人教版八年级下册数学16.2二次根式的乘除同步练习
一．选择题
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．将化简，正确的结果是（）
A．B．C．D．
3．化简﹣a的结果是（）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
4．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（）
A．B．C．D．
5．如果实数a、b满足，那么点（a，b）在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上
6．若＝﹣，则（）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0 7．等式＝（b﹣a）成立的条件是（）
A．a≥b，x≥0 B．a≥b，x≤0 C．a≤b，x≥0 D．a≤b，x≤0 8．已知关于x的不等式的解是4＜x＜n，则实数m，n的值分别是（）A．m＝，n＝32 B．m＝，n＝34 C．m＝，n＝38 D．m＝，n＝36 9．甲，乙两同学对代数式（m＞0，n＞0）分别作了如下变形：甲：＝＝；
乙：＝＝．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A ．甲，乙都正确
B ．甲，乙都不正确
C ．只有甲正确
D ．只有乙正确 10．计算（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）的结果等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 二．填空题
11．化简：5153÷?____． 12．化简
＝ ． 13．计算：××＝ ．
14．若
＝1，那么x 的取值范围是 ． 15．下列各式：①＝；②＝；③＝；④＝（a ＞0，b ≥0）其中正确的是 （填序号）．
三．解答题
16．计算：
17．计算：．
18．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
∵，①
，②
∴．③
∴2＝﹣2．④
（1）上面的推导过程中，从第 步开始出现错误（填序号）；
（2）写出该步的正确结果．
19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m 、n ，使m 2+n 2＝a 且mn
＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以
＝＝+．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）；
（2）．
参考答案
一．选择题
1．解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝3，不符合题意；
C、＝2，不符合题意；
D、＝，不符合题意．
故选：A．
2．解：＝＝10，
故选：A．
3．解：﹣a
＝﹣a﹣a2?
＝﹣a+a
＝0．
故选：C．
4．解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，
∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，
∴（m﹣4）＝﹣＝﹣．故选：D．
5．解：∵实数a、b满足，
∴a、b异号，且b＞0；
故a＜0，或者a、b中有一个为0或均为0．
于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上．故选C．
6．解：∵＝≥0
又∵＝﹣，
∴﹣≥0
∴ab ≤0且b ≠0
故选：D ．
7．解：根据算术平方根的意义可知，b ﹣a ≥0且x ≥0，即a ≤b ，x ≥0． 故选：C ．
8．解：∵关于x 的不等式
的解是4＜x ＜n ， ∴方程﹣mx ﹣＝0的解为4和n ， ∴，
∴解得m ＝，n ＝36，
故选：D ．
9．解：甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m ＝n 则化简不成立； 乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．故本题选D ．
10．解：设a ＝++，
原式＝（1﹣a ）（a +）﹣（1﹣a ﹣
）×a ＝a +
﹣a 2﹣﹣a +a 2+
＝． 故选：B ．
二．填空题
11．解：5153÷?=553??=
53 故答案为：53．
12．解：由
可得a ≥0， 所以
＝＝5a ，
故答案为：5a ．
13．解：原式＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
14．解：∵＝＝1，
∴|3x﹣1|＝1﹣3x，
∴1﹣3x＞0，
解得：x，
故答案为：x＜．
15．解：①当a＜0，b＜0时，与没有意义，故＝不正确；
②与没有意义，故＝不成立；
③＝，正确；
④＝（a＞0，b≥0）正确；
故答案为：③④．
三．解答题
16．解：原式＝5××3＝5．
17．解：
＝（﹣4÷）
＝（﹣4×）
＝﹣7．
18．解：（1）上面的推导过程中，从第②步开始出现错误，故答案为：②；
（2）﹣2＝﹣×＝﹣＝﹣．19．解：（1）∵4+2＝（）2+12+2××1＝（+1）2，∴＝＝|+1|＝+1，
（2）∵9﹣4＝（）2+22﹣2××2＝（﹣2）2，∴＝＝|﹣2|＝﹣2．
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0 ）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0 ）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2 的三个思考题： 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）?的式子叫做二 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评: （略） 例 1．下列式子，哪些是二次根式， x>0） 、、、 （x ≥0，y?≥0）． 分析”；第二，被开方数是正数 或0 ． （x>0、 x ≥0，y ≥0）；不是二、． 例2．当x 1 x 1 x y +1x 1x y +
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习 1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+ 中的≥0和中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥- 且x ≠-1+ 在实数范围内有意义． 例4(1)已知 +5，求 的值．(答案:2) (2)=0，求 a 2004+ b 2004的值．( 答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 1 3 1 3 1 1 x +1 1 x +1 1 x +230 10 x x +≥??+≠?32 3211 x +x y 25
