为零,得

dlnL(θ)dθ=nθ+nlnc-∑i=1nlnxi=0,

解方程得θ=n∑i=1nlnxi-nlnc,故参数的最大似然估计量为

θ=n∑i=1nlnXi-nlnc.

(2)E(X)=∫01x?θxθ-1dx=θθ+1,以Xˉ作为E(X)的矩估计,则θ的矩估计由Xˉ=θθ+1解出,得

θ=(Xˉ1-Xˉ)2,

θ的矩估计值为θ=(xˉ1-xˉ)2,其中xˉ=1n∑i=1nxi为样本均值的观测值.另外,似然函数为

L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θn/2(∏i=1nxi)θ-1,0≤xi≤1,

对数似然函数为

lnL(θ)=n2lnθ+(θ-1)∑i=1nlnxi,

对lnL(θ)求导,并令其为零,得

dlnL(θ)dθ=n2θ+12θ∑i=1nlnxi=0,

解方程得θ=(-n∑i=1nlnxi)2,故参数的最大似然估计量为

θ=(n∑i=1nlnXi)2.

(3)X~b(m,p),E(X)=mp,以Xˉ作为E(X)的矩估计,即Xˉ=E(X),则参数p的矩估计为

p=1mXˉ=1m?1n∑i=1nXi,

p的矩估计值为p=1mxˉ=1m?1n∑i=1nxi.

另外,似然函数为

L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=(∏i=1nCmxi)p∑i=1nxi(1-p)∑i=1n(m-xi),xi=0,1,?,m,对数似然函数为

lnL(θ)=∑i=1nlnCmxi+(∑i=1nxi)lnp+(∑i=1n(m-xi))ln(1-p),

对lnL(θ)求导,并令其为零,得

dlnL(θ)dθ=1p∑i=1nxi-11-p∑i=1n(m-xi)=0,

解方程得p=1mn∑i=1nxi,故参数的最大似然估计量为

p=1mn∑i=1nXi=1mXˉ.

习题2

设总体X服从均匀分布U[0,θ],它的密度函数为

f(x;θ)={1θ,0≤x≤θ0,其它,

(1)求未知参数θ的矩估计量;

(2)当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时,求θ的矩估计值.

解答:

(1)因为

E(X)=∫-∞+∞xf(x;θ)dx=1θ∫0θxdx=θ2,

令E(X)=1n∑i=1nXi,即θ2=Xˉ,所以θ=2Xˉ.

(2)由所给样本的观察值算得

xˉ=16∑i=16xi=16(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817,

所以θ=2xˉ=0.9634.

习题3

设总体X以等概率1θ取值1,2,?,θ, 求未知参数θ的矩估计量.

解答:

E(X)=1×1θ+2×1θ+?+θ×1θ=1+θ2=1n∑i=1nXi=Xˉ,

得θ的矩估计为θ=2Xˉ-1.

习题4

一批产品中含有废品,从中随机地抽取60件,发现废品4件,试用矩估计法估计这批产品的废品率.

解答:

设p为抽得废品的概率,1-p为抽得正品的概率(放回抽取). 为了估计p,引入随机变量Xi={1,第i次抽取到的是废品0,第i次抽取到的是正品,

于是P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p=q, 其中i=1,2,?,60,且E(Xi)=p, 故对于样本X1,X2,?,X60的一个观测值x1,x2,?,x60, 由矩估计法得p的估计值为

p=160∑i=160xi=460=115,

即这批产品的废品率为115.

习题5

设总体X具有分布律

X 1 2 3

pi θ2 2θ(1-θ) (1-θ)2

其中θ(0<θ<1)为未知参数. 已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1, 试求θ的矩估计值和最大似然估计值.

解答:

E(X)=1×θ2+2×2θ(1-θ)+3×(1-θ)2=3-2θ,

xˉ=1/3×(1+2+1)=4/3.

因为E(X)=Xˉ,所以θ=(3-xˉ)/2=5/6为矩估计值,

L(θ)=∏i=13P{Xi=xi}=P{X1=1}P{X2=2}P{X3=1}

=θ4?2θ?(1-θ)=2θ5(1-θ),

lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ),

对θ求导,并令导数为零

dlnLdθ=5θ-11-θ=0,

得θL=56.

习题6

(1)设X1,X2,?,Xn来自总体X的一个样本, 且X~π(λ), 求P{X=0}的最大似然估计.

(2)某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布,求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p的最大似然估计,使用下面122个观察值统计情况. 下表中,r表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数,s表示观察到的扳道员人数.

习题6.3 置信区间

习题1

对参数的一种区间估计及一组观察值(x1,x2,?,xn)来说,下列结论中正确的是().

(A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确;

(B)置信度越大,置信区间越长;

(C)置信度越大,置信区间越短;

(D)置信度大小与置信区间有长度无关.

解答:

应选(B).

置信度越大,置信区间包含真值的概率就越大,置信区间的长度就越大,对未知参数的估计精度越低.

反之,对参数的估计精度越高,置信区间的长度越小,它包含真值的概率就越低,置信度就越小.

习题2

设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计,则以下结论正确的是().

(A)参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α;

(B)参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α;

(C)区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α;

(D)对不同的样本观察值,区间(θ1,θ2)的长度相同.

解答:

应先(C).

由于θ1,θ2都是统计量,即(θ1,θ2)是随机区间,而θ是一个客观存在的未知常数,故(A),(B)不正确.

习题3

设总体的期望μ和方差σ2均存在,如何求μ的置信度为1-α的置信区间?

解答:

先从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,?,Xn.根据中心极限定理,知

U=Xˉ-μσ/n→N(0,1)(n→∞).

(1)当σ2已知时,则近似得到μ的置信度为1-α的置信区间为

(Xˉ-uα/2σn,Xˉ+uα/2σn).

(2)当σ2未知时,用σ2的无偏估计S2代替σ2, 这里仍有

Xˉ-μS/n→N(0,1)(n→∞),

于是得到μ的1-α的置信区间为

(Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn),

一般要求n≥30才能使用上述公式,称为大样本区间估计.

习题4

某总体的标准差σ=3cm, 从中抽取40个个体,其样本平均数xˉ=642cm,试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限).

解答:

因为n=40属于大样本情形,所以Xˉ近似服从

N(μ,σ2n)

的正态分布,于是μ的95%的置信区间近似为

(Xˉ±σnuα/2),

这里xˉ=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96, 从而

(xˉ±σnuα/2)=(642±340×1.96)≈(642±0.93),

故μ的95%的置信上限为642.93, 下限为641.07.

习题5

某商店为了了解居民对某种商品的需要,调查了100家住户,得出每户每月平均需求量为10kg, 方差为9,如果这个商店供应10000户,试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01), 并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需求?

解答:

因为n=100属于大样本问题,所以Xˉ近似服从N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信区间近似为(Xˉ±Snuα/2), 而

xˉ=10,s=3,n=100, uα/2=2.58,

所以

习题7

某城镇抽样调查的500名应就业的人中,有13名待业者,试求该城镇的待业率p的置信度为0.95置信区间.

解答:

这是(0-1)分布参数的区间估计问题. 待业率p的0.95置信区间为

(p1,p2)=(-b-b2-4ac2a,-b+b2-4ac2a).

