华东理工大学2010–2011学年第一学期
研究生《数理统计》课程期末考试试卷 2011.01
开课学院： 理学院， 考试形式：闭卷， 所需时间120分钟
考生姓名： 学号： 学院 任课教师 朱坤平 题序 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 评卷人
附表 2
20.0250.975(8) 2.180,(8)17.535χχ==, 815.7)3(295.0=χ, 841.3)1(2
95.0=χ
1824.3)3(975.0=t , 306.2)8(975.0=t , 776.2)4(975.0=t 3.49)12,3(95.0=F 71.5)9,2(975.0=F 26.4)9,2(95.0=F
一． 选择题（每小题4分，共36分）
1． 设总体的期望
μ和方差2σ均未知,从总体中抽取了一个容量为n 的样本
),,,(21n X X X ,则下述选项中可以作为总体的期望μ和方差2σ的无偏估计量的
选项是( A )
(A) ∑=-n i i X X X 12
1)(1-n 1 和 (B) 2121-n 1 X X X n i i -∑=和 (C) ∑=-n i i X X 12
)(n 1 μ和 (D) ∑=-n i i X X X 1
2)(n 1 和
2． 5名评委对某歌手的打分分别是: 63, 65, 70, 71, 95,根据打分,代表该歌手水平最
合理的指标应是这些分值的 ( B ).
(A) 均值; (B) 中值; (C) 方差; (D) 众数
3． 设总体期望为,μ方差为2
0σ,),,,(n 21X X X 为总体的一个容量为n 的样本, X 为
样本均值,则 ( D ).
（A ） 当n 充分大时, X 近似服从正态分布N(,μ20σ);
(B ） 当n 充分大时, X 的取值收敛于总体期望μ;
（C ） 因总体分布未知, 无论 n 多大, X 都未必可视为服从正态分布；
(D ） 当n 充分大时, X 近似服从正态分布 N(,μ n /2
0σ)
4． 设总体
)N (1,2~2ξ，),,,(1021X X X 是 ξ 的样本，
2102221)1X (...)1X ()1X (Y -++-+-=,则下述选项正确的是（ C ）.
（A ） )10(~2χY ； （B ） )40,10(~N Y ；
（C ）
)10(~42χY ； （D ） )10(~2
2χY
5. 不考虑交互作用的正交试验, 若问题中有4个因子,每个因子都是2个水平, 应选取的
正交表是 ( B ).
（A ） )2(3
4L ； (B ） )2(78L ； (C ） )3(49L ； （D ） )2(1516L
6. 设总体),N(~20σμξ，其中 2
σ 已知,),,,(n 21X X X 是 ξ 的样本, 总体期望
μ的置信水平为α-1的置信区间的长度记为L ,则错误的选项是 （ C ）
。 （A ） L 与样本容量n 有关; （B ） L 与置信水平1-α有关;
（C ） L 与样本),,,(n 21X X X 的取值有关; （D ） L 与总体方差20σ有关.