2018人教版八年级下册二次根式单元测试题 1．下列各式中①a ；②1+b ； ③2a ； ④32+a ； ⑤12-x ； ⑥122++x x 一定是二次根式的有……………………………（ ）个。 A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．若3962=+-+b b b ，则b 的值为……………………………（ ） A ．0 B ．0或1 C ．b ≤3 D ．b ≥3 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． ． 4. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是…………………（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 5 =x 的取值范围是………………（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 6. 下列计算正确的是……………………………………………………（ ） = = 4= 7. 计算22 1－631＋8的结果是……………………………………（ ） A ．32－23 B ．5－2 C ．5－3 D ．22 8．已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为…（ ） B.±3 D. 5 9．化简)22(28+-得………………………………………………（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 10．如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧， 则的值为2)(b a b a ++-……………………………………………【 】 A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2- 11．若整数x 满足|x|≤3，则使为整数的x 的值是 （只需填一个）． 12．二次根式31 -x 有意义的条件是 。 13．已知a,b 为两个连续的整数，且a b <<,则a+b = 。 14．计算： = ． =-?263_______________. 15．①比较大小：73- 152- ②=-2)52( 。 16．若实数、满足，则________. 17. 计算3 393a a a a -+= 。
最新八年级下册数学--二次根式知识点整理 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根. 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如： -2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2.不等式组的解集是两个不等式解集的公共 部分.如｛3、 分母≠0 4、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号. ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“，”，“，”的根指数为2，即“2，”，我们一般省略根指数2，写作“，”.如2，5 可以写作，5 . （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）式子，a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，，a ≥0.其中a≥0是，a 有意义的前提条件. （4）在具体问题中，如果已知二次根式，a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件. （5）形如b，a （a≥0）的式子也是二次根式，b与，a 是相乘的关系.要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如错误!错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!. 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1），6 ；（2），-18 ；（3），x2+1 ；（4）3，-8 ；（5），x2+2x+1 ；（6）3，｜x｜；（7），1+2x （x＜-
错误!） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1），2-5x ；（2），4x2+4x+1 二、二次根式的性质：
八年级数学下册二次根式练习题及答案九年级数学科 检测范围：二次根式完卷时间：45分钟满分：100分 一、填空题。 1、当x ________时，2?x在实数范围内有意义。 2、计算： =________。 3、化简： = _______。 4、计算：2×=________。 5、化简：=_______。 6、计算：÷ 7、计算：-20-5=_______。 8化简： = ______。 1 2 35 =_______。 二、选择题。、x为何值时， x 在实数范围内有意义 x?1 A、x > 1 B、x ≥ 1 C、x 10a = - a ，则a的取值范围是
A、 a>0 B、 a 11、若a?4=，则的值为 A、B、1C、100 D、196 12、下列二次根式中，最简二次根式的是 A、17 B、13 C、±17 D、±13 2 ） 14、下列计算正确的是 A、2+ = B、2+=22 C、2= D、 15、若x A、-1B、1C、2x-D、5-2x 16、计算的结果是 A、2+1 B、3 C、1 D、-1 三、解答题。 17、计算： - 18、计算：00·008 19、利用计算器探索填空： 44?=_______； 444?8=_______； 444444?88=_______；…… 由此猜想： n个8） =__________。444???44?88??? 1、≤、、、65、、、、-二、选择题 9、A 10、D 11、C 12、B 13、B 14、C 15、D 16、 A 三、解答题 17、解：原式=2- 18、解：原式=[]200·
=00·=-22 19、解：；66；666；……；666…6。 20、解：∵x+ =，∴= 10， 121∴x+2，∴x+=8， xx 2 22 - + =-2 1 x1x 1221∴ = x+2， xx ∴x- = ±6。 1 x 5 初中数学二次根式测试题 判断题：． 1．2＝2．……． ?1?x2 是二次根式．…………… 2?122＝2?2
初中数学试卷 八年级数学《二次根式》检测题补偿2016.12 姓名____________ 得分__________ 一、选择题(每题3分，共27分) 1、如果3a -有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）0a ≥ （B ）0a ≤ （C ）3a ≥ （D ）3a ≤ 2、若式子1 a a b -+有意义，则点P （a ，b ）在（ ） (A). 第一象限 (B). 第二象限 (C). 第三象限 (D). 第四象限 3、下列二次根式中，最简二次根式是（ ） （A ）8a （B ）5a （C ）3a （D ）22a a b + 4、下列计算正确的是（ ） （A ）133164+== （B ）11121412142÷=÷= （C ）5252+= （D ）31 2314= 5、m 为实数，则2 45m m ++的值一定是（ ）