其中

a=n+uα/22,b=-2nXˉ-(uα/2)2, c=nXˉ2,

n=500,xˉ=13500,uα/2=1.96.

则(p1,p2)=(0.015,0.044).

习题8

设X1,X2,?,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本,求μ的置信度为1-α的单侧置信限.

解答:

这是一个正态总体在方差未知的条件下,对μ的区间估计问题,应选取统计量:

T=Xˉ-μS/n~t(n-1).

因为只需作单边估计,注意到t分布的对称性,故令

P{Ttα(n-1)}=1-α.

由给定的置信度1-α, 查自由度为n-1的t分布表可得单侧临界值tα(n-1). 将不等式

Ttα(n-1), 即

Xˉ-μS/ntα(n-1)

分别变形,求出μ即得μ的1-α的置信下限为

Xˉ-tα(n-1)Sn.

μ的1-α的置信上限为

Xˉ+tα(n-1)Sn,

μ的1-α的双侧置信限

(Xˉ-tα/2(n-1)Sn,Xˉ+tα/2(n-1)Sn).

习题6.4 正态总体的置信区间

习题1

已知灯泡寿命的标准差σ=50小时,抽出25个灯泡检验,得平均寿命xˉ=500小时,试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计(假设灯泡寿命服从正态分布).

解答:

由于X~N(μ,502), 所以μ的置信度为95%的置信区间为

(Xˉ±uα/2σn),

这里xˉ=500,n=25,σ=50,uα/2=1.96, 所以灯泡的平均寿命的置信区间为

(xˉ±uα/2σn)=(500±5025×1.96)=(500±19.6)=(480.4,519.6).

习题2

一个随机样本来自正态总体X,总体标准差σ=1.5, 抽样前希望有95%的置信水平使得μ的估计的置信区间长度为L=1.7, 试问应抽取多大的一个样本?

解答:

因方差已知,μ的置信区间长度为

L=2uα/2?σn,

于是n=(2σLuα/2)2.

由题设知,1-α=0.95,α=0.05,α2=0.025. 查标准正态分布表得

u0.025=1.96,σ=1.5,L=1.7,

所以,样本容量

n=(2×1.5×1.961.7)2≈11.96.

向上取整数得n=12, 于是欲使估计的区间长度为1.7的置信水平为95%, 所以需样本容量为n=12.

习题3

设某种电子管的使用寿命服从正态分布. 从中随机抽取15个进行检验,得平均使用寿命为1950小时,标准差s为300小时,以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上、下限.

解答:

由X~N(μ,σ2), 知μ的95%的置信区间为

(Xˉ±Sntα/2(n-1)),

这里xˉ=1950,s=300,n=15,tα/2(14)=2.145, 于是

(xˉ±sntα/2(n-1))=(1950±30015×2.145)

≈(1950±166.151)=(1783.85,2116.15).

即整批电子管平均使用寿命的置信上限为2116.15, 下限为1783.85.

习题4

人的身高服从正态分布,从初一女生中随机抽取6名,测其身高如下(单位:cm):

149 158.5 152.5 165 157 142

求初一女生平均身高的置信区间(α=0.05).

解答:

X~N(μ,σ2),μ的置信度为95%的置信区间为

(Xˉ±Sntα/2(n-1)),

这里xˉ=154, s=8.0187, t0.025(5)=2.571, 于是

(xˉ±sntα/2(n-1))=(154±8.01876×2.571)

≈(154±8.416)≈(145.58,162.42).

习题5

某大学数学测验,抽得20个学生的分数平均数xˉ=72,样本方差s2=16, 假设分数服从正态分布,求σ2的置信度为98%的置信区间.

解答:

先取χ2分布变量,构造出1-α的σ2的置信区间为

((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)).

已知1-α=0.98,α=0.02,α2=0.01,n=20, S2=16.

查χ2分布表得

χ0.012(19)=36.191,χ0.992(19)=7.633,

于是得σ2的98%的置信区间为(19×1636.191,19×167.633),即(8.400,39.827).

习题6

随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布,求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间.

解答:

已知n=9,s=11(m/s),1-α=0.95.查表得

χ0.0252(8)=17.535, χ0.9752(8)=2.180,

σ的0.95的置信区间为

(8sχ0.0252(8),8sχ0.9752(8)), 即(7.4,21.1).

习题7

设来自总体N(μ1,16)的一容量为15的样本,其样本均值x1ˉ=14.6;来自总体N(μ2,9)的一容量为20的样本,其样本均值x2ˉ=13.2;并且两样本是相互独立的,试求μ1-μ2的90%的置信区间.

解答:

1-α=0.9,α=0.1, 由Φ(uα/2)=1-α2=0.95, 查表,得

uα/2=1.645,

再由n1=15,n2=20, 得

σ12n1+σ22n2=1615+920=9160≈1.232,

uα/2σ12n1+σ22n2=1.645×1.232≈2.03,

xˉ1-xˉ2=14.6-13.2=1.4,

所以,μ1-μ2的90%的置信区间为

(1.4-2.03,1.4+2.03)=(-0.63,3.43).

习题8

物理系学生可选择一学期3学分没有实验课,也可选一学期4学分有实验的课. 期未考试每一章节都考得一样,若有上实验课的12个学生平均考分为84,标准差为4,没上实验课的18个学生平均考分为77,标准差为6,假设总体均为正态分布且其方差相等,求两种课程平均分数差的置信度为99%的置信区间.

解答:

设有实验课的考分总体X1~N(μ1,σ2), 无实验课的考分总体X2~N(μ2,σ2). 两方差相等但均未知,求μ1-μ2的99%的置信区间,应选t分布变量,

T=X1ˉ-X2ˉ-(μ1-μ2)SW1n1+1n2~t(n1+n2-2),

其中SW=(n1-1)S12+(n2-1)S22n1+n2-2.

μ1-μ2的1-α的置信区间为

(X1ˉ-X2ˉ±tα/2(n1+n2-2)SW1n1+1n2).

由已知,x1ˉ-x2ˉ=84-77=7, 且

习题10

设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定,其测定值的样本方差依次为 sA2=0.5419,sB2=0.6065. 设σA2,σB2分别为A,B所测定的测定值的总体方差,又设总体均为正态的,两样本独立,求方差比σA2/σB2的置信水平为0.95的置信区间.

解答:

选用随机变量

F=SA2σA2/SB2σB2~F(n1-1,n2-1),

依题意,已知sA2=0.5419, sB2=0.6065, n1=n2=10.

对于1-α=0.95, 查F分布表得F0.025(9,9)=1F0.025(9,9)=14.03, 于是得σA2σB2的0.95的置信区间为

(sA2sB21Fα/2(9,9),sA2sB2Fα/2(9,9))≈(0.222,3.601).

总习题解答

习题1

设总体X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,X1,X2,?,Xn为一随机样本,令

Y=min{X1,X2,?,Xn}, 问常数c为何值时,才能使cY是λ的无偏估计量.

解答:

关键是求出E(Y). 为此要求Y的密度fY(y).

因Xi的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x<0;

Xi的分布函数为FX(x)={1-e-λx,x>00,x≤0,于是

FY(y)=1-[1-FX(y)]n={1-e-nλy,y>00,y≤0.