7．显著性水平α下的某假设检验，原假设0H ,则（ A ）. （A ） 犯第一类错误的概率一定不超过α; （B ） 犯第二类错误的概率一定为1-α; （C ） 犯第一类错误的概率一定为α;
（D ） 要么犯第一类错误，要么犯第二类错误,二者必居其一
8．多元线性回归模型e +=βX Y ，其中)I ,0(~e 2
σN ，关于β的最小二乘估计β
?，下 述错误的选项是（ C ）。
（A ） Y X X X ')'(?1-=β
（B ） E(β?)=β （C ） ,(~?ββN I 2σ) （D ） β?与残差平方和e
SS 相互独立 9. 根据变元的n 组观测值来求m 元线性回归的复相关系数, 下述选项正确的是 ( A ) （A ） T
R
SS SS R =
（B ） 2-=n SS R e
（C ） 1--=m n SS R e （D ）T
R
SS SS R -=1
二． (本题10分) 立邦牌油漆的干燥时间2~(,)ξμσN , 随机抽取9个样品，测
得干燥时间（单位：小时）的样本均值为6.2, 修正样本标准差为0.6928, 分别求2,μσ的置信水平为95%的置信区间。
解: (1)
μ的置信水平为1-α的置信区间为:
[,)
1(*2/1n
S n t X ---α n
S n t X *2/1)
1(-+-α]
=[6.2-2.306*0.6928/3, 6.2+2.306*0.6928/3]=[5.6675, 6.7325]
(2) 由样本数据得到9=n ，48.02
1=-n s ，对于0.05α=，自由度为8，有 22
0.0250.975(8) 2.180,(8)17.535χχ==，所以
2190.0535.1748.08)1()1(2975.021=?=---n S n n χ; 7615.1180.248.08)
1()1(2025.02
1
=?=---n S n n χ
故2σ的95%的置信区间为]7615.1,2190
.0[ 三. (本题10分) 设1(,...,)n X X 是取自总体ξ的一个简单随机样本ξ的密度函数为
(),()0,x e x p x x θθ
θ--?≥=?为未知参数，
（1） 求θ的矩法估计量?θ,并说明?θ是否为θ的无偏估计? (2) 求θ的极大似然估计. 解：(1)先计算1)()()
()
(+=+-==?
?
∞
+--+∞
--∞
+--θξθ
θθθθ
θdx e xe
dx xe
E x x x
由于X E =ξ，得到1?-=X θ
因 E θθξθ=-+=-=-=-=1)1(11)1(?E X E X E , 故1?-=X θ是θ无偏估计。 (2) 对于一组观测值),,(21n x x x ，设θ≥n x x ,,1 ，此时似然函数
)()()()(1
1
θθ--==∏=∏=i x n
i i n i e x p L
两边取对数，得对数似然函数 ∑=+-=n
i i n x L 1
)(ln ?θ
分别关于θ求导，可得
0)
(ln >=n d L d θ
θ )(ln θL 关于θ严格单调递增，所以)(ln θL 的
极大值应在θ取值的右面的边界点上取到，故极大似然估计为,min ?1i
n
i x ≤≤=θ 四．(本题10分) 对某种合金材料的熔点作了四次测试，根据4次的测试数据算得样本均值为1267=X (度), 修正样本标准差65.3*=S (度). 设合金材料的熔点服从正态分布, 在显著性水平5α= % 下：
(1) 能否认为该种合金的熔点符合厂家所公布的1260 度？
(2) 能否认为该种合金熔点的标准差不超过2度？ 解: 由样本得 1267=X ，.
(1) 要检验的假设为 1260:,1260:10≠=μμH H )
检验用的统计量 )1(~/*
0--=
n t n
S X T μ，
拒绝域为 1824.3)3()1(975.012
==-≥-t n t T α. 1824.3836.34
/65.312601267>=-=
T ，落在拒绝域内，
故拒绝原假设0H ，即不能认为结果符合公布的数字12600C.
(2) 要检验的假设为 2:,2:10>≤σσH H 检验用的统计量
)1(~)1(220
2
*
2--=
n S n χσχ，
拒绝域 815.7)3()1(2
95.0212==->-χχχαn
815
.7104/402>==χ,落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为测定值的 标准差不超过20C.
五. (本题10分) 把一枚硬币连抛100次, 结果出现了40次正面向上,60次反面向上, 在显 著性水平显著性水平5α=% 下, 能否认为这枚硬币是均匀的? 解: 假设硬币是均匀的, 令X=0表示反面向上,否则,X=1, 即: ??
??
??5.05.010
~:0X H
∑=--=r i k
k r n p n n 12
2
2
)1(~1χχ; =-+=
100)5.0405.060(1001222χ 4
)1(4122->=-r αχχ=3.841, 故拒绝原假设,认为该硬币不均匀.