（A ）整数 （B ）正整数 （C ）正数 （D ）负数 6、下列各数中，与23的积为有理数的是（ ） （Ａ）32+ （Ｂ）32- （Ｃ）32+- （Ｄ）3 7、下列根式不能与48 合并的是（ ） (A)、0.12 (B)、 18 (C)、113 (D)、－75 8、估计1 832?+的运算结果的范围应在（ ） A.1到2 B. 2到3 C. 3到4 D. 4到5 9、如果a 2＝－a ，那么a 一定是 （ ） A 、负数 B 、正数 C 、正数或零 D 、负数或零 二、填空题（每题3分，共24分） 10、计算：①=-2)3.0( ②=-2 )52( ；2( 3.14)π- = 。 11、使代数式x x --312有意义的x 的取值范围是： . 12、若x x x x -?-=--32)3)(2(成立。则x 的取值范围为 ； 13、在实数范围内分解因式2233a a -+=______________. 14、若12+a 与34-a 的被开方数相同，则a = 。 15、24n 是整数，则正整数n 的最小值是 。 16、若2552y x x =-+-+，则y-x=___________。 17、比较大小：（1） 3 5 2 6 （2）2- 3- 三、解答题 18、计算
16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念01基础题 知识点1二次根式的定义 1．下列式子不是二次根式的是( B ) A. 5 B.3－π C.0.5 D.1 3 2．下列各式中，一定是二次根式的是( C ) A.－7 B.3 m C.1＋x2 D.2x 3．已知a是二次根式，则a的值可以是( C ) A．－2 B．－1 C．2 D．－5 4．若－3x是二次根式，则x的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)． 知识点2二次根式有意义的条件 5．x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义(D) A．－2 B．0 C．2 D．4 6．(2017·广安)要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是(B) A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＝2 7．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)－x； 解：由－x≥0，得x≤0. (2)2x＋6；
解：由2x ＋6≥0，得x≥－3. (3)x 2 ； 解：由x 2≥0，得x 为全体实数． (4) 14－3x ； 解：由4－3x>0，得x<4 3. (5) x －4 x －3 . 解：由? ????x －4≥0，x －3≠0 得x≥4. 知识点3 二次根式的实际应用 8．已知一个表面积为12 dm 2 的正方体，则这个正方体的棱长为(B) A ．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D ．3 dm 9．若一个长方形的面积为10 cm 2 ，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为 02 中档题 10．下列各式中：① 12 ；②2x ；③x 3 ；④－5.其中，二次根式的个数有(A )
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）
八年级下册二次根式的计算专题 一．解答题（共30小题） 1．（2016?太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||． 2．（2016?丹东模拟）计算：．3．（2016?海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×； （2）化简：?． 4．（2016?崇明县二模）计算：． 5．（2016春?罗定市期中）计算：（）﹣|| 6．（2016春?津南区校级期中）+3﹣5． 7．（2016春?萧山区期中）计算：（1）； （2）． 8．（2016春?台安县期中）（+）﹣2﹣． 9．（2016春?封开县期中）计算：．10．（2016春?中山市期中）计算：． 11．（2016春?江门校级期中）计算：5+2． 12．（2016春?浦东新区期中）计算：2﹣+． 13．（2016春?临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+． 14．（2016春?新昌县校级期中）计算 （1）2﹣+2； （2）（+）2﹣（+）（﹣）． 15．（2016春?蓟县期中）计算： （1）（2） 16．（2016春?定州市期中）计算： （1）4+﹣+4 （2）（﹣2）2÷（+3﹣） 17．（2016春?固始县期中）（1）计算：4+﹣+4； （2）计算：÷2×． 18．（2016春?蚌埠期中）计算：
（1） （2）． 19．（2016春?泰兴市期中）计算： （1）+|﹣3|﹣（）2； （2）（﹣2）﹣． 20．（2016春?浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．21．（2016春?东湖区期中）计算： （1）（）﹣（3﹣） （2）﹣3+． 22．（2016春?邹城市校级期中）计算 （1） （2）（+1）2（2﹣3） 23．（2016春?安陆市期中）计算： （1）； （2）（）2． 24．（2016春?微山县期中）计算： （1）2﹣6+3 （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2． 25．（2016春?天津校级期中）计算： （1）（）（）﹣（）2 （2）﹣． 26．（2016春?杭州期中）计算 （1）+﹣ （2）（3+）（3﹣）+（1+）2． 27．（2016春?召陵区期中）计算： （1）﹣（﹣） （2）（a2﹣） 28．（2016春?张家港市期中）计算与化简： （1）﹣+ （2）÷3× （3）÷﹣×+