两边对y求导得fY(y)=ddyFY(y)={nλe-nλy,y>00,y≤0,即Y服从参数为nλ的指数分布,故

E(Y)=nλ.

为使cY成为λ的无偏估计量,需且只需E(cY)=λ, 即cnλ=λ, 故c=1n.

习题2

设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本,已知E(X)=μ, D(X)=σ2.

(1)确定常数c, 使c∑i=1n-1(Xi+1-Xi)2为σ2的无偏估计;

(2)确定常数c, 使(Xˉ)2-cS2是μ2的无偏估计(Xˉ,S2分别是样本均值和样本方差).

解答:

(1)E(c∑i=1n-1(Xi+1-Xi)2)

=c∑i=1n-1E(Xi+12-2XiXi+1+Xi2)

=c∑i=1n-1{D(Xi+1)+[E(Xi+1)]2-2E(Xi)E(Xi+1)+D(Xi)+[E(Xi)+[E(Xi)]2}

=c(n-1)(σ2+μ2-2μ2+σ2+μ2)=2(n-1)σ2c.

令2(n-1)σ2c=σ2, 所以

c=12(n-1).

(2)E[(Xˉ)2-cS2]=E(Xˉ2)-cE(S2)=D(Xˉ)+[E(Xˉ)]2-cσ2

=σ2n+μ2-cσ2.

令σ2n+μ2-cσ2=μ2, 则得c=1n.

习题3

设X1,X2,X3,X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未知. 设有估计量

T1=16(X1+X2)+13(X3+X4),

T2=X1+2X2+3X3+4X45,

T3=X1+X2+X3+X44.

(1)指出T1,T2,T3中哪几个是θ的无偏估计量;

(2)在上述θ的无偏估计中指出一个较为有效的.

解答:

(1)θ=E(X),E(Xi)=E(X)=θ,D(X)=θ2=D(Xi),i=1,2,3,4.

E(T1)=E(16(X1+X2)+13(X3+X4))=(26+23)θ=θ,

E(T2)=15E(X1+2X2+3X3+4X4)=15(1+2+3+4)θ=2θ,

E(T3)=14E(X1+X2+X3+X4)=θ,

因此,T1,T3是θ的无偏估计量.

(2)D(T1)=236θ2+29θ2=1036θ2, D(T3)=116?4θ2=14θ2=936θ2,

所以D(T3)

习题4

设从均值为μ, 方差为σ2(σ>0)的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两独立样本,X1ˉ和X2ˉ分别是两样本的均值,试证:对于任意常数a,b(a+b=1),Y=aX1ˉ+bX2ˉ都是μ的无偏估计;并确定常数a,b, 使D(Y)达到最小.

解答:

E(Y)=E(aX1ˉ+bX2ˉ)=aE(X1ˉ)+bE(X2ˉ)=(a+b)μ.

因为a+b=1, 所以E(Y)=μ.

因此,对于常数a,b(a+b=1),Y都是μ的无偏估计,

D(Y)=a2D(X1ˉ)+b2D(X2ˉ)=a2σ2n1+b2σ2n2.

因a+b=1, 所以D(Y)=σ2[a2n1+1n2(1-a)2], 令dD(Y)da=0, 即2σ2(an1-1-an2)=0, 解得a=n1n1+n2,b=n2n1+n2

是惟一驻点.

又因为d2D(Y)da2=2σ2(1n1+1n2)>0, 故取此a,b二值时,D(Y)达到最小.

习题5

设有一批产品,为估计其废品率p, 随机取一样本X1,X2,?,Xn, 其中

Xi={1,取得废品0,取得合格品, i=1,2,?,n,

证明:p=Xˉ=1n∑i=1nXi是p的一致无偏估计量.

解答:

由题设条件

E(Xi)=p?1+(1-p)?0=p,

D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p?12+(1-p)02-p2=p(1-p),

E(p)=E(Xˉ)=E(1n∑i=1nE(Xi))=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1np=p.

由定义,p是p的无偏估计量,又

D(p)=D(Xˉ)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(Xi)

=1n2∑i=1np(1-p)=1n2np(1-p)=pqn.

由切比雪夫不等式,任给?>0

P{∣p-p∣≥?}=P{∣Xˉ-p∣≥?}≤1?2D(Xˉ)=1?2p(1-p)n→0,n→∞

所以limn→∞P{∣p-p∣≥?}=0, 故p=Xˉ是废品率p的一致无偏估计量.

习题6

设总体X~b(k,p), k是正整数,0

解答:

因总体X服从二项分布b(k,p), 故

{a1=E(X)=kpa2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=kp(1-p)+(kp)2,

解此方程组得p=a1+a12-a2a1,k=a12a1+a12-a2.

用A1=1n∑i=1nXi=Xˉ,A2=1n∑i=1nXi2分别代替a1,a2, 即得p,k的矩估计为

p=Xˉ-S2Xˉ,k=[Xˉ2Xˉ-S2],

其中S2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2,[x]表示x的最大整数部分.

习题7

求泊松分布中参数λ的最大似然估计.

解答:

总体的概率函数为

P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,?.

设x1,x2,?,xn为从总体中抽取的容量为n的样本,则似然函数为

L(x1,x2,?,xn;λ)=∏i=1nf(xi;λ)=∏i=1nλxixi!e-λ=λ∑i=1nxi∏i=1nxi!e-nλ, lnL=(∑i=1nxi)lnλ-nλ-∑i=1nlnxi!,

令dlnLdλ=1λ∑i=1nxi-n=0, 得λ的最大是然估计为

λ=1n∑i=1nxi=xˉ,

即xˉ=1n∑i=1nxi就是参数λ的最大似然估计.

习题8

已知总体X的概率分布

P{X=k}=C2k(1-θ)kθ2-k,k=0,1,2,

求参数的矩估计.

解答:

总体X为离散型分布,且只含一个未知参数θ, 因此,只要先求离散型随机变量的数学期望E(X), 然后解出θ并用样本均值Xˉ代替E(X)即可得θ的矩估计θ.

由E(X)=∑k=02kC2k(1-θ)kθ2-k=1×2(1-θ)θ+2(1-θ)2=2-2θ, 即有

θ=1-E(X)2.

用样本均值Xˉ代替上式的E(X), 得矩估计为θ=1-Xˉ2.

习题9

设总体X的概率密度为

f(x)={(θ+1)xθ,0

其中θ>-1是未知参数,X1,X2,?,Xn为一个样本,试求参数θ的矩估计和最大似然估计量. 解答:

因E(X)=∫01(θ+1)xθ+1dx=θ+1θ+2. 令E(X)=1n∑i=1nXi=Xˉ, 得θ+1θ+2=Xˉ, 解得θ的矩估计量为

θ=2Xˉ-11-Xˉ.

设x1,x2,?,xn是样本X1,X2,?,Xn的观察值,则似然函数

L(x1,x2,?,xn,θ)=∏i=1n(θ+1)xiθ

=(θ+1)n(x1x2?xn)θ(0

取对数得lnL=nln(θ+1)+θ∑i=1nlnxi, 从而得对数似然方程

dlnLdθ=nθ+1+∑i=1nlnxi=0,

解出θ, 得θ的最大似然估计量为

θ=-n∑i=1nlnXi.

由此可知,θ的矩估计和最大似然估计是不相同的.

