《计数原理与概率》高考复习指导
一、考试说明:
1.考试内容
(1)分类计数原理与分步计数原理,排列与组合.
(2)等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率.2.考试要求
(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列与组合的意义,掌握排列数与组合数的计算公式,掌握组合数的两个性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.
(3)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率.(4)了解互斥事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.
(5)了解相互独立事件的意义,会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率,会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
二、高考试题分析
排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容.一方面,这部分内容占用教学时数多达36课时,另一方面,这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识,因此,它是高考数学命题的重要内容.从近三年全国高考数学(新材)试题来看,主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法,以及分析问题和解决问题的能力.试题特点是基础和全面.题目类型有选择题、填空题、解答题,一般是两小(9分~10分)一大(12分),解答题通常是概率问题.试题难度多为低中档.为了支持高中数学课程的改革,高考数学命题对这部分将进一步重视,但题目数量、难度、题型将会保持稳定.
例1.(1999年全国)在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有_______种(用数字作答).
[解析]
A种植在左边第一垄时,B有3种不同的种植方法;
A种植在左边第二垄时,B有两种不同的种植方法;
A种植在左边第三垄时,B只有一种种植方法.
B在左边种植的情形与上述情形相同.
故共有2(3+2+1)=12种不同的选垄方法.
∴应填12.
例2.(2003年新教材)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有______种(以数字作答).
[解析]
将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊,3种作物依次看作A、B、C,则3种作物都可以种植在甲试验田里,由于相邻的试验田不能种植同一种作物,从而可知在乙试验田里只能有两种作物.同理,在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植.由分步计数原理,不同的种植方法共有3×2×2×2=48种.
∴应填:48
例3.(2003年全国高考题)某城市中心广场
建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图),现
要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种1种且相
邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽法有
_______种.
[解析]
由于第1、2、3块两两相邻,我们先安排这三块,给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法,所以共有4×3×2=24种不同种法.
下面给第4块种花,若第4块与第6块同色,只有一种种植方法,则第5块只有2种种法,若第4块与第2块同色时,共有2×1=2种种法.
若第4块与第6块不同色,但第4块与第2块同色,则第6块有2种种植的方案,而第5块只有1种种法,共有2种不同的种植方法.
若第4块与第6块不同色,但第4块与第2块不同色,则第6块有1种种法,则第5块也有一种不同种法,所以第4块与第6块不同色时,有1种种法.
综上共有24×(2+2+1)=120种不同的种植方法.
例4.(2003年春季考试题)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加
了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为
A 、42
B 、30
C 、20
D 、12
[解析]
将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况:
(1)两个新节目相邻的插法种数为226A ;
(2)两个节目不相邻的插法种数为26A ;由分类计数原理共有2226642A A +=种方法,
选A.
例5.(2004重庆)(本小题满分12分)
设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
(1)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率;
(2)若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率.
解:(I )设A K 表示“第k 人命中目标”,k=1,2,3.
这里,A 1,A 2,A 3独立,且P (A 1)=0.7,P (A 2)=0.6,P (A 3)=0.5.
从而,至少有一人命中目标的概率为
94.05.04.03.01)()()(1)(1322321=??-=-=??-A P A P A P A A A P
恰有两人命中目标的概率为
44
.05
.06.03.05.04.07.05.06.07.0)()()()()()()()()()
()()()
(321321321321321321321321321=??+??+??=++=??+??+??=??+??+??A P A P A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P
答:至少有一人命中目标的概率为0.94,恰有两人命中目标的概率为0.44
(II )设甲每次射击为一次试验,从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中
事件“命中目标”发生的概率为0.7,故所求概率为
.441.0)3.0()7.0()2(2233==C P
答:他恰好命中两次的概率为0.441.
例6.(2002年理科高考题)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是
0.5(相互独立).
(Ⅰ)求至少3人同时上网的概率;
(Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于0.3 ?
分析: (Ⅰ)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率.即
00611522466621
(0.5)(10.5)0.5(10.5)0.5(10.5)32C C C -----=
(Ⅱ)至少4人同时上网的概率为:
465666666110.50.50.50.332C C C ++=>
.至少5人同时上网的概率为:
56666670.50.50.364C C +=<
因此, 至少5人同时上网的概率小于0.3.
