课题: §3.4
2
a b
+ 第1课时
授课类型：新授课
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【能力培养】
培养学生严谨、规的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
2
a b
+≤
的证明过程； 【教学难点】
2
a b
+≤
等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式2
a b
ab +≤
的几何背景： 如图是在召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2
2
a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2
22a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有
222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 2
22)(2b a ab b a -=-+
当2
2
,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时
所以，0)(2
≥-b a ，即.2)(2
2
ab b a ≥+
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2
a b
ab +≤
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，
通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2
a b
ab +≤
2）从不等式的性质推导基本不等式2
a b
ab +≤
用分析法证明：
要证
2
a b
ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b-≥0 （3）
要证（3），只要证 （-）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式2
a b
ab +≤
的几何意义 探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式2
a b
ab +≤的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2
＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为
2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b
a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2
a b
ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把
2
b
a +看作是正数a 、
b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称
2
b
a +为a 、
b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x 、y 都是正数，求证：
(1)
y
x
x y +≥2； (2)（x ＋y ）（x 2
＋y 2
）（x 3
＋y 3
）≥８x 3y 3
. 分析：在运用定理：ab b
a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把
握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x ，y 都是正数 ∴
y x ＞0，x
y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3
＞0 (1)
x
y
y x x y y x ?≥+2＝2即x y y x +≥2.
(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥23
3y x ＞0
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3
）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3
即（x ＋y ）（x 2
＋y 2
）（x 3
＋y 3
）≥８x 3y 3
.
3.随堂练习
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：ab b
a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0
b ＋
c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a 2
＋b 2
≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2
b
a +），几何平均数（a
b ）及它们的关系（
2
b
a +≥a
b ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值
的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问
题：ab ≤222b a +，ab ≤（2
b a +）2
.
基本不等式