八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练

一、容提要

1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，

确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理

及推论，

①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题

例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中

点。求证：PM ＝PN

证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F

∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形

∴AE ＝EB ＝ME

，AF ＝FC ＝NF ，

根据三角形中位线性质 PE ＝

21AC ＝NF ，PF ＝2

1

AB ＝ME

PE ∥AC ，PF ∥AB

∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN

∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN

例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。 分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN

P N

MP ∥AB ，MP ＝

21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2

1AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP

∴∠3=∠4=2

MPN

-180∠

∠MPN ＋∠BAC ＝180

（两边分平行的两个角相等或互补）

∴∠1=∠2=2

MPN

-180∠ ， ∠2=∠3

∴NP ∥AC ∴MN ∥AD

证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG

则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG

∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180

∠CAD ＝

2

1（180

－∠FCG ） ∠CFG ＝2

1

（180

－∠FCG ）=∠ ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE 交CB 的

延长线于G 求证：FD ＝

4

1

CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点

过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，

则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21

GC

由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝4

1

GC

三、练习

1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5

2. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5

3. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP

4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .

5. 如图15，△ABC 中，AB=4，AC=7，M 为BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过M 作MF ∥AD ，交AC

C

于F，则FC的长等于 .

6. 如图25，P为△ABC一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.

求证：DM=DN

7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.

求证：AP=AQ

8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.

求证：MN∥BC.

9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.

求证：AB+AC=2AM

10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的

延长线于E、F.

求证：∠BEH=∠CFH.

1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的

延长线于E，交AD的延长线于F.

求证：

1

2

BE BD

.

2. 如图21，在△ABC中，AB

MK的延长线交BA的长线于N.

求证：AN=AK.

3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直

角△BCD，M为ED的中点.

求证：AM⊥BM.

4. 如图23，点O是四边形ABCD一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为

AB、CD、BC的中点.

求证：△EFG为等边三角形.

5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q

是MN的中点，直线PQ交MB于K.

求证：K是DB的中点.

6. 如图25，P为△ABC一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.

求证：DM=DN

图21 图22 图23 图24 图25

7. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别

为BC、DE的中点.

求证：HG∥AP.

8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，

设M为DE的中点.

(1)求证：MB=MC;

(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面旋转到图(b)的位置，试问

MB=MC是否成立?并证明其结论.

9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.

求证：S≥4K.

10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2

∠CED=∠BAC.

求证：BD=2CD.

图26 图27