习题10

设X具有分布密度

f(x,θ)={θxe-θx!,x=0,1,2,?0,其它,0<θ<+∞,

X1,X2,?,Xn是X的一个样本,求θ的最大似然估计量.

解答:

似然函数

L(θ)=∏i=1nθxie-θxi!=e-nθ∏i=1nθxixi!,

lnL(θ)=-nθ+∑i=1nxilnθ-∑i=1nln(xi!),

ddθ(lnL(θ))=-n+1θ∑i=1nxi,

令ddθ(lnL(θ))=0, 即

-n+1θ∑i=1nxi=0?θ=1n∑i=1nxi,

故θ最大似然估计量为

θ=Xˉ=1n∑i=1nXi.

习题11

设使用了某种仪器对同一量进行了12次独立的测量,其数据(单位:毫米)如下:

232.50 232.48 232.15 232.53 232.45 232.30

232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30

试用矩估计法估计测量值的均值与方差(设仪器无系统误差).

解答:

设测量值的均值与方差分别为μ与σ2,因为仪器无系统误差,所以

θ=μ=Xˉ=1n∑i=1nXi=232+112∑i=1n(Xi-232)

=232+1/12×4.76≈232.3967.

用样本二阶中心矩B2估计方差σ2, 有

σ2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2=1n∑i=1n(Xi-a)2-(Xˉ-a)2

=112∑i=112(Xi-232)2-(232.3967-232)2

=0.1819-0.1574=0.0245.

习题12

设随机变量X服从二项分布

P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,?,n,

X1为其一个样本,试求p2的无偏估计量.

解答:

\becauseX~b(n,p),

∴E(X)=np, D(X)=np(1-p)=E(X)-np2

?p2=1n[E(X)-D(X)]=1n[E(X)-E(X2)+(EX)2]

?p2=1n[E(X(1-X))]+1nn2p2=1nE(X(1-X))]+np2

?p2=E[X(X-1)]n(n-1), 由于E[X(X-1)]=E[X1(X1-1)],

p2=X1(X1-1)n(n-1).

习题13

设X1,X2,?,Xn是来自总体X的随机样本,试证估计量

Xˉ=1n∑i=1nXi和Y=∑i=1nCiXi(Ci≥0为常数,∑i=1nCi=1)

都是总体期望E(X)的无偏估计,但Xˉ比Y有效.

解答:

依题设可得

E(Xˉ)=1n∑i=1nE(Xi)=1n×nE(X)=E(X),

E(Y)=∑i=1nCiE(Xi)=E(X)∑i=1nCi=E(X).

从而Xˉ,Y均为E(X)的无偏估计量,由于

D(Xˉ)=1n2∑i=1nD(Xi)=1nD(X),

D(Y)=D(∑i=1nCiXi)=∑i=1nCi2D(Xi)=D(X)∑i=1nCi2.

应用柯西—施瓦茨不等式可知

1=(∑i=1nCi)2≤(∑i=1nCi2)(∑i=1n12)=n∑i=1nCi2, ?1n≤∑i=1nCi2,

所以D(Y)≥D(Xˉ), 故Xˉ比Y有效.

习题14

设X1,X2,?,Xn是总体X~U(0,θ)的一个样本,证明:θ1=2Xˉ和θ2=n+1nX(n)是θ的一致估计.

解答:

因E(θ1)=θ, D(θ1)=θ23n; E(θ2)=θ,D(θ2)=θn(n+2),X(n)=max{Xi}.

依切比雪夫不等式,对任给的?>0, 当n→∞时,有

P{∣θ1-θ∣≥?}≤D(θ1)?2=θ23n?2→0,(n→∞)

P{∣θ2-θ∣≥?}≤D(θ2)?2=θ2n(n+1)?2→0,(n→∞)

所以,θ1和θ2都是θ的一致估计量.

习题15

某面粉厂接到许多顾客的订货,厂内采用自动流水线灌装面粉,按每袋25千克出售. 现从中随机地抽取50袋,其结果如下:

25.8, 24.7, 25.0, 24.9, 25.1, 25.0, 25.2,

24.8, 25.4, 25.3, 23.1, 25.4, 24.9, 25.0,

24.6, 25.0, 25.1, 25.3, 24.9, 24.8, 24.6,

21.1, 25.4, 24.9, 24.8, 25.3, 25.0, 25.1,

24.7, 25.0, 24.7, 25.3, 25.2, 24.8, 25.1,

25.1, 24.7, 25.0, 25.3, 24.9, 25.0, 25.3,

25.0, 25.1, 24.7, 25.3, 25.1, 24.9, 25.2,

25.1,

试求该厂自动流水线灌装袋重总体X的期望的点估计值和期望的置信区间(置信度为0.95). 解答:

设X为袋重总体,则E(X)的点估计为

E(X)=Xˉ=150(25.8+24.7+?+25.1)=24.92kg.

因为样本容量n=50, 可作为大样本处理,由样本值算得xˉ=24.92, s2≈0.4376, s=0.6615, 则E(X)的置信度为0.95的置信区间近似为

(Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn),

查标准正态分布表得uα/2=u0.025=1.96, 故所求之置信区间为

(24.92-1.96×0.661550,24.92+1.96×0.661550)=(24.737,25.103),

即有95%的把握,保证该厂生产的面粉平均每袋重量在24.737千克至25.103千克之间.

习题16

在一批货物的容量为100的样本中,经检验发现有16只次品,试求这批货物次品率的置信度为0.95的置信区间.

解答:

这是(0-1)分布参数区间的估计问题.

这批货物次品率p的1-α的置信区间为

(p1,p2)=(12a(-b-b2-4ac),12a(-b+b2-4ac)).

其中a=n+uα/22,b=-(2nXˉ+uα/22), c=nXˉ2.

由题意,xˉ=16100=0.16,n=100,1-α=0.95,u0.025=1.96. 算得

a=100+1.962=103.842,

b=-(2×100×0.16+1.962)=-35.842,

c=100×0.162=2.56.

p的0.95的置信区间为(p1,p2)=(12a(-b±b2-4ac)), 即

(12×103.842(35.8416±221.2823)),

亦即(0.101,0.244).

习题17

在某校的一个班体检记录中,随意抄录25名男生的身高数据,测得平均身高为170厘米,标准差为12厘米,试求该班男生的平均身高μ和身高的标准差σ的置信度为0.95的置信区间(假设测身高近似服从正态分布).

解答:

由题设身高X~N(μ,σ2), n=25, xˉ=170, s=12,α=0.05.

(1)先求μ置信区间(σ2未知),取

U=Xˉ-μS/n~t(n-1),tα/2(n-1)=t0.025(24)=2.06.

故μ的0.95的置信区间为

(170-1225×2.06,170+1225×2.06)

=(170-4.94,170+4.94)=(165.06,174,94).

(2)σ2的置信区间(μ未知),取

U=(n-1)S2σ2~χ2(n-1),

χα/22(n-1)=χ0.0252(24)=39.364, χ1-α/22(n-1)=χ0.9752(24)=12.401,

故σ2的0.95的置信区间为(24×12239.364,24×12212.401)≈(87.80,278.69), σ的0.95的置信区间为

(87.80,278.69)≈(9.34,16.69).