六. ( 本题14分) 抽查6家企业, 根据产量 i x (台) 与单位成本i y (万元)的统计数据得:
360
=∑i
x
, 250002
=∑i
x
,
55=∑i
y
,
5652=∑i
y
,
2860=∑i i
y x
（1）求单位成本与产量的相关系数; （2）求单位成本关于产量的回归方程;
（3）求线性回归的残差平方和e SS 及估计的标准差σ
?; (4) 在显著性水平05.0=α下检验单位成本与产量是否有线性相关关系. 解: 1) ,60=x ,1667.9=y =xx L 22
x n x
i
-∑=3400,
8333.60=yy L =
xy L y x n y x
i i
-∑= - 440,
9675.0-==
yy
xx xy L L L r
2) ),0(~,
10σεεββN x y ++=
1294.0?1
-==xx
xy L L β,
931.16??1
0=-=x y ββ 回归方程为 y = 16.931-0.1294x
3) 8973.3?1=-=xy
yy e L L SS β 9871.02
?=-=n SS e
σ
4) 0:10=βH
)2(~??1
1--=n t L T xx σ
ββ
=--=
34009871
.00
1294.0T -7.6439
7764.2)4(||975.0=>t T
故拒绝原假设,即认为单位成本与产量有统计的线性相关关系.
七. (本题10分) 为了研究一天中的不同工作时间对工作效率的影响,随机抽取12人,等分成三组,A 组做早班, B 组做晚班, C 组做夜班 ,分别记录他们完成同一种工作的完工时间,数据如下:
组别 完 工 时 间 A 早班 5.2 5.6 5.8 5.4 B 晚班 5.4 4.9 6.1 6.6 C 夜班
6.1
5.8
5.9
7.2
试利用方差分析的方法, 在显著性水平05.0=α下分析不同的班次对工作效率是否有显著性影响?
解: 方差分析的前提是: 假设不同班次的完工时间服从正态分布,且方差
相等,即),(~2σμξi i N , i=1,2,3.
检验班次对工作效率是否有影响,相当于检验: 3210:μμμ==H
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY
组 计数 求和 平均 方差 行 1 4 22 5.5 0.066667 行 2 4 23 5.75 0.563333 行 3 4 25 6.25 0.416667 方差分析 差异源 SS df MS F F crit 组间 1.166667 2 0.583333 1.671975 4.256492 组内 3.14 9 0.348889 总计 4.306667 11
F < F crit = 4.26, 故 接受原假设，即在显著性水平0.05下认为不同的班次对工作效率无显著性影响.
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
涉及到的有关分位数： ()()()()()()()()()()()()2 0.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99 u t t t t χχχχχχχχ============= 一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。记()2 332 i 11 11,32i i i X X S X X ====-∑∑, 试确定下列统计量的分布： （1）3113i i X =∑；（2）2 3119i i X =?? ???∑；（3）() 2 31 13i i X X =-∑；（4 X 解：（1）由抽样分布定理，3 1 1~(0,1)3i i X X N ==∑ (2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故2 2 332 1111~(1)39i i i i X X χ==????= ? ????? ∑∑ （3）由抽样分布定理， ()() () 2 2 23 3 21 1 31211~(2)3 323i i i i S X X X X χ==-=?-=-∑∑ （4）因()222~(0,1), ~23 X N S χ，X 与2S ()~2X t 。 二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根 据调查结果，解答下列问题： （1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量； （2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值； （3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计； （4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。 解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率 （1）因EX p =,而^ E X X =，故收视率的矩估计量为^ X p = （2）总体X 的概率分布为() 1()1,0,1x x f x p p x -=-= 11 11 ()(1)(1) (1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1) 01n n i i i i i i n x n x x x n X n n X i L p p p p p p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p ==- --=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
四川理工学院试卷（2014至2015学年第1学期） 课程名称：数理统计（A 卷） 命题教师： 适用班级：统计系2013级1、2班 注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、填空题（每空3分，共 24 分） 1. 设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本， 2σ已知，令∑==16 1161i i X X ，统计量σ -164X 服从分布为 （写出分布的参数）。 2. 设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 __________ 。 3. 设12,, ,n X X X 是来自总体X ~(1,1)U -的样本， 则()E X =___________， ()Var X =__________________。 4．已知~(,)F F m n ，则 1 ~F
5. ?θ和?β 都是参数a 的无偏估计，如果有_________________成立 ，则称?θ是比 ?β 有效的估计。 6．设()2,0.3X N μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95 的置信区间是___________________ (查表0.975 1.96U =） 7. 设123456,,,,,X X X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令 22123456()()Y X X X X X X =+++-- 则当C = 时CY ～2(2)χ。 二、选择题（每小题3分，共 24分 ） 1. 已知n X X X ,,,21 是来自总体2(,)N μσ的样本，μ已知，2σ未知，则下列是统计量的是（ ） （A ）2 1()n i i X X =-∑ （B ） 22 1 1 ()n i i X X σ =-∑ (C) 2 211 ()n i i X μσ=-∑ (D) 2 21 ()11n i i X n μσ=--∑ 2．设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN 的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）. （A ）221 11?()n i i X X n σ==-∑ （B ）2221 1?()1n i i X X n σ==--∑ (C)223 11?()n i i X n σμ==-∑ (D)2 241 1?()1n i i X n σμ==--∑ 3. 设81,,X X 和101,,Y Y 是分别来自相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的 样本, 21S 和2 2S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( ) )(A 222152S S )(B 22 2 145S S )(C 2 22154S S )(D 222125S S