二次根式 单元测试题 一、选择题 1、下列判断⑴12 3 和1 3 48 不是同类二次根式；⑵ 1 45 和1 25 不是同类二次根式；⑶8x 与 8 x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 2、如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1 a 2 C 、3－a D 、－a 2 3、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ） A 、52x 和3x B 、12ab 和 1 3ab C 、x 2y 和xy 2 D 、 a 和1a 2 4、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、8x B 、x 2－3 C 、x －y x D 、3a 2b 5、在27 、 112 、11 2 中与 3 是同类二次根式的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、若a<0，则|a 2 －a|的值是（ ） A 、0 B 、2a C 、2a 或－2a D 、－2a 7、把(a －1) 1 1－a 根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A 、1－a B 、－1－a C 、a －1 D 、－a －1 8、若 a+b 4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a 、b 的值为（ ） A 、a=2、b=2 B 、a=2、b=0 C 、a=1、b=1 D 、a=0、b=2 或a=1、b=1 9、下列说法错误的是（ ） A 、(－2)2的算术平方根是2 B 、 3 － 2 的倒数是 3 + 2 C 、当2 人教版初中数学八年级下册二次根式 二次根式(A 卷) 一、选择题（每题3分，共18分） 1．下列各式中，是二次根式的为（ ） A ．π B ．12 C D 2．下列判断正确的是（ ） A ．带根号的式子一定是二次根式; B 一定是二次根式 C ; D ．二次根式的值必定是无理数 3 ） A ．x 是非负数 B ．x 是实数 C ．x 是正实数 D ．x 是不等于零的实数 4．当x=5时，在实数范围内没有意义的式子是（ ） A B 52=a-1成立的条件是（ ） A ．a<1 B ．a ≠1 C ．a ≥1 D ．a ≤1 6有意义的实数x 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 二、填空题（每题3分，共12分） 7．________． 8．当______时，代数式 2x -有意义． 9．计算：（）2=______，（）2=________． 10．把919 写成一个正数的平方形式是________． 三、计算题（8分） 11．（）2）2-）0． 四、解答题（每题11分，共22分） 12．若0 13．已知，求（xy-64）2的算术平方根． 参考答案 一、 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．B 二、7．a≤3 2 8．x≥1且x≠2 9．175；4x 10．2 三、11．解：原式=32）2+8-1=9×2-9+8-1=16． 四、12．解：原式=│x│+（1-x）-│x-1│-1， 13．解：依题意，得 70, 70. x x -≥ ? ? -≥ ? 解得7≤x≤7， 所以x=7．代入解得x=9． ． 一、知识聚焦： 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 5．最简二次根式： 符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 二、经典例题： 例1．化简 (1)0 x ≥y ,0≥ 例2．计算 (1)15 5?3 2 ? 2 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)= (2)× 例4．化简： (1))0 ,0 (> x)0 x ≥y ≥y >b ,0 (≥ a)0 (> ,0 例5．计算： ÷（4 例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2) 2 3ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 例7. 把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2 例8. 把下列各式分母有理化 (1) 例9. 比较3223和两个实数的大小 答案： 例 例2. （1（2）303 （3）（4）6 例3. (1)不正确． ×3=6 (2) 例4.（1）8 3 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）y x 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21 144- (2) b a b a a ++2 例9. 3223> 三、基础演练： 1.计算①②3 × 2.化简: 二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3 -8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1 2 ） 二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（3 5 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系： 第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 1．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： __________(00)a b a b =≥≥，． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________． 在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)b d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 (00)ab a b a b =≥≥，． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． (0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b = ≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式） “开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 2．二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： 0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变． 【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >范围内无意义；若b =0，a b 则号无意义．学-科网 ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． （2）二次根式除法法则的逆用 00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要 0a b ≥且0b ≠即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含__________； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． 八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x≤1 B.x≥1 C.x ＞0 D.x ＞﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．