习题18

为研究某种汽车轮胎的磨损特性,随机地选择16只轮胎,每只轮胎行驶到磨坏为止. 记录所行驶的路程(以千米计)如下:

41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287

38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40440

假设这些数据来自正态总体N(μ,σ2). 其中μ,σ2未知,试求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限.

解答:

由P{μ>Xˉ-Sntα(n-1)=1-α, 得μ的1-α的单侧置信下限为

μˉ=Xˉ-Sntα(n-1).

由所给数据算得xˉ≈41119.38,s≈1345.46,n=16.

查t分布表得t0.05(15)=1.7531, 则有μ的0.95的单侧置信下限为

μˉ=41119.38-1345.464×1.7531≈40529.73.

习题19

某车间生产钢丝,设钢丝折断力服从正态分布,现随机在抽取10根,检查折断力,得数据如下(单位:N):

578,572,570,568,572,570,570,572,596,584.

试求钢丝折断力方差的置信区间和置信上限(置信度为0.95).

解答:

(1)这是一个正态总体,期望未知,对方差作双侧置信限的估计问题,应选统计量

χ2=(n-1)S2σ2~χ2(n-1).

σ2的1-α的置信区间是

((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)).

由所给样本值得

xˉ=575.2, (n-1)s2=∑1=110(xi-xˉ)2=681.6;

根据给定的置信度1-α=0.95(即α=0.05).

查自由度为10-1=9的χ2分布表,得双侧临界值

χα/22(n-1)=χ0.0252(9)=19.0, χ1-α/22(n-1)=χ0.9752(9)=2.7,

代入上公式得σ2的95%的置信区间为

(681.619.0,681,62.70)=(35.87,232.44),

即区间(35.87,232.44)包含σ2的可靠程度为0.95.

(2)这是一个正态总体期望未知时,σ2的单侧区间估计问题,σ2的置信度为1-α=95%(α=0.05)的单侧置信上限为

(n-1)S2χ1-α2(n-1)=∑i=110(xi-xˉ)2χ1-α2(n-1),

已算得(n-1)S2=∑i=110(xi-xˉ)2=681.6, 根据自由度1-α=0.95.

查自由度10-1=9的χ2分布表得单侧临界值

χ1-α2(n-1)=χ0.952(9)=3.325,

代入上式便得σ2的0.95的置信上限为681.63.325=205, 即有95%的把握,保证σ2包含在区间(0,205)之内,当然也可能碰上σ2超过上限值205的情形,但出现这种情况的可能性

很小,不超过5%.

习题20

设某批铝材料比重X服从正态分布N(μ,σ2),现测量它的比重16次,算得xˉ=2.705,s=0.029,分别求μ和σ2的置信度为0.95的置信区间。

解答:

(1)对1-α=0.95,即α=0.05,查t-分布表得tα/2(15)=2.131,于是

xˉ+tα/2(15)sn=2.705+2.131×0.02916=2.705+0.016=2.721,

xˉ-tα/2(15)sn=2.705-0.016=2.689.

则由题意知,关于μ的所求置信区间为(2.689,2.721)。

(2)对α=0.05,查χ2-分布表,得

χ0.052(15)=27.5,χ0.952(15)=6.26.

于是,1-α的σ2的置信区间为

((n-1)s2χα/22(n-1),(n-1)s2χ1-α/22(n-1))=(0.000489,0.002150).

习题21

某公司欲估计自己生产的电池寿命.现从其产品中随机抽取50只电池做寿命试验,这些电池的寿命的平均值xˉ=2.266(单位:100小时), s=1.935, 求该公司生产的电池平均寿命的置信度为95%的置信区间.

解答:

查正态分布表得uα/2=u0.025=1.96, 由公式(Xˉ-uα/2S/n,Xˉ+uα/2S/n), 得到

(2.266±1.96×1.93550),

经简单计算上式化为(1.730,2.802).

于是,我们有如下近似结论:该公司电池的平均寿命的置信度约为95%的置信区间为(1.730,2.802).

习题22

某印染厂在配制一种染料时,在40次试验中成功了34次,求配制成功的概率p的置信度为0.95的置信区间.

解答:

总体是试验的分布,p是成功率.

已知n=40, p=34/40, u0.025=1.96, 所以,p的置信度为0.95的置信区间为

(p1,p2)≈(p-uα/2p(1-p)n,p+uα/2p(1-p)n)

=(3440-1.963440×640/40,3440+1.963440×640/40),

即(0.7378,0.9607).

习题23

两家电影公司出品的影片放映时间如表所示,假设放映时间均服正态分布,求电影公司的影片放映时间方差比的置信度为90%的置信区间.

时间/分钟

公司Ⅰ

103 94 110 87 98

公司Ⅱ 97 82 123 92 175 88 118

解答:

由所给数据算出

x1ˉ=98.40,x2ˉ=110.71,s12=8.732,s22=32.192,n1=5,n2=7.

因为是求方差比的区间估计,故选用F分布变量,即

F=S12S22/σ12σ22~F(n1-1,n2-1).

对于置信度1-α, 取双侧概率相等的置信区间为

(S12S22?1Fα/2(n1-1,n2-1),S12S22?Fα/2(n2-1,n1-1)).

本题所给1-α=0.90,α=0.10,α2=0.05,n1=5,n2=7.

查F分布表得

F0.05(6,4)=6.16,F0.05(4,6)=4.53, s12s22=8,73232.192=0.0376,

于是σ12σ22的0.90的置信区间为(0.073×14.53,0.0736×6.16), 即(0.016,0.453). 习题24

公共汽车站在一单位时间内(如半小时或一天等)到达乘客数服从泊松分布P(λ), 对不同的车站,所不同的仅仅是参数λ的取值不同. 现对一城市某一公共汽车站进行了100个单位时间的调查,这里单位时间是20分钟,计算得到每20分钟内来到该车站的乘客数平均值x ˉ=15.2人,试求参数λ的置信度为95%的置信区间.

解答:

n=100,α=0.05, uα/2=u0.025=1.96, xˉ=15.2,

应用公式(Xˉ-uα/2Xˉ/n,Xˉ+uα/2Xˉ/n), 得

(xˉ±uα/2xˉ/n)=(15.2±1.9615.2/100)=(14.44,15.96),

即(14.44,15.96)为参数λ的置信度约为95%的置信区间.