一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本， 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ， ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时， ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x ， 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为?λ ＝ 。 6．设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y ＝X Y Y ???? ??=???? ??202121，则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）： 表2 极差分析数据表
应用数理统计复习题 1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为,X Y ，则1~(0,)2 X Y N - (||0.3)(0.424)(0.424)0.328P X Y -<=Φ-Φ-= 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2 2 22(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =，得5?6 θ=. （2）最大似然估计： 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2 σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤10,,2,1Λ=i 。算出 10 11 5.410i i X X ===∑ 10 21 () 3.6i i X X =-=∑ 给定检验水平0.05 α=，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0 | |/X T S n m -=
将已知数据代入，得2t = = 1/2 0.975(1)(9) 2.26222t n t a - -==> 所以接受0H 。 4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）. 解：（1）1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 01 ??35.2389y x ββ=-= 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ? 4.46σ ==
数理统计期末试题
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数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求 )2.0|(| y x P . 5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92 s x ,试求)6.0|(| x P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有 )|(|c x . 7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X 9．设21,x x 是来自),0(2 N 的样本,试求2 21 21 x x x x Y 服从 分布. 10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得 .05.0)()()(2212212 21 k x x x x x x 11．设n x x ,,1 是来自 ),(2 1 N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~) ()(2 221 m n t s y d x c t m d n c 其中 2 22 22,2 )1()1(y x y x s s m n s m s n s 与 分别是两个样本方差. 12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2 N 的样本,11,n n i i x x n _ 2 21 1(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n n c n x x t c s 服从t 分布,并指出分布的自由度 。 13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为, ,2 22 1s s
数理统计试题 It was last revised on January 2, 2021
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。 3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。 1. 设总体),(~211σμN X ，),(~2 2 2σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本方差分别为21S ，22S ，检验2221122210::σσσσn n F S S α D. )1,1(21222 2 1-->n n F S S α 2. 假设?θ 是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。 A.如?()E θ θ=，则?θ是θ的无偏估计 B.如?θ 是θ的无偏估计，则?()g θ是()g θ的无偏估计 C.如?θ 是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则?()g θ是()g θ的极大似然估计 D.?θ 的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值， ∑=-=n i i n X X n S 1 22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
材料学院研究生会 学术部 2011年12月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令 )x x T -= ， 试证明T 服从t -分布t （2） 二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明 111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。 三、（8分）设总体X 的密度函数为 其中1α>-，是位置参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X 的密度函数为 1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ??-? -≥??? =????? ，其它， 其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。 （1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧ ； （2）σ∧ 是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题 22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α 的UMPT 。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、（6分）设方差分析模型为 总离差平方和 试求A E(S )，并根据直观分析给出检验假设012:...0P H ααα====的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A 、B 、C 、D 外，还需考察A B ?，B C ?。今选用表78(2)L ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .
201 5- 2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、 考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、 计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留 2位小数。 3、 请将选择题的答案（用字母 A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项） 1.设总体X~N （,「2 ），Y~N （」2，打）相互独立，样本量分别为 n 1，n 2，样本 方差分别为S ；， S ；，检验H o :打一匚； 比：打心的拒绝域为（ 2. 3. So A. -2 ::: F-.g -1, n 2 —1) S ； B. s 2 ~2 ::: F-.2(n 1 —^1, 门 2 ~ S C.鲨 F.(01 -1,n 2 -1) S ； D. S 2 2 F 2 (n 1 - 1 n 2 - 1 ) S 2 假设?是二的一个点估计, 那么以下说法中错误的是（ A.如E （马“，则?是二的无偏估计 B.如?是二的无偏估计，则g （国是g （“的无偏估计 C.如？是的极大似然估计，g （J 有单值反函数，则g （珀是g （R 的极大似然估 D.彳的均方误差定义为 MSE （^） = E （^-^）2 设X 1,X 2，…,X n 为来自正态分布N （=二2）的简单随机样本，X 为样本均值, n _ （X j -X ）2 ，则服从自由度为n-1的t 分布的统计量为（ n i A.奶（乂-卩） B. .n (X - J S n
C J n—1(X —卩) a D. n — 1(X ■■) Sn 4.下面不正确的是（)° A. 5 二-u B. [.(n) n) C. t1_：.(n) - -t：.(n) 1 D F (n m)— F1v(n,m)- F/m, n) 5.以下关于假设检验的说 法， 正确的是（)° A.第一类错误是指，备择假设是真，却接受了原假设 B.利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显着性水平称为检验的p值 C.当检验的p值大于显着性水平:时，拒绝原假设 D.犯两类错误的概率不可以被同时减小 6.对于单因素试验方差分析的数学模型，设S T为总离差平方和，S e为误差平方 和，S A为效应平方和，则不正确的是（）? A.无论零假设是否成立，都有S T=Se ?S A B.无论零假设是否成立，都有% ~ 2r -1 ■. C.无论零假设是否成立，都有S E2~ 2门_「 CT D.零假设成立时，才有S A （r ~1） ~ F r -1, n—r Se.. （n-r） 7.下面关于」的置信度为1八的置信区间的说法，不正确的是（？?？ ） A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量？ B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值，要么一定不包含真值」 C.」落入区间的概率为1 D.随机区间以1— a的概率包含了参数真值J
模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2
分布函数F(x)= ，概率P{—0.5
《数理统计》考试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2 (0,3)N ，而12 9(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分 别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ .解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β =_______ .解：1?-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）22()nS n χ； （C ） (1)()n X t n S -； （D ） 2 122 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑. 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置 信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . （A ）T e A S S S =+； （B ） 22 (1)A S r χσ -；
《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).
(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩
应用数理统计复习题 1.设总体，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为，则 2. 设总体具有分布律 1 2 3 其中为未知参数，已知取得了样本值，求的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计： 令，得. （2）最大似然估计： 得 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差均未知，抽查10件，测得重量为斤。算出 给定检验水平，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t1-0.025(9)=2.2622 t1-0.025(10)=2.2281 t1- 0.05(9)=1.8331 t1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为
将已知数据代入，得 所以接受。 4. 在单因素方差分析中，因素有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平下对因素是否显著做检验。 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 误差 2.5 总和 6.7 解： 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 2 2.1 7.5 误差 2.5 9 0.28 总和 6.7 11 ，，认为因素是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量及强度的数据，求得 ，. （1）建立关于的一元线性回归方程； （2）对回归系数做显著性检验（）. 解：（1） 所以， （2）
拒绝原假设，故回归效果显著. 6.某正交试验结果如下 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 （1）找出对结果影响最大的因素； （2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3）写出第4号实验的数据结构模型。 解： 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 ⅠⅡR 29.79 25.36 32.0 30.86 35.29 28.65 1.07 9.9 3.35 （1）对结果影响最大的因素是B； （2）“算一算”的较优生产条件为 （3） 4号实验的数据结构模型为 ，