思路:如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生
K 次的概率为()(1)k k n k n n P K C P P -=-.
例7.(2004湖南)(本小题满分12分)
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4
1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9
2. (Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率;
(Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
解:(Ⅰ)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
由题设条件有?????????=?=-?=-?????
?????=?=?=?.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P B P A P 即 由①、③得)(891)(C P B P -
= 代入②得 27[P(C)]2-51P(C)+22=0. 解得 91132)(或=
C P (舍去). 将 32)(=C P 分别代入 ③、② 可得 .4
1)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.3
2,41,31 (Ⅱ)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件, 则 .6
53143321))(1))((1))((1(1)(1)(=??-=----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为.65
三、高考命题展望:
概率和统计是一门专门“研究偶然现象统计规律性”的学科。有着广泛的应用背景。近几年
来新课程卷高考试卷也把概率统计的基本知识和方法:随机事件、等可能事件、互斥事件、相互
独立事件、独立重复实验等概念及相应的计算等列为考察的重点,作为必考内容。
1. 概率的定义:一般地,在大量重复进行同一实验时,事件A 发生的频率m/n 总是接近某个常
数,在它附近摆动,这个常数叫事件A 的概率。
2. 等可能事件的概率:P (A )=m/n.
3. 互斥事件:不可能同时发生的事件。互斥事件A,B 中有一个发生的概率为:P (A+B )=P (A )
+P (B )。特别地()1()P A P A =-
4. 相互独立事件:如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。独立事件A ,B
同时发生的概率:P (A ?B )=P (A )?P (B )。
5. n 次独立重复实验中事件A 发生k 次的概率:k n k k n n p p C k P --=)1()( 。
① ② ③
复习这部分内容及解答此类问题首先必须使学生明确判断两点:(1)对于每个随机实验来说,
所有可能出现的实验结果数n 必须是有限个;(2)出现的所有不同的实验结果数m 其可能性大
小必须是相同的。只有在同时满足(1)、(2)的条件下,运用等可能事件的概率计算公式P(A)=m/n
得出的结果才是正确的。而事件间得的“互相排斥”与“相互独立”是学生理解的一个难点,能
否准确判断事件之间是否互相排斥或相互独立,正确理解“和事件”或“积事件”的意义,是考
查的又一个重点,学生常因为混淆不清而导致计算错误。在同一实验中两事件的“互相排斥”是
指两个事件不可能同时发生;两事件“相互独立”是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概
率没有影响。在实际运用中我们常常不是根据定义来判断事件的独立性,而是应用实验的方法,由实验的独立性去判断事件的独立性。而在应用题背景条件下,能否把一个复杂事件分解为若干
个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键,也是考查学生
分析问题、解决问题的能力的重要环节。
例题1:某零件从毛坯到成品,一共要经过6道自动加工工序。如果各道工序出次品的概率
依次为0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05,那么这种零件的次品率是多少?
错解:设第i 道工序出次品的事件为A i ,i=1、2、…、6,A i 是互斥事件,则A i 中至少有一
个事件发生就为次品,故这种零件的次品率为P (A 1+A 2+…+A 6)=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A 6)=0.19。
分析:错误原因是将相互独立的事件看成互斥事件。由题意可知,只有同时经过6道工序才
能将事件完成,不能只考虑一道工序是否通过。
设第i 道工序出现次品的事件记为A i ,i=1、2、…、6,它们相互独立但不互斥,则A i 中至少
有一个事件发生就出现次品,所以该种零件的次品率为P (A 1+A 2+…+A 6) =1-)(621A A A P ?)05.01)(05.01)(03.01)(03.01)(02.01)(01.01(1-------=
176.0≈。
又如:某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第1声时被接的概率为0.1,响第2声时被
接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响第4声时被接的概率为0.1。那么该电话在前
4声内被接的概率是多少?
