量子力学
一、选择题
1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是
(A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［D ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是：
(A) (B) (C) (D) ［B ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用
频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为：
(A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［D ］
4．4737：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［D ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是
(A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［C ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱［C ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为
(A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［A ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是
(A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［C ］
9．4241：若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是
(A) (B) (C) (D) ［A ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同［A ］
11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( -a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为
(A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) (D) ［A ］
12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)
、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？［］
13．5619：波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10-
3 ?，则
0λhc 0
λhc
m eRB 2)(2
+
0λhc m e R B +0λhc e R B 2+)2/(eRB h )/(eRB h )2/(1eRBh )/(1eRBh a x a
x 23cos
1)(π?=
ψa 2/1a /1x
(A)
x
(C)
x
(B)
x
(D)
利用不确定关系式可得光子的x 坐标的不确定量至少为：
(A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm ［C ］
14．8020：将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变［D ］ 15．4965：下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？
(A) n = 2，l = 2，m l = 0，
(B) n = 3，l = 1，m l =-1， (C) n = 1，l = 2，m l = 1，
(D) n = 1，l = 0，m l = 1，［B ］ 16．8022：氢原子中处于3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )
可能取的值为
(A) (3，0，1，
) (B) (1，1，1，)
(C) (2，1，2，) (D) (3，2，0，) ［D ］
17．4785：在氢原子的K 壳层中，电子可能具有的量子数(n ，l ，m l ，m s )是
(A) (1，0，0，) (B) (1，0，-1，)
(C) (1，1，0，) (D) (2，1，0，) ［A ］
18．4222：与绝缘体相比较，半导体能带结构的特点是
(A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴，导带中总是有电子
(D) 禁带宽度较窄［D ］
19．4789：p 型半导体中杂质原子所形成的局部能级(也称受主能级)，在能带结构中应处于
(A) 满带中 (B) 导带中 (C) 禁带中，但接近满带顶 (D) 禁带中，但接近导带底［C ］
20．8032：按照原子的量子理论，原子可以通过自发辐射和受激辐射的方式发光，它们所产生的光的特点是：
(A) 两个原子自发辐射的同频率的光是相干的，原子受激辐射的光与入射光是不相干的 (B) 两个原子自发辐射的同频率的光是不相干的，原子受激辐射的光与入射光是相干的 (C) 两个原子自发辐射的同频率的光是不相干的，原子受激辐射的光与入射光是不相干的
(D) 两个原子自发辐射的同频率的光是相干的，原子受激辐射的光与入射光是相干的 [ B ]
21．9900：与的互易关系[
]等于 （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）［A ］
22．9901：厄米算符满足以下哪一等式（、是任意的态函数）
（Ａ）（Ｂ）
（Ｃ）（Ｄ）［C ］
二、填空题
1．4179：光子波长为λ，则其能量=；动量的大小 =；质量=。
