算法分析(第二章)：递归与分治法 一、递归的概念 知识再现：等比数列求和公式： 1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 2、与分治法的关系： 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 3、递推方程： (1)定义：设序列01,....n a a a简记为{ n a}，把n a与某些个() i a i n <联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。 (2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。 4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序 5、优缺点： 优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 二、递归算法改进： 1、迭代法： (1)不断用递推方程的右部替代左部 (2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项 (3)直到出现初值以后停止迭代 (4)将初值代入并对和式求和 (5)可用数学归纳法验证解的正确性 2、举例： -----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1 (1)1 T n T n T =?+ = ()(1)1 W n W n n W =?+? （1）=0