2x ≥- C ．2x ≥ D ．2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23- （2）x -－ 11+x (3) 1y x = - （4）2||12--x x 一、选择题 1．下列式子成立的是（ ） A ．33 1= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 2．化简8的结果是（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．±22 3．化简27 23-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 412a =-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 5、已知y 3，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 6＜0)得（ ） A B C D 7、设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0，则(b ﹣a)2015=（ ） A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159 八年级下册数学目标单元检测题（一） 《 二次根式》 一、选择题：（每小题2分，共26分） 1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A 、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、— 2、在二次根式， 中，x 的取值范围是（ ） A 、x ≥1 B 、x ＞1 C 、x ≤1 D 、x ＜1 3、已知（x －1）2＋ =0，则（x ＋y ）2的算术平方根是（ ） A 、1 B 、±1 C 、－1 D 、0 4、下列计算中正确的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 5、化简 =（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 6、下列二次根式： ， ， ， ， ， ， 其中是最简二次根式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、1个 D 、4个 7、若等式 成立，则m 的取值范围是（ ） A 、m ≥ B 、m ＞3 C 、 ≤m ＜3 D 、m ≥3 8、已知直角三角形有两条边的长分别是3cm ，4cm ，那么第三条边的长是（ ） A 、5cm B 、 cm C 、5cm 或 cm D 、 cm 9、把二次根式 化简，得（ ） A 、x 2＋xy B 、 C 、 D 、 10、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ） A 、 和 B 、 和 C 、 和 D 、 和 4-3x -1-a 2-1 1 --x 2+y 532=+y x y x -=-2)(a a 11=324 3=3 1 2 1+56 1306 1 5630 6a 5.03a b a 221-a 411222y x +n m 23 1 2312--=--m m m m 2 1 21775224y x x +y x x +xy x +122 2y x x +2b a 222 ab 1+a 1-a 1221 3 )1(a - 二次根式的除法学习目标 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。学习重点、难点掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。重点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。难点：学习过程（一）复习回顾 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质 368ab612ab 3（×（2-4（1））） 2、计算： ，1 =_________ =________3、填空1161616）2=________ =________（，363644）3=_________ =________（，1616（二）提出问题： 1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习 自学课本内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律： 49164916 ______ ______ _______ 3616163616162、利用计算器计算填空: 223）=______ =_________））（=_________（23 （1435 223223规律： _____________ _____543543 4 共页第1 页 3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。 （四）合作交流 1、自学课本例3，仿照例题完成下面的题目： 1312?）计算：（1（）2283 题目：题 2、自学课本例4，仿照例完成下面的6）2 化简：（1（264a9 （五）精讲点拨 1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数， 被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。 （六）拓展延伸 阅读下列运算过程： 52533221????，53355?33?5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母 有理化”。 21=_________ （２）=_________ 利用上述方法化简：(1)326 110) =___ ___ (３) =_____ ___ (４1252 2 第页共4 页 二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1、1x x>0）、、1x y +、 x ≥0，y?≥0） ． ”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次 根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 例3．当x 11x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负 数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知，求x y 的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若， 则，如：，. 例1 计算 ）2 1．）2 2．（2 3．2 4．（ 2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1（2（3（4 例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a可以是什么数？