例题2、从原点出发的某质点M ,按照向量)1,0(=a 移动的概率为2/3,按照向量)2,0(=b 移动
的概率为1/3。设M 可到达点(0,n )的概率为P n 。
(1)求P 1 ,P 2;
(2)求证:)(31112n n n n P P P P --=-+++;
(3)求P n 的表达式。
解析:(1)点M 到达点(0,1)的概率3
11=P ,点M 到达点(0,2)的事件由两个互斥的事件组成:①“点M 先按向量)1,0(=移动到达点(0,1),再按向量)1,0(=平移到达点(0,
2)”,此时概率为2)32(;②“点M 按向量)2,0(=移动直接到达(0,2)”,此时的概率为
31。于是所求的概率为:
9
731)32(,31221=+==P P 。 (2)M 点到达(0,n+2)由两个互斥的事件组成:①“从点(0,n+1)按向量)1,0(=移动”,此时概率为
132+n P ;②“从点(0,n )按向量)2,0(=移动”此时概率为n P 31。于是n n n P P P 313212+=++,即)(3
1112n n n n P P P P --=-+++。 (3)由(2)可知,数列{P n+2-P n+1}是以P 2-P 1=1/9为首项,公比为-1/3的等比数列,即
n n n P P )31(1-=--,故4
3)31(41+-?=n n P 。 例题3、设棋子在正四面体ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的。现投掷骰子
根据其点数决定棋子是否移动:若投出的点数是奇数,则棋子不动;若投出的点数是偶数,棋子
移动到另一个顶点。若棋子的初始位置在顶点A ,回答下列问题。
(1)投了2次骰子,棋子才到达顶点B 的概率是多少?
(2)投了3次骰子,棋子恰好在顶点B 的概率是多少?
分析:棋子从顶点A 移动到顶点B ,C ,D 的概率都是1/6,而不移动的概率是3/6=1/2。
(1)分两种情形:①第一次不动,第二次移到B ,即B A A →→;②两次都动,即
B C A →→或B D A →→,故投了2次骰子,棋子才到达
顶点B 的概率为 36
5)61(261212=?+?。
(2)①两次停在相同顶点:B A A A →→→、B B A A →→→、B B B A →→→;②一次停在相同顶点:B C A A →→→、B D A A →→→、B B C A →→→、
B C C A →→→、B B D A →→→、B D D A →→→;③每次都向其它顶点移动:
B C B A →→→、 B D B A →→→、B A D A →→→、B C D A →→→、
B D
C A →→→、B A C A →→→、B A B A →→→。故投3次骰子,棋子恰好在顶
点B 的概率是54
137)61(6)61(21361)21
(322=?+??+??。 四、考前热身:
1.(2004辽宁)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中
间的3个座位不能坐,并且这2人不.
左右相邻,那么不同排法的种数是 ( ) A .234 B .346 C .350 D .363
2.(2004湖南)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为
A .56
B .52
C .48
D .40 ( )
3.(2002全国理)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( )
A .8种
B .12种
C .16种
D .20种
4.(2004福建)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个
班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为
( ) A .2426C A B .242621C A C .2426A A
D .262A 5.(2002全国春招)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若
其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作,则选派方案共有 ( )
(A )280种 (B )240种 (C )180种 (D )96种
6.(2004广东)一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型
号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是
A .0.1536
B . 0.1808
C . 0.5632
D . 0.9728 ( )
7.(2004江苏)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正
方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是 ( )
A .5216
B .25216
C .31216
D .91216
8.(2004辽宁)甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题
的概率是p 2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )
A .21p p
B .)1()1(1221p p p p -+-
C .211p p -
D .)1)(1(121p p ---
9.(2004重庆)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮,这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯炮使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3
次才取得卡口灯炮的概率为
( ) A .2140 B .1740 C .310 D .7120
10.(2004北京)从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n 种。在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ,则
m n 等于 ( ) A .110 B . 15 C . 310 D . 25
11.(2004湖北)将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,
每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共
有 种.(以数字作答)
12.(2000广东)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛。3名主力队
员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四
位置,那么不同的出场安排共有_ __种(用数字作答)。
13.(2003广东省)如图,一个地区分为5个行政区域,
现给地图着色,要求相邻区域不得
使用同一颜色,现有4种颜色可
供选择,则不同的着色方法共有
种.(以数字作答)
14.(2004广东)某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少
有1名女生当选的概率是 (用分数作答)
15.(2004辽宁)口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1,若从
袋中摸出5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .
16.(2004上海文科)若在二项式(x +1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率
是 . (结果用分数表示)
17.(2000江西、天津)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体,假定其中每个个
体被抽到的概率相等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于 。
18.(2001上海春招)在大小相同的6个球中,2个红球,4个是白球.若从中任意选取3 个,
则所选的3个球中至少有1个红球的概率是___ ___.(结果用分数表示)
19.(2004福建)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击
中目标相互之间没有影响.有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;
③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.
其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号).
20.(2003年全国)有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95.各抽取一件进行检验。
(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;
(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001)
附录:考前热身答案
11.240 ;12.252 ;13.72 ;14.75 ;15.6313
16.114 ;
17.0.05 ; 18.54 ;19. ①③ 20.分析:设抽到合格产品的事件分别为A ,B ,C ,则
P (A )=0.90 P(B)=P(C)=0.95
P(A )=0.10 P(B )=P(C )=0.05
(Ⅰ)因为A ,B ,C 相互独立,故恰有一件不合格的概率为:
P(A ·B ·C )+_P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)
=P(A)·P(B)·P(C )+P(A)·P(B )·P(C)+P(A )·P(B)·P(C)
=0.90×0.95×0.05+0.90×0.05×0.95+0.10×0.95×o.95
=0.176
(Ⅱ)至少有两件不合格的概率为:
P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)
=0.90×0.05×0.05+0.10×0.95×0.05+0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05
=0.012
思路:1.正确分清互斥事件与相互独立事件是解决此类问题的关键.
2.只有当事件A,B互斥时,才能运用公式P(A+B)=P(A)+P(B);只有当事件A,B相互独立时,才能运用公式P(A·B)=P(A)·P(B).
最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 .(2013年高考陕西卷(理))某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.14 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为()A.588 B.480 C.450 D.120 4 .(2013年高考江西卷(理))总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 )A.08 B.07 C.02 D.01 5.(2013年高考上海卷(理))盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示)
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值.
B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值;
2008年山东高考数学理科 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)满足M ?{a 1, a 2, a 3, a 4},且M ∩{a 1 ,a 2, a 3}={ a 1·a 2}的集合M 的个数是 (A )1 (B)2 (C)3 (D)4 (2)设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z =8,则 z z 等于 (A )1 (B )-i (C)±1 (D) ±i (3)函数y =lncos x (- 2 π<x <)2π 的图象是 (4)设函数f (x )=|x +1|+|x -a |的图象关于直线x =1对称,则a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 (5)已知cos (α- 6π)+sin α=473,sin()56 πα+的值是 (A )- 5 3 2 (B ) 532 (C)-54 (D) 5 4 (6)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 (A)9π (B )10π (C)11π (D)12π (7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 (A ) 511 (B )681 (C )3061 (D )408 1 (8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的
统计和统计案例 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等;有时也会在知识交汇点处命题,如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中低档题. 1. 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成. 2. 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距× 频率 组距 =频率; ②各小长方形的面积之和等于1; ③小长方形的高=频率组距,所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列,处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差:s 2=n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]. 标准差:
s = 1n [ x 1-x 2 +x 2-x 2 +…+x n -x 2 ]. 4. 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),通过求Q = i =1 n (y i -a -bx i )2 最小时,得到线性回归方程y ^ =b ^ x +a ^ 的方法叫做最小二乘法. 5. 独立性检验 对于取值分别是{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的分类变量X 和Y ,其样本频数列联表是: y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d n 则K 2 = n ad -bc 2a +b c + d a +c b +d (其中n =a +b +c +d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A .7 B .9 C .10 D .15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 960 32 =30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n 项,显然有729=459+(n -1)×30,解得n =10.所以做问卷B 的有10人. 在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分 成几个组,则分段间隔即为N n (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 2.【2015·福建】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10 分;若能被10整除,得1分. 整除,得1 (I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立,那么()()()=?P AB P A P B 。 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、复数z 满组(3)(2)5--=z i (z 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为 (A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i 2、已知集合{}0,1,2=A ,则集合{} ,=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 3、已知函数()f x 为奇函数,且当0>x 时,21 (),=+ f x x x 则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直,体积为9 4 , 的正三角形,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A) 512π (B) 3π (C) 4π (D) 6 π 5、将函数sin(2)?=+y x 的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4 π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220210,380, --≥?? +-≥??+-≤? x y x y x y 所表示的区域上一动点,则直线OM 的斜率的 最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12 - 7、给定两个命题,.p q 若?p 是q 的必要不充分条件,则p 是?q 的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为 (A) (B) (C) (D) 9、过点(3,1)作圆2 2 (1)1-+=x y 的两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 的方程为
§10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读
从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.