首都师范大学2012-2013学年第一学期 期末考试试卷 考试科目：数理统计 试卷类型：A 卷 考试时间：120分钟 院 系 级 班 姓名 学号 一、填空(每空2分,共13分) 1、设1,......n X X 为来自总体X 的简单随机样本,则1,......n X X 满足 (1) ; (2) 2、若总体2~(,)X N μσ,2~(,)X N μσ为来自总体X 的样本,则 ~X ; ~ 。 、1234,,,X X X X 为来自总体X 的样本 123412341234()/4 (234)/10(23)/6 X X X X X X X X X X X X μμμ∧ ∧ ∧ =+++=+++=+++ 均为总体μ的估计，则无偏估计为 ， 在无偏估计中最有效的是 14分）设总体X 在[0, θ]上服从均匀分布，θ未知，1,......n X X 是一个样本，试求θ的矩估计和最大似然估计。
三、（10分）某钢厂生产直径为6mm 的钢筋，当标准差≤0.05时为优等品，现在抽查了10个样品，得到样本均值 6.0X =，样本方差20.005S =，在显著水平0.05下，能够认为钢筋为优等品。 （222 0.05 0.050.05(9)16.919,(10)18.307,(11)19.675χχχ===） 四、（10分）用天平称量某物体的质量9次，得到均值为15.4X =（克），样本方差为0.01（克）已知天平称量结果为正态分布，试求该物体质量的置信水平为0.95的置信区间。 （0.0250.0250.0250.050.05(8) 2.306,(9) 2.262,(10) 2.228,(8) 1.86,(9) 1.833t t t t t =====） 五、（10分）为募集社会福利基金，某地方政府发行福利彩票，中彩者用摇大转盘的方法确定最后中奖金额。大转盘均分为20份，其中金额为5万，10万，20万，30万，50万，100万的分别占2份，4份，6份，4份，2份，2份。假定大转盘是均匀的，则每一点朝下是 100万的人数分别为2、6、6、3、3、0，试问大转盘是否均匀？（0.05α=） （2222 0.01 0.010.010.01(1) 6.635,(2)9.21,(3)11.345,(4)13.277χχχχ====）
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。 3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 2，样本 然估计 D.?θ的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3.设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值， ∑=-=n i i n X X n S 1 2 2(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（）。
A.σ μ) (-X n B. n S X n ) (μ- C. σ μ) (1--X n D. n S X n ) (1μ-- 4.下面不正确的是（）。 A.αα u u -=-1 B.)()(2 21n n α αχχ-=- p e 为误差E 2 σ D.零假设成立时，才有 ()r n r F r n S r S e A ----,1~) () 1( 7.下面关于μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（???）。 A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量? B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真
值μ C.μ落入区间的概率为α-1 D.随机区间以１－α的概率包含了参数真值μ 8.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, μ=EX ，则下列正确的是（） 。 A.1X 是μ的无偏估计量B.1X 是μ的极大似然估计量 9.设. A.3 1σ10.A.C.，则 3.设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本， 则θ的矩估计为。 4.单因素方差分析中，数据s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体 () s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则j n i ij j n X X j ∑== 1 服从分布。
2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方
《概率论与数理统计》期中考试试题（一） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p (0
?=??≤? ，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<
北航数理统计期末考试题 2011年2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的样本，令，试证明T服从t-分布t（2） 二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明。 三、（8分）设总体X的密度函数为其中，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单 样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X的密度函数为，其中是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简 单样本。 （1）试求参数的一致最小方差无偏估计； （2）是否为的有效估计证明你的结论。 五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，y1，y2，…，yn是 来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，。为检验假设可令则上述假设检验问题等价于这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，已知，未知，试求假 设检验问题的水平为的UMPT。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方 面八、（6分）设方差分析模型为总离差平方和试求，并根据直观分析给出检验假设的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察，。今选用表，表 头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 列号试验号ABCD实验数据 12345671111111112.82111222228.23122112226.14122221135.35212121230.5621221214 .37221122133.3822121124.0十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为。 （1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分（2）试求第一主成分。 2006级硕士研究生《应用数理统计》试题一、选择题（每小题3分，共12分） 1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0α1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（）