（2，则a是什么数？（3，则a是什么数？ 16.2 二次根式的乘除法 同步检测 一、选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A ．×= B ．x 8÷x 2=x 4 C ．（2a ）3=6a 3 D ．3a 5?2a 3=6a 6 2.当a <0, b <0时，化简3350a b 得（ ） A ．50ab ab B.-50ab ab C.52ab ab D. 52ab ab - 3.在2222,,6,0.162 x x y x y +中，最简二次根式有（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 化简二次根式3a -的正确结果是（ ）． A ．a a -- B ．a a - C ．a a D ．a a - 5.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．24 B ．36 C ．a b D ．4a + 6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）. A. B. C. D. 二. 填空题 7. 计算： = ． 8. 等式成立的条件是 ． 9．计算：(1)=_______； (2)=________. 10.化简：（1111a a +2411a a a +11.22x x --2(1)x -12.有如下判断： （1）110y xy x =155=1 (3)5552424 =+ (4)332363?= （5）222516541-=-= （6）a b a b ?=?成立的条件是,a b 同号.其中正确的有_____个. 三 综合题 13.计算（1） （2） ． 14.把下列各式化成最简二次根式. (1) ； (2)； (3)； (4)； (5) 15.先化简，再求值：(3a ）(3(6)a a a --，其中152a =. 二次根式 ◆【课前热身】 1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 2．下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B C D 3．3最接近的整数是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．5 4. ） A ．3- B ．3或3- C ．9 D ．3 5.计算18－8＝___________． 【参考答案】◆【考点聚焦】 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 2.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化. 1．二次根式 a ≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 4．二次根式的性质 ① （2 =a （a ≥0）； │a │=(0)0(0)(0)a a a a a >??=??-0）． 5．分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． ◆【备考兵法】 （本知识点涉及到的常用解题方法） 1.考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中. 2.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多. 二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． ◆【考点链接】 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ． ⑵ 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最 简二次根式． (3) 同类二次根式 16．2 二次根式的乘除（1） 课型: 新授课 上课时间： 课时： 4 学习内容 a · b ＝（a ≥0，b ≥0），反之ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 学习目标 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 学习过程: 一、自主学习 （一）复习引入 1．填空：（1）4×9=____，49?=____； 4×9__49? （2）16×25=____，1625?=___； 16×25__1625? （3）100×36=___，10036?=___． 100×36__10036?（二）、探索新知 1、 学生交流活动总结规律． 2、一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1．计算 （1）5×7 （2） 1 3 ×9 （3）36×210 （4）5a ·15ay == == == == 例2 化简 （1）916? （2）1681? （3）81100? （4）229x y （5）54 == == == == == 二、巩固练习 （1）计算： ①168②6×105a 15ay == == == (2) 化简201824542212a b == == == == == （3）教材练习 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 （一）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1(4)(9)49-?-=-- （2）124 25×25=4×1225×25=41225 ×25=412=83 （二）归纳小结 （1）a ·b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． （2）要理解ab （a<0,b<0）=a b ，如(2)(3)-?-=(2)(3)--?--或(2)(3)-?-=23?=2 ×3． 四、课堂检测 （一）、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm ，?那么此直角三角形斜边长是（ ）． A ．32cm B ．33cm C ．9cm D ．27cm 2．化简a 1 a - 的结果是（ ）． A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a 3．等式21 11x x x +-=-成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 ( 二)、填空题 1．1014=_______． 2．自由落体的公式为S= 12 gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2 ），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？人教版初中数学八年级下册二次根式
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