(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
高考复习专题之:概率与统计 一、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 1.随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件;当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0; 注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法 例1如图1所示,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c , d , e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通 路的概率是 . 分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。 解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有10种,分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ,其中能形成通路的有6种,所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又如, 两人同时出象牌,则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种.所以P (一次出牌小刚胜小明)= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是6的倍数的概率. 分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数
2016年山东省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求. 1.(5分)若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=() A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 2.(5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=()A.(﹣1,1)B.(0,1) C.(﹣1,+∞)D.(0,+∞) 3.(5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是() A.56 B.60 C.120 D.140 4.(5分)若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是() A.4 B.9 C.10 D.12 5.(5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()
A.+πB.+πC.+πD.1+π 6.(5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.(5分)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)的最小正周期是()A.B.πC. D.2π 8.(5分)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为() A.4 B.﹣4 C.D.﹣ 9.(5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x ≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x>时,f(x+)=f(x﹣).则f(6)=()A.﹣2 B.1 C.0 D.2 10.(5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x3 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的
专题10.2 统计与统计案例 一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置........ 上(共10题,每小题6分,共计60分). 1.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在 以下的汽车有辆. ) 【答案】75 2.某校高一年级有学生人,高二年级有学生人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人,其中从高一年级学生中抽出人,则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】高一高二人数之比为10:9,因此高二抽出的人数为18人,高三抽出的人数为55-20-18=17人 3.若一组样本数据9,8,x ,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为▲. 【答案】2 【解析】由题意得,因此方差为 4.某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从男学生中抽取的人数为100人,那么 ▲ . 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数,那么 5.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示。若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为.
【答案】20 【解析】根据频率分布直方图,得视力在0.9以上的频率为(1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4, ∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20. 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人. 【答案】37,20 7.下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛,七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为. 【答案】, 【解析】去掉一个最高分和一个最低分之后,剩余的五个数据依次是、、、、,平均数为
三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;
2017年山东省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的. 1.(5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1﹣x)的定义域为B,则A∩B=() A.(1,2) B.(1,2]C.(﹣2,1)D.[﹣2,1) 2.(5分)已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+i,z?=4,则a=() A.1或﹣1 B.或﹣C.﹣D. 3.(5分)已知命题p:?x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是() A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q 4.(5分)已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是() A.0 B.2 C.5 D.6 5.(5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+,已知x i=22.5,y i=160,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为() A.160 B.163 C.166 D.170 6.(5分)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的x值为7,第二次输入的x值为9,则第一次,第二次输出的a值分别为()
A.0,0 B.1,1 C.0,1 D.1,0 7.(5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是() A.a+<<log2(a+b))B.<log2(a+b)<a+ C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b))<a+< 8.(5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.B.C.D. 9.(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 10.(5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx﹣1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是() A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,)∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
高考数学统计与统计案例1.小吴一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A.1%B.2%C.3%D.5% C[ 由图 1 所示,食品开支占总开支的 30%,由图 2 所示,鸡蛋开支占食 品开支的30 = 1 , 30+40+100+80+ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10=3%.故选 C.] 2.(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A.4B. 3C.2D.1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76,因此其差是 79- 76=3,故选 B.] 3.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm)进行检测,如图是检测结果的频