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)=(A B) (A C) 证明:设x∈A (B C),则x∈A或x∈(B C),若x∈A,则x∈A B,且x∈A C,从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C,则x∈B且x∈C,于是x∈A B且x∈A C,从而x∈(A B) (A C),因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C),若x∈A,则x∈A (B C),若x∈A,由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C,所以x∈B C,所以x∈A (B C),因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得,A (B C)=(A B) (A C) 。 2、证明 ①A-B=A-(A B)=(A B)-B ②A (B-C)=(A B)-(A C) ③(A-B)-C=A-(B C) ④A-(B-C)=(A-B) (A C) ⑤(A-B) (C-D)=(A C)-(B D) (A-B)=A B A-(A B)=A C(A B)=A (CA CB) =(A CA) (A CB)=φ (A CB)=A-B (A B)-B=(A B) CB=(A CB) (B CB) =(A CB) φ=A-B ②(A B)-(A C)=(A B) C(A C) =(A B) (CA CC)=(A B CA) (A B CC)=φ [A (B CC)]= A (B-C) ③(A-B)-C=(A CB) CC=A C(B C) =A-(B C) ④A-(B-C)=A C(B CC)=A (CB C) =(A CB) (A C)=(A-B) (A C) ⑤(A-B) (C-D)=(A CB) (C CD) =(A C) (CB CD)=(A C) C(B D) =(A C)-(B D)

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明:若E 有界,则m E *<∞. 证明:若n E R ?有界,则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . (0M >充分大)使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证:设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零, 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ,只要 0m E μ*≤≤,就有1E E ?,使1m E μ*=. 证明:因为E 有界,设[],E a b ?(,a b 有限), 令()(),f x m E a x b *=?<< , 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与,不妨设a x x x b ≤≤+?≤, 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案(5) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 2.设n E R ?,如果E 满足0 E E =(其中0 E 表示E 的内部),则E 是 3.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??,则(,)a b 必为G 的 4.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设,A B 为可测集,B A ?且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 6.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是 7.若()E R ?是可数集,则__0mE 8.设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ?x E ∈(是否成立) 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则 ( ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 2.下列集合关系成立的是( ) (A )()()()A B C A B A C = (B )(\)A B A =? (C )(\)B A A =? (D )A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集,则 ( ) (A )0 E E = (B )E E = (C )E E '? (D )E E '= 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设{[0,1]}E =中的有理点 ,则( ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )0mE = (D )E 中的每一点均为E 的内点

实变函数第三章习题参考解答

实变函数第三章习题参考解答 1.设f 是E 上的可测函数,证明:R a '∈?,})(|{a x f x E ==是可测集. 解:R a '∈?,因为)(x f 是E 上的可测,所以})(|{a x f x E ==与 })(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而 })(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测. 2.设f 是E 上的函数,证明:f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r , })(|{r x f x E >=是可测集. 证:) (?R a '∈?,取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞ →lim ,则 })(|{})(|{1 k k r x f x E a x f x E >=>=∞ = .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性,知 })(|{a x f x E >=可测.从而,)(x f 在E 上的可测. )(?设f 在E 上的可测,即R a '∈?,})(|{a x f x E >=可测.特别地,当r a =时 有理数时,})(|{r x f x E >=可测. 3. 设f 是R '上的可测函数,证明:对于任意的常数α,)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题,我们先证下面二命题: 命题1.若E 是R '中的非空子集,则R '∈?α,有E m E m *||*αα= 证明:当0=α时,因为}0{=E α,则E m E m *||*αα=.不妨设,0≠α.因为 E I I E m i i i i ?=∞ =∞ =∑1 1 ||inf{* ,i I 为开区间}.0>?ε,存在开区间序列∞=1}{i i I , E I i i ?∞ =1 ,||*||*1αε + <≤∑∞ =E m I E m i i .又因为E I i i ?∞=α1 (注:若),(i i i I βα=,则 ? ??=ααααβααβααα),,(),,(i i i i i I . 所以εααααα+?<==≤ ∑∑∑∞ =∞=∞ =E m I I I E m i i i i i i *||||||||||||*1 1 1 .由ε得任意性,有

统计学计算例题及答案

计算题例题及答案: 1、某校社会学专业同学统计课成绩如下表所示。 社会学专业同学统计课成绩表 学号成绩学号成绩学号成绩101023 76 101037 75 101052 70 101024 91 101038 70 101053 88 101025 87 101039 76 101054 93 101026 78 101040 90 101055 62 101027 85 101041 76 101056 95 101028 96 101042 86 101057 95 101029 87 101043 97 101058 66 101030 86 101044 93 101059 82 101031 90 101045 92 101060 79 101032 91 101046 82 101061 76 101033 80 101047 80 101062 76 101034 81 101048 90 101063 68 101035 80 101049 88 101064 94 101036 83 101050 77 101065 83 要求: (1)对考试成绩按由低到高进行排序,求出众数、中位数和平均数。

(2)对考试成绩进行适当分组,编制频数分布表,并计算累计频数和累计频率。答案: (1)考试成绩由低到高排序: 62,66,68,70,70,75,76,76,76,76,76,77,78,79, 80,80,80,81,82,82,83,83,85,86,86,87,87,88, 88,90,90,90,91,91,92,93,93,94,95,95,96,97, 众数:76 中位数:83 平均数: =(62+66+……+96+97)÷42 =3490÷42 =83.095 (2) 按成绩 分组频数频率(%) 向上累积向下累积 频数频率(%) 频数频率(%) 60-69 3 7.143 3 7.143 42 100.000 70-79 11 26.190 14 33.333 39 92.857 80-89 15 35.714 29 69.048 28 66.667

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数,则*0m Q =,()Q Q x χ可测,可测,有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ,集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集,则一定存在可测集 δ G 型集 G ,使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?,A B ?可测,且()m A B ?<+∞,若()**m A B m A m B ?=+, 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数,G 为开集,F 为闭集,试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集,为什么? 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0,而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n (1,2,3,=L n ),试证()f x 可积分,并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列,若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数,+∞?ε,存在E 上. 有界的 可测函数)(x g ,使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。 解答: 1. 解:()∞=∞ →,0lim n n A ;设()∞∈,0x ,则存在N ,使x N <,因此n N >时,0x n <<, 即n A x 2∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ,所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

实变函数第三章复习题及解答

第三章 复习题 一、判断题 1、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数,如果对任意实数a ,都有[()]E x f x a >为可测集,则()f x 为E 上的可测函数。(√ ) 2、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数,如果对某个实数a ,有[()]E x f x a >不是可测集,则()f x 不是E 上的可测函数。(√ ) 3、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a , [()]E x f x a ≥为可测集。(× ) 4、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a , [()]E x f x a =为可测集。(× ) 5、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a , [()]E x f x a ≤为可测集。(√ ) 6、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b (a b <), [()]E x a f x b ≤<为可测集。(× ) 7、设E 是零测集,()f x 是E 上的实函数,则()f x 为E 上的可测函数。(√ ) 8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ,则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。(× ) 9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数,则()f x 在E 上“基本上”连续。(√ ) 10、设E 为可测集,若E 上的可测函数列()()n f x f x ?(x E ∈),则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。(× ) 11、设E 为可测集,若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ,则()()n f x f x ?(x E ∈)。(× )

统计学计算题答案..