h
x p x ≥??21=
s m 21
-
=s m 21=s m 21-
=s m 21-
21
-
2
1
21
2121
21-21-
x ?x P ?x P x ?,? i i -ih ih -A ?u v ()dx v u A dx v A
u ??=**??()dx u A v dx u A v ??=*
*
??()dx u v A dx u A v ??=*
*
??()dx v u A dx v A u ??=*
*??λ/hc λ/h )/(λc h
2．4180：当波长为3000 ?的光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从0到4.0×10-19
J 。在作上述光电效应实验时遏止电压为 |U a | = 2.5V ；此金属的红限频率ν0 =4.0×1014Hz 。
3．4388：以波长为λ= 0.207 μm 的紫外光照射金属钯表面产生光电效应，已知钯的红限频率ν 0=1.21×1015赫兹，则其遏止电压|U a | = 0.99_V 。
4．4546：若一无线电接收机接收到频率为108 Hz 的电磁波的功率为1微瓦，则每秒接收到的光子数为1.5×1019。
5．4608：钨的红限波长是230 nm ，用波长为180 nm 的紫外光照射时，从表面逸出的电子的最大动能为1.5eV 。
6．4611：某一波长的X 光经物质散射后，其散射光中包含波长不变和波长变长的两种成分，其中波长变长的散射成分称为康普顿散射。
7．4191：在氢原子发射光谱的巴耳末线系中有一频率为6.15×1014 Hz 的谱线，它是氢原子从能级E n =－0.85eV 跃迁到能级E k =－3.4_eV 而发出的。
8．4192：在氢原子光谱中，赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系)的最短波长的谱线所对应的光子能量为13.6eV ；巴耳末系的最短波长的谱线所对应的光子的能量为3.4eV 。
9．4200：在氢原子光谱中，赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系)的最短波长的谱线所对应的光子能量为6eV ；巴耳末系的最短波长的谱线所对应的光子的能量为973eV 。
10．4424：欲使氢原子发射赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的谱线构成）中波长为1216 ?的谱线，应传给基态氢原子的最小能量是10.2eV 。
11．4754：氢原子的部分能级跃迁示意如图。在这些能级跃迁
中，(1) 从n = 4 的能级跃迁到n = 1的能级时所发射的光子
的波长最短；(2) 从n =_ 4 的能级跃迁到n =___ 3___的能级时所 发射的光子的频率最小。
12．4755：被激发到n =3的状态的氢原子气体发出的辐射中，
有__1____条可见光谱线和_____2____条非可见光谱线。 13．4760：当一个质子俘获一个动能E K =13.6 eV 的自由电子组成一个基态氢原子时，
所发出的单色光频率是6.56×1015 Hz 。
14．4207：令(称为电子的康普顿波长，其中为电子静止质量，c 为真
空中光速，h 为普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ =___
___λc 。
15．4429：在戴维孙——革末电子衍射实验装置中，自热 阴极K 发射出的电子束经U = 500 V 的电势差加速后投射到晶 体上。这电子束的德布罗意波长λ =?0.0549?nm 。
16．4629：氢原子的运动速率等于它在300 K 时的方均根 速率时，它的德布罗意波长是1.45 ?。质量为M =1 g ，以速度
1 cm ·s -1运动的小球的德布罗意波长是6.63×10-19 ?。
17．4630：在B =1.25×10-2 T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm
的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是0.1 ?。
18．4203：设描述微观粒子运动的波函数为
，则表示粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度；须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是。
19．4632：如果电子被限制在边界x 与x +?x 之间，?x =0.5 ?，则电子动量x 分量的不
确定量近似地为1.33×10-23kg ·m ／s 。
20．4221：原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征。当n 、l 、m l 一定时，不同的量子态数目为_______2______；当n 、l 一定时，不同的量子态数目为2×(2l +1)；当n 一定时，不同的量子态数目为2n 2。
)/(c m h e c =λe m
3/1=v ),(t r
ψ*ψψ),(t r
ψ1
d d d 2
=???z y x ψ
n = 1
n = 2 n = 3 n = 4 4754图
U
4429图
21．4782：电子的自旋磁量子数m s 只能取______和
22．4784：根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为，当主量子数
n =3
时，电子动量矩的可能取值为 0，，。
23．4963___8___个。 24．4219：多电子原子中，电子的排列遵循泡利不相容原理和能量最小原理。 25．4635：泡利不相容原理的内容是一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子数(n 、l 、m l 、m s )。
26．4787：在主量子数n =2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子
数是_____4________。
27．4967：锂(Z =3)原子中含有3个电子，电子的量子态可用(n ，l ，m l ，m s )四个量子数
来描述，若已知基态锂原子中一个电子的量子态为(1，0，0，)，则其余两个电子的量子
态分别为(1，0，0，)和(_2，0，0， 或 2，0，0，__)。
28．4969：钴(Z = 27 )3d 态的电子可有______7______个。
29．8025：根据量子力学理论，原子内电子的量子态由(n ，l ，m l ，m s )
四个量子数表征。
那么，处于基态的氦原子内两个电子的量子态可由(1，0，0，)和(1，0，0
，)两组量
子数表征。
30．4637：右方两图(a)与(b)中，(a)图是__n__型半导体的能带结构图，(b)图是__p__型
半导体的能带结构图。 31．4792：若在四价元素半导体中掺入五价 元素原子，则可构成___n___型半导体，参与导电
的多数载流子是__电子_____。
32．4793：若在四价元素半导体中掺入三价 元素原子，则可构成___p___型半导体，参与导电
的多数载流子是___空穴___。
33．4971：在下列给出的各种条件中，哪些是 产生激光的条件，将其标号列下：(2)、(3)、(4)、(5)。(1)自发辐射；(2)受激辐射；(3)粒子数反转；(4)三能极系统；(5)谐振腔。
34．5244：激光器中光学谐振腔的作用是：(1)产生与维持光的振荡，使光得到加强_；(2)使激光有极好的方向性_；(3)__使激光的单色性好_。
35．8034：按照原子的量子理论，原子可以通过自发辐射和受激辐射两种辐射方式发光，而激光是由受激辐射方式产生的。
36．8035：光和物质相互作用产生受激辐射时，辐射光和照射光具有完全相同的特性，这些特性是指相位、频率、偏振态、传播方向。
37．8036：激光器的基本结构包括三部分，即工作物质、激励能源和光学谐振腔。
38．写出以下算符表达式：；；_；
39．微观低速的（非相对论性）体系的波函数满足薛定谔方程，其数学表达式为
2121
-
2 621
=
s m 21
21-11-
11
-
=x p ?x i p x ??-= ?=H ?U H +?-=222?μ =y
L ?)(?z x x z i L y
??-??-= ψ 4637图
或。
40．自旋量子数为半奇数的粒子称为费米子，自旋量子数为整数的粒子称为玻色子；费米子体系遵循泡利不相容原理。
41．
＝___________；_____0______；_____0______；
_____0______；___________。
42．线性谐振子的能量可取为，0，1，2，3……；若
，是谐振子的第个能量本征函数，则体系的能量平均值为。
三、计算题
1．4502：功率为P 的点光源，发出波长为λ的单色光，在距光源为d 处，每秒钟落在垂直于光线的单位面积上的光子数为多少？若λ =6630 ?，则光子的质量为多少？
1．4502：解：设光源每秒钟发射的光子数为n ，每个光子的能量为h ν，则由：
得：
令每秒钟落在垂直于光线的单位面积的光子数为n 0，则：
------------------------------------------3分
光子的质量：
=3.33×10-36 kg--------------------2分 2．4431：α粒子在磁感应强度为B = 0.025 T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm 的圆形
轨道运动。(1) 试计算其德布罗意波长；(2) 若使质量m = 0.1 g 的小球以与α粒子相同的速
率运动。则其波长为多少？(α粒子的质量m α =6.64×10-27 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，
基本电荷e =1.60×10-19
C)
2．4431：解：(1) 德布罗意公式：
由题可知α粒子受磁场力作用作圆周运动：
， 又则：----------------4分
故：
-------------3分 (2) 由上一问可得
对于质量为m 的小球：=6.64×10-34 m-----------3分
3．4506：当电子的德布罗意波长与可见光波长( λ =5500 ?)相同时，求它的动能是多少
电子伏特？(电子质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s, 1 eV =1.60×10-19 J)
3．4506：解：
---------------3分 =5.0×10-
6 eV--------------------------------------2分
4．4535：若不考虑相对论效应，则波长为 5500 ?的电子的动能是多少eV ？(普朗克常
量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)
4．4535：解：非相对论动能：
t i U ?ψ?=ψ???? ??+?- 222μt i U x ?ψ?=ψ???? ??+??- 2222μ[]x p x ??， i []=z y ??，[]=z x p p ??，[]=z
L L ?,?2
[]=y
x
p L ?,?z
p i ? ω
)21
(+=n E n n =3
2010352103u u u ++=ψn u n ω 511λν/nhc nh P ==)/(hc P n λ=)4/()4/(/220hc d P d n S n n π=π==λ)/()/(/2
2λλνc h c hc c h m ===)/(v m h =λR m B q /2
v v α=qRB m =v αe q 2=eRB m 2=v α
nm 1000.1m 1000.1)2/(2
11--?=?==eRB h αλαm eRB /2=v α
ααλλ?=?==
m m m m eRB h
m h 2v )2/()/()2/(2
2e e K m h m p E λ==221
v e K m E =
而