第 1 页/共 12 页 1、下表是某保险公司160名推销员月销售额的分组数据。书p26 按销售额分组(千元) 人数(人) 向上累计频数 向下累计频数 12以下 6 6 160 12—14 13 19 154 14—16 29 48 141 16—18 36 84 112 18—20 25 109 76 20—22 17 126 51 22—24 14 140 34 24—26 9 149 20 26—28 7 156 11 28以上 4 160 4 合计 160 —— —— (1) 计算并填写表格中各行对应的向上累计频数; (2) 计算并填写表格中各行对应的向下累计频数; (3)确定该公司月销售额的中位数。 按上限公式计算:Me=U- =18-0.22=17,78 2、某厂工人按年龄分组资料如下:p41 工人按年龄分组(岁) 工人数(人) 20以下 160 20—25 150 25—30 105 30—35 45 35—40 40 40—45 30 45以上 20 合 计 550 要求:采用简捷法计算标准差。《简捷法》 3、试根据表中的资料计算某旅游胜地2004年平均旅游人数。P50 表:某旅游胜地旅游人数 时间 2004年1月1日 4月1日 7月1日 10月1日 2005年1月1 日 旅游人数(人) 5200 5000 5200 5400 5600 4、某大学2004年在册学生人数资料如表3-6所示,试计算该大学2004年平均在册学生人数. 时间 1月1日 3月1日 7月1日 9月1日 12月31日 在册学生人数(人) 3408 3528 3250 3590 3575

实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章

。习题2.1 1.若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集,求b E E E E ,,,' . 解 E =?;[0,1][0,1]b E E E '===?。 2.设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ,求b E E E E ,,,' . 解 E =?;{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3.下列各式是否一定成立? 若成立,证明之,若不成立,举反例说明. (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???; (2) )()(B A B A ''=' ; (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ; (4) B A B A =; (5) ???=B A B A )(; (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ,{}n n E r =(单点集),则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是,总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ,{}n n E r =(单点集),则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是,总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =,(,)B b c =,则A B =?,而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =,而 ()(,)A B a c =,(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此, 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>,20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈,即 ()A B A B ?。因此,()A B A B =. 4.试作一点集A ,使得A '≠?,而?='')(A . 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =,则{0}A '=,()A ''=?. 5.试作一点集E ,使得b E E ?. 解 取E =Q ,则b E =R 。 6.证明:无聚点的点集至多是可数集. 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集,所以只要证明:任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈,都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈,从而 (,){}x x B P r A x =。显然,对于任意的,x y A ∈,当x y ≠时,有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠, 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =,则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案(4) 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) )(b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.(填“一定”“不一定”) 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1.设(){},001E x x =≤≤,则( ) A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2.设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则( ) A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3.下列集合关系成立的是() A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集,则 ( ) A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

统计学期末考试试题(含答案)

西安交大统计学考试试卷 一、单项选择题(每小题2分,共20分) 1.在企业统计中,下列统计标志中属于数量标志的是( C) A、文化程度 B、职业 C、月工资 D、行业 2.下列属于相对数的综合指标有(B ) A、国民收入 B、人均国民收入 C、国内生产净值 D、设备台数 3.有三个企业的年利润额分别是5000万元、8000万元和3900万元,则这句话中有( B)个变量 A、0个 B、两个 C、1个 D、3个 4.下列变量中属于连续型变量的是(A ) A、身高 B、产品件数 C、企业人数 D、产品品种 5.下列各项中,属于时点指标的有(A ) A、库存额 B、总收入 C、平均收入 D、人均收入 6.典型调查是(B )确定调查单位的 A、随机 B、主观 C、随意 D盲目 7.总体标准差未知时总体均值的假设检验要用到( A ): A、Z统计量 B、t统计量 C、统计量 D、X统计量 8. 把样本总体中全部单位数的集合称为(A ) A、样本 B、小总体 C、样本容量 D、总体容量 9.概率的取值范围是p(D ) A、大于1 B、大于-1 C、小于1 D、在0与1之间 10. 算术平均数的离差之和等于(A ) A、零 B、 1 C、-1 D、2 二、多项选择题(每小题2分,共10分。每题全部答对才给分,否则不计分) 1.数据的计量尺度包括( ABCD ): A、定类尺度 B、定序尺度 C、定距尺度 D、定比尺度 E、测量尺度 2.下列属于连续型变量的有( BE ): A、工人人数 B、商品销售额 C、商品库存额 D、商品库存量 E、总产值 3.测量变量离中趋势的指标有( ABE ) A、极差 B、平均差 C、几何平均数 D、众数 E、标准差 4.在工业企业的设备调查中( BDE ) A、工业企业是调查对象 B、工业企业的所有设备是调查对象 C、每台设备是 填报单位 D、每台设备是调查单位 E、每个工业企业是填报单位 5.下列平均数中,容易受数列中极端值影响的平均数有( ABC ) A、算术平均数 B、调和平均数 C、几何平均数 D、中位数 E、众数 三、判断题(在正确答案后写“对”,在错误答案后写“错”。每小题1分,共10分) 1、“性别”是品质标志。(对) 2、方差是离差平方和与相应的自由度之比。(错) 3、标准差系数是标准差与均值之比。(对) 4、算术平均数的离差平方和是一个最大值。(错) 5、区间估计就是直接用样本统计量代表总体参数。(错) 6、在假设检验中,方差已知的正态总体均值的检验要计算Z统计量。(错)

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是() A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]2.闭集减去开集是() A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案:B [单选题]3.可数多个开集的交是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]4.可数多个闭集的并是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]6.可数集与有限集的并是() A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案:B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案:正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是() A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案:C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数,则f(x)的间断点集是()A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数,E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案:A [单选题]10.波雷尔集是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案:正确 [单选题]1.开集减去闭集是()。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]5.可数多个开集的并是() A:开集 B:闭集

C:可数集 参考答案:A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案:错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案:错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案:正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案:正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案:正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是() A:0 B:1

实变函数习题解答

第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)=(A Y B)I(A Y C) 证明:设x∈A Y(B I C),则x∈A或x∈(B I C),若x∈A,则x∈A Y B,且 x∈A Y C,从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C,则x∈B且x∈C,于是x∈A Y B 且x∈A Y C,从而x∈(A Y B)I(A Y C),因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C),若x∈A,则x∈A Y(B I C),若x∈A,由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C,所以x∈B I C,所以x∈A Y(B I C),因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得,A Y(B I C)=(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A-B=A-(A I B)=(A Y B)-B ②A I(B-C)=(A I B)-(A I C) ③(A-B)-C=A-(B Y C) ④A-(B-C)=(A-B)Y(A I C) ⑤(A-B)I(C-D)=(A I C)-(B Y D) (A-B)=A I B A-(A I B)=A I C(A I B)=A I(CA Y CB) =(A I CA)Y(A I CB)=φY(A I CB)=A-B (A Y B)-B=(A Y B)I CB=(A I CB)Y(B I CB) =(A I CB)Yφ=A-B ②(A I B)-(A I C)=(A I B)I C(A I C) =(A I B)I(CA Y CC)=(A I B I CA)Y(A I B I CC)=φY[A I(B I CC)]= A I(B-C) ③(A-B)-C=(A I CB)I CC=A I C(B Y C) =A-(B Y C) ④A-(B-C)=A I C(B I CC)=A I(CB Y C) =(A I CB) Y(A I C)=(A-B)Y(A I C) ⑤(A-B)I(C-D)=(A I CB)I(C I CD) =(A I C)I(CB I CD)=(A I C)I C(B Y D)

统计学计算题例题及计算分析报告

计算分析题解答参考 1.1.某厂三个车间一季度生产情况如下: 计算一季度三个车间产量平均计划完成百分比和平均单位产品成本。 解:平均计划完成百分比=实际产量/计划产量=733/(198/0.9+315/1.05+220/1.1) =101.81% 平均单位产量成本 X=∑xf/∑f=(15*198+10*315+8*220)/733 =10.75(元/件) 1.2.某企业产品的有关资料如下: 试分别计算该企业产品98年、99年的平均单位产品成本。 解:该企业98年平均单位产品成本 x=∑xf/∑f=(25*1500+28*1020+32*980)/3500 =27.83(元/件) 该企业99年平均单位产品成本x=∑xf /∑(m/x)=101060/(24500/25+28560/28+48000/32) =28.87(元/件) 年某月甲、乙两市场三种商品价格、销售量和销售额资料如下: 1.3.1999 解:三种商品在甲市场上的平均价格x=∑xf/∑f=(105*700+120*900+137*1100)/2700 =123.04(元/件) 三种商品在乙市场上的平均价格x=∑m/∑(m/x)=317900/(126000/105+96000/120+95900/137) =117.74(元/件) 2.1.某车间有甲、乙两个生产小组,甲组平均每个工人的日产量为22件,标准差为 3.5件;乙组工人日产量资料:

试比较甲、乙两生产小组中的哪个组的日产量更有代表性? 解:∵X 甲=22件 σ甲=3.5件 ∴V 甲=σ甲/ X 甲=3.5/22=15.91% 列表计算乙组的数据资料如下: ∵x 乙=∑xf/∑f=(11*10+14*20+17*30+20*40)/100 =17(件) σ 乙=√[∑(x-x)2 f]/∑f =√900/100 =3(件) ∴V 乙=σ乙/ x 乙=3/17=17.65% 由于V 甲<V 乙,故甲生产小组的日产量更有代表性。 2.2.有甲、乙两个品种的粮食作物,经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤,标准差为162.7斤;乙品种实验的资料如下: 试研究两个品种的平均亩产量,确定哪一个品种具有较大稳定性,更有推广价值? 解:∵x 甲=998斤 σ甲=162.7斤 ∴V 甲=σ甲/ x 甲=162.7/998=16.30% 列表计算乙品种的数据资料如下:

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案 证明题:60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立,Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?,则存在{}{}i n n f f ?,使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>,则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上,()i n f x 收敛到()f x , 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x (单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外,()n f x 收敛于()f x ,就是()n f x . 收敛到()f x 。

(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点

试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有

应用统计学试题及答案

北京工业大学经济与管理学院2007-2008年度 第一学期期末应用统计学 主考教师 专业:学号:姓名:成绩: 1 C 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 C 一.单选题(每题2分,共20分) 1.在对工业企业的生产设备进行普查时,调查对象是 A 所有工业企业 B 每一个工业企业 C 工业企业的所有生产设备 D 工业企业的每台生产设 备 2.一组数据的均值为20, 离散系数为, 则该组数据的标准差为 A 50 B 8 C D 4 3.某连续变量数列,其末组为“500以上”。又知其邻组的组中值为480,则末组的组中值为

A 520 B 510 C 530 D 540 4. 已知一个数列的各环比增长速度依次为5%、7%、9%,则最后一期的定基增长速度为 A .5%×7%×9% B. 105%×107%×109% C .(105%×107%×109%)-1 D. 1%109%107%1053- 5.某地区今年同去年相比,用同样多的人民币可多购买5%的商品,则物价增(减)变化的百分比为 A. –5% B. –% C. –% D. % 6.对不同年份的产品成本配合的直线方程为x y 75.1280? -=, 回归系数b= -表示 A. 时间每增加一个单位,产品成本平均增加个单位 B. 时间每增加一个单位,产品成本平均下降个单位 C. 产品成本每变动一个单位,平均需要年时间 D. 时间每减少一个单位,产品成本平均下降个单位 7.某乡播种早稻5000亩,其中20%使用改良品种,亩产为600 公

斤,其余亩产为500 公斤,则该乡全部早稻亩产为 A. 520公斤 B. 530公斤 C. 540公斤 D. 550公斤 8.甲乙两个车间工人日加工零件数的均值和标准差如下: 甲车间:x=70件,σ=件乙车间: x=90件, σ=件哪个车间日加工零件的离散程度较大: A甲车间 B. 乙车间 C.两个车间相同 D. 无法作比较 9. 根据各年的环比增长速度计算年平均增长速度的方法是 A 用各年的环比增长速度连乘然后开方 B 用各年的环比增长速度连加然后除以年数 C 先计算年平均发展速度然后减“1” D 以上三种方法都是错误的 10. 如果相关系数r=0,则表明两个变量之间 A. 相关程度很低 B.不存在任何

实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案

第一章集合 早在中学里我们就已经接触过集合的概念,以及集合的并、交、补的运算,因此这章的前两节具有复习性质,不过,无限多个集合的并和交,是以前没有接触过的,它是本书中常常要用到,是学习实变函数论时的一项基本功。 康托尔在19世纪创立了集合论,对无限集合也以大小,多少来分,例如他断言:实数全体比全体有理数多,这是数学向无限王国挺近的重要里程碑,也是实变函数论的出发点。 实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上,对于实数的性质,我们假定读者已经学过,所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。 §1 集合的表示 集合是数学中所谓原始概念之一,不能用别的概念加以定义,就目前来说,我们只要求掌握一下朴素的说法: 在一定范围内的个体事物的全体,当将它们看作一个整体时,我们把这个整体称作一个集合,其中每一个个体事物叫做该集合的元素。 顺便说明一下,一个集合的各个元素必须是彼此互异的,哪些事物是给定集合的元素必须是明确的,下面举出几个集合的例子。 例1 4,7 ,8,3四个自然数构成的集合。 例2 全体自然数 例3 0和1之间的实数全体 0,1上的所有实函数全体 例4 [] 例5 A,B,C三个字母构成的集合 例6 平面上的向量全体 全体高个子并不构成一个集合,因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限,有时难以判断他是否属于这个集合。 1.集合的表示

一个具体集合A 可以通过例举其元素,,a b c L 来定义,可记{},,A a b c =L 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p 来定义,并记为 A={x :x 满足条件p} 如例1可以表示为{4,7,8,3}例3可以表示为{}:(0,1)x x ∈ 设A 是一个集合,x 是A 的元素,我们称x 属于A ,记作x A ∈,x 不是A 的元素,记作x A ?。 为方便表达起见,?表示不含任何元素的空集,例如 {x :sin x >1}=? 习惯上,N 表示自然数集,(本书中的自然数集不包含0),Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 设()f x 是定义在E 上的函数,记()f E ={ ()f x :x ∈E},称之为f 的值域。若D 是R 中的集合,则 1()f D -={x :x ∈E ,},称之为D 的原像,在不至 混淆时,{x :x ∈E ,()f x 满足条件p}可简写成{x :()f x 满足条件p }. 2.集合的包含关系 若集合A 和B 满足关系:对任意x ∈A,可以得到x ∈B ,则成A 是B 的子集,记为A ?B 或B ?A ,若A B 但A 并不与B 相同,则称A 是B 的真子集. 例7. 若()f x 在R 上定义,且在[a,b]上有上界M ,即任意对 x ∈[a,b]有()f x ≤M.用集合语言表示为:[a,b] ?{x :()f x ≤M}. 用集合语言描述函数性质,是实变函数中的常用方法,请在看下例. 例8. 若()f x 在R 上连续,任意取定0x ∈R,对任意ε>0,存在δ>0.使得对任 意0 0(,)x x x δδ∈-+有0|()()|f x f x -<ε,即 0000((,))((),())f x x f x f x δδεε-+?-+. 3.集合相等 若集合A 和B 满足关系:A ?B 且B ?A,则称A 和B 相等,记为A=B.

相关主题
相关文档 最新文档