，故有：-----------------------------2分 又根据德布罗意关系有代入上式--------------------1分
则：
4.98×10-6 eV----------------------2分
5．4631：假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍
时，其德布罗意波长为多少？(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)
5．4631：解：若电子的动能是它的静止能量的两倍，则：---------1
分 故：
--------------------------1分
由相对论公式：
有：
解得：---------------------------------------------1分 德布罗意波长为：
m-----------------2分
光电子的德布罗意波长为：
1.04×10-9 m =10.4 ?------------------3分
6．5248：如图所示，一电子以初速度v 0 = 6.0×106 m/s 逆着场强方向飞入电场强度为E = 500 V/m 的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d ，可使得电 子的德布罗意波长达到λ = 1 ?。(飞行过程中，电子的质量认为不变，
即为静止质量m e =9.11×10-31 kg ；基本电荷e =1.60×10-19 C ；普朗克
常量h =6.63×10-34 J ·s)。
6．5248：解：
①---------------------2分
②
③----------------------2分
由①式： 7.28×106 m/s 由③式：8.78×1013 m/s 2
由②式：
= 0.0968 m = 9.68 cm-----------------------4分
7．4430：已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为(0≤x
≤a )，求发现粒子的概率为最大的位置。
7．4430：解：先求粒子的位置概率密度：
--------------------2分
当：时，
有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得
∴--------------------------------3分
v e m p =e K m p E 22
=
λ/h p ==
=
)/(2122
λe K m h E 2222c m c m mc e e =-e m m 3=2
2/1/c m m e v -=2
2/1/3c m m e e v -=3/8c =v )8/()v /(c m h m h e ==λ131058.8-?≈=
==
v e m h
p h λ)/(v e m h =λad
22
02=-v v a m eE e ===)/(λe m h v ==e m eE a /)
2/()(2
02a d v v -=)/sin(/2)(a x a x π=
ψ)/(sin )/2()(22
a x a x π=ψ)]
/2cos(1)[2/2(a x a π-=1)/2cos(-=πa x 2
)
(x ψπ=πa x /2a
x 21=
8．4526：粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
(0 提示： 8．4526：解：-----------------3分 粒子位于0 – a /4内的概率为： =0.091----------2分 9．氢原子波函数为 ，其中 是氢原子 的能量本征态，求的可能值、相应的概率及平均值。 9．解：根据给出的氢原子波函数的表达式，可知能量的可能值为：、、， 其中： 、、-----------------3分 由于： -----------------------1分 所以，能量为的概率为 ---------------------1分 能量为的概率为 ---------------------1分 能量为 的概率为 ---------------------1分 能量的平均值为： -----------------------2分 --------------------1分 10．体系在无限深方势阱中的波函数为 ，求归 一化常数。 10．解：由归一化条件，应有 -----------------------3分 得： -----------------------2分 )/sin(/2)(a x n a x n π=ψC x x x x +-= ?2sin )4/1(21 d sin 2 x a x a x P d sin 2d d 22 π==ψx a x a P a d sin 24 /0 2? π=)d(sin 24/02a x a x a a a πππ=?4 /0 2 1]2sin 41[ 2 a a x a x πππ -= )]42sin(414[221a a a a π-ππ=() 310 211210100 32210 1 ψψψψψ+++= nlm ψE E 1E 2E 3E 113.6E eV =2 3.4E eV =-3 1.51E eV =-1 10 310210 110 2 2 2 2 2 =++ + 1E 5 2 10 22 1= = P 2E 10 310 21012 2 2= + = P 3E 10 310 32 3= = P 332211E P E P E P E ++=eV 913.6-=sin 0()00 n A x x a x a x x a πψ? < =??≤≥?A 1sin 0 2 2=? xdx a n A a π a A 2 = 11．质量为m 的粒子沿x 轴运动，其势能函数可表示为： ，求解粒子的归一化波函数和粒子的能量。 11．解：当或时，粒子势能无限大，物理上考虑这是不可能的，所以粒子 在该区域出现纪律为零，即： 当时，，定态薛定谔方程为： 设，则方程为： 通解为： 由波函数的连续性可知，在、处，即： 得：；，1、2、3…… 所以有： ，1、2、3…… 归一化条件： 所以：，即： ，1、2、3…… 粒子能量为：，1、2、3…… 12．设质量为粒子处在（，）内的无限方势阱中， ， 对它的能量进行测量，可能得到的值有哪几个？概率各多少？平均能量是多少？ 12．解： 即是第一和第三个能量本征态的叠加，所以测得能量值可为： （1），相应概率为： （2），相应概率为： 所以，能量平均值为： + ()000,x a U x x x a < ∞≤≥?0≤x a x ≥()0=x ψa x <<0()0=x U ψψ E dx d m =-2222 2 /2 E k μ=02 22=+ψψk dx d ()kx B kx A x cos sin +=ψ0x =x a =()0=x ψ()()()()0cos sin 00cos 0sin =+==+=ka B ka A x B A x ψψ0B =n k a π = n =()sin n n x A a πψ?? = ? ??n =()()1sin 0 220 22=?? ? ??==? ??∞+∞ -a a dx a n A dx x dx x πψψa A 2=()n n x a πψ?? = ? ??n =222 2 2 n E E n a πμ==n =0a ()??? ????? ??= x a x a a x ππψ2cos sin 4 ()??? ?????? ????? ??+??? ??=??? ????? ??= a x a x a x a a x a x a x πππππψ2cos sin sin 2cos sin 22??? ??+??? ??= a x a a x a ππ3sin 22 1 sin 22 1()x ψ2 2 22a μπ 2 12 12 = 2 2 2 29a μπ 2121 2 =21=E 2 222a μπ 2122 229a μπ =22225a μπ 13．谐振子的归一化的波函数： 。其中，是归一化的谐振子的定态波函数。求：和能量的可能取值，以及平均能量。 13．解：由归一化条件得：解得： 根据谐振子波函数的表达式，可知能量的可能值为：、、 因为： 所以：；； 则： ()()()()x cu x u x u x 32021 31++= ψ()x u n c E 12 13 1 2 2 2 =++c 61 = c E 0E 2E 3E ν h n E n ??? ?? +=21νh E 210=νh E 252=ν h E 273==E =++33220 0E P E P E P ννννh h h h 22 7 612 5 212 1 312 2 2 =?+?+? 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 量子力学习题集及解答 目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128) 第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ??? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 eV K k 3101-=?， 量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年 第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。 第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 量子力学习题答案 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场 ???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。 量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ= ==α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2. 2222 22 2222 2222 2222 2 *2x /2 x /2 2 22 x /2 x /2 2 2x /2 2x /22 2 2 2 x 2 x /2 2 2 2 4 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=-μ=--αμ =--α- -αμ = α = μ μ ? ? ? ? ? ? ＝（）＝＝2222 22 4x 22 2 4 x x 2 2 2 2 22 242 1()xd (e )21A (){xe e dx} 221A A ()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞ -∞ α-α =α--- μαππααα--μμ α ?? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 222d 1 H x 2dx 2 =-+μω μ 它的基态能量01 E 2 = ω选择为参量，则: 0dE 1d 2=ω；22 2dH d 2d 2 ()T d dx 2dx =-=-=μμ dH 2 0T d = 由F-H 定理知：0dE dH 21 00T d d 2 ===ω 可得： 1 T 4 =ω 量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2. 2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω 喀兴林高等量子力学习题E X2.算符 EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= # 练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ #曾量子力学题库(网用).
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